5.4二次函数与一元二次方程（讲义）数学新教材北师大版九年级上册

第五章 二次函数 5.4 二次函数与一元二次方程 知识点一 二次函数与一元二次方程的关系 1.y= ax2+bx+c与x轴交点的个数与ax2+bx+c=0根的个数之间的关系 一元二次方程ax2+bx+c=0的解是其对应的二次函数y= ax2+bx+c的图像与x轴的 。 2.利用判别式可以判断二次函数y= ax2+bx+c的图像与x轴是否有交点： ①当>0时，图像与x轴有 ； ②当=0时，图像与x轴有 ； ③当<0时，图像与x轴没有交点。 y= ax2+bx+c(a≠0) 图象 a>0 a<0 取y=0，ax2+bx+c=0 ：两个交点 ：一个交点 ：无交点 存在实数根x1<x2 存在实数根x1=x2 不存在实数根 即学即练 1．（25-26九年级上·广东江门·期中）抛物线与轴交点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．以上都不对 2．已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 3．抛物线与x轴的交点坐标为__________． 4．若函数的图象与坐标轴至少有两个交点，则k的取值范围为______． 5．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）已知二次函数(是常数)，求证：无论为何值，该二次函数的图象与轴总有两个交点． 6．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）已知函数（m是常数）． (1)当时，该函数的图象与直线有几个公共点？说明理由； (2)若该函数的图象与x轴只有一个公共点，求m的值． 知识点二 根据二次函数与一元二次方程的关系求方程的近似根 ·根据二次函数y= ax2+bx+c的图象与x轴交点的位置，判断ax2+bx+c=0的近似解 对于二次函数（，a，b，c是常数）上两个点A(x1，y1)、B(x2，y2)，若y1、y2符号相反（一正一负），则一元二次方程的解x0一定在x1、x2两个数值之间。 即学即练 1．二次函数（，a，b，c是常数）中，自变量x与函数y的对应值如下表： x 0 1 2 3 y 1 2 1 则一元二次方程（，a，b，c是常数）的两个根，的取值范围是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．根据下列表格的对应值：判断方程 一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．在二次函数图像上的两点、，若，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．在二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是x与y的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 1.15 2.45 2.75 2.05 0.35 … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个根约等于________（结果保留小数点后一位）． 知识点三 根据二次函数图象的位置关系解不等式 ·二次函数y= ax2+bx+c与一元二次不等式的关系 y= ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点 有两个交点x1<x2 有1个交点x1 =x2=x0 没有交点 a>0， 不等式y＞0和y＜0的解 y＞0，x< x1或x > x2 y＜0， y＞0，x0之外所有实数 y＜0，无实数解 y＞0，所有实数 y＜0，无实数解 a<0， 不等式y＞0和y＜0的解 y＞0，x1< x < x2 y＜0，x< x1或x > x2 y＞0，无实数解 y＜0， x0之外所有实数 y＞0，无实数解 y＜0，所有实数 即学即练 1．如图是二次函数的图象，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 （题1图）（题2图）（题3图） 2．二次函数的部分图象如图，当时，的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 3．如图，已知二次函数的图象与轴有两个交点的横坐标分别为和4，则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 4．已知关于的一元二次方程为的根为则关于的一元二次不等式的解集为（　　） A． 或 B． C． D． 题型01 根据函数图象求一元二次方程的近似解 ·观察表中数据找到方程最接近0时x的取值范围，利用“夹逼”思想求一元二次方程的近似解 1.用表格取 x 值，算 y 值，看正负变化：y 由正变负或由负变正，说明中间有根。 2.利用对称轴判断两根位置：两根关于 x=对称。 近似解常用“二分逼近”：先看图确定根在哪两个整数之间，再取中点试算函数值，逐步缩小区间，直到满足精确度要求。 1.若要求精确到 0.1，就把区间缩到长度小于 0.1，再取近似值。（近似解不是精确解） 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如下表，是二次函数的自变量与函数值的几组对应值．那么方程的一个近似解是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．已知二次函数中部分x和y的值如下表所示： x y 0.25 0.56 0.89 则方程的一个较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江金华·期中）下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x y 根据此表，可以判断方程的一 个解x 可能的取值范围是________． 题型02 根据二次函数图象和直线的位置关系解不等式 1.解 ax2+bx+c>0，看抛物线在 x 轴上方部分的横坐标范围； 2.二次函数与y=kx+b(k≠0，k、b是实数)的大小比较： ①先联立，求交点横坐标： y= ax2+bx+c(a≠0)与 y=kx+b(k≠0)图象的交点情况 图象 令y值相等，ax2+bx+c= kx+b ：两个交点 ：一个交点 ：无交点 存在实数根x1<x2 存在实数根x1=x2 不存在实数根 ②再看在哪些区间抛物线的 y 值更大： ax2+bx+c>kx+m，交点分区间，a＞0时，抛物线在上方，端点看符号。 3.一般步骤： ①先求交点，再画草图，标出交点； ②按交点把 x 轴分成若干段，每段取一个特殊值代入，判断谁大谁小； ③若开口向上且与 x 轴有两个交点 x1<x2，则 ax2+bx+c>0 的解集为 x<x1 或 x>x2；<0 为 x1<x<x2；（开口向下则相反） ④若只有一个交点或没有交点，结合开口方向直接判断； ⑤判断是否取端点：不等式端点是否包含，取决于符号是“>”“≥”“<”“≤”。 ①把“图象在上方”误认为“x 轴上方”。 ②忘记端点验证：> 不包含，≥ 包含。 ③联立后忘记整理成一边为 0，导致交点求错。 典｜例｜精｜析 1．二次函数与一次函数的图像如图所示，则满足的的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 2．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）如图，抛物线与直线的交点为．则关于的不等式的解集为___________． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，抛物线与直线交于，两点，它们的横坐标分别为，4，则方程的解是_____． 2．如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 3．如图，一次函数与二次函数的图象交于和两点，当时，x的取值范围是（　　）    A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则关于的不等式的解集为___________． 5．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，二次函数：与一次函数：的图象交于、两点，则当时，的取值范围是______． 6．已知二次函数与一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为______． 题型03 分类讨论二次函数在给定自变量范围内的因变量取值情况（函数图象分析法） 1.一般思路：①先配方或求对称轴 x=h=；②判断对称轴是否在给定自变量x范围 m≤x≤n 内。 2.技巧方法： ①若h在给定范围内部（即m≤h≤n）： ②开口向上：最小值yx=h（将x=h代入），最大值y（在端点处：yx=m或yx=n）； ③开口向下：最大值yx=h（将x=h代入），最小值y（在端点处：yx=m或yx=n）。 ④若x=h不在给定范围内部：最值在端点取。 ①画区间与对称轴的位置关系图，分“轴在左、轴在内、轴在右”三类； ②含参数时，分类标准就是对称轴与区间端点的位置。 典｜例｜精｜析 1．二次函数（，，是常数，）的图象与轴交于点，．则下列说法：①一元二次方程的根为，．②；③对于的每一个确定的值，若一元二次方程（为常数，）的根为整数，则的值只有两个；④若点，在该二次函数的图象上，则；正确的是（     ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 2．（25-26九年级上·云南昆明·期末）已知二次函数（m是常数，且）的图象与x轴只有一个公共点． (1)求这个二次函数的对称轴； (2)将这个二次函数图象向右平移n（）个单位长度，得到新的二次函数图象．若新的二次函数在的范围内有最小值，求n的值． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）抛物线 如图所示，回答下列问题 (1)方程的解是___________； (2)关于的不等式的解集是___________； (3)当时，y的取值范围是___________； (4)若关于的方程的两个实数根异号，则t的取值范围是___________． 2．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称，点A的坐标为． (1)求二次函数的表达式； (2)当时，二次函数的最小值为，求a的值． 题型04 求二次函数被坐标轴（直线）截得的线段长 ·表示抛物线与直线的截线长：先求抛物线与直线的交点坐标 ·一般思路： ①抛物线与直线y=kx+b交于、； ②表示AB的长：； ③根据线段间的数量关系列方程解决问题。 ④表示出相关图形的面积（含参问题中即可转化为绝对值方程进行解题） ①表示交点坐标；②表示截线长；③表示出三角形或四边形的面积。 注意：在二次函数与图形的综合问题中，涉及到动点问题，需要设动点的横坐标为m，将横坐标代入到二次函数表示纵坐标来解题。 典｜例｜精｜析 1．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段检测）如果抛物线与直线交于A、B两点，则点A与点B两点之间的距离___________． 2．二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，则的面积为(　  ) A．6 B．4 C．3 D．1 3．如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为，点C的坐标为，直线l经过B、C两点． (1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标； (2)点P在线段上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N，当时，求点P的坐标； 4．（2026·安徽·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知横坐标分别为，的两个动点，均在线段上，且，当时，求的值； (3)若点是抛物线的段上一个动点，过点分别作轴和轴的垂线与直线相交于，两点，记，点的横坐标为，求关于的函数表达式，并求的最大值． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·新疆喀什·期中）二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，在x轴下方作垂直于y轴的直线交抛物线于点B、C，连接、，若点B到x轴的距离是点A到x轴距离的3倍，则的面积为_____ ． 3．如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点，其中点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)C为抛物线与y轴的交点，若点P在抛物线上，且，求点P的坐标． 4．（25-26九年级上·山东日照·期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A，点C坐标分别为、，连接． (1)求此抛物线的解析式． (2)在下方的抛物线上有一点N，过点N作轴，交于点M，交x轴于点D，当点N的坐标为多少时，线段的长度最大？最大值是多少？ 5．（25-26九年级上·广西钦州·期末）如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式． (2)在抛物线的对称轴上有一点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标． (3)若点在抛物线上，且它的横坐标为，与交于点，当的值最小时，求点的坐标． 6．（25-26八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C．若点为直线上的动点，过点P作轴交抛物线于点Q． (1)若． ①求直线的表达式； ②若，直接写出线段长度的最大值及此时的点P的坐标； (2)若，且线段的长随着的增大而增大，求m的取值范围． 题型05 二次函数与图形综合 ·主要问题：最大周长、等腰三角形、平行四边形、相似三角形、角度关系等； ·方法核心：坐标化、设点、列方程或函数、分类讨论、检验范围。 1. 最大周长：把周长转化为线段和，利用“两点之间线段最短”或“将军饮马”作对称点；也可设点表示边长，构造函数求最值。 关键：动点在抛物线上时，设 (x, ax2+bx+c)，用距离公式表示线段； 易错：①忘记动点自变量范围；②对称点作错；③周长最大与线段和最大混淆。 2. 等腰三角形问题：设动点坐标，表示三边平方，分三种情况：AB=AC、AB=BC、AC=BC，再分别列方程求解。 关键：用平方比用根号方便；解出后画图检验是否共线、是否在范围内。 易错：①漏掉一种情况；②解出多个点不检验；③把等腰三角形与等边三角形混淆。 3. 平行四边形问题：已知三点求第四点 （1）利用对角线互相平分：对角顶点坐标和相等；（2）利用对边平行且相等，用平移。 关键：分类讨论已知线段是“边”还是“对角线”。 易错：①漏解；②把顶点顺序固定死；③忘记检验是否构成平行四边形。 4. 相似三角形问题：先找等角（公共角、直角、对顶角、平行线产生的角），再分对应关系列比例。 关键：若对应关系不确定，设 △ABC∽△DEF 或△ABC∽△DFE，分类讨论。 易错：①对应边写错；②比例式交叉相乘出错；③漏掉分类；④忘记相似比与面积比的关系。 5. 角度关系问题： ①特殊角用三角函数或构造直角三角形；②相等角可转化为正切值相等，或转化为相似。 关键：①作水平线、竖直线构造直角三角形；②利用斜率 k=tanα。 易错：①角度范围忽略；②正切值相等但角可能互补；③钝角情况漏讨论。 典｜例｜精｜析 1．如图，抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)P是抛物线上的一个点，连接，，直接写出点P的坐标． 2．如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，且直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点Q在直线l上移动，在x轴下方的抛物线上，是否存在点P，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线的对称轴为：直线，图像与轴、轴分别交于点、、，已知点、，点在直线下方的抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)过点作轴交直线于点，作交于点，求的最大值； (3)设点为直线上的点，以、、、为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由． 4．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，且．点为线段上一动点（不与点重合），过点作矩形，点在抛物线上，点在轴上． (1)求的值； (2)当矩形的周长最大时，求矩形的面积； (3)在（）的条件下，矩形不动，将抛物线沿着轴向左平移个单位，抛物线与矩形的边交于点，连接．若恰好平分矩形的面积，求的值． 5．如图，在平面直角坐标系内，点，点，点．连接． (1)求经过点A、B、C三点的抛物线的表达式； (2)点D在x轴正半轴上，当以点D、O、C为顶点的三角形与相似时，求点D的坐标． (3)在（1）的抛物线上找一点E，使得的值最小并求点E的坐标． 变｜式｜巩｜固 1．如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴正半轴于点C．若P为第二象限抛物线上的一点，且，求点P的坐标． 2．（24-25九年级上·青海海东·期末）如图，二次函数的图象和轴交点，，和轴交点．      (1)求这个二次函数的解析式； (2)求这个二次函数的顶点的坐标； (3)该二次函数图象对称轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形，若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由． 3．（25-26九年级下·陕西·期中）如图，抛物线（b、c为常数）分别与轴交于点、，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线的顶点，连接，点是抛物线的对称轴上的点，如果是以为腰的等腰三角形，请你求出所有满足条件的点的坐标． 4．如图，抛物线：交轴于点和点B，交y轴于点，顶点记为． (1)求抛物线的函数表达式及顶点的坐标． (2)连接，若线段上有一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长的最大值． (3)在（2）中，当的长最大时，将该抛物线平移，设平移后的抛物线为，抛物线的顶点记为，它的对称轴与x轴交于点．怎样平移才能使得以、、、为顶点的四边形是菱形？ 5．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，P是第二象限内抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图 1，设对称轴交线段于点N，点Q在对称轴上，且在点N的下方，是否存在以P，Q，N为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图 2，连接，交于点E，交y轴于点F，令，求k的最大值． 6．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）已知抛物线经过点，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点，在该抛物线上，且，求m的取值范围； (3)将此抛物线向左平移n（）个单位，设平移后抛物线与y轴的交点为，若e的最大值和最小值分别为，，且，求n的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 二次函数 5.4 二次函数与一元二次方程 知识点一 二次函数与一元二次方程的关系 1.y= ax2+bx+c与x轴交点的个数与ax2+bx+c=0根的个数之间的关系 一元二次方程ax2+bx+c=0的解是其对应的二次函数y= ax2+bx+c的图像与x轴的交点的横坐标。 2.利用判别式可以判断二次函数y= ax2+bx+c的图像与x轴是否有交点： ①当>0时，图像与x轴有两个交点； ②当=0时，图像与x轴有一个交点； ③当<0时，图像与x轴没有交点。 y= ax2+bx+c(a≠0) 图象 a>0 a<0 取y=0，ax2+bx+c=0 ：两个交点 ：一个交点 ：无交点 存在实数根x1<x2 存在实数根x1=x2 不存在实数根 即学即练 1．（25-26九年级上·广东江门·期中）抛物线与轴交点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．以上都不对 【答案】C 【难度】0.85 【分析】令抛物线函数值为0，得到对应一元二次方程，通过根的判别式判断方程实数根个数，即可确定抛物线与x轴交点的个数． 【详解】解：当时， ， ∴该方程有2个不相等的实数根， ∴抛物线与x轴交点的个数为2． 2．已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 【答案】C 【难度】0.85 【分析】根据的图象与有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧可得出答案． 【详解】解：由函数图象可得：的图象与有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧， ∴关于x的方程即有两个同号不等实数根， 3．抛物线与x轴的交点坐标为__________． 【答案】和 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了求抛物线与x轴的交点坐标．令，解方程，得到x的值，从而确定与x轴的交点坐标． 【详解】解：令，则， 解得：，， 故抛物线与x轴的交点坐标为和． 故答案为：和 4．若函数的图象与坐标轴至少有两个交点，则k的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.55 【分析】当时，函数值恒为，函数图象一定与轴交于，只需分一次函数和二次函数两种情况，讨论函数与轴的交点，满足至少存在一个交点即可． 【详解】解：当时，， 函数图象一定与轴有个交点， 函数图象与坐标轴至少有两个交点， 函数与轴至少有个交点， 分两种情况讨论： ①函数为一次函数时，二次项系数为，即，解得， 此时函数解析式为，与轴有一个交点，与坐标轴共两个不同交点，符合要求； ②函数为二次函数时，，即， 二次函数与轴至少有一个交点，需满足判别式， 其中，，， ， ， ， ， 或， 综上可知， 的取值范围为． 5．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）已知二次函数(是常数)，求证：无论为何值，该二次函数的图象与轴总有两个交点． 【答案】 对于二次函数，对应的一元二次方程为． ∵此方程中，，， ∴判别式， 即恒成立． ∴无论为何值，一元二次方程总有两个不相等的实数根， ∴该二次函数的图象与轴总有两个交点． 6．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）已知函数（m是常数）． (1)当时，该函数的图象与直线有几个公共点？说明理由； (2)若该函数的图象与x轴只有一个公共点，求m的值． 【答案】(1)有1个公共点，理由： 当时，函数解析式为， 联立得：， 解得， ∴该函数的图象与直线有1个公共点． (2)m的值为0或 【难度】0.85 【分析】此题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特点及根的判别式，解题关键在于要注意分类讨论，不要漏解． （1）转化为求方程组的解，即可判断； （2）分两种情况讨论：①当函数为一次函数时，与x轴有一个交点；②当函数为二次函数时，利用判别式，转化为方程即可解决问题； 【详解】（1）略 （2）解：①当时，该函数解析式为，此时函数图象与x轴只有一个交点； ②当时，若函数的图象与x轴只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 综上，若函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或． 知识点二 根据二次函数与一元二次方程的关系求方程的近似根 ·根据二次函数y= ax2+bx+c的图象与x轴交点的位置，判断ax2+bx+c=0的近似解 对于二次函数（，a，b，c是常数）上两个点A(x1，y1)、B(x2，y2)，若y1、y2符号相反（一正一负），则一元二次方程的解x0一定在x1、x2两个数值之间。 即学即练 1．二次函数（，a，b，c是常数）中，自变量x与函数y的对应值如下表： x 0 1 2 3 y 1 2 1 则一元二次方程（，a，b，c是常数）的两个根，的取值范围是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【难度】0.85 【分析】根据函数的图象与x轴的交点的横坐标就是方程的根，再根据函数的增减性即可判断方程两个根的范围． 【详解】解：函数的图象与x轴的交点就是方程的根，函数的图象与x轴的交点的纵坐标为0． 由表中数据可知：当时，对应的值在与之间或与之间， ∴，时，y的值最接近0， ∴，的取值范围是：，． 故选D． 2．（25-26九年级上·河南许昌·期中）根据下列表格的对应值：判断方程 一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似根，掌握函数的图象与轴的交点与方程的根的关系是解决此题的关键所在．根据函数的图象与轴的交点横坐标就是方程的根，结合表格中数据即可判断方程的一个解的范围． 【详解】解：当时，；当时，， 方程的一个解在之间， 故选：C． 3．在二次函数图像上的两点、，若，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【分析】将、代入二次函数求解即可． 【详解】将、代入二次函数， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 4．（25-26九年级上·北京房山·期中）在二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是x与y的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 1.15 2.45 2.75 2.05 0.35 … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个根约等于________（结果保留小数点后一位）． 【答案】3.1（答案不唯一） 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，通过观察函数值符号变化确定根所在区间，并比较函数值的绝对值得到近似根。 【详解】解：从表中数据可知，当时，；当时，，因此方程的一个根在和之间， 由于， 所以根更接近， ∴关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于， 故答案为：（答案不唯一）． 知识点三 根据二次函数图象的位置关系解不等式 ·二次函数y= ax2+bx+c与一元二次不等式的关系 y= ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点 有两个交点x1<x2 有1个交点x1 =x2=x0 没有交点 a>0， 不等式y＞0和y＜0的解 y＞0，x< x1或x > x2 y＜0，x1< x < x2 y＞0，x0之外所有实数 y＜0，无实数解 y＞0，所有实数 y＜0，无实数解 a<0， 不等式y＞0和y＜0的解 y＞0，x1< x < x2 y＜0，x< x1或x > x2 y＞0，无实数解 y＜0， x0之外所有实数 y＞0，无实数解 y＜0，所有实数 即学即练 1．如图是二次函数的图象，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【难度】0.85 【分析】本题考查利用二次函数图象求不等式的解集，求出点关于对称轴的对称点，结合函数图象即可得出的解集． 【详解】解：由图可知二次函数的图象的对称轴为，与y轴的交点坐标为， 由二次函数图象的对称性可知，点也在函数的图象上， 由图可知，当或时，对应的y值小于3， 因此的解集为：或． 故选：D． 2．二次函数的部分图象如图，当时，的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【难度】0.85 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据图象可得对称轴为直线，则另一个交点为，进而根据，写出的取值范围，即可求解． 【详解】解：依题意，抛物线的对称轴为直线，与轴的交点为和，抛物线开口向下， 当时，图象在轴的下方， ∴或， 故选：C． 3．如图，已知二次函数的图象与轴有两个交点的横坐标分别为和4，则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【难度】0.85 【分析】根据二次函数与轴的交点的横坐标，结合函数图象即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有两个交点的横坐标分别为和4， 根据图象可知，当时，的取值范围是或， 故选：D． 4．已知关于的一元二次方程为的根为则关于的一元二次不等式的解集为（　　） A． 或 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【分析】把不等式化为，求出解集即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的根为 不等式可化为， 解得或， 关于的一元二次不等式的解集为或． 故选：A． 题型01 根据函数图象求一元二次方程的近似解 ·观察表中数据找到方程最接近0时x的取值范围，利用“夹逼”思想求一元二次方程的近似解 1.用表格取 x 值，算 y 值，看正负变化：y 由正变负或由负变正，说明中间有根。 2.利用对称轴判断两根位置：两根关于 x=对称。 近似解常用“二分逼近”：先看图确定根在哪两个整数之间，再取中点试算函数值，逐步缩小区间，直到满足精确度要求。 1.若要求精确到 0.1，就把区间缩到长度小于 0.1，再取近似值。 近似解不是精确解。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如下表，是二次函数的自变量与函数值的几组对应值．那么方程的一个近似解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，通过观察二次函数对应值表中值的符号变化，确定方程根的范围，再根据值接近的程度选择近似解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴的一个根在和之间， ∵ 时的值比时更接近， ∴方程的一个近似根为， 故选：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数中部分x和y的值如下表所示： x y 0.25 0.56 0.89 则方程的一个较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、图象法确定一元二次方程的近似根等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先求得对称轴为直线，再根据表格数据得的较小的根的范围为，最后根据二次函数图象的对称性即可解答． 【详解】解：依题意，函数的对称轴为直线， 由表格数据可得： 当时，；当时，； ∴的较小的根的范围为， 则， ∴的较大的根的范围是． 故选：C． 2．（25-26九年级上·浙江金华·期中）下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x y 根据此表，可以判断方程的一 个解x 可能的取值范围是________． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查观察图表得知函数值情况，一元二次方程的根，二次函数与一元二次方程的关系．通过观察函数值的变化，当时，时，因此方程根在和之间． 【详解】解：由表可知，当时，；当时，， 由于二次函数图象是连续的，函数值由负变正，说明方程的一个解在和之间，即， 故答案为：． 题型02 根据二次函数图象和直线的位置关系解不等式 1.解 ax2+bx+c>0，看抛物线在 x 轴上方部分的横坐标范围； 2.二次函数与y=kx+b(k≠0，k、b是实数)的大小比较： ①先联立，求交点横坐标： y= ax2+bx+c(a≠0)与 y=kx+b(k≠0)图象的交点情况 图象 令y值相等，ax2+bx+c= kx+b ：两个交点 ：一个交点 ：无交点 存在实数根x1<x2 存在实数根x1=x2 不存在实数根 ②再看在哪些区间抛物线的 y 值更大： ax2+bx+c>kx+m，交点分区间，a＞0时，抛物线在上方，端点看符号。 3.一般步骤： ①先求交点，再画草图，标出交点； ②按交点把 x 轴分成若干段，每段取一个特殊值代入，判断谁大谁小； ③若开口向上且与 x 轴有两个交点 x1<x2，则 ax2+bx+c>0 的解集为 x<x1 或 x>x2；<0 为 x1<x<x2；（开口向下则相反） ④若只有一个交点或没有交点，结合开口方向直接判断； ⑤判断是否取端点：不等式端点是否包含，取决于符号是“>”“≥”“<”“≤”。 ①把“图象在上方”误认为“x 轴上方”。 ②忘记端点验证：> 不包含，≥ 包含。 ③联立后忘记整理成一边为 0，导致交点求错。 典｜例｜精｜析 1．二次函数与一次函数的图像如图所示，则满足的的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据函数图像可得中x的取值范围就是二次函数图像在一次函数图像下方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：若，则， 有图像可知，当或时，二次函数的图像在一次函数图像的下方，即， ∴当或时，， 则当或时，， 故选：B． 2．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）如图，抛物线与直线的交点为．则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查根据函数图象的交点坐标确定不等式的解集． 根据函数图象的交点坐标可得关于的不等式的解集，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与直线的交点为， ∴关于的不等式的解集为， ∴关于的不等式的解集为． 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，抛物线与直线交于，两点，它们的横坐标分别为，4，则方程的解是_____． 【答案】， 【难度】0.85 【分析】本题考查了根据二次函数图象与一次函数图象交点求方程的解，理解交点的意义是解题的关键． 根据抛物线与直线交于，两点，它们的横坐标分别为，4，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点，它们的横坐标分别为，4， ∴方程的解为，． 故答案为：，． 2．如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象，根据图象得出二次函数和一次函数相交于两点的横坐标分别为，1，即可得． 【详解】解：根据图象得，二次函数和一次函数相交于两点，两点的横坐标分别为，1， 则当时，x的取值范围为或． 故选：B． 3．如图，一次函数与二次函数的图象交于和两点，当时，x的取值范围是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【分析】本题考查二次函数的性质，由图象中抛物线在直线上方时x的取值范围求解．解题关键是掌握二次函数与不等式的关系． 【详解】解：由图象可得在点D，B之间时，二次函数图象在一次函数的上方， ∵， ∴当时，则， 故选：C 4．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】或 【难度】0.85 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题． 直接根据图象作答即可． 【详解】解：∵一次函数与二次函数的图象相交于两点， ∴当或时，二次函数在一次函数上方， 即关于的不等式的解集为或． 故答案为：或． 5．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，二次函数：与一次函数：的图象交于、两点，则当时，的取值范围是______． 【答案】或 【难度】0.85 【分析】本题考查函数交点的意义，函数图像与不等式的关系，把不等式关系转化为图像的位置关系是解题关键． 把不等式转化为函数图像的上下位置关系，找到交点横坐标作为分界点，再观察图像走势确定满足条件的取值范围． 【详解】解：由图可知，二次函数与一次函数的交点的横坐标为，交点的横坐标为， 则时，的取值范围为或． 故答案为：或． 6．已知二次函数与一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为______． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．观察图象确定二次函数的图象位于一次函数的图象下方时的取值范围即可． 【详解】解：观察图象可知，当时，二次函数的图象位于一次函数的图象下方， 不等式的解集为． 故答案为：． 题型03 分类讨论二次函数在给定自变量范围内的因变量取值情况（函数图象分析法） 1.一般思路：①先配方或求对称轴 x=h=；②判断对称轴是否在给定自变量x范围 m≤x≤n 内。 2.技巧方法： ①若h在给定范围内部（即m≤h≤n）： ②开口向上：最小值yx=h（将x=h代入），最大值y（在端点处：yx=m或yx=n）； ③开口向下：最大值yx=h（将x=h代入），最小值y（在端点处：yx=m或yx=n）。 ④若x=h不在给定范围内部：最值在端点取。 ①画区间与对称轴的位置关系图，分“轴在左、轴在内、轴在右”三类； ②含参数时，分类标准就是对称轴与区间端点的位置。 典｜例｜精｜析 1．二次函数（，，是常数，）的图象与轴交于点，．则下列说法：①一元二次方程的根为，．②；③对于的每一个确定的值，若一元二次方程（为常数，）的根为整数，则的值只有两个；④若点，在该二次函数的图象上，则；正确的是（     ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 【答案】B 【难度】0.55 【分析】结合二次函数的性质对各项逐一判断． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于，， ∴一元二次方程的根为，，故①错误； ∵抛物线与轴有两个不同交点， ∴，即，故②正确； ∵抛物线对称轴为直线，， ∴抛物线开口向上，当时，； ∵方程（）的根为整数， ∴根的取值范围为，其中整数为，，， 结合对称性，与对应函数值相等，对应一个值； 对应顶点函数值，对应另一个值，故的值只有两个，③正确； ∵点关于对称轴的对称点为，时，时随增大而增大， 又， ∴，即，故④正确． 2．（25-26九年级上·云南昆明·期末）已知二次函数（m是常数，且）的图象与x轴只有一个公共点． (1)求这个二次函数的对称轴； (2)将这个二次函数图象向右平移n（）个单位长度，得到新的二次函数图象．若新的二次函数在的范围内有最小值，求n的值． 【答案】(1)直线． (2)或 【难度】0.55 【分析】（1）根据二次函数的图象与x轴只有一个公共点得到，求出m的值后，将二次函数解析式化为顶点式，即可解答； （2）先表示出平移后的新抛物线的解析式为，根据二次函数在的范围内有最小值，则当或时，二次函数取得最小值，分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得二次函数（m是常数，且）的图象与x轴只有一个公共点， 故， 整理，得， 解得，， ， 舍去， 故， 故， 故抛物线的对称轴为直线； （2）解：， 将这个二次函数图象向右平移n（）个单位长度，得到新的二次函数的解析式为， 根据题意，得新的二次函数在的范围内有最小值，即， ， 的图象开口向下，且对称轴的左侧y随x的增大而增大，对称轴的右侧，y随x的增大而减小． ∴当或时，二次函数取得最小值． ①若当时，二次函数取得最小值，则， 解得， ∵， ∴ ②若当时，二次函数取得最小值，则， 解得， ∵， ∴； 综上所述，符合题意的n的值为或． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）抛物线 如图所示，回答下列问题 (1)方程的解是___________； (2)关于的不等式的解集是___________； (3)当时，y的取值范围是___________； (4)若关于的方程的两个实数根异号，则t的取值范围是___________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.85 【分析】考查抛物线的对称性、二次方程的解与抛物线交点的关系、二次不等式的解集、二次函数的取值范围、根的符号与系数的关系．抓住抛物线的对称轴、顶点、特殊点（如）的特征是关键．易忽略抛物线的对称性；误判不等式的解集方向；计算端点y值时出错． （1）根据抛物线过及对称轴，找对称点得解； （2）由开口方向和交点，确定对应的x区间； （3）结合顶点（最小值）和时的y值（最大值）确定范围； （4）利用根异号时常数项小于0，结合抛物线最小值确定t的范围． 【详解】（1）解：抛物线过点，且对称轴为，由对称性知另一交点为，故解为，． 故答案为：，． （2）解：抛物线开口向上，对应两点与之间的区域，故解集为． 故答案为：． （3）解：抛物线顶点为； 由对称性得，与对称，y值大于，∴当时，， ∵结合开口向上，时，由时得，顶点，，解得，故时．故取值范围为． 故答案为：． （4）解：方程即，根异号则常数项，且抛物线顶点，故，结合有实根需，最终范围为． 故答案为：． 2．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称，点A的坐标为． (1)求二次函数的表达式； (2)当时，二次函数的最小值为，求a的值． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【分析】（1）二次函数的对称轴是直线，求出，将A的坐标代入中，即可求解； （2）分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：（1）∵二次函数的对称轴是直线， ∴， ∴， 将代入中， 解得． ∴二次函数的表达式为； （2）（2）①若，即时， 则当时，函数值最小， ∴， 解得：或（舍去）； ②如，即时， 则当时函数值最小， ∴， 解得：（不合题意）； ③若， 则当时函数值最小， ∴， 解得：或（舍去）， ∴或． 题型04 求二次函数被坐标轴（直线）截得的线段长 ·表示抛物线与直线的截线长：先求抛物线与直线的交点坐标 ·一般思路： ①抛物线与直线y=kx+b交于、； ②表示AB的长：； ③根据线段间的数量关系列方程解决问题。 ④表示出相关图形的面积（含参问题中即可转化为绝对值方程进行解题） ①表示交点坐标；②表示截线长；③表示出三角形或四边形的面积。 注意：在二次函数与图形的综合问题中，涉及到动点问题，需要设动点的横坐标为m，将横坐标代入到二次函数表示纵坐标来解题。 典｜例｜精｜析 1．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段检测）如果抛物线与直线交于A、B两点，则点A与点B两点之间的距离___________． 【答案】6 【难度】0.85 【分析】本题考查了抛物线与直线交点间距离计算，熟练掌握解方程组是解题的关键．联立抛物线表达式和直线表达式得到方程组，解出两个交点为，继而即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得：或， ∴抛物线与直线的两个交点为， ∴， 故答案为：6． 2．二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，则的面积为(　  ) A．6 B．4 C．3 D．1 【答案】A 【难度】0.85 【分析】根据题意，令分别等于0，求得的坐标，进而根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图， 在中，当时， 解得： 当时，， 即， ∴ 故的面积为：． 故选：A． 3．如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为，点C的坐标为，直线l经过B、C两点． (1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标； (2)点P在线段上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N，当时，求点P的坐标； 【答案】(1)，顶点坐标 (2)点P的坐标为或 【难度】0.59 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式，然后配方成顶点式即可； （2）首先求出直线的解析式为，设，则，，则，，由题意可得方程，求解方程即可． 【详解】（1）解：将点，代入 ∴ 解得 ∴ ∵ ∴顶点坐标； （2）解：设直线的解析式为 将，代入得， 解得 ∴直线的解析式为 如图，设，，则 ∵抛物线对称轴为直线，轴 ∴点M和点N关于对称轴对称 ∴ ∴，， ∵ ∴ ∴或 当时，整理得 解得，（舍去） ∴； 当时，整理得 解得（舍去）， ∴； 综上所述，点P点坐标为或． 4．（2026·安徽·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知横坐标分别为，的两个动点，均在线段上，且，当时，求的值； (3)若点是抛物线的段上一个动点，过点分别作轴和轴的垂线与直线相交于，两点，记，点的横坐标为，求关于的函数表达式，并求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)， 【难度】0.57 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得直线的函数表达式为，结合，得出，，根据建立方程，解方程，即可求解； （3）设点，则点，，其中，证明得出，进而根据二次函数的性质求得最值，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， 可得， ∴，． ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵当时， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为，代入， 得， 解得：， ∴直线的函数表达式为，则，， ，． 当时，即， 解得； （3）解：如图， 设点，则点，，其中， 垂直于轴，交直线于点， ∵， ∴是等腰直角三角形，则， ∵过点分别作轴和轴的垂线与直线相交于，两点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ，即， ， 的最大值为． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·新疆喀什·期中）二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【难度】0.85 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，通过求解二次方程得到与轴的交点坐标，然后计算两点间的距离，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点， ∴令，则， 解得：，， ∴线段的长度为， 故选：C． 2．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，在x轴下方作垂直于y轴的直线交抛物线于点B、C，连接、，若点B到x轴的距离是点A到x轴距离的3倍，则的面积为_____ ． 【答案】8 【难度】0.66 【分析】根据抛物线解析式得到点的坐标，易得点到的距离、线段的长度，所以根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：由抛物线知，顶点． ∵点B到x轴的距离是点A到x轴距离的3倍， ∴． 则， 解得． ∵轴， ∴，． ∴． ∴． 3．如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点，其中点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)C为抛物线与y轴的交点，若点P在抛物线上，且，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.52 【分析】（1）根据、关于对称轴对称，可得点坐标，根据待定系数法，可得答案； （2）根据，可得到的距离是的4倍，可得点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【详解】（1）解：由、关于对称轴对称， 得． 将、点坐标代入函数解析式， 得， 解得， 抛物线的解析式； （2）解：由，得到的距离是的4倍， 即点的横坐标为4或， 当时，， 当时，，即， 综上所述，点P的坐标为或． 4．（25-26九年级上·山东日照·期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A，点C坐标分别为、，连接． (1)求此抛物线的解析式． (2)在下方的抛物线上有一点N，过点N作轴，交于点M，交x轴于点D，当点N的坐标为多少时，线段的长度最大？最大值是多少？ 【答案】(1) (2)，最大值为 【难度】0.65 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）设直线的解析式为，将、代入直线的解析式得到直线的解析式为：．又是抛物线上的一动点，故，且，故， ，根据题意，得，根据二次函数的性质解答即可． 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，构造二次函数求最值，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A，点C坐标分别为、， 解得 抛物线的解析式为． （2）解：设直线的解析式为， 将、代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 又是抛物线上的一动点， 故，且， 故， 故， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，的长度最大，且最大值为， ， 此时． 5．（25-26九年级上·广西钦州·期末）如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式． (2)在抛物线的对称轴上有一点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标． (3)若点在抛物线上，且它的横坐标为，与交于点，当的值最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）根据抛物线的性质可得对称轴为直线以及点，设，根据等腰三角形的定义和勾股定理列出方程，求出的值即可求解； （3）先求出直线的解析式为，过点作轴交于点，则，得到，分析可知当取得最大值时，有最小值；再利用二次函数的性质求出的最大值，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：将点，，点代入中， 得， 解得 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的解析式为， 对称轴为直线， 令，则， ， 设， 是以为底的等腰三角形， ， ， 解得， 点的坐标为； （3）解：由（2）得，， 设直线的解析式为， 把代入，得， 解得， 直线的解析式为； 如图，过点作轴交于点， 则， ， 当取得最大值时，有最小值； 点的横坐标为， ，， ， ， 当时，有最大值，此时有最小值， 点的坐标为． 6．（25-26八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C．若点为直线上的动点，过点P作轴交抛物线于点Q． (1)若． ①求直线的表达式； ②若，直接写出线段长度的最大值及此时的点P的坐标； (2)若，且线段的长随着的增大而增大，求m的取值范围． 【答案】(1)①；②长度的最大值为，； (2)或 【难度】0.52 【分析】（1）①先确定抛物线的表达式为，再确定A，B，C三点的坐标，运用待定系数法求直线的表达式即可；②根据题意可得，，得到，利用二次函数的性质，确定最值，求解即可； （2）可求出，，则可求出，讨论的取值范围，从而根据二次函数的性质确定的增减性，结合题意讨论求解即可， ． 【详解】（1）①解：当时，抛物线的表达式为， 在中，当时，， 解得， ∵点A在点B左侧， ； 在中，当时，， ； 设直线的表达式为， ∴， 解得， ∴直线的表达式为； ②解：∵点为直线上的动点，且， ∴由（1）可知点在线段上，且不与点B，点C重合， 如图所示， 在中，当时，， 在中，当时，， ，， ， ∵，且， ∴当，长度有最大值，最大值为， 此时 ∴此时． （2）解：在中，当时，， ∴，即， 解得， ∵点A在点B左侧， ； 在中，当时，， ， 设直线的表达式为， ∴， 解得， ∴直线的表达式为； 在中，当时，， 在中，当时，， ∴，， ； 当时，，则， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而减小，不符合题意； 当时，，则， ∴ ∵，即， ∴当时，随的增大而增大， 又∵，且线段的长随着的增大而增大， ∴， 解得； 当时，，则， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， 又∵，且线段的长随着的增大而增大， ∴； 综上所述，m的取值范围是或； 题型05 二次函数与图形综合 ·主要问题：最大周长、等腰三角形、平行四边形、相似三角形、角度关系等； ·方法核心：坐标化、设点、列方程或函数、分类讨论、检验范围。 1. 最大周长：把周长转化为线段和，利用“两点之间线段最短”或“将军饮马”作对称点；也可设点表示边长，构造函数求最值。 关键：动点在抛物线上时，设 (x, ax2+bx+c)，用距离公式表示线段； 易错：①忘记动点自变量范围；②对称点作错；③周长最大与线段和最大混淆。 2. 等腰三角形问题：设动点坐标，表示三边平方，分三种情况：AB=AC、AB=BC、AC=BC，再分别列方程求解。 关键：用平方比用根号方便；解出后画图检验是否共线、是否在范围内。 易错：①漏掉一种情况；②解出多个点不检验；③把等腰三角形与等边三角形混淆。 3. 平行四边形问题：已知三点求第四点 （1）利用对角线互相平分：对角顶点坐标和相等。 （2）利用对边平行且相等，用平移。 关键：分类讨论已知线段是“边”还是“对角线”。 易错：①漏解；②把顶点顺序固定死；③忘记检验是否构成平行四边形。 4. 相似三角形问题：先找等角（公共角、直角、对顶角、平行线产生的角），再分对应关系列比例。 关键：若对应关系不确定，设 △ABC∽△DEF 或△ABC∽△DFE，分类讨论。 易错：①对应边写错；②比例式交叉相乘出错；③漏掉分类；④忘记相似比与面积比的关系。 5. 角度关系问题： ①特殊角用三角函数或构造直角三角形；②相等角可转化为正切值相等，或转化为相似。 关键：①作水平线、竖直线构造直角三角形；②利用斜率 k=tanα。 易错：①角度范围忽略；②正切值相等但角可能互补；③钝角情况漏讨论。 典｜例｜精｜析 1．如图，抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)P是抛物线上的一个点，连接，，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 【难度】0.55 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当点P在x轴上方时，取点，连接，可证明，推出，则点P在射线上，求出直线的解析式为，联立对应的函数解析式求出点P的坐标即可；当点P在x轴下方时，取点，连接，同理可证明点P在射线上，联立对应的函数解析式求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴分别交于，两点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，当点P在x轴上方时，取点，连接， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P在射线上； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在x轴下方时，取点，连接， 同理可证明， ∴， ∵， ∴， ∴点P在射线上； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 2．如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，且直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点Q在直线l上移动，在x轴下方的抛物线上，是否存在点P，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【难度】0.65 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）设，，过点P作于点，过点A作于点N，则，证明，得出，，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴． ∵抛物线过点，， ∴， 解得：， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：存在． 设，， 如图①，图②，过点P作于点，过点A作于点N，则． ∵是以点P为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵，， ∴， 解得，， ∴或． 3．如图，抛物线的对称轴为：直线，图像与轴、轴分别交于点、、，已知点、，点在直线下方的抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)过点作轴交直线于点，作交于点，求的最大值； (3)设点为直线上的点，以、、、为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)能，点Q的坐标为或 【难度】0.55 【分析】（1）因为已知抛物线对称轴、点A的坐标，所以根据对称性求出点B的坐标，设抛物线解析式为交点式，将点C的坐标代入求解系数a，即得解析式． （2）首先求直线的解析式，设点P的横坐标为参数，用参数表示点P的坐标；因为平行于x轴，垂直于，所以分别用参数表示D、E的坐标，进而得到和的长度表达式，将整理为关于参数的二次函数，利用二次函数性质求最大值． （3）判断平行四边形存在性：分为边、为对角线两类讨论．如果为边，那么平行且等于，据此建立点P和点Q坐标的关系，结合点Q在直线上、点P在抛物线上的条件列方程求解；如果为对角线，那么和互相平分，利用中点坐标公式建立坐标关系，联立方程求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴交于， ∴， ∴点， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 即． （2）解：如图所示，设，直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， ∵轴，，点D，E都在直线上， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， 分别将点的坐标代入直线， 得，， ∴， ， ∴当时，取得最大值，最大值是3． （3）解：能，理由如下： ∵， ∴， 若以A、B、P、Q为顶点的四边形能构成平行四边形， ①当以为边时，则且， ∵点在直线下方，如图所示， 设，则， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 解得：，（与A重合，舍去）， ∴，， ∴； ②当以为对角线时，连接交于点G，则， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 作于点M，于点N，则， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，（与A重合，舍去）， ∴． 综上所述，以A、B、P、Q为顶点的四边形能构成平行四边形．此时点Q的坐标为或． 4．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，且．点为线段上一动点（不与点重合），过点作矩形，点在抛物线上，点在轴上． (1)求的值； (2)当矩形的周长最大时，求矩形的面积； (3)在（）的条件下，矩形不动，将抛物线沿着轴向左平移个单位，抛物线与矩形的边交于点，连接．若恰好平分矩形的面积，求的值． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)矩形的面积为； (3)的值为． 【难度】0.65 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，矩形的性质，二次函数的性质，平移规律等，掌握知识点的应用是解题关键． （）先求出点的坐标，由，可推出点坐标，将点坐标代入解析式可求出的值，即可写出抛物线的解析式； （）设点坐标为，用含的代数式表示出矩形的周长，利用二次函数的性质求出取其最大值时的值，即求出点的坐标，进一步可求出矩形的面积； （）连接，，，设与交于点，过点作的平行线，交于，交于点，则直线将矩形的面积分成相等的两半，依次求出直线，的解析式，再求出点的坐标，即可得出的值． 【详解】（1）解：在抛物线 中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 将代入得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设点坐标为， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴抛物线对称轴为， ∴点到对称轴的距离为， 由对称性可知， ∴矩形的周长， ∴当时，矩形周长取最大值， ∴此时， ∴，， ∴矩形的面积为； （3）解：如图，连接，，，设与交于点，过点作的平行线，交于，交于点，则直线将矩形的面积分成相等的两半， 由（）知，抛物线对称轴为，， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴可设直线的解析式为， 将点代入，得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴ ， ∵， ∴将抛物线沿着轴向左平移个单位，抛物线与矩形的边交于点，连接，则恰好平分矩形的面积， ∴的值为． 5．如图，在平面直角坐标系内，点，点，点．连接． (1)求经过点A、B、C三点的抛物线的表达式； (2)点D在x轴正半轴上，当以点D、O、C为顶点的三角形与相似时，求点D的坐标． (3)在（1）的抛物线上找一点E，使得的值最小并求点E的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【难度】0.65 【分析】（1）设抛物线的表达式为：，将代入得，，可求，进而可得抛物线的表达式； （2）由题意知，，当以点D、O、C为顶点的三角形与相似时，分，两种情况求解作答即可； （3）由题意知，当的值最小时，，在的垂直平分线上，如图，由，可得的垂直平分线过原点，且平分第一、三象限，进而可得表达式为：，联立，计算求解，进而可得点E坐标． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 将代入得，， 解得，， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：由题意知，， 当以点D、O、C为顶点的三角形与相似时，分，两种情况求解； 当时，，即， 解得，， ∴； 当时，，即， 解得，， ∴； 综上所述，点D的坐标为或； （3）解：由题意知，当的值最小时，，在的垂直平分线上，如图， ∵， ∴的垂直平分线过原点，并且平分第一、三象限， ∴表达式为：， 联立， 解得，，， ∴点E或． 变｜式｜巩｜固 1．如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴正半轴于点C．若P为第二象限抛物线上的一点，且，求点P的坐标． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质的综合，勾股定理的逆定理，待定系数法求一次函数解析式等知识点，通过判断是直角三角形，得到，则有，取的中点，连，先证出，再证出，待定系数法求直线的解析式为，从而得到直线的解析式为，联立得方程组，进而即可得解，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】令，则， 解得或， ，； 令，则， ， ，，， ， 是直角三角形， ， ∴ ， 取的中点，连，过两点作直线， ∴， ∴， ， ， ， ∴， ，， ，即 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 直线的解析式为， ∴联立， 解得：（舍去）或， ∴． 2．（24-25九年级上·青海海东·期末）如图，二次函数的图象和轴交点，，和轴交点．      (1)求这个二次函数的解析式； (2)求这个二次函数的顶点的坐标； (3)该二次函数图象对称轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形，若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【难度】0.65 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、勾股定理，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）设二次函数的解析式为，根据待定系数法即可得出二次函数解析式； （2）将二次函数解析式转化为顶点式，即可得出顶点坐标； （3）设点的坐标为，分别表示出，，，再利用勾股定理求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为， ∵图象经过，， ， ∴， 解得， ∴这个二次函数的解析式为； （2）， ∴这个二次函数的顶点的坐标为； （3）由（2）知该二次函数的对称轴为， 设点的坐标为， ，，， 当是以为斜边的直角三角形，则， 即， 解得，， ∴存在满足条件的点，坐标为或． 3．（25-26九年级下·陕西·期中）如图，抛物线（b、c为常数）分别与轴交于点、，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线的顶点，连接，点是抛物线的对称轴上的点，如果是以为腰的等腰三角形，请你求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或 【难度】0.54 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数综合—特殊三角形问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）先求出点的坐标为，点的坐标为，再分两种情况：当时，点位于点位置，过点作于点；当时，点位于点和点位置；分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：分别将、代入中，得： ， 解得， 该抛物线的函数表达式为． （2）解：令，则， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ①当时，点位于点位置，过点作于点，如图， 则点的坐标为， ， ， 点的纵坐标为， 点的坐标为； ②当时，点位于点和点位置，如图， ，，， ， 点的纵坐标为，点的纵坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或或． 4．如图，抛物线：交轴于点和点B，交y轴于点，顶点记为． (1)求抛物线的函数表达式及顶点的坐标． (2)连接，若线段上有一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长的最大值． (3)在（2）中，当的长最大时，将该抛物线平移，设平移后的抛物线为，抛物线的顶点记为，它的对称轴与x轴交于点．怎样平移才能使得以、、、为顶点的四边形是菱形？ 【答案】(1)； (2) (3)向右平移个单位长度，向下平移个单位长度或向左平移个单位长度，向下平移个单位长度 【难度】0.55 【分析】（1）把、两点坐标代入抛物线一般式，解二元一次方程组求得、，即可得到抛物线函数表达式；将表达式配方为顶点式，直接写出顶点的坐标即可； （2）先用待定系数法求直线的解析式，设点横坐标为，用表示、的坐标，通过两点纵坐标差写出关于的二次函数，利用二次函数性质求出的最大值即可； （3）先确定最大时点、的坐标，设平移后顶点，则，根据的位置，分在轴上方、下方两种情况，依据菱形邻边相等列方程求、，舍去无解情况，根据顶点坐标的变化量即可确定抛物线的平移方式． 【详解】（1）解：把、代入，得 ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 化为顶点式，得， ∴点的坐标为； （2）解：设直线的表达式为，代入、得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 设点的横坐标为，则，， ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∵，在取值内， ∴当时，； （3）解：由（2）当的长最大时，，点，点， 设平移后抛物线顶点，抛物线对称轴为直线，对称轴交轴于点， 根据的位置，可分两种情况讨论： ①如图，当点在轴上方时，四边形是菱形，则， ∴， 解得或， ，即， 解得或（不合题意，舍去）； ∴的坐标为或， ∵抛物线的顶点为， ∴当的坐标为时，，，抛物线向右平移个单位长度，向下平移个单位长度； 当的坐标为时，，，抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度； ②当点在轴下方时，四边形是菱形，则， ∴， 两边平方，得， 移项并整理，得， ∴此方程无实数根， 故此情况不成立； 综上，抛物线向右平移个单位长度，向下平移个单位长度或向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，能使得以、、、为顶点的四边形是菱形． 5．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，P是第二象限内抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图 1，设对称轴交线段于点N，点Q在对称轴上，且在点N的下方，是否存在以P，Q，N为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图 2，连接，交于点E，交y轴于点F，令，求k的最大值． 【答案】(1) (2)存在，P的坐标为 (3)的最大值为 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了函数的解析式的求法、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）将点和点代入求得a、b的值即可解答； （2）以点P、Q、N为顶点的三角形与相似，则为等腰直角三角形，，故当和为直角时，点Q和点A重合，不符合题意；当为直角时，则，即，解方程即可求解； （3）先求得直线的表达式为易得，再根据计算，然后根据二次函数的性质求最值即可。 【详解】（1）解：将点和点代入可得： ，解得：， 故抛物线的表达式为． （2）解：∵抛物线的表达式为， ∴当时，，即 ∴，即为等腰直角三角形， ∵以点P、Q、N为顶点的三角形与相似， ∴为等腰直角三角形， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的表达式为， ∵抛物线解析式为， ∴该抛物线的对称轴为：， 当时，，即点， ∵， 故当和为直角时，点P和点A重合，不符合题意； 当为直角时，则， 当时，解得：或（舍去）， ∴点． （3）解：如图：连接，设点， 设直线的表达式为， 则有，解得：， ∴直线的表达式为， ∴， ∴， ∴， ． ∴的最大值为． 6．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）已知抛物线经过点，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点，在该抛物线上，且，求m的取值范围； (3)将此抛物线向左平移n（）个单位，设平移后抛物线与y轴的交点为，若e的最大值和最小值分别为，，且，求n的值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.53 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先对称性求得点到对称轴的距离为，根据，列式计算即可求解； （3）先求得平移后的解析式，得到与y轴交点的纵坐标：，利用二次函数的性质求得e取最小值，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：先将抛物线解析式化为顶点式：， 抛物线开口向上，对称轴为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 因为， 所以，即：， 解得； （3）解：抛物线向左平移n个单位后，解析式为：， 当时，与y轴交点E的纵坐标：， 这是一个关于n的二次函数，开口向上，对称轴为， 当时，e取最小值， 题目中，则， 令，即， 解得：， 因为，所以． 【方法技巧与总结】①的图象：由的图象沿y轴右翻左，右侧不变得到，②的图象：由的图象沿x轴下翻上得到。 例：①； ② 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $