精品解析：浙江省绍兴鲁迅中学2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试题

高一年级数学学科十月阶段测试 命题：金晓江 复核：叶正茂 考生须知： 1、本卷共4大题，22小题，满分150分，时间120分钟. 2、请将学校、班级、姓名分别填写在答卷纸相应位置上，本卷答案必须做在答卷相应位置上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（　　） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 2018年11月5日至10日，首届中国国际进口博览会将在国家会展中心上海举办，很多外国车企都积极参与会展下列进口车的车标经过旋转后可以看成函数图象的是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 如果且，则的值为（ ） A. 1012 B. 2024 C. 1013 D. 2026 6. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若存在，使得不等式成立，则实数的最大值为（　　） A. B. C. 2 D. 4 8. 定义：表示中的较大者．若函数在区间上的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（   ） A. 若函数的定义域是，则函数的定义域是 B. 与是同一函数 C. 已知函数，则 D. 函数的值域为 10. 已知正数，满足，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. D. 11. 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好，则（    ） A. 若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少应该为 B. 若窗户面积和地板面积在原来基础上都增加了，公寓采光效果会变好 C. 若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果会变好 D. 若同时增加窗户面积和地板面积，且增加的地板面积是增加的窗户面积的8倍，公寓采光效果一定会变差 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递减区间是______. 13. 已知，，设，则的取值范围是______. 14. 若集合，满足，则称为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当时，与为集合A的同一种分拆，则集合的不同分拆种数是______ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）若，求和； （2）若，求实数的取值范围. 16. 记集合. （1）若，求集合； （2）若，求集合； （3）若集合中有且仅有一个整数，求的取值范围. 17. 已知函数，. （1）当时，求； （2）当时，求的解析式； （3）求方程的解. 18. 2024苏州足球邀请赛组委会为保障赛事后勤服务，购进一套移动餐饮服务车，用于为赛场观众和工作人员提供餐饮.该服务车初始购置费用为36万元，预计从第1年到第年（），花在该服务车上的维护费用总计为万元（为使用年数）.该服务车每年可为赛事提供餐饮服务，稳定获得收入24万元. （1）该服务车使用几年后开始盈利？（即总收入减去初始购置费用及维护费用之差为正值） （2）若该服务车使用若干年后，组委会计划处理该设备，有两种方案： ①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.哪一种方案较为合算？请说明理由. 19. 已知关于的方程的两个根为，. （1）若，且，求，的值； （2）若，求的最小值； （3）若，证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级数学学科十月阶段测试 命题：金晓江 复核：叶正茂 考生须知： 1、本卷共4大题，22小题，满分150分，时间120分钟. 2、请将学校、班级、姓名分别填写在答卷纸相应位置上，本卷答案必须做在答卷相应位置上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，再根据集合的交集运算即可得答案. 【详解】集合，， 则. 故选：C. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断得解. 【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以命题“，”的否定是，. 故选：C 3. 2018年11月5日至10日，首届中国国际进口博览会将在国家会展中心上海举办，很多外国车企都积极参与会展下列进口车的车标经过旋转后可以看成函数图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义即可判断. 【详解】对于A，B，C车标，当旋转后，一个x的值有多个y值与之对应,，B，C车标不可以看成函数图象. 故选D． 【点睛】本题考查了函数定义和图象关系，是基础题 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【详解】即为即，故， 故解集为. 