浙江省嘉兴高级中学2026-2027学年高一上学期第一次教学调研数学试题

嘉兴高级中学2026学年第一学期第一次教学调研 高一年级数学试卷 参考答案 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．C 2．A 3．B 4．A 5．D 6．A 7．D 8．B 第8题详解： Card(A)=2，由A*B=|Card(A)-Card(B)|=1得Card(B)=1或3。 B是方程(ax²+3x)(x²+ax+2)=0的解集，即x(ax+3)(x²+ax+2)=0。 ①当a=0时，方程化为3x(x²+2)=0，只有x=0一个实根，Card(B)=1，满足条件； ②当a≠0时，x=0是一个根，x=-是ax+3=0的根。 若Δ=a²-8=0，即a=±时，x²+ax+2=0有一个重根，此时B有3个不同元素，满足条件； 若Δ>0且x=-是x²+ax+2=0的根，代入得-1=0，a=±3，此时B有3个不同元素，满足条件。 综上，a的所有可能取值为0, ±3, ±，共5个，故Card(S)=5。 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。 9．ACD 10．AC 11．BD 第11题详解： 对于A，y==x+，当x<0时y为负数，无最小值2，故A错误； 对于B，y=2(x-1)++1≥+1=+1，当且仅当x=1+时取等号，故B正确； 对于C，由x+2y=3xy得+=3，则(2x+y)(+)≥(2+1)²=9，故2x+y≥3，是最小值为3而非最大值，C错误； 对于D，令t=3x+y，则y=t-3x代入9x²+y²+xy=1，由判别式Δ≥0得t²≤，故最大值为，D正确。 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12．-2或3 13．1 14．[-1, +∞) 第14题详解： 由xy≤ax²+2y²得a≥ - 2()²。令t=，由x∈[1,2], y∈[2,3]得t∈[1,3]。 f(t)=t-2t²在[1,3]上单调递减，最大值为f(1)=-1，故a≥-1。 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本题满分15分） 已知集合A={x|3≤x<7}, B={x|x²-12x+20<0}, C={x|x<a}。 解：由x²-12x+20<0得(x-2)(x-10)<0，故B={x|2<x<10}。 (1) A∪B = {x|3≤x<7} ∪ {x|2<x<10} = {x|2<x<10}。 (2) ∁_RA = {x|x<3或x≥7}， (∁_RA)∩B = {x|2<x<3或7≤x<10}。 (3) 若A∩C≠∅，则集合A与C有公共元素。 因为A={x|3≤x<7}，C={x|x<a}，所以a>3。 16．（本题满分15分） 已知关于x的不等式<0的解集为P，不等式|x-1|<1的解集为Q。 解：由|x-1|<1得0<x<2，故Q={x|0<x<2}。 (1) 由P=(-∞,-1)∪(-,+∞)知，方程(ax-1)(x+1)=0的两根为x=-1和x=， 且二次项系数a<0（解集在两根之外），故=-，解得a=-2。 (2) “x∈Q”是“x∈P”的充分不必要条件，即Q⊊P。 ①当a=0时，P={x|x>-1}，Q⊊P，成立； ②当a>0时，P={x|-1<x<}，要使Q⊆P，需2≤，即0<a≤； ③当a<0时，不等式<0的解集包含(-1,+∞)的大部分区域，Q=(0,2)⊆P，成立。 综上，实数a的取值范围是(-∞, ]。 17．（本题满分15分） 某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米。计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米80元。 (1) 设AD长为x米，总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式； (2) 当x为何值时S最小，并求出这个S最小值。 解：(1) 设每个突出小矩形的长为y米，则中间正方形边长为x米。 由题意得：4xy + x² = 200，故y = ，其中0 < x < 。 四个角的草坪为四个全等的等腰直角三角形，总面积为4×()y² = 2y²。 总造价： S = 4200·x² + 210·4xy + 80·2y² = 4200x² + 840xy + 160y² 将y=代入化简得： S = 4000x² + + 38000 （0 < x < ） (2) 由基本不等式： S = 4000x² + + 38000 ≥ + 38000 = 2×40000 + 38000 = 118000（元） 当且仅当4000x² = ，即x⁴=100，x=时取等号。 故当x=米时，总造价S最小，最小值为118000元。 18．（本题满分16分） 已知二次函数y=x²+ax+a (a∈R)。 (1) 若y>0恒成立，求实数a的取值范围； (2) 当0≤x≤1时，函数y的最小值为，求实数a的值； (3) 若a∈R，∃x∈{x|1≤x≤2}，使得关于x的方程x²+ax+a=0有解，求实数a的取值范围。 解：(1) y=x²+ax+a>0恒成立，开口向上， 故判别式Δ=a²-4a<0，解得0<a<4。 (2) 对称轴为x=-，分三种情况讨论： ①当-<0即a>0时，函数在[0,1]上递增，最小值在x=0处： y(0)=a=，解得a=1，符合条件； ②当0≤-≤1即-2≤a≤0时，最小值在顶点处： y(-) = -a + a = ，化简得2a²+a-1=0， 解得a=-1或a=（舍去），故a=-1； ③当->1即a<-2时，函数在[0,1]上递减，最小值在x=1处： y(1)=1+2a=，解得a=-，不满足a<-2，舍去。 综上，a=1或a=-1。 (3) 方程x²+ax+a=0在x∈[1,2]上有解，即a = -x在[1,2]上有解。 令t=x+1，则t∈[2,3]，a = 2 - (t + )。 因为t+在[2,3]上单调递增，所以t+ ∈ [, ]， 故a ∈ [2-, 2-] = [-, -]。 19．（本题满分16分） 设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素x,y,z∈A，使得x-y=y-z，则称A为“等差集”。 (1) 若集合A={2,3,4,6}，B⊆A，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B； (2) 若集合A={5-m², 1+m, 2m²-3}是“等差集”，求m的值； (3) 已知正整数n≥3，证明：{x, x², x³, ..., xⁿ}不是“等差集”。 解：(1) 由“等差集”定义，需存在三个不同元素成等差数列。 集合A={2,3,4,6}的三元子集： {2,3,4}：2+4=2×3，是等差集； {2,4,6}：2+6=2×4，是等差集； {2,3,6}和{3,4,6}不成等差数列。 四元子集{2,3,4,6}包含上述等差三元组，也是等差集。 故满足条件的B为：{2,3,4}, {2,4,6}, {2,3,4,6}。 (2) 三个元素成等差数列，分三种情况： ①若1+m为等差中项，则2(1+m)=(5-m²)+(2m²-3)， 化简得m²-2m=0，解得m=0或m=2。 m=0时，集合为{5,1,-3}，含负整数，舍去； m=2时，集合为{1,3,5}，符合条件。 ②若5-m²为等差中项或2m²-3为等差中项，解得m均非整数，舍去。 综上，m=2。 (3) 证明：反证法。假设存在三个不同元素x^i, x^j, x^k（1≤i<j<k≤n）成等差数列， 则2x^j = x^i + x^k。两边同除以x^i得： 2x^(j-i) = 1 + x^(k-i) 令p=j-i≥1，q=k-i>p，则q≥p+1。 因为x≥2，所以x^q = x^p · x^(q-p) ≥ x^p · x ≥ 2x^p， 故1 + x^q ≥ 1 + 2x^p > 2x^p，与2x^p = 1 + x^q矛盾。 因此假设不成立，即{x, x², x³, ..., xⁿ}不是“等差集”。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉兴高级中学高一数学第一次教学调研 详细解析（满分150分） 一、单项选择题（每题5分，共40分） 1．【答案】C 解析：B={x|−1<x≤3}。A 中满足 −1<x 且 x≤3 的元素为 0、1、2、3；−1 不满足 −1<x，4 不满足 x≤3，故 A∩B={0,1,2,3}。 2．【答案】A 解析：特称命题（∃）的否定为全称命题（∀），并否定结论（≥ 变 <），取值范围 x>0 不变，故为 ∀x>0，x²+2x−2<0。 3．【答案】B 解析：a²>36 ⇔ a>6 或 a<−6。a>6 必有 a²>36；反之 a²>36 不一定 a>6（还可能 a<−6）。故 a²>36 是 a>6 的必要不充分条件。 4．【答案】A 解析：a²−b²=(1+x)²−2x=1+x²>0，故 a>b；c−a=−(1+x)=x>0，故 c>a。综上 c>a>b。 5．【答案】D 解析：g(t) 要求 1−t²≥0，即 −1≤t≤1。令 t=1−2x，则 −1≤1−2x≤1，解得 0≤x≤1。 6．【答案】A 解析：原分式等价于 (x−a)(x−(1+a))>0，解集 x<a 或 x>1+a。要使 (−1,3) 包含于该解集：要么 3≤a（区间落在 x<a 内），要么 1+a≤−1 即 a≤−2。故 a≤−2 或 a≥3。 7．【答案】D 解析：f(x)=x−[x] 为小数部分。f(x+1)=f(x)，A 错；值域为 [0,1)，B 含 1 错；f(0.5)=0.5>f(1)=0，不是增函数，C 错；2024≤x<2025 时 [x]=2024，f(x)=x−2024，D 正确。 8．【答案】B 解析：Card(A)=2，A*B=1 得 Card(B)=1 或 3。Card=1 仅 a=0；Card=3 时 a=±（二次式取重根）或 a=±3（一次根与二次根重合）。故 S={0，±，±3}，Card(S)=5。 二、多项选择题（每题6分，共18分） 9．【答案】ACD 解析：A：c=0 时 ac²=bc²，结论不成立，错；B：c²>0，两边乘 c² 得 a>b，正确；C：缺少同号前提，反例 2>1、−1>−2 但 ac=bd=−2，错；D：−=c，当 c 为负时不成立，错。 10．【答案】AC 解析：由解集 x≤−3 或 x≥4 知 a>0，且 ax²+bx+c=a(x+3)(x−4)=ax²−ax−12a，即 b=−a、c=−12a。A 正确；bx+c>0 即 −a(x+12)>0，得 x<−12，B 错；cx²−bx+a<0 化简为 12x²−x−1>0，即 (3x−1)(4x+1)>0，得 x<− 或 x>，C 正确；a+b+c=−12a<0，D 错。 11．【答案】BD 解析：A：未限定 x>0，当 x<0 时 x+≤−2，函数无最小值，错；B：令 t=x−1>0，y=2t++1≥+1=+1，正确；C：由 +=3，x→+∞ 时 2x+y→+∞，无最大值，错；D：令 u=3x+y，消去 y 得 15x²−5ux+u²−1=0，由判别式 60−35u²≥0 得 u≤=，正确。 三、填空题（每题5分，共15分） 12．【答案】m=2 或 −2 或 3 解析：B⊆A 需要 m²∈A。m²=4 得 m=±2；m²=5m−6 即 (m−2)(m−3)=0 得 m=2、3。综上 m∈{−2，2，3}。（若允许 B 退化为单元素集合，即 m²=3，还含 m=±；按 B 为二元集合的通常口径不取。） 13．【答案】1 解析：令 a=x−2>0，b=2y+4>0。由 x+2y=2 得 a+b=4。原式=+==≥==1，当 a=b=2（x=4，y=−1）取等。 14．【答案】a≥−1 解析：原不等式即 a≥−2()²。令 t=，由 x∈[1,2]、y∈[2,3] 得 t∈[1,3]。f(t)=t−2t² 在 [1,3] 上递减，最大值 f(1)=−1，故 a≥−1。 四、解答题（共77分） 15．（15分） 解：B 中 x²−12x+20=(x−2)(x−10)<0，故 B={x|2<x<10}。 （1）A={x|3≤x<7}，A⊆B，故 A∪B={x|2<x<10}。 （2）∁R A={x|x<3 或 x≥7}，故 (∁R A)∩B={x|2<x<3}∪{x|7≤x<10}。 （3）C={x|x<a}，A∩C≠∅ 需要 a>3（a=3 时 C 与 A 不相交），即 a∈(3，+∞)。 16．（15分） 解：Q：|x−1|<1 即 0<x<2，Q=(0,2)。 （1）<0 的两根为 x= 与 x=−1。由 P=(−∞,−1)∪(−,+∞) 知 =−，故 a=−2。 （2）“x∈Q”是“x∈P”的充分不必要条件，即 Q⊆P。当 x∈(0,2) 时 x+1>0，需 ax−1<0 恒成立：a≤0 时恒成立；a>0 时需 2a≤1，即 a≤。综上 a∈(−∞，]。此时 P 均含有 Q 以外的元素，满足“不必要”。 17．（15分） 解：设中心正方形边长 AD=x，阴影小矩形突出宽度为 a。由四个小矩形与一个正方形面积共 200，得 4xa+x²=200，即 a=，且 0<x<。 四个角为全等的直角等腰三角形，草坪总面积=4×()a²=2a²。 （1）S=4200x²+210·4xa+80·2a²=4200x²+840xa+160a²。 代入 4xa=200−x² 与 a=，化简得： S=4000x²++38000，x∈(0，)。 （2）由基本不等式 4000x²+≥=80000，当 4000x²= 即 x⁴=100、x= 取等。 故 x= 米时 S 最小，Smin=80000+38000=118000 元。 18．（15分） 解：y=x²+ax+a，对称轴 x=−。 （1）y>0 恒成立，需 Δ=a²−4a=a(a−4)<0，故 0<a<4。 （2）在 0≤x≤1 上： ① −≤0（a≥0），最小值 f(0)=a，令 a=，得 a=1； ② 0<−<1（−2<a<0），最小值 a−a，令其等于 ，得 2a²+a−1=0，a=−1（在区间内）； ③ −≥1（a≤−2），最小值 f(1)=1+2a，解得 a=−，不满足 a≤−2，舍去。 综上 a=1 或 a=−1。 （3）方程即 a=−x，x∈[1,2]。令 h=x，h′=x²>0，h 递增，h∈[，]，故 a=−h∈[−，−]。 19．（17分） 解：“等差集”即存在三个不同元素 x、y、z 使 x+z=2y。 （1）A={2,3,4,6} 中成等差的三元组为 {2,3,4}（公差1）与 {2,4,6}（公差2）；含其中任一的四元集合也满足。故所有 B 为： {2,3,4}；{2,4,6}；{2,3,4,6}。 （2）记三元素 a=5−m²、b=1+m、c=2m²−3。令 b 为等差中项：a+c=2b，得 m²−2m=0，m=0 或 m=2。 m=0 时集合为 {5,1,−3}，m=2 时集合为 {1,3,5}，三元素均互异且成等差，故 m=0 或 2。 （注：若令 a 或 c 为中项，另解得 4 个无理数 m，数学上亦使三元素互异成等差；按本题命题的整数口径取 m=0、2。） （3）证明（反证法）：设 x≥2 为正整数，假设 {x,x²,…,xⁿ} 是等差集，则存在 i<j<k 使 2xʲ=xⁱ+xᵏ。除以 xⁱ 得 2xᵖ=1+xᵠ，其中 p=j−i≥1，q=k−i>p。因 x≥2、q−p≥1，有 xᵠ=xᵖ·xᵠ⁻ᵖ≥2xᵖ，故 1+xᵠ>2xᵖ，与 2xᵖ=1+xᵠ 矛盾。因此该集合不是“等差集”。 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉兴高级中学2026学年第一学期第一次教学调研 高一年级数学试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， 3．已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设，已知，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 5．已知函数，则的定义域是（ ） A． B． C． D． 6．若“”是“”的一个充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A．或 B．或 C． D． 7．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，．若，则下列说法正确的是（ ） A． B．函数的值域为 C．函数是增函数 D．当时， 8．用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合．则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 10．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为或 D． 11．下列说法正确的有（ ） A．的最小值为2 B．已知，则的最小值为 C．若实数，为正数，若，则的最大值为3 D．设，为实数，若，则的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知集合，，若，则实数_________． 13．已知，，，则的最小值为_________． 14．若对任意且，不等式恒成立，则实数的取值范围是_________ 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题15分）已知集合，，． （1）求； （2）； （3）若，求的取值范围． 16．（15分）已知关于的不等式的解集为，不等式的解集为． （1）若，求的值； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17．（15分）某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米．计划在正方形上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米80元． （1）设长为米，总造价为元，试建立关于的函数关系式； （2）当为何值时最小，并求出这个最小值． 18．已知二次函数． （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，函数的最小值为，求实数的值； （3）若，，使得关于的方程有解，求实数的取值范围． 19．设是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，，，使得，则称为“等差集”． （1）若集合，，且是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的； （2）若集合是“等差集”，求的值； （3）已知正整数，证明：不是“等差集”． 学科网（北京）股份有限公司 $