第20讲 二次函数与一元二次方程（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

简一数理 初中专题讲义 第20讲 二次函数与一元二次方程 （北师大版） 知识点一、 二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 2 知识点二、 二次函数与不等式的关系 3 【题型1 求抛物线与X轴的交点】 4 【题型2 求抛物线与Y轴的交点】 4 【题型3 已知二次函数值求自变量的值】 5 【题型4 抛物线与X轴的交点问题】 6 【题型5 求X轴与抛物线的截线长】 7 【题型6 图像法确定二次函数的近似根】 8 【题型7 根据二次函数图像确定相应方程根的情况】 9 【题型8 图像法解一元二次方程】 10 【题型9 利用不等式求自变量或函数值的范围】 11 【题型10 根据交点确定不等式的解集】 12 【题型11 线段周长问题（二次函数综合）】 13 【题型12 面积问题（二次函数综合）】 15 【题型13 角度问题（二次函数综合）】 16 【题型14 特殊三角形问题（二次函数综合）】 18 【题型15 特殊四边形问题（二次函数综合）】 20 【题型16 相似三角形问题（二次函数综合）】 23 【探究式学习】 26 【课后检测】 28 【复盘笔记】 33 知识点一、 二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 求二次函数的图像与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 与x轴交点个数 图像 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线 与x轴交于， 两点 一元二次方程 有两个不相等的实数根 2个交点 △＝0 抛物线与x轴交于这一点 一元二次方程 有两个相等的实数根 1个交点 △＜0 抛物线 与x轴无交点 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 0个交点 知识点二、二次函数与不等式的关系 二次函数与一元二次不等式及之间的关系如下(）： 图像 有两个交点 有1个交点 无交点 判别式 △＞0 △＝0 △＜0 △＞0 △＝0 △＜0 或 的全体实数 全体实数 无解 无解 或 无实根 或 无实根 无解 无解 或 的全体实数 全体实数 【题型1 求抛物线与X轴的交点】 【例1】（26-27九年级上·陕西安康·阶段检测）若抛物线（a、c为常数，且）与x轴的一个交点坐标为，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】二次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（     ） A． B．2 C． D．4 【变式1-3】下列关于二次函数与坐标轴的交点的说法正确的是（   ） A．与x轴的交点个数不确定 B．与y轴的交点坐标为 C．与坐标轴有两个交点 D．与坐标轴有3个交点 【题型2 求抛物线与Y轴的交点】 【例2】（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线分别与轴的负半轴和轴的正半轴相交于，两点，且，抛物线的对称轴为，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】抛物线与抛物线的相同之处是（     ） A．顶点坐标 B．对称轴 C．开口方向 D．与y轴的交点坐标 【变式2-2】关于x的二次函数（a，c为常数，且），下列说法中错误的是（     ） A．函数图象的对称轴是直线 B．当时，函数图象与x轴一定有两个交点 C．函数图象一定经过点 D．当时，y的值随x值的增大而增大 【变式2-3】二次函数的部分图象如图所示，当时，的值可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型3 已知二次函数值求自变量的值】 【例3】（26-27九年级上·陕西·期中）小颖在一次比赛中观察到铅球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，铅球的飞行高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的函数关系式为，当铅球的飞行高度为时，铅球此时的水平距离为（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】“不倒翁”是一种十分有趣的玩具，下图中的“不倒翁”的纵截面底部边缘呈现抛物形状．若将这个“不倒翁”放在水平桌边附近处于静止状态，纵截面底部边缘的最高点距桌面的垂直距离为，若其垂直于桌面边缘的纵截面上一点与桌边的水平距离为，与桌面的垂直距离为，例如某点距桌面的垂直距离和距桌边的水平距离都是，最低点距桌边．关于的函数部分图象如图所示，那么这个“不倒翁”静止时超出桌面边缘的水平距离是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】某地每年六月都有举办龙舟比赛的习俗，比赛需要经过一个抛物线形的拱桥．如图，是水平面，拱桥对应的函数表达式为．某商家在点处悬挂了广告条幅，已知，点到的距离为，则点到点的距离是（   ）． A． B． C． D． 【变式3-3】已知二次函数图象上部分点的坐标的对应值如表所示，则方程的根是（  ） … … … … A．或 B．或 C．或 D．或 【题型4 抛物线与X轴的交点问题】 【例4】（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）二次函数图象的对称轴为，若它与x轴的一个交点横坐标约为，则方程的另一个根的大致范围是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】二次函数的图象如图所示，则下列结论：①，②，③，④中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-2】如图，二次函数的图象开口向下，与x轴交于两点，与y轴交于点．则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】二次函数（a为常数）的图象与x轴交点的个数是（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型5 求X轴与抛物线的截线长】 【例5】（26-27九年级上·河南商丘·阶段检测）二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（     ） A．6 B．8 C．9 D．18 【变式5-1】抛物线与轴交于，两点，且，则的值为（     ） A． B．或 C． D．或 【变式5-2】如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段之间（包括点、）来回平移，与轴交于、两点在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为（     ） A．13 B．7 C．5 D．8 【变式5-3】二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型6 图像法确定二次函数的近似根】 【例6】（26-27九年级上·全国·单元复习）已知，依据下表，它的一个解的范围是（     ） x 0 1 5 1 A． B． C． D． 【变式6-1】根据下列表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程（，，，为常数）的一个解是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】根据下表中二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程（，为常数）的一个解的范围是（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】函数的图象如图所示，该图象与轴的公共点的横坐标约是，由此可以估计方程的负的实数根是（     ） A． B． C． D． 【题型7 根据二次函数图像确定相应方程根的情况】 【例7】（26-27九年级上·陕西·期中）二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表： … 0 1 … … 3 2 … 对于下列结论：①；②；③当时，随的增大而减小；④的两个根为，．其中正确结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-1】如图1，二次函数的图象开口向下，与x轴交于、两点，与y轴交于点，对称轴为直线．下列结论正确的是（    ） A． B．当时，y随x的增大而减小 C．关于x的方程的两个根为， D． 【变式7-2】二次函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况为（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个异号的实数根 D．有两个不相等的实数根 【变式7-3】已知二次函数（）中x和y部分对应值如表，则关于x的一元二次方程的一个根所在范围的是（     ） x y A． B． C． D． 【题型8 图像法解一元二次方程】 【例8】（2025·广东清远·一模）抛物线如图所示，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，下列结论：①；②；③对于任意实数，都有；④当时，．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-1】抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，二次函数的图像与x轴交于，两点，其对称轴经过点，下列说法正确的是（    ） A．当时， B． C．方程 有两个实数根 D．二次函数 的顶点坐标为 【变式8-3】如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型9 利用不等式求自变量或函数值的范围】 【例9】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）在二次函数中，若，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式9-1】已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（     ）． A． B． C． D． 【变式9-2】如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点，则：①二次函数的最大值为；②；③；④当时，；其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式9-3】二次函数的图象如图所示．若关于的一元二次方程有实数根，则的最大值为(    ) A． B．3 C． D．6 【题型10 根据交点确定不等式的解集】 【例10】（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图所示的抛物线是二次函数的图像，且图像经过原点，那么下列结论错误的是（     ） A．上述抛物线可由抛物线平移得到 B．当时， C．当时，y随x的增大而增大 D．当时， 【变式10-1】如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【变式10-2】抛物线的部分图象如图，其与x轴的一个交点的坐标为，对称轴为直线，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 【变式10-3】已知二次函数与一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【题型11 线段周长问题（二次函数综合）】 【例11】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点．点是抛物线上的任意一点，且位于线段的上方，过点作轴交于点．若的长度随增大而减小，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式11-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，已知点，，若线段与抛物线只有一个公共点，则的值可能是（    ）    A． B． C． D． 【变式11-2】如图，二次函数y＝﹣x2+2x+m+1的图象交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，图象的顶点为D．下列四个命题： ①当x＞0时，y＞0； ②若a＝﹣1，则b＝4； ③点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当m＝2时，△MCE周长的最小值为2； ④图象上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2， 其中真命题的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式11-3】（2026·山东济南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，是轴上的两点，是函数图像上一动点，连接，．则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【题型12 面积问题（二次函数综合）】 【例12】（26-27九年级上·四川泸州·阶段检测）如图，二次函数过点，长方形的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和（     ） A．16 B．8 C．14 D．9 【变式12-1】如图，抛物线与直线相交于点A、B，连接、，则的面积是（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 【变式12-2】如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点（A在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连结交于点，连结，，记的面积为，的面积为，则的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【变式12-3】如图，在中，M是上一点，E是上一动点，过点E作交于点F，若，，，则的最大值为（     ） A．40 B．30 C．20 D．15 【题型13 角度问题（二次函数综合）】 【例13】（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）已知抛物线在轴上方的图象上存在一点，使得与轴的夹角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】（2024·四川广元·二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当时，；②若且，则 ；③若，则④若，连接，点 P 在抛物线的对称轴上，且，则． 其中正确的有（    ） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【变式13-2】（26-27九年级上·重庆长寿·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，连接，抛物线是否存在点Q使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式13-3】（26-27九年级上·湖北咸宁·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上，是否存在一点Q，使得，若存在，求出Q点坐标； (3)直线与抛物线的对称轴交于点D，M为对称轴右侧抛物线上一动点，点N在x轴上，若以点D、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的点M的坐标． 【题型14 特殊三角形问题（二次函数综合）】 【例14】（24-25九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，经过 、 两点的抛物线 与 轴的另一交点为 ． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点 是该抛物线上的动点，过点 作垂直 轴的直线，交轴于点 ，交 于点 ，设点 的横坐标为 （）． ①当 时，求点 的坐标； ②当 为以 为腰的等腰三角形时，直接写出满足条件的 的值． 【变式14-1】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，已知抛物线经过，两点，与y轴交于点C，连接，．P是线段上一动点，过点P作轴，交抛物线于点M，交线段于点N． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，求点M的坐标； (3)连接，是否存在点P使得是等腰三角形?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式14-2】（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴负半轴交于点C，且，抛物线的顶点为M． (1)求a、c的值； (2)证明：为直角三角形； (3)若点是线段上一个动点，联结，是否存在点，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式14-3】（26-27九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，交轴正半轴于点． (1)求的值及点的坐标； (2)抛物线上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【题型15 特殊四边形问题（二次函数综合）】 【例15】（26-27九年级上·全国·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线经过B，C两点，点A的坐标为，P是第一象限内抛物线上的一个动点，于点Q，设点P的横坐标为n． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求线段的最大值，并求此时n的值； (3)在（2）的条件下，当线段取最大值时，若M是x轴正半轴上一动点，N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式15-1】（26-27九年级上·陕西延安·阶段检测）如图，抛物线经过，，三点． (1)求、、的值； (2)点为轴上的动点，轴左侧的抛物线上是否存在点，使以、、、四点构成的四边形是以为边的平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式15-2】（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”． (1)试判断与是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由： (2)如图，若：与：互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为，，记，组成的图形为． ①试猜想与的数量关系，并证明； ②如图，若：，，，分别为，上的点，且四边形为正方形，求的值． 【变式15-3】（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，点在抛物线上，且横坐标为． (1)直接写出点的坐标：__________； (2)求直线所对应的函数解析式； (3)若是该抛物线上位于直线上方的点，且横坐标为，则的面积为___________； (4)若抛物线的对称轴与直线相交于点，为顶点，点为直线上的任意一点，过点作交抛物线于点，以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标． 【题型16 相似三角形问题（二次函数综合）】 【例16】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)是线段上方抛物线上的一动点，过点作，垂足为，是直线上一动点，是轴上一动点，连接，，．当的长度取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点的对应点为，是平移后抛物线上一点，直线交射线于点，且．请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的其中一种情况的过程． 【变式16-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，和轴相交于点，连接、． (1)求抛物线的解析式（关系式）． (2)在第一象限外，是否存在点，使得以为直角边的和相似？若存在，请简要说明如何找到符合条件的点，然后直接写出点的坐标，并判断是否有满足条件的点在抛物线上；若不存在，请说明理由． (3)在直线上方的抛物线上，找一点，使，并求出此时点的坐标． 【变式16-2】如图，二次函数图像的对称轴为直线，其图象过点与x轴交于另一点B，与y轴交于点C． (1)求二次函数的解析式，写出顶点坐标； (2)动点M，N同时从B点出发，均以每秒2个单位长度的速度分别沿的，边上运动，设其运动的时间为t秒，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，连接，将沿翻折，若点B恰好落在抛物线上的处，试求t的值及点的坐标； (3)在（2）的条件下，Q为的中点，试探究x轴上是否存在点P，使得以B，Q，P为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，试说明理由． 【变式16-3】已知二次函数与x轴交于和两点，且（），交y轴于点C，顶点为D． (1)，， ①求该二次函数的对称轴方程及顶点坐标； ②定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”； (2)如图，过D、C两点的直线交x轴于点E，满足，求的值． 【探究式学习】 1．（26-27九年级上·山西大同·阶段检测）综合与探究 如图，在等腰直角三角形中，分别为边和边上的动点，，设的长为． (1)如图1，若四边形的面积为150，求的值． (2)如图2，过点作于点，过点作于点． ①当取何值时，四边形的面积最大？最大值是多少？ ②将沿翻折得到与四边形重叠部分的面积记为S，当S的值为40时，直接写出此时的值． 2．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线，交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧，其中A点坐标，交y轴负半轴于点C，C点坐标． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，若抛物线上有一点D，，求点D的坐标； (3)如图2，点P是第一象限抛物线上一点，过点P的直线与抛物线交于另外一点Q．连接、，分别交y轴于M、N两点．若，试探究m、n之间的数量关系，并说明理由． 【课后检测】 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）抛物线（）与x轴的交点为，，则关于x的一元二次方程的两个根是（     ） A．， B．， C．， D．， 2．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）二次函数与轴交点坐标是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）抛物线与轴的两个交点之间的距离是（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 4．（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的纵坐标是（     ） A． B．3 C． D．9 5．（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是（     ） A．， B．， C．， D．， 6．（26-27九年级上·天津滨海新区·阶段检测）二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 7．（26-27九年级上·全国·期中）如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①；②；③；④对于任意实数m，都有．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知二次函数和（）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（   　 ） A．2 B． C．4 D． 9．（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）如图，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线 ，与x轴交于两点，与y轴交于点．则下列结论正确的是（     ） A． B． C．当时，y随x的增大而减小 D． 10（26-27九年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，若二次函数（）的图象的对称轴为直线，与轴交于点，与轴交于点、点，则：①；②二次函数的最大值为；③；④；⑤当时，；其中正确的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11．（26-27九年级上·贵州遵义·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解为________． 12．（26-27九年级上·天津滨海新区·阶段检测）抛物线的对称轴是______． 13（26-27九年级上·陕西安康·阶段检测）若抛物线（为常数）与轴的交点在轴上方，则的值可以是______．（写出一个符合题意的数即可） 14．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）抛物线与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点的坐标是__________________． 15．（26-27九年级上·内蒙古·期中）如图，已知二次函数与一次函数的图像相交于点，，则的解集是___________． 16．（21-22九年级下·浙江温州·开学考试）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称，点A的坐标为． (1)求二次函数的表达式． (2)当时，写出x的取值范围． 17.（26-27九年级上·云南曲靖·阶段检测）已知二次函数的图象经过点，抛物线对称轴为直线． (1)求该二次函数的解析式； (2)点在该函数图象上，当时，y有最小值4，求n的值； (3)若m是该二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标，求的值． 18．（26-27九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使得的值最小，求出点的坐标． (3)若直线上方的抛物线上有一点，当点、、构成的三角形面积最大时，求的坐标． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 100 页 第 1 页 共 100 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第20讲 二次函数与一元二次方程 （北师大版） 知识点一、 二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 2 知识点二、 二次函数与不等式的关系 3 【题型1 求抛物线与X轴的交点】 4 【题型2 求抛物线与Y轴的交点】 6 【题型3 已知二次函数值求自变量的值】 8 【题型4 抛物线与X轴的交点问题】 11 【题型5 求X轴与抛物线的截线长】 13 【题型6 图像法确定二次函数的近似根】 15 【题型7 根据二次函数图像确定相应方程根的情况】 17 【题型8 图像法解一元二次方程】 19 【题型9 利用不等式求自变量或函数值的范围】 23 【题型10 根据交点确定不等式的解集】 26 【题型11 线段周长问题（二次函数综合）】 29 【题型12 面积问题（二次函数综合）】 33 【题型13 角度问题（二次函数综合）】 38 【题型14 特殊三角形问题（二次函数综合）】 48 【题型15 特殊四边形问题（二次函数综合）】 57 【题型16 相似三角形问题（二次函数综合）】 68 【探究式学习】 82 【课后检测】 87 【复盘笔记】 100 知识点一、 二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 求二次函数的图像与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 与x轴交点个数 图像 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线 与x轴交于， 两点 一元二次方程 有两个不相等的实数根 2个交点 △＝0 抛物线与x轴交于这一点 一元二次方程 有两个相等的实数根 1个交点 △＜0 抛物线 与x轴无交点 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 0个交点 知识点二、二次函数与不等式的关系 二次函数与一元二次不等式及之间的关系如下(）： 图像 有两个交点 有1个交点 无交点 判别式 △＞0 △＝0 △＜0 △＞0 △＝0 △＜0 或 的全体实数 全体实数 无解 无解 或 无实根 或 无实根 无解 无解 或 的全体实数 全体实数 【题型1 求抛物线与X轴的交点】 【例1】（26-27九年级上·陕西安康·阶段检测）若抛物线（a、c为常数，且）与x轴的一个交点坐标为，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求抛物线的对称轴，再利用抛物线与轴两交点关于对称轴对称的性质计算另一个交点坐标． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， 且抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点为， 设另一个交点为， ∴． 解得． ∴另一个交点坐标为． 【变式1-1】二次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线解析式求开口方向，与y轴的交点，可确定抛物线的大致位置． 【详解】解：二次函数二次项系数，所以抛物线开口向上，选项C、D错误； 令，则， 解得，， 所以抛物线过点和，故选项A正确，B错误． 【变式1-2】抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】解：令，得； ∵， ∴或， 解得，， ∴抛物线与轴的两个交点为，， ∴两交点之间的距离为． 【变式1-3】下列关于二次函数与坐标轴的交点的说法正确的是（   ） A．与x轴的交点个数不确定 B．与y轴的交点坐标为 C．与坐标轴有两个交点 D．与坐标轴有3个交点 【答案】D 【分析】本题主要考查了求二次函数图象与坐标轴的交点知识点，解题的关键是理解和灵活运用知识解题．通过计算二次函数与坐标轴的交点情况判断选项．与y轴的交点由求得；与x轴的交点个数由判别式决定． 【详解】∵与y轴交点：当时，， ∴交点为，故B错误． ∵与x轴交点：令，得方程，判别式， ∴方程有两个不相等的实数根，即与x轴有两个交点，故A错误． ∵与x轴有两个交点，与y轴有一个交点，且交点不重合（因为当时）， ∴与坐标轴共有三个交点，故C错误，D正确． 故选：D． 【题型2 求抛物线与Y轴的交点】 【例2】（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线分别与轴的负半轴和轴的正半轴相交于，两点，且，抛物线的对称轴为，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线的图象开口方向、对称轴、特殊点（，，）的函数值的情况，逐一判断即可得出答案． 【详解】解：选项A，由图象可知，抛物线开口向下，，抛物线的对称轴， ，当时，，∴，选项A结论正确； 选项B，由图象可知，当时，，选项B结论正确； 选项C，由图象可知，当时，，∴，当时，，解得，∵，∴，选项C结论正确； 选项D，由选项C可知，选项D结论错误． 【变式2-1】抛物线与抛物线的相同之处是（     ） A．顶点坐标 B．对称轴 C．开口方向 D．与y轴的交点坐标 【答案】B 【分析】由于的顶点坐标为，对称轴是，利用它们根据解析式即可找到所给抛物线的相同之处． 【详解】解：A、∵抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，当即时，顶点坐标不同，∴选项A不符合题意； B、∵抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线，∴两抛物线对称轴相同，∴选项B符合题意； C、∵抛物线的二次项系数为，开口向上，抛物线的二次项系数为，开口向下，∴开口方向不同，∴选项C不符合题意； D、∵两抛物线的常数项分别为和，∴与轴交点分别为和，不相同，∴选项D不符合题意． 【变式2-2】关于x的二次函数（a，c为常数，且），下列说法中错误的是（     ） A．函数图象的对称轴是直线 B．当时，函数图象与x轴一定有两个交点 C．函数图象一定经过点 D．当时，y的值随x值的增大而增大 【答案】D 【分析】二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定，可优先判断涉及增减性的选项，再验证其余选项． 【详解】解：函数图象的对称轴为直线，故A正确，不符合题意； 当时，对于方程，， ∵， ∴，函数图象与轴一定有两个交点，故B正确，不符合题意； 将代入，得， ∴函数图象一定经过点，故C正确，不符合题意； 当时，抛物线开口向上，时，随的增大而增大；当时，抛物线开口向下，时，随的增大而减小，故D错误，符合题意． 【变式2-3】二次函数的部分图象如图所示，当时，的值可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， 结合选项可知的值可以是． 【题型3 已知二次函数值求自变量的值】 【例3】（26-27九年级上·陕西·期中）小颖在一次比赛中观察到铅球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，铅球的飞行高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的函数关系式为，当铅球的飞行高度为时，铅球此时的水平距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将飞行高度代入函数关系式，得到关于的一元二次方程，解该方程即可得到水平距离．由于水平距离应为正数，舍去负根． 【详解】解：对于， 令，得， 整理得：， 解得或， ∵水平距离， ∴． 【变式3-1】“不倒翁”是一种十分有趣的玩具，下图中的“不倒翁”的纵截面底部边缘呈现抛物形状．若将这个“不倒翁”放在水平桌边附近处于静止状态，纵截面底部边缘的最高点距桌面的垂直距离为，若其垂直于桌面边缘的纵截面上一点与桌边的水平距离为，与桌面的垂直距离为，例如某点距桌面的垂直距离和距桌边的水平距离都是，最低点距桌边．关于的函数部分图象如图所示，那么这个“不倒翁”静止时超出桌面边缘的水平距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据待定系数法求出函数解析式为，然后把代入，求出的值，即可求解. 【详解】解：设抛物线的解析式为， ∵图象过点， ∴， 解得， ∴， 当时，， 解得，， ∵点 关于 轴的对称点在 轴左侧， ∴， ∴超出桌面边缘的水平距离为. 【变式3-2】某地每年六月都有举办龙舟比赛的习俗，比赛需要经过一个抛物线形的拱桥．如图，是水平面，拱桥对应的函数表达式为．某商家在点处悬挂了广告条幅，已知，点到的距离为，则点到点的距离是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到，代入解析式求解即可． 【详解】解：由题意得， ， 解得：，， 又， ，， ， 即点到点的距离是． 【变式3-3】已知二次函数图象上部分点的坐标的对应值如表所示，则方程的根是（  ） … … … … A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据抛物线的性质和表格提供的信息得到抛物线解析式为，对称轴为，根据抛物线经过点，得到抛物线也经过点，将方程变形为，根据一元二次方程和二次函数的关系即可求出的根． 【详解】解：由抛物线经过点（0,3）得c=3， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线经过点（0,3）和（6,3）， ∴抛物线对称轴为， ∵抛物线经过点， ∴抛物线也经过点， 方程变形为， ∴方程的根可以理解为二次函数的函数值为1时所对应的自变量的取值， 所以方程的根为． 故选：D 【点睛】本题考查二次函数的性质、一元二次方程与二次函数的关系，熟知相关知识，并根据题意得抛物线经过点，并能将方程变形为是解题的关键． 【题型4 抛物线与X轴的交点问题】 【例4】（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）二次函数图象的对称轴为，若它与x轴的一个交点横坐标约为，则方程的另一个根的大致范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数图象与x轴两交点关于对称轴对称的性质，计算另一根的范围． 【详解】解：设方程的另一根为，已知其中一根约为． ∵二次函数的图象对称轴为，与轴的两交点关于对称轴对称． ∴两根横坐标的中点为对称轴与x轴的交点，即． 解得． ∵， ∴． 【变式4-1】二次函数的图象如图所示，则下列结论：①，②，③，④中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①∵由图象可知：图象开口向下，与轴交于正半轴，对称轴为， ∴，，． ∴， ∴，原结论正确； ②∵由图象可知：当时，， 把代入解析式得：， ∴，故原结论错误； ③∵由图象可知：图象开口向下，与轴交于正半轴，对称轴为， ∴，，． ∴， ∴，原结论正确； ④∵时，（最大值）时，， ∵， ∴， ∴，故原结论错误． ∴①③正确． 【变式4-2】如图，二次函数的图象开口向下，与x轴交于两点，与y轴交于点．则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的开口方向可以得出，再根据对称轴为直线，判断出，与y轴交于点得到，与轴有两个交点即可得出． 【详解】解：A、二次函数的图象开口向下，，故A错误； B、二次函数的对称轴为直线，，，故 B正确； C、二次函数与y轴交点，，故C错误； D、抛物线与x轴有两个交点，，故D错误． 【变式4-3】二次函数（a为常数）的图象与x轴交点的个数是（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】通过对应一元二次方程的根的判别式，判断二次函数图象与轴的交点个数． 【详解】解：令，得． ∵根的判别式． 又∵ ， ∴ ，即． ∴该方程有两个不相等的实数根，对应二次函数图象与轴有2个交点． 【题型5 求X轴与抛物线的截线长】 【例5】（26-27九年级上·河南商丘·阶段检测）二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（     ） A．6 B．8 C．9 D．18 【答案】A 【分析】令，得，两点的坐标为和，从而得的长． 【详解】解：令，得， 解得，， ∴，两点的坐标为和， ∴线段的长为． 【变式5-1】抛物线与轴交于，两点，且，则的值为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】将抛物线与x轴的交点问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及两点距离列方程求解. 【详解】解：设，，则，是方程的两个实数根. 由根与系数的关系，得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得，， ∵恒成立， ∴的值为或． 【变式5-2】如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段之间（包括点、）来回平移，与轴交于、两点在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为（     ） A．13 B．7 C．5 D．8 【答案】D 【分析】当点横坐标最小时，抛物线顶点必为，根据此时抛物线的对称轴，可判断出间的距离；当点横坐标最大时，抛物线顶点为，再根据此时抛物线的对称轴及的长，可判断出点横坐标最大值． 【详解】解：当点横坐标为时，抛物线顶点为，对称轴为，此时点横坐标为5，则； 当抛物线顶点为时，抛物线对称轴为，且，故，； 由于此时点横坐标最大， 故点的横坐标最大值为8． 【变式5-3】二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，通过求解二次方程得到与轴的交点坐标，然后计算两点间的距离，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点， ∴令，则， 解得：，， ∴线段的长度为， 故选：C． 【题型6 图像法确定二次函数的近似根】 【例6】（26-27九年级上·全国·单元复习）已知，依据下表，它的一个解的范围是（     ） x 0 1 5 1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察表格中代数式的取值符号，找到符号改变的区间即为方程一个解的范围． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴方程的一个解的范围是． 【变式6-1】根据下列表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程（，，，为常数）的一个解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数值的正负变化确定方程解的区间，再对比选项判断． 【详解】解：时，，时，， 方程的一个解在之间，选项中只有在该区间内． 故C符合题意． 【变式6-2】根据下表中二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程（，为常数）的一个解的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：方程的解对应二次函数中时的值， 由表格可知，当时，；当时，； ∴方程的一个解的范围是． 【变式6-3】函数的图象如图所示，该图象与轴的公共点的横坐标约是，由此可以估计方程的负的实数根是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数图象的对称轴性质进行估算即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 函数图象与轴的两个公共点关于直线对称． 公共点的横坐标约为， 另一个公共点的横坐标约为， 方程 的负的实数根约为． 【题型7 根据二次函数图像确定相应方程根的情况】 【例7】（26-27九年级上·陕西·期中）二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表： … 0 1 … … 3 2 … 对于下列结论：①；②；③当时，随的增大而减小；④的两个根为，．其中正确结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由表格数据可知对称轴为直线，即可得出，与同正负，即可判断②；当时，，可得出，再结合与同正负即可得出，即可判断①；由二次函数的对称性可得出点关于对称轴的对称点为，即可判断④；根据，均在二次函数图象上，且均在对称轴左侧，可得抛物线开口向下，进而根据二次函数的图象与性质可判断③． 【详解】解：根据表格可知：和时，的值均为， ∴该二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，与同正负，且不为， ∴，故②错误； 当时，， ∴， ∴，故①正确； ∵二次函数图象上的点关于对称轴的对称点为：， ∴方程，即方程的两个根为，，故④正确； ∵，均在二次函数图象上，且均在对称轴左侧， ∴在对称轴左侧，y随的增大而增大， ∴，抛物线开口向下， ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，故③错误； 综上所述，① ④正确，共个． 【变式7-1】如图1，二次函数的图象开口向下，与x轴交于、两点，与y轴交于点，对称轴为直线．下列结论正确的是（    ） A． B．当时，y随x的增大而减小 C．关于x的方程的两个根为， D． 【答案】C 【分析】根据开口向下得到，然后结合对称轴得到，然后根据与y轴交点得到，即可判断A；根据图象即可判断B；根据抛物线与x轴的交点即可判断C，D． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴交于点， ∴， ∴，故A错误； 由图象可得，当时，y随x的增大而增大，故B错误； ∵抛物线图象与x轴交于点，， ∴关于x的方程的两个根为，，故C正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故D错误． 【变式7-2】二次函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况为（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个异号的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】二次函数的图象与x轴交点的横坐标，就是所对应的方程的根，根据交点个数即可确定一元二次方程的根的情况． 【详解】解：一元二次方程可化为， 二次函数的图象与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程的根， 由图可知，二次函数的图象与x轴有两个交点， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． 【变式7-3】已知二次函数（）中x和y部分对应值如表，则关于x的一元二次方程的一个根所在范围的是（     ） x y A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由表格数据可知，当时，， 当时，， ∴一元二次方程的一个根在范围内． 【题型8 图像法解一元二次方程】 【例8】（2025·广东清远·一模）抛物线如图所示，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，下列结论：①；②；③对于任意实数，都有；④当时，．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象与不等式的关系等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． 根据图象开口向下可知，与轴的交点在原点上方可知，据此可判断①；因为抛物线与轴交于，对称轴为直线，所以另一交点为，则、两式相减可得，可判断②；抛物线顶点坐标为，开口向下，则为最大值，对于任意实数，都有，据此可判断③；由图象可得当时，，据此可判定④． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵与轴的交点在原点上方可， ∴， ∴，即①正确； ∵抛物线与轴交于，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一交点为， ∴当时，；当时，， ∴两式相减可得，即②正确； ∵抛物线顶点坐标为，开口向下， ∴为最大值， ∴对于任意实数，都有，即③错误； ④由图象可得，当时，，即④正确． 综上，正确的有3个． 故选C． 【变式8-1】抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与轴的另一个交点坐标为，然后结合二次函数图象，写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴是直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 抛物线开口向下， 当时，． 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质以及图象法解一元二次方程． 【变式8-2】如图，二次函数的图像与x轴交于，两点，其对称轴经过点，下列说法正确的是（    ） A．当时， B． C．方程 有两个实数根 D．二次函数 的顶点坐标为 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键； 根据二次函数的图像和性质即可求解； 【详解】解：A、当时，根据函数图象可得：； 故该选项错误； B、∵对称轴经过点， ∴， 故该选项错误； C、二次函数的图像与x轴交于，两点， 将，代入中， 可得：， 解得：， 函数解析式为： 将代入， 可得：， 即， ，，， ，故方程没有实数根， 该选项错误； D、，故二次函数 的顶点坐标为， 该选项正确； 故选：D 【变式8-3】如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点、特殊值点等方面逐项判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵时，， ∴，故④错误； ∵抛物线交x轴于，对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一交点为， ∴时，，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有3个． 【题型9 利用不等式求自变量或函数值的范围】 【例9】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）在二次函数中，若，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定抛物线开口方向与对称轴，判断给定区间内函数的增减性，再代入区间端点算出对应函数值，得到的取值范围． 【详解】解：二次函数开口向上，对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴当时，． 【变式9-1】已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象和性质，判断二次函数的开口方向，对称轴，以及顶点坐标，结合自变量的取值范围，得出对应的取值范围． 【详解】解：∵二次函数，对称轴为直线，顶点坐标为， 二次函数转化为一般式为，，二次函数开口向上， 又∵在的范围内， ∴当时，该函数在对称轴左侧随的增大而减小， 当时，，当时，取得最小值， ∴此时的取值范围是， 当时，该函数在对称轴右侧随的增大而增大， ∵， ∴， ∴此时的取值范围是， ∴当时，的取值范围是． 【变式9-2】如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点，则：①二次函数的最大值为；②；③；④当时，；其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】函数图象开口向下，则在对称轴处函数有最大值，结合对称轴为直线可判断①；根据点B的坐标可判断②；根据二次函数与x轴有两个交点可判断③；根据对称性求出点A的坐标，结合函数图象可判断④． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴在对称轴处函数有最大值， ∵对称轴为直线， ∴把代入得， ∴函数的最大值为，故①正确； ∵二次函数与交于点， ∴当时，，故②错误； ∵二次函数与x轴交于点A、点， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，故③正确； 由对称性可知，点A的坐标为， ∴由函数图象可知，当时，，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共3个． 【变式9-3】二次函数的图象如图所示．若关于的一元二次方程有实数根，则的最大值为(    ) A． B．3 C． D．6 【答案】B 【分析】一元二次方程有实数根，则二次函数的图象与直线有交点，结合图象即可求解． 【详解】解：一元二次方程有实数根，则二次函数的图象与直线有交点， 由图象得，，解得， ∴的最大值为， 故选：B． 【点睛】此题考查了图象法求一元二次方程的解，解题的关键是用函数图象来处理方程根的问题． 【题型10 根据交点确定不等式的解集】 【例10】（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图所示的抛物线是二次函数的图像，且图像经过原点，那么下列结论错误的是（     ） A．上述抛物线可由抛物线平移得到 B．当时， C．当时，y随x的增大而增大 D．当时， 【答案】D 【分析】由二次函数的图像开口向下，且图像经过原点，可得二次函数的解析式为，再根据二次函数的图象与性质，即可判断． 【详解】解：∵二次函数的图像开口向下，且图像经过原点， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为， A、∵抛物线可由抛物线平移得到，故选项正确，不符合题意； B、令，， ∴，， ∴抛物线与轴的交点为，， ∵抛物线开口向下， ∴当时，，故选项正确，不符合题意； C、∵抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项正确，不符合题意； D、∵抛物线与轴的交点为，，开口向下， ∴当时，或，故选项错误，符合题意． 【变式10-1】如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】将不等式变形为，结合图象找出二次函数图象在一次函数图象下方对应的取值范围即可． 【详解】解：不等式移项，得， ∵二次函数与一次函数的交点为及轴上的点， ∴交点横坐标分别为和， 由图象可知，当时，抛物线在直线下方或重合， ∴不等式的解集为． 【变式10-2】抛物线的部分图象如图，其与x轴的一个交点的坐标为，对称轴为直线，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】先根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标，由得函数值为负数，即抛物线在x轴下方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式的解集． 【详解】解：根据图示知，抛物线图象的对称轴是，与x轴的一个交点坐标为， 根据抛物线的对称性知，抛物线图象与x轴的两个交点关于直线对称，即抛物线图象与x轴的另一个交点与关于直线对称， ∴另一个交点的坐标为， ∵不等式，即， ∴抛物线的图象在x轴下方， ∴不等式的解集是． 【变式10-3】已知二次函数与一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察图象确定二次函数的图象位于一次函数的图象下方时的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，二次函数与一次函数的交点横坐标分别为和， 观察图象，当时，抛物线位于直线下方， ∴不等式的解集为． 【题型11 线段周长问题（二次函数综合）】 【例11】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点．点是抛物线上的任意一点，且位于线段的上方，过点作轴交于点．若的长度随增大而减小，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，线段长度问题；根据题意先求得直线为，设，则，进而表示出的长，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，      当时， 解得： ∴ 当时， ∴ 设直线为， ∴ ∴ 直线为 设，则， ∴ ∵， ∴当时，的长度随增大而减小 ∴的取值范围是 故选：D． 【变式11-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，已知点，，若线段与抛物线只有一个公共点，则的值可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图像与性质，涉及二次函数与线段交点问题，读懂题意，数形结合，作出图形，由线段与抛物线只有一个公共点即可得到，从而得到答案，根据题意作出图形、数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点， ， 作，如图所示：   在上，即，解得或， 点，，若线段与抛物线只有一个公共点， ，即四个选项中只有满足范围， 故选：A． 【变式11-2】如图，二次函数y＝﹣x2+2x+m+1的图象交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，图象的顶点为D．下列四个命题： ①当x＞0时，y＞0； ②若a＝﹣1，则b＝4； ③点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当m＝2时，△MCE周长的最小值为2； ④图象上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2， 其中真命题的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】①错误，由图象可知当a＜x＜b时，y＞0；②错误，当时，；③错误，△MCE的周长的最小值为22；④正确，函数图象在x＞1时，y随x增大而减小，则y2＜y1． 【详解】解：①当a＜x＜b时，二次函数图象在轴上方，则y＞0，故①错误； ②1， ∴当a＝﹣1时，b＝3，故②错误； ③这是将军饮马问题，作E关于x轴的对称点，连接、，如图所示： 当m＝2时，C（0，3），E（2，3）， 与E关于x轴对称， ∴（2，﹣3）， ∴△MCE的周长的最小值就是三点共线时取到为＝2， ∴△MCE的周长的最小值为22，故③错误； ④设x1关于对称轴的对称点 ， ∴＝2﹣x1， ∵x1+x2＞2， ∴x2＞﹣x1+2， ∴x2＞， ∵x1＜1＜x2， ∴x1＜1＜＜x2， ∵函数图象在x＞1时，y随x增大而减小， ∴y2＜y1，则④正确； 故选：A． 【点睛】 本题考查二次函数综合题、最小值问题、增减性问题等知识，解题的关键是灵活掌握二次函数的有关性质，第四个结论的判断关键是利用对称点性质解决问题，所以中考压轴题． 【变式11-3】（2026·山东济南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，是轴上的两点，是函数图像上一动点，连接，．则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点P的坐标为，利用两点间距离公式可得，再代入中整理成顶点式，最后根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵，是轴上的两点， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的最小值为36，即选项B符合题意． 【题型12 面积问题（二次函数综合）】 【例12】（26-27九年级上·四川泸州·阶段检测）如图，二次函数过点，长方形的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和（     ） A．16 B．8 C．14 D．9 【答案】A 【分析】利用抛物线和长方形的轴对称性，将轴左侧的阴影部分对称变换到轴右侧，发现阴影部分面积之和等于轴右侧长方形的面积. 【详解】解：二次函数的图象关于轴对称，长方形的顶点、在轴上，、在图象上， 长方形关于轴对称， 点的横坐标为， 点的横坐标为，当时，， 点的坐标为， ，， 根据对称性，轴左侧阴影部分的面积等于轴右侧抛物线与轴、围成的空白部分的面积， 阴影部分的面积之和等于矩形（即轴右侧长方形部分）的面积， . 【变式12-1】如图，抛物线与直线相交于点A、B，连接、，则的面积是（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线和三角形面积，令得一元二次方程，求解可得点A，B的坐标，进一步由三角形面积公式可得结论． 【详解】解：对于 令，得 解得，，， ∴，， ∴    ∴． 故选：C． 【变式12-2】如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点（A在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连结交于点，连结，，记的面积为，的面积为，则的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、抛物线与轴的交点及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 先将转化为，再过点作轴的平行线交的延长线于点，利用相似三角形的性质将转化为，再借助点坐标表示出即可解决问题． 【详解】解：由题知，． 过点作轴的平行线交的延长线于点， 轴， ∴， ， ． 当，则， 解方程得， ，， 点坐标为，点坐标为， ． 将代入得， ， 点的坐标为． 令直线的函数解析式为， 则， 解得， 直线的函数解析式为． 令点坐标为， 则， ， 则， ， 则当时， 有最大值为：， 则有最大值， 即的最大值为． 故选：C． 【变式12-3】如图，在中，M是上一点，E是上一动点，过点E作交于点F，若，，，则的最大值为（     ） A．40 B．30 C．20 D．15 【答案】B 【分析】过点作于点，设，先解直角三角形可得，从而可得，，再根据相似三角形的判定可证，根据相似三角形的性质可得，从而可得，然后利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 设， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值，最大值为30， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、二次函数的应用，正确求出的面积的函数表达式是解题关键． 【题型13 角度问题（二次函数综合）】 【例13】（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）已知抛物线在轴上方的图象上存在一点，使得与轴的夹角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，过点作轴，则：，进而得到，设，则：，得到，进而得到点在直线上，推出直线与有交点，进行求解即可． 【详解】解：过点作轴， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴点在直线上， ∴直线与有交点， 联立：，得：， ∴， ∴， ∴， 当时，对于，对于， ∴， ∴； ∴； 故选D． 【变式13-1】（2024·四川广元·二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当时，；②若且，则 ；③若，则④若，连接，点 P 在抛物线的对称轴上，且，则． 其中正确的有（    ） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的性质等等，由抛物线开口向下，对称轴为直线，得到当时，，据此可判断①；根据题意可得直线和直线关于对称轴对称，则，据此可判断②；先由对称轴公式得到，再由，得到，点B的坐标为，把代入抛物线解析式中求出，则点B的坐标为，据此可判断③；先求出，设，利用勾股定理得到，则，解得，据此可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，， ∴当时，，即，故①正确； 当且时，则直线和直线关于对称轴对称， ∴，故②错误； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B的坐标为， 把代入抛物线解析式中得， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∴，故③正确； ∵， ∴， 设， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴，故④正确； 故选：A． 【变式13-2】（26-27九年级上·重庆长寿·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，连接，抛物线是否存在点Q使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积最大，此时点 (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）过P作轴交于E，求出，直线解析式为，设，则，可得，故，根据二次函数性质可得答案； （3）分两种情况：当点Q在上方时， 当点Q在下方时，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ， ∴设直线解析式为，把，分别代入，得 ， 解得， ∴直线解析式为， 设，其中，过作轴交于，如图 则， ∴， ∴， ∵，开口向下，对称轴为， ∴当时，面积最大． 此时，即； （3）解：存在，理由如下： ①当点Q在上方时，作点关于y轴的对称点，过点B作交抛物线于点Q，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，此时点Q符合题意， 设直线的解析式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 可设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点Q的坐标为； ②当点Q在下方时，作点，直线与抛物线交于点， 同理直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， 联立得：， 解得：或， ∴点的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 【变式13-3】（26-27九年级上·湖北咸宁·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上，是否存在一点Q，使得，若存在，求出Q点坐标； (3)直线与抛物线的对称轴交于点D，M为对称轴右侧抛物线上一动点，点N在x轴上，若以点D、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的点M的坐标． 【答案】(1)； (2) 存在， (3)， 【分析】（1）利用待定系数法运算求解即可； （2）作交延长线于，过作轴于，作于，，，证明，得到，设，求出坐标，进而求出直线的解析式，联立直线的解析式和抛物线解析式求出点坐标即可； （3）设出点的坐标，利用中点坐标公式分类讨论对角线的情况列式运算即可． 【详解】（1）解：把分别代入可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 把代入，可得， ， 令得代入， 可得， ∵， ∴， 设直线的解析式为：，把分别代入得∶   ， 解得：， ∴直线的解析式为∶； （2）解：存在，； 如图，作交延长线于，过作轴于，作于，可知在一条直线上，且， ∵， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 解得：； ， 即， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立和， 得：， 解得：(舍去)， 当时，， 即； （3）解：， ∴抛物线对称轴为直线， ∴把代入可得：， ∴， ∵为对称轴右侧抛物线上一动点，点在轴上， ∴设，， ∵点D、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形， ∴①当为平行四边形的对角线时： ， 解得或（舍去）， 代入可得：， ②当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或（舍）， 与①相同； ③当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或    (不合题意，舍去)， 代入可得：， 综上所述的坐标为：． 【题型14 特殊三角形问题（二次函数综合）】 【例14】（24-25九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，经过 、 两点的抛物线 与 轴的另一交点为 ． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点 是该抛物线上的动点，过点 作垂直 轴的直线，交轴于点 ，交 于点 ，设点 的横坐标为 （）． ①当 时，求点 的坐标； ②当 为以 为腰的等腰三角形时，直接写出满足条件的 的值． 【答案】(1) (2)①；②或． 【分析】（1）设，将点代入即可求解； （2）①由，则，求出，，代入解答即可； ②分两种情况讨论：当时，；当时，过点作于点，则为的中点，分别求出的值即可． 【详解】（1）解：直线与轴，轴的交点坐标分别为、， 抛物线与轴的另一交点为， 设所求抛物线的函数表达式为， 把点代入，得， 解得， 所求抛物线的函数表达式为，即； （2）解：①，则， ，， 当时，， 解得：或（与重合，舍去）， 当时，， 故； ②∵， ∴ 由①得， 以为腰，分两种情况讨论： 当时，， 解得或（舍； 当时，过点作交于，则为的中点，即，如图1， 解得或（舍）； 综上所述：满足条件的的值为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 【变式14-1】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，已知抛物线经过，两点，与y轴交于点C，连接，．P是线段上一动点，过点P作轴，交抛物线于点M，交线段于点N． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，求点M的坐标； (3)连接，是否存在点P使得是等腰三角形?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或 【分析】（1）把点A、B的坐标代入抛物线的函数表达式，列出方程，求解即可； （2）先用待定系数法求出直线的函数表达式，设点P的坐标为，则，根据，求出，再代入抛物线的函数表达式，即可求解； （3）设点N，则，根据勾股定理可得，，，最后根据等腰三角形，分三种情况讨论，分别列出方程，求出m即可． 【详解】（1）解：将，分别代入抛物线的函数表达式，得 ，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：把代入，得，则， 设直线的函数表达式为， ，， ∴，解得， 则直线的函数表达式为，． 设点P的坐标为，则， ， ， ，解得， 把代入，得， ； （3）解：存在， ，， ， 由（2）知直线的函数表达式为， 设点N的坐标为，则， ，， 为等腰三角形， ∴分三种情况讨论： ①当时，则， ，解得（舍去）或， 点； ②当时，则， ， 解得（舍去）或， ； ③当时，则， ，解得， ； 综上所述，点P的坐标为或或． 【变式14-2】（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴负半轴交于点C，且，抛物线的顶点为M． (1)求a、c的值； (2)证明：为直角三角形； (3)若点是线段上一个动点，联结，是否存在点，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)证明：由（1）得， ， ∴顶点坐标为， ∵，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形； (3)存在点P使得O、C、P为顶点的三角形与相似，点坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得顶点坐标，利用勾股定理求得各边的长，证明是直角三角形即可； （3）根据，，分，，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据题意，得， 解得， 故，； （2）略 （3）解：令，则， 解得或， ∴， ∵，点，， ∴，，， ∴， 当时，    ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 过点P作轴于点F， 则， ∴， ∴． 当时，    ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 过点P作轴于点G， 则， ∴， ∴； 综上所述，存在点P使得O、C、P为顶点的三角形与相似，点坐标为或． 【变式14-3】（26-27九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，交轴正半轴于点． (1)求的值及点的坐标； (2)抛物线上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)抛物线上存在点，使是以为直角边的直角三角形．点的坐标为或 【分析】（1）根据已知的坐标代入抛物线表达式中即可求出，再根据求出的函数表达式令即可求出点的坐标为． （2）需要分两种情况讨论，当点为直角顶点时，当点B为直角顶点时，先求出直线表达式，再根据直线与抛物线交点计算点的坐标即可． 【详解】（1）解：将代入中， 得， 解得． ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线交轴正半轴于点， ∴令，则， 解得，， ∴点的坐标为． （2）存在， 当点为直角顶点时，如图， ∵点，点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴点坐标为， 设直线的解析式为， 把点和点分别代入中， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 直线与抛物线交于点，坐标即为要求的坐标， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 当时，， ∴． 当点B为直角顶点时，如图 ∴， 由（1）可知是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴点坐标为 设直线的解析式为， 把点和点分别代入中， 得：， 解得： ∴直线的解析式为， 直线与抛物线交于点，坐标即为要求的坐标， 由题意得：， 解得：（舍去），， 当时，， ∴． 综上所述，抛物线上存在点，使是以为直角边的直角三角形．点的坐标为或． 【题型15 特殊四边形问题（二次函数综合）】 【例15】（26-27九年级上·全国·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线经过B，C两点，点A的坐标为，P是第一象限内抛物线上的一个动点，于点Q，设点P的横坐标为n． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求线段的最大值，并求此时n的值； (3)在（2）的条件下，当线段取最大值时，若M是x轴正半轴上一动点，N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，线段有最大值，最大值为； (3)存在．点M的坐标为、、． 【分析】（1）将代入求出，进而求出直线的函数解析式，得到点B的坐标为，将，代入中求解即可； （2）由题意可知，得到，过点P作轴于点E，交于点F，根据勾股定理求出，根据点P的横坐标为可知，，则，求出解析式，进而根据二次函数的性质作答即可； （3）由（2）得取最大值时，P点坐标为，分两种情况根据平行四边形的性质作答即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴点C的坐标为． 将代入中，得， ∴直线的函数解析式为． 当时，，∴点B的坐标为． 将，代入中， 得解得 ∴抛物线的函数解析式为． （2）解：，， ， ． 如图，过点P作轴于点E，交于点F， ， ． ， ． ∵点P的横坐标为， ，， ， ． ，， ∴当时，线段有最大值，最大值为． （3）解：由（2）得取最大值时，P点坐标为，已知， 设（，M在x轴正半轴），以B、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况：为平行四边形的边或为平行四边形的对角线. ①当为平行四边形的边时，如图， 可知， 此时N的纵坐标为4， 代入抛物线， 解得或（对应点P，舍去）， 即． ∴， 由平行四边形对边平行且相等，得 或 即或； ②当为平行四边形的对角线时，如图， 根据平行四边形的性质可知，， 即，， 解得：，， 即 将代入得， 解得​， 当时，， 当时，（舍去）， ∴M点为； 综上所述，∴点M的坐标为、、． 【变式15-1】（26-27九年级上·陕西延安·阶段检测）如图，抛物线经过，，三点． (1)求、、的值； (2)点为轴上的动点，轴左侧的抛物线上是否存在点，使以、、、四点构成的四边形是以为边的平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)， 【分析】（1）将点的坐标代入二次函数即可求出的值，从而确定二次函数，分别令和即可求出和的值． （2）分点在轴上方和在轴下方两种情况讨论，结合平行四边形的性质确定点的纵坐标，将其代入二次函数即可求出点坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过， ， ， ， 令，则， ， ，， ，， ． 令则． （2）解：①当点在轴下方时，四点构成平行四边形，如图所示， ，， ． 点在二次函数上， ， ，， ， ． ②当点在轴上方时，四点构成平行四边形，如图所示，过点作轴于点， 为平行四边形， ，， ， ， ， , 点在轴上方时， ， ， ，， 点在轴左侧的抛物线上， ， ， ． 【变式15-2】（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”． (1)试判断与是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由： (2)如图，若：与：互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为，，记，组成的图形为． ①试猜想与的数量关系，并证明； ②如图，若：，，，分别为，上的点，且四边形为正方形，求的值． 【答案】(1)解：与互为“伴随对称抛物线”，理由如下： ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 将代入，得， ∴抛物线经过点， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 把代入，得， ∴抛物线经过点， ∴与互为“伴随对称抛物线”； (2)解：①，证明如下： ∵：，：，顶点分别为，， ∴，， 又∵与互为“伴随对称抛物线”， ∴，， 两式相加，得， ∵， ∴， ∴； ② 【分析】（）分别求出与的顶点坐标，再根据“伴随对称抛物线”的定义解答即可； （）①先求出，，根据“伴随对称抛物线”的定义得，，两式相加即可解答；②由题意可得，则：，设与相交于点，根据正方形的性质得，过点作直线轴，垂足为，过点作，垂足为，可证，得到，，设，则，，得到，，进而根据，点在上，可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 ②∵：，， ∴，， ∴：， ∴，，， 如图，设与相交于点， ∵四边形为正方形，   ∴为的对称中心，，， ∴， 过点作直线轴，垂足为，过点作，垂足为，则，， ∵， ∴， ∴，， 设，则，， ∴，， ∵， ∴，， ∵点在上， ∴， 整理得， ∴． 【变式15-3】（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，点在抛物线上，且横坐标为． (1)直接写出点的坐标：__________； (2)求直线所对应的函数解析式； (3)若是该抛物线上位于直线上方的点，且横坐标为，则的面积为___________； (4)若抛物线的对称轴与直线相交于点，为顶点，点为直线上的任意一点，过点作交抛物线于点，以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)或或 【分析】（）把代入二次函数解析式求出的值即可求解； （）分别求出点和的坐标，再利用待定系数法解答即可； （）过点作轴于，交直线于点，分别求出点和的坐标，进而得到的长，再根据解答即可求解； （）由函数解析式得，，根据平行四边形的性质得到，设，则，  得，再解方程即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴； （2）解：把代入，得， 解得，， ∵点在原点左侧， ∴， 设直线的函数解析式为，把和代入， 得， 解得， ∴直线所对应的函数解析式为； （3）解：如图，过点作轴于，交直线于点， 把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵， ∴， 把代入，得， ∴， ∵， ∴以为顶点的四边形是平行四边形，为该平行四边形的一组对边，如图， ∴， 设，则，   ∴， ∴或， 解方程，得或（不合题意，舍去）， 解方程，得或， 当，， 当，， 当，， ∴点的坐标为或或． 【题型16 相似三角形问题（二次函数综合）】 【例16】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)是线段上方抛物线上的一动点，过点作，垂足为，是直线上一动点，是轴上一动点，连接，，．当的长度取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点的对应点为，是平移后抛物线上一点，直线交射线于点，且．请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)，周长最小值为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过作轴交于，利用相似关系可得，从而求的最大值即可；得到点后，根据题意作点关于直线的对称点， 作点关于轴的对称点，则周长的最小值转化为求线段的长； （3）“沿射线方向平移个单位长度”即先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，由此算出，，点即为直线与抛物线的交点，再利用两直线垂直的关系求出直线的斜率，从而算出直线的解析式，联立直线与直线得到点的坐标，过作直线轴，过作轴交于，过作轴交于，构造一线三垂直进而求得点的坐标，即可求出解析式，与的解析式联立，求出答案；令还有一种情况对应的与到点的距离相等，利用中点坐标公式即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得： 解得 ∴抛物线的表达式为：． （2）过作轴交于， ，， ， ， ∴当最大时，有最大值， ， ∴设，则， ， ，开口向下， ∴当时，有最大值，此时， 作点关于直线的对称点，则， 作点关于轴的对称点，则， ． （3） 点的坐标为或，过程如下： ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度，，， ∴， 即抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴ ， ∴， 过作轴交于， 由题得， 设直线的函数表达式为， 将点代入得：， 解得，故， ∵ ∴， ∴，又， ∴直线得函数表达式为， 联立直线与直线得 解得， ∴， 过作直线轴，过作轴交于，过作轴交于， 则，， ∴，又 ∴，故， ∴， ∴， 如图点，即， 设直线的函数表达式为，代入点， 则，解得， ， 令， 解得：（舍），， ； 如图当点在点上方时，点是的中点， 则，即 同上可求得直线的， ∴， 令， 解得：（舍），， ． 综上，点的坐标为或 【变式16-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，和轴相交于点，连接、． (1)求抛物线的解析式（关系式）． (2)在第一象限外，是否存在点，使得以为直角边的和相似？若存在，请简要说明如何找到符合条件的点，然后直接写出点的坐标，并判断是否有满足条件的点在抛物线上；若不存在，请说明理由． (3)在直线上方的抛物线上，找一点，使，并求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)要寻找在第一象限外点，使得以为直角边的和相似，那么可以通过作的垂线，垂足分别为、，再根据相似三角形边长成比例求出另一直角边的长度，最后求出点的坐标．若点为直角顶点，则点E的坐标为或，此时点不在抛物线上；若点为直角顶点，则点的坐标为或，此时点在抛物线上． (3)点D的坐标为或 【分析】（1）将点、点坐标代入抛物线解析式中即可求解； （2）通过作的垂线，垂足分别为、，再根据相似三角形边长成比例求出另一直角边的长度，最后求出点的坐标，代入抛物线解析式，确定其是否在抛物线上； （3）过点作轴交于点，则可以以作为公共底边，点横坐标作为和高之和表示，代入面积关系式中，可解得点坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， ， 解得，， 抛物线的解析式为． （2）解：抛物线与轴交于点， 点坐标为， 又点坐标为，点坐标为， ，， ，， 由题意，为直角边，点在第一象限外，分别以点和点为垂足，作的垂线，分别交轴和轴于点、，则另一条直角边或可在对应垂线上确定． ①当点为直角顶点时，可分两种情况讨论，即或． 设直线解析式为，将，分别代入解析式，得 ，解得， 直线解析式为， 令直线交轴于点， ，， ， ， 点坐标为． 同理可得直线的解析式为， 如图，当时，， 即， 解得， 设点，则， 解得或（舍去）， 故此时点坐标为． 如图，当时，， 即， 解得， 设点，则， 解得或（舍去）， 故此时点坐标为． ②当点为直角顶点时，也可分两种情况讨论，即或． 令直线交轴于点， 同理，可得点坐标为，直线的解析式为． 如图，当时，，解得， ，解得， 设点，则， 解得或（舍去）， 故此时点坐标为． 如图，当时，，解得， ，解得， 设点，则， 解得或（舍去）． 故此时点坐标为． 最后，将这四个点代入抛物线中验证是否在其上： 代入，可得，故不在抛物线上； 代入，可得，故不在抛物线上； 代入，可得，故在抛物线上； 代入，可得，故不在抛物线上； 综上，只有点在抛物线上． （3），， ． 点为直线上方抛物线上一点， 设点D的坐标为，作轴交于点， 点在直线上， 点坐标为， ， ， 解得或， 代入抛物线解析式得或， 点的坐标为或． 【变式16-2】如图，二次函数图像的对称轴为直线，其图象过点与x轴交于另一点B，与y轴交于点C． (1)求二次函数的解析式，写出顶点坐标； (2)动点M，N同时从B点出发，均以每秒2个单位长度的速度分别沿的，边上运动，设其运动的时间为t秒，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，连接，将沿翻折，若点B恰好落在抛物线上的处，试求t的值及点的坐标； (3)在（2）的条件下，Q为的中点，试探究x轴上是否存在点P，使得以B，Q，P为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，试说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在，点坐标为，． 【分析】（1）由抛物线对称轴为，并过点，可求出、，从而求出抛物线解析式和顶点坐标． （2）由A，B，C坐标可得出，再由，推出是正三角形，翻折后，推出，从而得到，把代入即可求解． （3）分情况讨论点在轴的存在性． 【详解】（1）解：由题意得， 解得． 二次函数的解析式为． 配方得， 顶点坐标为． （2）解：如图， 由题意知， 令，得 ， 解得， 点坐标为， 令，得， ∴点坐标为， 在中，，， 则, ， 又， 是正三角形． ∵动点，从出发，速度为每秒2个单位长度， ， 点在上，坐标为， 点在上，由几何关系可知的坐标为，即． 将沿翻折后，点是关于的对称点， ∴，， ∴， ∴, 的纵坐标与相同，为， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， ． 点在抛物线上， ， 化简，得， ， ． 时，，， ． （3）解：由（2）的结论可知，在中，， 当时，为的中点，为的中点， ∵，， ∴ 在中，， 是直角三角形，， ，． 当在轴上时，过作交轴于点． ， ． ． 解得， ∴，则； 过作轴于， ，， ． ，解得， ∴，则； 在轴的其它位置时，不可能为直角三角形，不可能与相似； 综上所述：轴上存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似，点坐标为，． 【变式16-3】已知二次函数与x轴交于和两点，且（），交y轴于点C，顶点为D． (1)，， ①求该二次函数的对称轴方程及顶点坐标； ②定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”； (2)如图，过D、C两点的直线交x轴于点E，满足，求的值． 【答案】(1)①对称轴为直线，顶点坐标为； ②证明：设， 令，则，整理得， ∵ ∴方程有两个不相等的实数根， 故存在两个点P，且点P的横纵坐标互为相反数， 故此二次函数有两个不同的“零和点”； (2) 【分析】（1）先由已知得到，①根据二次函数的性质求解即可；②设，令，得到，证明该方程有两个不相等的实数根即可解答； （2）先由题意得到且，顶点D的坐标为，，，再求得直线的表达式为得到，证明得到，则，则整理得，进而求解即可． 【详解】（1）解：当，，时，， ①该二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：∵二次函数与x轴交于和两点，且（），交y轴于点C，顶点为D． ∴且，顶点D的坐标为， 令，由得，， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 令，由得，则， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 则， 即 整理，得， ∵， ∴． 【探究式学习】 1．（26-27九年级上·山西大同·阶段检测）综合与探究 如图，在等腰直角三角形中，分别为边和边上的动点，，设的长为． (1)如图1，若四边形的面积为150，求的值． (2)如图2，过点作于点，过点作于点． ①当取何值时，四边形的面积最大？最大值是多少？ ②将沿翻折得到与四边形重叠部分的面积记为S，当S的值为40时，直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)①当时，四边形的面积最大，最大值为100；②的值为或 【分析】（1）根据列出方程即可求解； （2）①证明四边形是矩形，易得是等腰直角三角形，由勾股定理求得，再求出，即可得四边形的面积关于x的函数关系式，由二次函数的性质即可求解； ②分以下两种情况：（i）当时；（ii）当时；根据重叠面积为40，建立关于x的方程并求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 整理得， 解得（负值已舍去）． （2）解：①， ， ． ， ， 四边形为平行四边形． ； 四边形为矩形． ∵， ∴， 的长为，则． 由勾股定理得． 设矩形的面积为， 则， 当时，四边形的面积最大，最大值为100． ②分以下两种情况： （i）当时，如图3，点在内部（含在边上）， 此时重叠面积，解得（负值舍去）． ， 符合条件． （ii）当时，如图4，点在的外部． 设此时的直角边分别与交于点和点， 由折叠知，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ， 解得（舍去），． 综上所述，的值为或． 2．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线，交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧，其中A点坐标，交y轴负半轴于点C，C点坐标． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，若抛物线上有一点D，，求点D的坐标； (3)如图2，点P是第一象限抛物线上一点，过点P的直线与抛物线交于另外一点Q．连接、，分别交y轴于M、N两点．若，试探究m、n之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）过作交于点，作轴于点，证明，可得，用待定系数法求出直线的解析式，与抛物线联立解即可得出的坐标； （3）设，联立直线与抛物线解析式得出，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，可得，得出，进而根据，结合一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， 代入可得，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：当时，， 解得：或， ， 如图 1，过作交于点，作轴于点， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：（舍去），或， ∴． （3）解：设， 依题意，， 消去得，， ， 如图所示，过点P， Q分别作x轴的垂线，垂足分别为G， F， ， ， ， 即， ， 又， ， 即， ， ． 整理得：． 【课后检测】 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）抛物线（）与x轴的交点为，，则关于x的一元二次方程的两个根是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：∵抛物线与x轴的交点为，， ∴关于x的一元二次方程的两个根为，． 2．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）二次函数与轴交点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出时对应的y值即可 【详解】解：当时，， ∴该二次函数与轴的交点坐标是． 3．（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）抛物线与轴的两个交点之间的距离是（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【详解】解：令，得， 解得或， ∴抛物线与轴的交点为，， ∴两交点之间的距离为． 4．（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的纵坐标是（     ） A． B．3 C． D．9 【答案】D 【分析】y轴上的点横坐标为0，代入抛物线解析式即可求得交点纵坐标． 【详解】解：当时， ． 5．（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据图象可得答案. 【详解】解：由图象可知，该函数图象与轴的交点坐标是，， ∴当，即时，，， ∴关于的一元二次方程的解为，. 6．（26-27九年级上·天津滨海新区·阶段检测）二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据抛物线开口方向确定的符号，根据对称轴位置确定的符号，根据抛物线与轴交点个数确定 的符号. 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ， ， ， 抛物线与轴有两个不同的交点， . 7．（26-27九年级上·全国·期中）如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①；②；③；④对于任意实数m，都有．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由图象可得，当时，，即可判断①；由开口方向和与y轴的交点得到，，即可判断②；由对称轴得到，然后代入即可判断③；将变形得到，然后根据即可判断④． 【详解】解：∵， ∴由图象可得，当时，，故①正确； ∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，故③错误； 若， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，故④错误． 综上所述，其中正确结论的个数为2个． 8．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知二次函数和（）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（   　 ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】先求两个二次函数与x轴的交点坐标，根据相邻交点距离相等列方程求m的值，再计算两对称轴的距离． 【详解】解：∵， ∴当时，， 解得或， ∵， ∴当时，， 解得或， ∵， ∴， ∴四个交点在x轴上从左到右依次为，，，． ∵每相邻两点间的距离相等， ∴． 解得（不符合，舍去）． ∵二次函数的对称轴为，二次函数的对称轴为， ∴两对称轴之间的距离为． 9．（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）如图，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线 ，与x轴交于两点，与y轴交于点．则下列结论正确的是（     ） A． B． C．当时，y随x的增大而减小 D． 【答案】C 【分析】A选项：根据二次函数图象与x轴和y轴的交点，求出二次函数的解析式，可得判别式判断其符号． B选项：将a、b、c的值代入判断该式的符号． C选项：因为二次函数开口向上，对称轴为，所以根据二次函数的单调性规律判断时的增减性． D选项：由 A选项得到的c值判断c的符号． 【详解】二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，与x轴交于两点，与y轴交于点， ∴， 解得， ∴，A选项错误； ，B选项错误； ∵， ∴二次函数图象开口向上， ∵对称轴， ∴时，y随x增大而减小，C选项正确； ，D选项错误． 10（26-27九年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，若二次函数（）的图象的对称轴为直线，与轴交于点，与轴交于点、点，则：①；②二次函数的最大值为；③；④；⑤当时，；其中正确的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点坐标及对称性，确定系数的符号及代数式的值，逐一判断各结论． 【详解】解：由图象可知抛物线开口向下， ，对称轴为直线， ，抛物线与轴交于正半轴， ， ，故①错误； 当时，取最大值，即，故②正确； 当时，，即，故③错误； 抛物线与轴有两个交点， ，故④正确； 由对称性可知抛物线与轴另一交点为， 当时，图象在轴上方，对应的范围为，故⑤正确． 11．（26-27九年级上·贵州遵义·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解为________． 【答案】， 【分析】先根据抛物线的轴对称性求出抛物线与x轴的另一个交点，再根据二次函数与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程的解，据此求解即可． 【详解】解：由图可知，抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线， 设抛物线与x轴的另一个交点为， 则， 解得， 抛物线与x轴的另一个交点为， 一元二次方程的解为，． 12．（26-27九年级上·天津滨海新区·阶段检测）抛物线的对称轴是______． 【答案】 直线 【分析】抛物线为交点式形式，先求出抛物线与x轴的交点横坐标，利用抛物线的对称性，对称轴为两个交点横坐标的平均值，即可求出结果． 【详解】解：令，得, 解得，, 即抛物线与轴的两个交点横坐标为和, ∵抛物线是轴对称图形，对称轴经过两个交点的中点, ∴对称轴的横坐标为, 因此抛物线的对称轴是直线． 13（26-27九年级上·陕西安康·阶段检测）若抛物线（为常数）与轴的交点在轴上方，则的值可以是______．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】（答案不唯一，任意满足的数均可） 【分析】令得到抛物线与轴交点的纵坐标，根据交点位置得到的取值范围，写出符合范围的一个数即可． 【详解】解：令，得， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∵交点在轴上方， ∴， ∴的值可以是． 14．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）抛物线与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点的坐标是__________________． 【答案】 【分析】抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称，根据已知交点坐标即可求出另一个交点坐标． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，设抛物线与轴另一个交点的横坐标为，已知一个交点坐标为， ∴， 解得， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标是． 15．（26-27九年级上·内蒙古·期中）如图，已知二次函数与一次函数的图像相交于点，，则的解集是___________． 【答案】 【分析】根据图像，找出二次函数图像在一次函数图像下方的部分的的取值范围即可． 【详解】解：由图形可得当时，二次函数图像在一次函数图像下方，即， 所以，使成立的的取值范围是． 16．（21-22九年级下·浙江温州·开学考试）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称，点A的坐标为． (1)求二次函数的表达式． (2)当时，写出x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出点坐标，再由待定系数法求解函数解析式； （2）先求出抛物线与轴交点的横坐标，再由图象求解即可． 【详解】（1）解：∵点与点B关于直线对称， ∴点B的坐标为， 代入，得：， 解得， ∴二次函数的表达式为 （2）解：由， 解得：， ∵ ∴ 17.（26-27九年级上·云南曲靖·阶段检测）已知二次函数的图象经过点，抛物线对称轴为直线． (1)求该二次函数的解析式； (2)点在该函数图象上，当时，y有最小值4，求n的值； (3)若m是该二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或 (3)的值为 【分析】（1）利用已知点坐标求出常数项，再根据二次函数对称轴公式求出，即可得到二次函数解析式； （2）分点在对称轴左侧，右侧两种情况分别建立关于的方程即可求解； （3）根据m是二次函数与轴交点横坐标，得到m满足的方程，通过降次变形化简所求代数式，消去含m的项后即可计算出结果． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点， 将，代入解析式得， 抛物线对称轴为直线，二次函数中， 对称轴公式为， ，解得， 该二次函数的解析式为． （2）解：当时，， ， 时，随的增大而减小， 时，，即， 解得或（不合题意，舍去）； 当时，， ， 时，随的增大而增大， 时，，即，解得或（不合题意，舍去）； 综上所述，当时，y有最小值4，n的值为或； （3）解： 是二次函数图象与轴交点的横坐标， ，当时，， ，等式两边同时除以得，即， 由得，，， ， 代入得：， ，， ． 18．（26-27九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使得的值最小，求出点的坐标． (3)若直线上方的抛物线上有一点，当点、、构成的三角形面积最大时，求的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）由抛物线的对称性得：点A，B关于对称轴对称，可得当点E在直线上时，的值最小，求出抛物线对称轴为直线，以及直线的解析式，即可求解； （3）过点P作轴，交直线于点G，设点，则点，可得，再由，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， 由抛物线的对称性得：点A，B关于对称轴对称， ∴， ∴， 即当点E在直线上时，的值最小， ∵， ∴抛物线对称轴为直线， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； （3）解：过点P作轴，交直线于点G， 设点， 由（2）得：直线的解析式为则点， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，点、、构成的三角形面积最大， 此时点P的坐标为． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 100 页 第 1 页 共 100 页 学科网（北京）股份有限公司 $