专题04 有理数运算中程序、古代、新定义型及规律探究问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 聚焦有理数运算四大综合题型，构建"通法指引-题型突破-压轴提升"三阶训练体系，强化运算能力与推理意识，培养数学应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1套通法|程序题步骤迭代/逆向倒推；古代题情境转算式；新定义题规则套用；规律题观察对应关系（等差/等比/周期）|以有理数运算为核心，从基础流程到情境应用，再到规则拓展与规律探究，形成递进逻辑| |四类题型|每题型1典例+3变式|程序题关注循环终止条件；古代题强化背景术语转化；新定义题明确运算优先级；规律题注重通项验证|题型与解法一一对应，典例覆盖陕西、山东等多地期末考法，变式训练提升迁移能力| |压轴挑战|14道综合题|综合运用四类方法，结合跨学科情境（如结绳计数、幻方）|对接中考命题趋势，通过高难压轴题突破思维上限，发展数学抽象与模型意识|

专题04 有理数运算中程序、古代、新定义型及规律探究问题的四类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、有理数运算中的程序问题 题型二、古代中的有理数运算问题 题型三、有理数运算中的新定义型问题 题型四、有理数运算中的规律探究问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涵盖按流程图计算、古代算术情境、自定义运算规则（如a※b）及数列/图表规律探究。 - 解题方法：程序题严格按步骤迭代；古代题转化为现代算式；新定义题即时套用规则；规律题观察序号与数值的对应关系（如等差、等比、平方、周期）。 - 易错提醒：程序题忽略循环终止条件致死循环；新定义中运算顺序与常规优先级混淆；规律题未验证前几项即下结论；古代题单位换算或背景术语理解偏差。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、有理数运算中的程序问题 典例1 （25-26七年级上·陕西汉中·期末）在如图所示的运算程序中，若开始输入的值是，则最终输出的结果是______． 【答案】29 【分析】根据运算程序列式计算，直至结果大于15即可． 【详解】解：若开始输入的值是， 则，返回继续运算， ，返回继续运算， ，返回继续运算， ，返回继续运算， ，输出结果． 题型模版 1.特征：按给定运算步骤（如输入→乘方→加减）求输出，或逆向求输入。 2.方法：按程序流程逐步计算；逆向则从结果倒推，用逆运算（加减互逆、乘除互逆）求解。 变式1-1（25-26七年级上·山东滨州·期末）有一个数值转换程序，其工作原理如下图所示： 若输入的值为1，则输出的结果为_____． 【答案】/ 【分析】考查了有理数的混合运算，程序流程图的理解，求代数式的值，严格遵循流程、准确计算是解题的关键．解题关键是弄清题意，根据题意把的值代入，按程序一步一步计算即可求得结果． 【详解】解：明确流程图的运算为，判断能否成立， 若成立，输出 y； 若不成立，将 y 作为新的 x 再次代入运算，直到满足条件， 将代入上式，得， 将代入上式，得，， 输出的结果为． 故答案为：. 变式1-2（25-26九年级上·四川成都·期末）小明同学设计了一种运算程序：输入正整数，则输出另一个正整数．具体程序如下：①若为偶数，则输出；②若为奇数，则输出．对正整数进行一次输入和输出称为对的一次变换，对第一次输出的再次输入和输出则称为对的二次变换，依此类推．例如，输入正整数，根据是偶数，对进行一次变换输出的数为；将再次输入，根据是奇数，对进行二次变换后输出的数为． （1）若输入正整数进行二次变换后输出的数为，则满足条件的的值为__________； （2）已知输入正整数，若对进行两次变换，这两次变换分别输出的两个数之积为，则正整数的值为__________． 【答案】 或 或 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算． (1)根据二次变换输出的数为，逆推第一次变换输出为，再逆推输入为或； (2)根据两次变换输出积为，推导第一次输出为，再逆推输入为或． 【详解】(1) 解：设第一次变换后输出的数为， 二次变换后输出的数为， 当为偶数时，， ， 当为奇数时，， ， 当为偶数时，， ； 当为奇数时，， ， 不符合题意，舍去； 故答案为：或； (2) 设第一次变换输出为，第二次变换输出为，则有， 若为偶数，则， 则有， 解得：， 或， 或； 若为奇数，则， ， 整理得：， 方程无整数解； 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 变式1-3（25-26六年级上·山东淄博·期中）在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品． 下面我们用四个卡片代表四名同学： A：乘2 B：减 C：平方 D：加6 (1)列式，并计算： ①经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？ ②5经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？ (2)探究：数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是13，a是多少？ 【答案】(1)①7；②206 (2)或 【分析】（1）①根据题目所给的运算顺序，列出算式进行计算即可； ②根据题目所给的运算顺序，列出算式进行计算即可； （2）根据题目所给的运算顺序，列出方程，根据平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：由题意知，， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 题型二、古代中的有理数运算问题 典例2 （25-26七年级上·山西运城·期中）我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家．在古代数学著作《九章算术》里，记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图1解释了算式“”的运算过程与结果．按照这种方法，图2可以解释算式“______”的运算过程与结果． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是理解图1表示的计算． 由图1可以看出白色表示正数，黑色表示负数，观察图2即可列式． 【详解】解：由图1知：白色表示正数，黑色表示负数，图2表示的过程应是． 故答案为：． 题型模版 1.特征：将古文或历史情境（如盈亏、赋税）转化为有理数运算，需理解背景。 2.方法：先翻译古文为现代数学语言，提取正负数，列式按运算规则计算，结果结合情境解释。 变式2-1（24-25七年级上·山东青岛·期中）名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”中的“筹”原意是指“算筹”，在我国古代的数学名著《九章算术》和《孙子算经》中都有记载．“算筹”是古代用来进行计算的工具之一，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，“算筹”的摆放有纵、横两种形式（如图①）．则图②中“算筹”表示的减法算式的运算结果为__________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法运算，根据“算筹”的意义，列式，然后计算即可作答． 【详解】解：依题意，图②中“算筹”表示的减法算式是， 则， 故答案为：． 变式2-2（25-26七年级上·湖北武汉·期中）不同进位制的数之间可以转换．例如：八进制数换算成十进制数是． (1)直接写出二进制数换算成十进制数的结果； (2)计算； (3)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，是一位书生在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，记录了他准备科举考试的学习天数，直接写出该书生努力学习的天数； (4)直接写出十进制数换算成八进制数的结果． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了含有乘方的有理数的混合运算，解决本题的关键是读懂题干中不同进位制的数之间的转换的计算方法，根据题干中的方法进行计算． 根据题干中提供的方法进行计算； 先把二进制数转化为十进制数进行计算，再把计算的结果转化二进制数； 根据题干中提供的方法把六进制转换十进制即可； 用短除法把十进制转换为八进制即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ， ， ； ， 如下图所示， ， ； （3）解： ， 答：书生努力学习的天数为天； （4）解：如下图所示， ． 变式2-3（25-26七年级上·广东中山·期中）新数学教材注重把古代数学经典问题古为今用． (1)如图1是中国古代“洛书”的一部分，洛书中用实心点或空心点的个数表示数字，纵、横、斜三条线上的三个数字，其和都相等，请求出右下角代表的数． (2)第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份．问：八进制2026换算成十进制是多少？（注：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）求出最左边的一列三个数字和，再结合纵、横、斜三条线上的三个数字，其和都相等，计算即可得解； （2）根据八进制换成十进制数的计算方法列式计算即可得解． 【详解】（1）解：纵、横、斜三条线上的三个数字，其和都相等， 最左边的一列三个数字和为， 右下角代表的数是； （2）解：八进制数3745换算成十进制数是， 八进制2026换算成十进制数是． 题型三、有理数运算中的新定义型问题 典例3 （25-26七年级上·吉林长春·期中）a，b为有理数，若规定一种新的运算“”，定义，请根据“”的定义计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)5 【分析】（1）根据题目中给出的信息列式计算即可； （2）根据题目中给出的信息列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型模版 1.特征：给出新的运算符号（如 \(a \oplus b\)），按定义规则求值，重理解与应用。 2.方法：将新定义转化为四则运算表达式，代入数值按括号和常规顺序计算，注意定义域限制。 变式3-1（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）新定义：妙想在学习完有理数的运算后，借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规定如下：对于任意有理数a，b，满足． (1)求的值； (2)求． 【答案】(1)6 (2)480 【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据定义的新运算进行计算，即可解答； （2）根据定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解：由题意得： ． 变式3-2（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）定义新运算：，如，计算下列各式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了新定义问题，有理数的乘方及加减运算，理解新定义运算是解题的关键； （1）根据新定义运算求解即可； （2）根据新定义先算，再算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：因为， 所以． 变式3-3（25-26七年级上·广东广州·期末）定义新运算：求若干个相同的有理数的除法运算叫做除方．记作，比如把记作，记作．特别地，规定． (1)根据除方的定义，可记作____________； (2)直接写出计算结果：____________； (3)计算：； (4)对于有理数时， ____________． 【答案】(1) (2)1 (3)33 (4) 【分析】本题主要考查了有理数运算的新定义及乘方运算，解题的关键是读懂题意，掌握新定义的计算法则，利用新定义计算． （1）根据题意，利用新定义计算即可． （2）根据题意，利用新定义计算即可． （3）根据题意，利用新定义计算即可． （4）根据题意，利用新定义计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：， 故答案为：1． （3）解：； （4）解：原式， 故答案为：． 题型四、有理数运算中的规律探究问题 典例4 （25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）观察下列各式，回答问题 ，，… 按上述规律填空： (1)________________． (2)计算：________． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，解题的关键是从最简单的情形入手，找出规律，利用规律简化计算的方法． （1）首先可以看出等号的左边是1减去几的平方分之一，计算的结果是1减去几分之一乘1加上几分之一，由此规律直接得出答案即可； （2）根据（1）中的规律计算即可． 【详解】（1）解：由题中前几个式子的规律得：， 故答案为：，； （2）解：由题意， ， 故答案为：． 题型模版 1.特征：观察一组算式结果，发现运算规律（如递推、周期），求第n项或证明结论。 2.方法：列举前几项，分析结构变化，用代数式表示通项，验证规律后代入求解或推广证明。 变式4-1（25-26七年级下·安徽亳州·期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)运用你发现的规律求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得第5个等式：； （2）解： ． 变式4-2（25-26七年级上·江苏镇江·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)计算：______； (3)利用你发现的规律计算值． 【答案】(1) (2)3025 (3)2800 【分析】本题考查数字类规律探究，理解题意，正确得出等式的变化规律并能灵活运用是解答的关键． （1）根据题干中给定的式子，写出第5个式子即可； （2）根据题目中的规律进行计算即可． （3）利用（2）中的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得：第五个式子为：． （2）解：由题意，得， 则 ． （3）解： ． 变式4-3（25-26七年级上·福建厦门·期中）研究下列式子，你能发现什么规律？ ，，，，， (1)第个式子是___________； (2)请用含（为正整数）的式子表示你发现的规律___________； (3)请用你所发现的规律解决下面的问题： 计算． 【答案】(1) ； (2) ； (3) ． 【分析】本题主要考查了数字的变化规律、有理数的混合运算． 根据题干中式子的变化规律写出第个式子； 根据中的规律写出第个式子； 根据中式子的变化规律可得：原式，再根据分数的乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：第个式子， 第个式子， 第个式子， 第个式子， ， 第个式子， 故答案为：； （2）解：由中的规律可知，第个式子为， 故答案为：； （3）解：由 . 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26七年级上·福建三明·期中）定义“”运算规则是，则的运算结果是（    ）． A． B． C．3 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，理解题目的新定义是解题的关键．根据定义的运算规则，直接代入和进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 2．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是多少？（     ） A． B．11 C． D． 【答案】A 【分析】明确运算规则为，判断条件为结果小于，若否则循环计算． 【详解】解：当输入时，， ∵， ∴需将重新代入计算， ∴当时，， ∵， ∴最后输出的结果为． 3．（25-26七年级上·山东滨州·期末）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，把绳子从右到左由细变粗且满进进行记录，那么从中可以判定孩子已经出生了（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】B 【分析】本题主要考查了八进制与十进制的转换，解题的关键是理解“满进”的计数规则．先确定八进制位权，从右到左分别为、、，提取各数位的结数，最后按八进制转十进制公式计算即可解答． 【详解】解：孩子的出生天数是（天）， 故选：． 4．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若按同样的规律填写图2，则的值是（   ） A． B．8 C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减、代数式求值，根据每个三角形的三个顶点上的数字之和相等得出，，，，再代入计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，，，， ∴． 故答案为：A． 二、填空题 5．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图是一个计算程序图，若输入x的值为4，则输出的结果是________． 【答案】36 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，程序流程图与有理数计算，观察题干的计算程序图，再结合输入的值为4，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故答案为：36． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）定义如下运算：，，根据定义计算的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解新运算是解题的关键；根据新定义的运算分别求出，再把两个值加减即可． 【详解】解：，， 则； 故答案为：． 7．（25-26七年级上·四川泸州·期中）第十四届国际数学教育大会（）会徽（如图）的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字，八进制数换算成十进制数是：，表示的举办年份，将八进制数换算成十进制数是______（提示：当时，）． 【答案】5200 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算法则．读懂题意，利用题目给出的换算法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·重庆长寿·阶段检测）问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式： ，，， （1）在等式中寻找规律，并利用规律计算：______． （2）数学活动小组的同学们对上述问题进行一般化研究之后，将分母中的两个因数的差改为3，并提出新的问题：______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握裂项相消法，是解题的关键： （1）利用裂项相消法进行计算即可； （2）利用裂项相消法进行计算即可． 【详解】解：（1）由给出的等式可知：； ∴ ； （2） ． 三、解答题 9．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）定义一种新运算： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2)1 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数的混合运算、新定义运算法则等知识点，理解新定义的运算规则是解题的关键． （1）直接理由新定义运算法则以及含乘方的有理数法则计算即可． （2）由（1）可得，将代入的计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：由（1）可得， 将代入可得： ． 10．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）对于有理数，定义一种新运算“”，规定． 例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题主要考查了新定义运算，以及有理数的混合运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）依据题意求解即可． （2）先计算，再计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 11．（25-26七年级上·广东江门·阶段检测）观察下列各式，你会发现什么规律？ ，… (1)请你按上述规律写出第5个等式______； (2)利用以上规律计算：的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． （1）观察已知所给各式即可得结论； （2）结合（1）的结论即可进行计算． 【详解】（1）观察已知各式可知：第5个等式是； （2） ． 12．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法⋯ (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是______； (2)【迁移】将十进制数“2298”转化为八进制数； (3)【应用】在古代，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 【答案】(1)22； (2)； (3)孩子已经出生的天数为42天． 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意列式计算，使结果为2298即可； （3）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解： ， 即将二进制数“10110”转化为十进制数是22， 故答案为：22； （2）解： ， 将十进制数“2298”转化为八进制数为； （3）解： （天）， 即孩子已经出生的天数为42天． 13．（25-26七年级上·江西上饶·期中）数学活动课上，小贤与小艺用如图所示的A，B，C，D四个圆分别代表一种运算，并再设计了一个在运算前的含的圆，依据这五个圆设计了数学游戏，每一步运算完成后再进行下一步运算．例如：小贤先输入一个有理数，再按的顺序运算，则可列算式． (1)当时，求算式的值． (2)若小艺输入的的值为2，再按的顺序运算，请求出运算结果． 【答案】(1)65； (2)． 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算． （1）先计算乘法，最后再计算加减法； （2）根据所给顺序进行运算即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）解：由题意得． 14．（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）阅读下列计算过程，发现规律，然后利用规律计算：   (1)利用上述规律计算： (2)计算： 【答案】(1)5151 (2) 【分析】本题考查了规律探索，有理数的混合运算，观察所给算式，得出运算的规律是解决问题的关键． （1）根据所给算式得出，然后代入计算即可； （2）利用规律对原式进行变形，然后计算即可． 【详解】（1）解：由题意得出规律：， ∴， 故答案为：5151； （2）解： ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04有理数运算中程序、古代、新定义型及规律探究问题 的四类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法， 夯实解题根基 题型一、有理数运算中的程序问题 题型二、 古代中的有理数运算问题 题型三、有理数运算中的新定义型问题 题型四、有理数运算中的规律探究问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 同解题通法一明晰核心解法，动力能力迁移 题型特征：涵盖按流程图计算、古代算术情境、自定义运算规则（如※b)及数列/图表规律探究。 解题方法：程序题严格按步骤迭代：古代题转化为现代算式：新定义题即时套用规则：规律题观察序号 与数值的对应关系（如等差、等比、平方、周期）。 ~易错提醒：程序题忽略循环终止条件致死循环：新定义中运算顺序与常规优先级混淆：规律题未验证前 几项即下结论：古代题单位换算或背景术语理解偏差。 夙题型归纳一精讲典型通法，本实解题根基 题型一、有理数运算中的程序问题 典例1(25-26七年级上：陕西汉中·期末)在如图所示的运算程序中，若开始输入n的值是-2，则最终输 出的结果是 1/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 输入n的值 计算：2n+3 157 是 输出结果 否 题型模版 1特征：按给定运算步骤（如输入→乘方一加减）求输出，或逆向求输入。 2.方法：按程序流程逐步计算；逆向则从结果倒推，用逆运算（加减互逆、乘除互逆)求解。 变式1-1(25-26七年级上山东滨州期末)有一个数值转换程序，其工作原理如下图所示： 否 输入x -(-1)2÷(-2) >0 输出 若输入的x值为1，则输出的结果为 变式1-2(25-26九年级上四川成都期末)小明同学设计了一种运算程序：输入正整数m,则输出另一个 正整数具体程疗序如下：①若m为偶数，则输出”=空：@若m为奇数，测输出n=m小对正整数m 进行一次输入和输出称为对m的一次变换，对第一次输出的再次输入和输出则称为对m的二次变换，依 6 此类推.例如，输入正整数m=6,根据6是偶数，对6进行一次变换输出的数为)3：将3再次输入，根 据3是奇数，对6进行二次变换后输出的数为3+1=4。 (1)若输入正整数m进行二次变换后输出的数为5，则满足条件的m的值为」 (2)已知输入正整数k，若对k进行两次变换，这两次变换分别输出的两个数之积为32，则正整数k的值 为 变式1-3(25-26六年级上山东淄博·期中)在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别 代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个 数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品 下面我们用四个卡片代表四名同学： A:乘2 B:减-5 C:平方 D:加6 (1)列式，并计算： ①-3经过A,B,C,D的顺序运算后，结果是多少？ ②5经过B,C,A,D的顺序运算后，结果是多少？ 2/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)探究：数4经过D,C,A,B的顺序运算后，结果是13，a是多少？ 题型二、古代中的有理数运算问题 典例2(25-26七年级上：山西运城期中)我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家.在古代数学著 作《九章算术)里，记载了利用算芳实施“正负术”的方法，图1解释了算式。3+(4)=-1，的运第过程 与结果.按照这种方法，图2可以解释算式“ ”的运算过程与结果。 ǒǒǒ 图1 图2 题型模版 1.特征：将古文或历史情境（如盈亏、赋税）转化为有理数运算，需理解背景。 2方法：先翻译古文为现代数学语言，提取正负数，列式按运算规则计算，结果结合情境解释。 变式2-1(2425七年级上山东青岛期中)名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”中的“筹”原意是指 “算筹”，在我国古代的数学名著《九章算术》和《孙子算经》中都有记载.“算筹”是古代用来进行计 算的工具之一，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，“算筹”的摆放有纵、横两种形式（如图 ①)，则图②中“算筹”表示的减法算式的运算结果为 1 3 4 5 67 89 ‖TTT瓜纵式 横式 而≡-⊥M⊥M 图① 图② 变式2-2(25-26七年级上·湖北武汉·期中)不同进位制的数之间可以转换.例如：八进制 365换算成 十进制数是3×82+6×8+5×8°=245」 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)直接写出二进制数 0102换算成十进制数的结果： (2)计算 （110110)2-(1101)2 (3)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，是一位书生在从 右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，记录了他准备科举考试的学习天数，直接写出该书生努力学习 的天数： (④)直接写出十进制数2025换算成八进制数的结果， 变式2-3(25-26七年级上广东中山期中)新数学教材注重把古代数学经典问题古为今用. 洛书 00-000-0000 1©me-I4 兰兰手三 图2 图1 ()如图1是中国古代“洛书”的一部分，洛书中用实心点或空心点的个数表示数字，纵、横、斜三条线上 的三个数字，其和都相等，请求出右下角代表的数. (ICME-14) (2)第十四届国际数学教育大会 会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的 文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745.八进制是以8作为进位基数 的数字系统，有0~7共8个基本数字.八进制数3745换算成十进制数是3×8+7×82+4×8+5×8°=2021」 表示ICME-14的举办年份.问：八进制2026换算成十进制是多少？（注：8°=1） 4/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三、有理数运算中的新定义型问题 典例3(25-26七年级上·吉林长春期中)a,b为有理数，若规定一种新的运算“”，定义 a*b=a2-b2-ab+1 请根据“”的定义计算： (1)-3*5； 21*3)*-2) 题型模版 1.特征：给出新的运算符号（如(a loplus b),按定义规则求值，重理解与应用。 2方法：将新定义转化为四则运算表达式，代入数值按括号和常规顺序计算，注意定义域限制。 变式3-1(25-26七年级上·陕西咸阳期中)新定义：妙想在学习完有理数的运算后，借助有理数的运算， 定义了一种新运算“※”，规定如下：对于任意有理数a,b,满足a※b=ab+ab 0求(2)3 的值： ②求5)※[-4)※2] 变式3-2(25-26七年级上江苏苏州阶段检测)定义新运算：a⑧b=a2-b,如 38(-2)=32-(-2)=9+2=11 计算下列各式. 0)(2)85 a-3)8[0®(-3] 变式33(25-26七年级上广东广州期末)定义新运算：求若干个相同的有理数(a≠0) 的除法运算叫做 g÷a÷a÷..÷g 除方 n个a 记作a,比如把2÷2÷2记作2®，（-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)记作(-3)°.特别地，规 5/11 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (四)根据除方的定义， (-2列*(-2)*(-2)(-2)(-2)可记作 2023②= (2)直接写出计算结果： -42÷(-2)®+(-10@ (3)计算： (4)对于有理数 (a≠0)，n≥3 时， qo= 题型四、有理数运算中的规律探究问题 典例4(25-26七年级上·江苏徐州阶段检测)观察下列各式，回答问题 13好 4244… 按上述规律填空： ()1-100 (2)计算： 1---1-) 题型模版 1特征：观察一组算式结果，发现运算规律（如递推、周期），求第n项或证明结论。 2方法：列举前几项，分析结构变化，用代数式表示通项，验证规律后代入求解或推广证明。 变式41(25-26七年级下·安徽毫州期末)观察以下等式： 第1个等式： 女) 第个款。传到 1111 第3个等式：62-12(57 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4个：得动 … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： 11,1,1 1 ②)运用你发现的规律求2-4-+6-十g一1十+100-的值， 变式42(25-26七年级上江苏镇江期中)观察下列等式： 第1个等式：12=1： 第2个等式：0+2-P+2 第3个等式： (1+2+3)2=1+23+33 第4个等式：(1+2+3+4}=P+2+3+4 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： (2)计算：+22+32+43+…+103=一 (3)利用你发现的规律计算6+73+8+9+10值 变式43(25-26七年级上福建厦门期中)研究下列式子，你能发现什么规律？ 1×3+1=22,2×4+1=32,3×5+1=42,4×6+1=52,, (1)第⑦个式子是 (2)请用含n(n为正整数)的式子表示你发现的规律 (3)请用你所发现的规律解决下面的问题： 计+gmf+10ia+0430ms） ◆◆ 7/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1.(25-26七年级上福建三明期中)定义。”运算规则是0b=b-,则2)小3 的运算结果是(). A.-15 B.-6 C.3 D.0 2.(25-26七年级上湖南湘潭期中)如图所示是计算机程序计算，若开始输入x=-1,则最后输出的结 果是多少？( 输入x ×4 <-5 YES 输出 NO A.-11 B.11 C.-10 D.-21 3.(25-26七年级上山东滨州期末)在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”·如图， 有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，把绳子从右到左由细变粗且满8进1进行记录，那么从中可以判定 孩子己经出生了() A.100天 B.90天 C.132天 D.42天 4.(2425七年级上陕西渭南期中)“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1,2,3,4， 5,7,8,9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间 正方形四个顶点上的数字之和相等.若按同样的规律填写图2，则x+n-2y-m的值是() 图1 图2 A.-8 B 8 C.-6 D.6 8/11 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 5.(25-26七年级上陕西西安期末)如图是一个计算程序图，若输入x的值为4，则输出的结果是 输入x -8 ×9 取绝对值 输出 6 (2025黑龙江哈尔滨三模)定义如下运算：m△n=m2-n,m★n=n2-2mn,根据定义计算 [-3)△2]-[2*(-3刃的值为 7.(25-26七年级上四川泸州·期中)第十四届国际数学教育大会(ICME-14)会徽（如图）的主题图案 有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出 的八进制数 3745)八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字，八进制数换算成十 进制数是： (3745)。=3×8+7×82+4x8+5x8”=2021(8=,表示1CME-14的举办年份，将八进制数 (2120换算成十进制数是—（提示：当a+0时，-l) ICME-14 三三手工 8.(25-26七年级上·重庆长寿·阶段检测)问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式： 6=1-11=111-11111 1 1×2 2,2×323,3×434,4×545 1+1+1+1 (1)在等式中寻找规律，并利用规律计算：1×2+2x33×44×5 (2)数学活动小组的同学们对上述问题进行一般化研究之后，将分母中的两个因数的差改为3，并提出新 1,1,1 1 的间题：1x4+4×7+7×10+…+ 2023×2026 9/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 9.(25-26七年级上江苏苏州阶段检测)定义一种新运算：a*b=a2-b+ab 四求23)的值； ②求2列2*(3刃的位. 10.(25-26七年级上贵州铜仁期中)对于有理数ab,定义一种新运算“※”，规定a必b=a°-ab 例如：2※3=23-2×3=2. (1)求2※4的值； 2求（3)*3※2) 的值 11.(25-26七年级上：广东江门阶段检测)观察下列各式，你会发现什么规律？ 1 =1-11=1_1111 1×22’2×323'3×434, (1)请你按上述规律写出第5个等式一： 111 (2②利用以上规律计算：1×22x3十3×4++ 99×100的值. 12.(25-26七年级上新疆乌鲁木齐·期中)生活中常用的十进制是用0-9这十个数字来表示数，满十进一， 例：212=2×102+1×10'+2，计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进 一，例：二进制数10010转化为十进制数：1×24+0×23+0×22+1×2+0=16+2=18；其他进制也有类似 的算法… (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是 10/11 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)【迁移】将十进制数“2298”转化为八进制数： (3)【应用】在古代，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲 记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子己经出生 的天数 13.(25-26七年级上江西上饶期中)数学活动课上，小贤与小艺用如图所示的A,B,C,D四个圆分别 代表一种运算，并再设计了一个在运算前的含x的圆，依据这五个圆设计了数学游戏，每一步运算完成后 再进行下一步运算.例如：小贤先输入一个有理数x,再按A→B→C→D的顺序运算，则可列算式 [(x-3)×(-2)]+1 -3 ×(-2) 立方 +1 B D 当x=1时，求算式[x-3)列x(-2+1的值 (2)若小艺输入的x的值为2，再按B→D→C→A的顺序运算，请求出运算结果. 14.(25-26七年级上·福建三明阶段检测)阅读下列计算过程，发现规律，然后利用规律计算： 1+2=+2×2-3 2 1+2+3-+3x3-6 2 1+2+3+4=+4)×4-10 2 1+2+3+4+5-+5x5=15 2 (1)利用上述规律计算：1+2+3+.+101= (2)计算： G引子+引传号+++0+品+高*+8) 11/11