故选：C. 5. 如果且，则的值为（ ） A. 1012 B. 2024 C. 1013 D. 2026 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知得到，结合目标式求值即可. 【详解】因为，所以，又，所以， 则. 故选：D 6. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用举反例及充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则成立； 若，取，则不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 7. 若存在，使得不等式成立，则实数的最大值为（　　） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用参变分离可得，分和两种情况求解即可. 【详解】由，可得，所以， 当时，； 当时，， 当且仅当，即时取等号， 综上所述：实数的最大值为. 故选：A. 8. 定义：表示中的较大者．若函数在区间上的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先令求出交点，根据交点结合已知定义分段讨论得出解析式，再利用函数在区间上的值域为讨论得出的取值范围． 【详解】令，解得或1， 当时，，； 当时，，； 当时，，． 所以， 函数在上单调递增，在上单调递减，，，， 因为函数在区间上的值域为， 所以， 当时，函数在上的值域为， 为保证在上的值域仍为，需在上满足，即。 故， 则的取值范围是． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（   ） A. 若函数的定义域是，则函数的定义域是 B. 与是同一函数 C. 已知函数，则 D. 函数的值域为 【答案】BC 【解析】 【分析】由复合函数定义域可判断A，由函数概念可判断B，由代入法可求C，由二次函数可判断D． 【详解】对于A：因为的定义域是，即，可得， 对于函数，有，解得. 即函数的定义域是，故A错误； 对于B，由于，故B正确； 对于C：由， 令即，所以，故C正确； 对于D：由， 所以函数的值域为，故D错误． 10. 已知正数，满足，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式的概念及性质，对各个选项逐一分析即可求解. 【详解】已知正数，满足，逐一分析选项： 对于选项A，由基本不等式，对正数，有，当且仅当时取等号，故A正确； 对于选项B，利用不等式变形，结合A中， 可得，即，当且仅当时取等号，故B正确； 对于选项C，，由得， 即，与选项中矛盾，故C错误； 对于选项D，将 代入原式得：， 将 变形为 ，代入得： 原式， 对于正数 ，由基本不等式得：， 因此原式 ，当且仅当 即 ， 结合 得 时等号成立，故D正确. 11. 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好，则（    ） A. 若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少应该为 B. 若窗户面积和地板面积在原来基础上都增加了，公寓采光效果会变好 C. 若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果会变好 D. 若同时增加窗户面积和地板面积，且增加的地板面积是增加的窗户面积的8倍，公寓采光效果一定会变差 【答案】AC 【解析】 【分析】设该公寓窗户面积为x，依题意列出不等式组求解可判断A；记窗户面积为a和地板面积为b，同时根据BCD设增加的面积，表示出增加面积前后的比值作差比较即可判断BCD． 【详解】对于A，设该公寓窗户面积为，则地板面积为，依题意，， 解得，因此这所公寓的窗户面积至少为，A正确； 对于B，记窗户面积为a和地板面积为b，窗户增加的面积为，地板增加的面积为， 而，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，公寓采光效果不变，B错误； 对于C，记窗户面积为a和地板面积为b，同时增加的面积为c，， 增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 则，而， 于是，即， 同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了，C正确； 对于D，记窗户面积为a和地板面积为b，窗户增加的面积为c，地板增加的面积为， 而，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 则， 若，则； 若，则； 若，则， 因此无法判断公寓的采光效果是否变差了，D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递减区间是______. 【答案】 【解析】 【分析】通过分段去绝对值的方式分析该函数的单调性，从而得解. 【详解】当时，，因此，这是斜率为1的一次函数，在该区间上单调递增； 当时，，因此，这是斜率为-1的一次函数，在该区间上单调递减. 因此函数的单调递减区间是. 13. 已知，，设，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用，再根据条件，即可求解. 【详解】设，所以， 解得，，所以. 又，所以①. 又，所以②， ①+②可得， 故答案为：. 14. 若集合，满足，则称为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当时，与为集合A的同一种分拆，则集合的不同分拆种数是______ ． 【答案】27. 【解析】 【分析】考虑集合为空集，有-个元素，2个元素，和集合A相等四种情况，由题中规定的新定义分别求出各自的分析种数，然后把各自的分析种数相加，即可得到结果． 【详解】当时必须，分析种数为1； 当有一个元素时，分析种数为； 当有2个元素时，分析总数为； 当时，分析种数为． 所以总的不同分析种数为． 故答案为：27． 【点睛】(1)解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算． (2)以集合为载体的新定义问题，是创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）若，求和； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用一元二次不等式的解求出集合，再利用交集、并集的定义求解即可； （2）利用补集和集合间关系求解即可. 【小问1详解】 由得或， 所以或， 当时，， 所以，或. 【小问2详解】 由（1）得或，所以， 因为，所以解得或解得， 综上实数的取值范围为. 16. 记集合. （1）若，求集合； （2）若，求集合； （3）若集合中有且仅有一个整数，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，集合； 当时，集合； 当时，集合. （3） 【解析】 【分析】（1）将代入，对一元二次不等式求解即可. （2）对因式分解，由，分情况讨论即可. （3）由集合中有且仅有一个整数，可知，再由，进行计算即可. 【小问1详解】 当时，， 所以集合 【小问2详解】 由不等式，得， 因为，所以当时，，解得或. 当时，由不等式，解得. 当时，，解得或. 综上，当时，集合； 当时，集合； 当时，集合. 【小问3详解】 因为集合中有且仅有一个整数，所以， 所以集合， 所以，解得， 所以的取值范围为. 17. 已知函数，. （1）当时，求； （2）当时，求的解析式； （3）求方程的解. 【答案】（1）； （2） （3）或. 【解析】 【分析】（1）代入解析式即可求解；（2）分类讨论，分别求出当时，当时和当时对应的解析式，即可求解；（3）分别求出和，即可求解. 【小问1详解】 当时，，所以；，所以； 所以； 【小问2详解】 当时，，所以；，所以； 所以； 当时，由（1）知，； 当时，，所以；，所以； 所以. 综上所述： 【小问3详解】 因为，所以. 当时，； 当时，； 所以，关于x的方程即为 解得：或. 18. 2024苏州足球邀请赛组委会为保障赛事后勤服务，购进一套移动餐饮服务车，用于为赛场观众和工作人员提供餐饮.该服务车初始购置费用为36万元，预计从第1年到第年（），花在该服务车上的维护费用总计为万元（为使用年数）.该服务车每年可为赛事提供餐饮服务，稳定获得收入24万元. （1）该服务车使用几年后开始盈利？（即总收入减去初始购置费用及维护费用之差为正值） （2）若该服务车使用若干年后，组委会计划处理该设备，有两种方案： ①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.哪一种方案较为合算？请说明理由. 【答案】（1）3年 （2） 该车运输若干年后，处理方案有两种： ①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出， ，当且仅当时，取等号， 方案①最后的利润为：（万） ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出， ， 时，利润最大为， 方案②最后的利润为（万）， 两个方案的利润都是53万，按照时间成本来看， 第一个方案更好，因为用时更短，方案①较为合算. 【解析】 【分析】（1）根据盈利列不等式，由此求得开始盈利的年份. （2）①利用基本不等式进行求解，并求得最后的利润；②利用二次函数的性质进行求解，并求得最后的利润.比较两个方案最后的利润，从而选择合算的方案. 【小问1详解】 由题意可得，即， 解得， ，该车运输3年后开始盈利； 【小问2详解】 略 19. 已知关于的方程的两个根为，. （1）若，且，求，的值； （2）若，求的最小值； （3）若，证明：当时，. 【答案】（1）， （2） （3） 因为， 所以，，所以， 即， 因为， 因为，所以，，，所以， 所以，即证得， 所以，当时，. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，结合条件确定，的值； （2）由，根据根与系数的关系将转化为关于的二次函数从而得最值；或者转化为关于的二次函数，从而求得最值； （3）根据根与系数的关系及不等式的性质求证即可. 【小问1详解】 由题意，，，且， 时，，所以， ， 所以，所以，； 【小问2详解】 法一：因为， 所以， 所以时，的最小值等于，此时. 法二：因为，，， 所以，， 所以， 当时，的最小值等于， 此时，，方程为有两个根. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $