第五章 一元一次方程章末专题新定义运算与规律探究专项训练 2026-2027学年人教版数学七年级上册

七年级数学（人教版）第五章 一元一次方程章末专题 新定义运算与规律探究 新定义题型的本质是“法则迁移与方程转化”。题目给出一种陌生的运算法则、符号定义或几何/代数概念（如高斯函数取整、差解方程、关联点方程、奇异方程、数字友好数等），解题的核心要求是：读懂新规则 将新符号翻译为一元一次方程标准形式 运用等式基本性质规范求解。规律探究题型的本质则是“归纳、猜想、建模与验证”，通过观察数式、图形或循环数列的变化特征，建立方程求解特定项或序数。 ①“新定义翻译法”：严格对照新规则逐步去符号化，转化为常规的整式加减与一元一次方程运算，切忌凭主观经验随意臆造运算法则；②“规律方程建模法”：由特殊到一般，归纳出第 个数（或图形点数、循环周期）的通项代数式，再令该代数式等于已知目标值，建立一元一次方程求解未知项的位置序号。 专题一 符号新定义与一元一次方程求解转化模型；专题二 方程根的特殊性质（差解方程、倍和方程、和解方程）新定义模型；专题三 数轴动点与方程“解点/平衡方程”几何新定义模型；专题四 高斯取整函数 与方程整解探究模型；专题五 数式排列、数阵循环与数列方程规律探究模型；专题六 图形点阵递增、拼图分割与规律方程建模压轴题。 专题一：符号新定义与一元一次方程求解转化 【考点导引】 符号新定义是指定义一种新的双元代数运算规则（如 、、 等）。解题通法：严格按照题目给出的新定义表达式，将原式中的前后位置未知数与常数对号入座，去符号后展开合并同类项，化为一元一次方程标准形式 求解。 1．【教材改编·人教版七上第三章一元一次方程新题型】对于任意有理数 和 ，定义一种新运算“”：．例如：． （1）计算 的值； （2）求关于 的方程 的解； （3）求关于 的方程 的解； （4）探究：是否存在常数 ，使得关于 的方程 的解与 的取值无关？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 2．【教材改编·华东师大版七上第三章代数运算新定义题】对于任意两个有理数 和 ，定义一种新运算“”：（其中 为常数）．已知 且 ． （1）分别求出常数 和 的值； （2）求关于 的方程 的解； （3）求关于 的方程 的解； （4）若关于 的方程 有无数个解，求常数 的值． 3．【教材改编·北师大版七上第五章新运算综合题】定义一种新运算“”：对任意有理数 ，规定 ． （1）计算 的值； （2）求关于 的方程 的解； （3）化简代数式 ，并说明其值与 的取值是否有关； （4）若关于 的方程 无解，求常数 的值． 4．【中考创新·非对称新运算与复合方程】对于任意实数 ，定义双重运算规则：，． （1）计算 的值； （2）求关于 的方程 的解； （3）求关于 的方程 的解； （4）若关于 的方程 的解是 ，求常数 的值． 专题二：方程根的特殊性质（差解方程、倍和方程、和解方程）新定义 【考点导引】 方程解的新定义题型是指人为定义一类具有特定解特征的方程（如“差解方程”满足解等于系数之差；“倍和方程”满足方程的解等于两系数之和等）。解题核心：①由新定义列出方程的解满足的约束关系；②解出含参数的一元一次方程得到 的表达式；③建立关于待定参数的方程并求解。 5．【教材改编·人教版七上第三章方程解的定义综合题】我们规定：若关于 的一元一次方程 （）的解为 ，则称该方程为“差解方程”．例如：方程 的解为 ，且 ，故 是差解方程． （1）通过计算判断方程 是否是差解方程； （2）若关于 的一元一次方程 是差解方程，求常数 的值； （3）若关于 的一元一次方程 是差解方程，求常数 的值； （4）探究：若一元一次方程 （）是差解方程，求代数式 的值． 6．【教材改编·浙教版七上第五章新概念方程探究题】阅读下列材料：小东同学在解一元一次方程时，发现方程 的解为 ，而该方程一次项系数与常数项之和为 ．小东将满足“关于 的方程 （）的解为 ”的方程定义为“倍和方程”． （1）判断方程 是否为“倍和方程”并说明理由； （2）已知关于 的方程 是“倍和方程”，求常数 的值； （3）已知关于 的方程 是“倍和方程”，求常数 的值及此时方程的解； （4）若方程 是“倍和方程”，求常数 的值． 7．【教材改编·苏科版七上第四章和解方程探究题】定义：若一个关于 的一元一次方程的解等于该方程中所有常数项（不含未知数的项）之和，则称该方程为“和解方程”．例如：方程 的常数项为 和 ，其和为 ，而方程的解为 ，故不是和解方程；方程 的常数项和为 ，方程的解为 ，故 是和解方程． （1）判断方程 是否为和解方程； （2）已知关于 的方程 是和解方程，求常数 的值； （3）已知关于 的方程 是和解方程，求常数 的值； （4）若方程 是和解方程，求常数 的值及该方程的解． 8．【中考创新·双方程互为衍生方程压轴题】对于两个关于 的一元一次方程：方程① （）与方程② （），若方程①的解比方程②的解大 ，则称方程①为方程②的“后继方程”． （1）已知方程 的后继方程为 ，求常数 的值； （2）已知方程 是方程 的后继方程，求常数 的值； （3）若方程 是方程 的后继方程，求常数 的值； （4）若方程 与方程 互为后继方程（即其中一个方程是另一个的后继方程），求常数 的所有可能值． 专题三：数轴动点与方程“解点/平衡方程”几何新定义模型 【考点导引】 数轴几何新定义将数轴上的点与一元一次方程的解结合。解题通法：①先解方程求出方程的解，确定数轴上对应点的坐标；②根据数轴上两点间距离公式 及线段中点公式列出几何等量关系；③将几何条件转化为含有参数或绝对值的一元一次方程求解。 9．【教材改编·人教版七上第一、三章数轴与方程结合题】规定：在数轴上，若一个点表示的数是关于 的一元一次方程的解，则称这个点为该方程的“解点”．例如：方程 的解为 ，则数轴上表示数 的点是该方程的“解点”． （1）数轴上表示数 的点是方程 的“解点”，求常数 的值； （2）若点 是方程 的解点，点 是方程 的解点，求线段 的长度； （3）已知点 是方程 的解点，点 是方程 的解点，若线段 ，求常数 的值； （4）在（3）的条件下，若点 为线段 的中点，求点 在数轴上表示的数． 10．【教材改编·华东师大版七上数轴新定义探究题】规定：数轴上两点 分别表示数 ，若关于 的一元一次方程的解恰好是线段 的中点所表示的数，则称该方程为线段 的“平衡方程”． （1）数轴上点 表示数 ，点 表示数 ，求线段 的平衡方程 中 的值； （2）数轴上点 表示数 ，方程 是线段 的平衡方程，求点 表示的数； （3）若方程 是表示数 和数 两点间的平衡方程，求常数 的值； （4）数轴上点 表示数 ，点 沿数轴以每秒 个单位匀速向右运动，运动 秒后点 到达的位置对应的数为方程 的解，若最初点 表示数 ，求运动时间 ． 11．【教材改编·北师大版七上数轴特征点拔高题】在数轴上，对于任意两点 （分别表示数 ），定义它们之间的“调和距离”为 ．已知点 表示数 ，点 表示数 ． （1）求点 之间的调和距离 的值； （2）若点 表示正数 ，已知 （ 为原点），求关于 的方程并解出 的值； （3）若数轴上动点 表示的数 是方程 的解，且满足 ，求常数 的所有可能值； （4）探究：若关于 的方程 的所有解在数轴上构成一条线段，求这条线段的长度． 12．【中考创新·数轴折叠与特征值方程压轴题】如图，将一条数轴折叠，使得数轴上的点 （表示数 ）折叠后与点 （表示数 ）重合，重合的对称中心点为点 （表示数 ）． （1）若点 表示数 ，求点 折叠后重合的点 表示的数； （2）用含 的代数式表示点 对应的数 ； （3）若点 表示的数 满足方程 ，求点 表示的数； （4）若点 重合后，两点之间的原距离（折叠前在数轴上的距离）恰好等于方程 的正解，求点 和点 分别表示的数． （第 12 题） 专题四：高斯取整函数[x]与方程整解探究模型 【考点导引】 高斯取整函数 表示不超过实数 的最大整数，其核心性质：，且 （其中 为整数， 为非负小数部分且 ）。解题通法：由于 必须是整数，常设 （ 为整数），将方程化为含未知数的整式求解并检验范围。 13．【概念引入·高斯函数取整基础题】一般地，我们把不超过数 的最大整数称为 的整数部分，记作 ．例如：，，，． （1）直接写出计算结果： ______， ______， ______； （2）求关于 的方程 的解的取值范围； （3）求关于 的方程 的解； （4）若关于 的方程 ，求满足条件的所有实数 的值． 14．【教材改编·浙教版七上实数与取整方程题】已知实数 满足方程 （其中 表示不超过 的最大整数）． （1）设 （ 为整数），用含 的代数式表示 ； （2）利用不等式 ，求出整数 的取值范围； （3）确定满足条件的整数 的所有可能值； （4）求原方程的所有解 ． 15．【教材改编·苏科版七上取整函数拔高题】设实数 满足方程 （其中 表示不超过 的最大整数）． （1）若 ，计算 的值，并判断 是否为该方程的解； （2）若 ，计算 的值，并判断 是否为该方程的解； （3）利用 的性质，通过分类讨论确定整数 的取值； （4）求满足方程 的所有实数 的取值范围． 16．【中考创新·小数部分与连续取整方程压轴题】我们把数 的小数部分记作 ，即 ，显然满足 ．例如：，． （1）计算： ______， ______； （2）求关于 的方程 的解（其中已知 ）； （3）解关于 的方程：（求出所有满足条件的实数 的值）； （4）若实数 满足 且 ，求代数式 的值． 专题五：数式排列、数阵循环与数列方程规律探究模型 【考点导引】 数式与数阵规律探究题通过观察一组有序数或数阵的符号、分子、分母或位置变化提炼规律。解题核心：①观察数列项的符号规律（常用 或 表示正负交替）；②分析各项绝对值的递增通项公式（如公差为 的等差型通项 ）；③将目标数值代入通项方程求解项数序号 。 17．【教材改编·人教版七上第二章整式与方程结合题】观察下面一列数：．记第一个数为 ，第二个数为 ，……，第 个数为 ． （1）写出这列数的第 个数 与第 个数 ； （2）用含正整数 的代数式表示第 个数 ； （3）若这列数中的第 个数满足方程 ，求正整数 的值； （4）求这列数前 个数的和：． 18．【教材改编·华东师大版七上数式规律拔高题】已知一组按规律排列的分数：． （1）写出这组分数的第 个数和第 个数； （2）用含正整数 的式子表示第 个数； （3）若这组数中有一个数的值为 ，求这个数是第几个数； （4）若第 个数的绝对值与其后一个数的绝对值之差满足方程 （即 ），求正整数 的值． 19．【教材改编·北师大版七上数阵规律探究题】如图是一个按规律排列的数阵： 第 行： 第 行： 第 行： 第 行： …… （1）求第 行的第一个数和最后一个数； （2）求前 行一共有多少个数（用含 的代数式表示）； （3）求第 行的第一个数； （4）若数 落在第 行的第 个位置，求正整数 和 的值． 20．【中考创新·分组周期序列与方程解匹配】已知一列有序数：，该数列将数字 连续重复书写 次． （1）数字 在这列数中共出现多少次？ （2）求前 组数字（即数字 到数字 全部写完）一共有多少个数； （3）若第 个数表示的数是方程 的解，求 的取值范围； （4）求这列数中的第 个数是多少． 专题六：图形点阵递增、拼图分割与规律方程建模压轴题 【考点导引】 图形点阵规律压轴题考查由几何图形变化构建代数模型的能力。解题核心：①将第 个图形的点数（或边长、火柴棒数、小正方形数）列表记录；②分析前后项差值的规律，确定与序号 相关的整式通项公式；③令通项公式等于已知总量，列出一元一次方程求解图形序号 。 21．【教材改编·人教版七上第二章整式与图形结合题】如图是用火柴棒摆成的一排正方形图案： 摆 个正方形需要 根火柴棒； 摆 个正方形需要 根火柴棒； 摆 个正方形需要 根火柴棒；…… （1）摆 个正方形需要多少根火柴棒？摆 个正方形需要多少根火柴棒（用含 的代数式表示）？ （2）若某同学手中有 根火柴棒，全部用完能摆成多少个正方形？ （3）若摆成 个正方形所需的火柴棒数恰好是方程 的解，求正整数 的值； （4）若每根火柴棒长 厘米，求摆成 个连续正方形图案的外围周长． 22．【教材改编·浙教版七上点阵图案探究题】如图是用棋子摆成的三角形点阵图案： 第 个图案有 颗棋子； 第 个图案有 颗棋子； 第 个图案有 颗棋子；…… （1）第 个图案共有多少颗棋子？第 个图案共有多少颗棋子（用含 的代数式表示）？ （2）若某个图案中共有 颗棋子，求这是第几个图案； （3）若某个图案的棋子总数是关于 的方程 的解，求这是第几个图案； （4）若从第 个图案一直摆到第 个图案，一共需要多少颗棋子？ 23．【中考创新·数位特征与新定义数字方程】阅读材料：一个三位正整数 ，各个数位上的数字互不相同且都不为 ．若它的十位数字等于百位数字与个位数字的和，则称这样的三位数为“和平数”．例如： 中，十位数字 ，故 是“和平数”； 中，十位数字 ，故 是“和平数”． （1）直接判断： 和 是否是“和平数”； （2）求十位数字是 的所有“和平数”的个数，并列举出来； （3）若一个十位数字为 的“和平数”，其百位数字比个位数字大 ，求该“和平数”的值； （4）探究：所有“和平数”中，能否被 整除？请通过列代数式说明理由． 24．【类比探究·三步递进开放压轴题】 （1）【初步感知】观察下列等式： 第 个等式： 第 个等式： 第 个等式： …… 请写出第 个等式（用含正整数 的式子表示），并说明其成立的理由； （2）【类比应用】若连续两个奇数的乘积等于 ，设较小的奇数为 ，利用上述规律构造方程求出这两个连续奇数； （3）【拓展深化】已知一列数 满足递推关系：，且对于任意正整数 ，都有关于 的方程 恒成立． ① 求 的值，并归纳出 的通项表达式（用含 的式子表示）； ② 若该数列中的第 项恰好满足方程 ，求正整数 的值； ③ 求代数式 的值． 参考答案与解析 1．解：（1）根据新定义运算法则： ． （2）由题意得：． 方程为 ． （3）由题意得：． 方程为 ． （4）不存在．理由如下： 左边 ； 右边 ． 方程整理得：． 要使解与 的取值无关，需一次项系数为 且常数项为 ； 但右边常数项为 ，故不存在这样的常数 ． 2．解：（1）根据题意代入新定义得： ． 两式相加得 ；两式相减得 ． 解得 ． 此时新运算法则为 ． （2）． 由 ． （3）左边 ； 右边 ． 由 ． （4）．方程为 ． 整理得 ．要使方程有无数个解，需 ． 3．解：（1）． （2）． 由方程 ． （3）． 化简结果为常数 ，不含变量 ，故其值与 的取值无关． （4）左边 ； 右边 ． 整理方程得：． 要使方程无解，需一次项系数为 ，即 ． 4．解：（1）； ． ∴ ． （2）． 由 ． （3）． ． 由 ． （4）将 代入方程得：． 左边 ；右边 ． 由 ． 5．解：（1）解方程 得 ． 系数差 ，解与系数差不相等，故 不是差解方程． （2）解方程 得 ． 由差解方程定义得：． 去分母得 ． （3）解方程 得 ． 系数差为 ． 由 （若取整设题 ）． （4）∵ 是差解方程，∴ 其解为 ． 将 代入原方程得 ． 移项得 ． 6．解：（1）解方程 得 ． 一次项系数与常数项之和为 ． 方程的解恰好等于 ，故是“倍和方程”． （2）对于方程 ，． 由“倍和方程”定义，该方程的解为 ． 将 代入方程得：． （3）对于方程 ，，故解为 ． 代入方程得 ． 此时方程的解为 ． （4）对于方程 ，，常数项为 ，故解为 ． 代入方程得 （对应原常数项为 ）． 7．解：（1）解方程 得 ． 常数项之和为 ，解不等于常数项之和，故不是和解方程． （2）方程 的常数项之和为 ． 由和解方程定义，方程的解为 ． 将 代入原方程得：． （3）方程 的常数项之和为 ． 由和解方程定义，解为 ． 代入方程得 （若 则整系数 ）． （4）常数项之和为 ，故方程的解为 ． 将 代入方程得 ． 8．解：（1）解方程 得 ． 其后继方程的解应为 ． 将 代入 得 ． （2）解方程 得 ． 后继方程 的解为 ． 将 代入得 ． （3）解方程 得 ． 后继方程的解为 ． 代入 得 ． （4）解方程 得 ． ① 若 是其后继方程，则其解为 ，； ② 若 是 的后继方程，则 的解为 ，． 综上所述，常数 的值为 或 ． 9．解：（1）数轴上表示数 的点是解点，将 代入方程得： ． （2）解方程 得 ，故点 表示数 ； 解方程 得 ，故点 表示数 ． 线段 ． （3）解方程 得 ，故点 表示数 ． 解方程 得 ，故点 表示数 ． 由两点间距离 得：． ① ； ② ． （4）当 时，点 表示数 ，中点 表示的数为 ； 当 时，点 表示数 ，中点 表示的数为 ． 10．解：（1）线段 的中点表示的数为 ． 将 代入平衡方程 得：． （2）解方程 得 ． 设点 表示数为 ，则线段 中点为 ． （3）表示数 和数 的中点表示数为 ． 解方程 得 ． 由平衡方程定义得：． （4）解方程 得 ． 点 从 出发，向右运动后的位置表示数为 ． 由 （秒）． 11．解：（1）． ． （2）点 表示正数 ，原点为 ． ． 方程为 ，解得 ． （3）由 ． 解得 或 ． 解方程 得 ． ① ； ② ． （4）当 时， 恒成立， 该线段的两端点分别为 和 ，长度为 ． 12．解：（1）对称中心为点 ，根据中点公式：． （2）由 ． （3）解方程 得 ． 将 代入得 ，故点 表示数 ． （4）解方程 得 ，正解为 ． 两点原距离为 ，两点关于中心 对称，各距中心 个单位． ，． 答：点 和点 分别表示数 和 （或 和 ）． 13．解：（1）；；． （2）．根据定义得 ． （3）设 （ 为整数），方程化为 ． 根据定义有 ． 解得 ． ∵ 为整数，∴ 或 ． 当 时，；当 时，． （4）同理，，设 ，解得 或 ． 14．解：（1）设 （ 为整数），代入方程得 ． （2）由取整函数性质 得： ． 去分母同乘 得：． 由 得 ；由 得 ． 故整数 的取值范围为 ． （3）∵ 为整数，∴ 或 ． （4）当 时，； 当 时，． 检验：当 时，， 成立； 当 时，， 成立． 故原方程的解为 或 ． 15．解：（1）当 时，， ，故 不是方程的解． （2）当 时，， ，故 是方程的解． （3）设 （ 为整数），则 ，． 若 ，则 ，此时需 ． 由 得 ． 当 时， 恒成立，符合条件，故 ． （4）满足方程 的所有实数 的范围为 ． 16．解：（1）； ． （2）由 ． ∵ ，∴ ． ∴ ． （3）由 ，代入原方程得 ． ∵ ，∴ ． ∵ 为整数，∴ 或 ． ① 当 时，； ② 当 时，． 故方程的解为 或 ． （4）当 且 时，． ． 17．解：（1）这列数的符号正负交替，奇数项为正，偶数项为负，数值为序号数． ∴ ，． （2）第 个数可表示为 ． （3）解方程 得：． 在数列中，，因数值为负，必为偶数项，故序号 ． （4）两两分组求和： ． 18．解：（1）第 个数为 ，第 个数为 ． （2）这组分数的符号正负交替，分子为 ，分母为 ， 故第 个数表示为 ． （3）已知数值为 ，分子为 ，符号为负（对应偶数项），故这个数是第 个数． （4）根据绝对值之差化简得： ． 由题意得：． ∵ 为正整数，且连续两整数之积 ， ∴ ． 19．解：（1）前 行共有数的个数为 个， 故第 行第一个数是 ； 第 行共有 个数，最后一个数是 ． （2）前 行共有数的个数为 个． （3）前 行共有数的个数为 个， 故第 行的第一个数是 ． （4）当 时，前 行共有 个数； 当 时，前 行共有 个数． ∵ ，∴ 数 落在第 行． 该行第 个位置 ，故 ． 20．解：（1）数字 连续重复书写 次，故数字 在这列数中共出现 次． （2）前 组数字总个数为 个． （3）解方程 得：． 数字 是第 组数字．前 组共有 个数， 故第 组数字所在的位置为第 个到第 个，即 ． （4）前 组共有 个数；前 组共有 个数． 第 个数落在第 组中，故这列数中的第 个数是 ． 21．解：（1）摆 个正方形需要 根火柴棒． 摆 个正方形需要 根，每增加 个正方形增加 根火柴棒， 故摆 个正方形需要 根火柴棒． （2）根据题意列方程得：． 移项合并得：（个）． 答：全部用完能摆成 个正方形． （3）解方程 得：． 由题意得：． （4）摆成 个连续正方形图案外围由上下各 根、左右各 根火柴棒构成， 外围火柴棒总根数 （根）． 外围周长 （厘米）． 22．解：（1）第 个图案共有 颗棋子；第 个图案共有 颗棋子． （2）由题意列方程得：． 答：这是第 个图案． （3）解方程 （若设定解为 ）： 由 ． 答：这是第 个图案． （4）前 个图案所需棋子总数为： （颗）． 23．解：（1） 中，十位数字 ，故是“和平数”； 中，十位数字 ，故不是“和平数”． （2）十位数字是 ，需百位数字与个位数字之和为 ，且数字互不相同且均不为 ： （），（），（）， （），（），（）． 共有 个． （3）设百位数字为 ，个位数字为 ．由题意得： ，两式相加得 ，． 故该“和平数”为 ． （4）设“和平数”的百位数字为 ，个位数字为 ，则十位数字为 ． 该三位数可表示为：． ∵ 为正整数，∴ 必为正整数． 故所有的“和平数”都能被 整除． 24．解：（1）第 个等式为：． 理由：右边 左边，等式恒成立． （2）设两个连续奇数分别为 和 （ 为正偶数）． 由规律可列方程：． 化简得 ，因 ，故 ． 较小的奇数为 ，较大的奇数为 ． 答：这两个连续奇数分别为 和 ． （3）① 由方程 ． 已知 ，故 ；． 归纳出通项表达式为 ． ② 解方程 得：． 由题意得：． ③ ；． 代数式 ． 学科网（北京）股份有限公司 $