专题 5.5 问题解决活动：怎样围面积最大（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 2026-2027学年北师大版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦初中数学“靠墙矩形面积最值”核心知识点，从课本原型（篱笆围三边）出发，梳理墙长限制等核心条件，构建常规靠墙、带隔断、全封闭等经典模型，配套中考标准解题步骤和高频易错总结，形成从基础到应用的学习支架。 资料特色在于分层设计题型（基础到压轴新增题型），结合劳动教育基地等真实情境，强化数学眼光观察实际问题，通过标准解题步骤培养数学思维的严谨性，同步检测覆盖选择、填空、解答题，课中助力教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

专题 5.5 问题解决活动：怎样围面积最大（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】本课核心模型：靠墙矩形面积最值（课本原型） 1 【知识点二】中考必考核心限制条件（失分重灾区） 1 【知识点三】中考经典围栏模型 2 【知识点四】中考标准解题步骤（阅卷满分模板） 2 【知识点五】高频易错总结（中考专属） 2 二.题型精析（夯实基础） 2 【题型 1】常规靠墙无隔断、无墙长限制（中考基础） 2 【题型 2】靠墙+墙长限制（中考核心高频） 6 【题型 3】靠墙+内部隔断（中考热门题型） 10 三.模块二：中考压轴新增题型（本次重点加练） 12 【题型 4】矩形面积多条件结论问题 13 四.同步检测 20 （一）填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 20 （二）解答题（本大题共10小题，每小题8分，共58分） 23 一.知识梳理解读 【知识点一】本课核心模型：靠墙矩形面积最值（课本原型） 问题情境：利用一面墙，用固定总长篱笆围三边矩形，求最大面积。 设：垂直墙边长为 ，篱笆总长为 ，则平行墙边长：。 面积函数：，开口向下，理论顶点为最大值点。 【知识点二】中考必考核心限制条件（失分重灾区） 实际问题中墙长有限，绝对不能直接代顶点！必须双重约束： 1. 边长为正： 2. 平行墙边长不超墙长 ： 联立不等式得到真实自变量区间，再判断： ① 对称轴在区间内：顶点取最大值； ② 对称轴在区间外：利用单调性，端点取最值。 【知识点三】中考经典围栏模型 模型1：常规靠墙无隔断（基础中考）：篱笆围三边，墙为第四边。 模型2：靠墙+多道隔断（高频中考）：内部有隔断，总篱笆包含所有垂直墙隔断长度。 模型3：无墙全封闭模型：周长固定，正方形面积最大。 【知识点四】中考标准解题步骤（阅卷满分模板） 1. 设变量：优先设垂直墙边长为 （计算最简）； 2. 列边长：用含 式子表示平行墙边长； 3. 定范围：根据边长为正、墙长限制列不等式，写出定义域； 4. 建函数：列出面积二次函数； 5. 判顶点：验证对称轴是否在定义域内； 6. 求最值：区间内取顶点，区间外取端点，压轴题需分段对比。 【知识点五】高频易错总结（中考专属） 1. 忽略墙长限制，直接套顶点公式，中考直接扣分； 2. 隔断题型数错篱笆段数，导致函数式列错； 3. 不写自变量取值范围，实际应用题步骤残缺； 4. 存在性问题不解方程、不验证实际边长，直接判断出错。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】常规靠墙无隔断、无墙长限制（中考基础） 【例题1】（25-26九年级上·河南开封·期末）某校计划围一个矩形小菜园作为实践基地，九年级数学学习小组以“怎样围面积最大”为主题，开展活动．在学校实验楼房一侧的空地上，计划用篱笆和楼房的一面外墙围一个矩形小菜园作为实践基地，其中篱笆长米．如果外墙长米，矩形小菜园一边靠墙，另三边用篱笆围成． 任务一： （1）小菜园的面积能达到平方米吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 任务二： （2）怎样围小菜园面积最大？请你给出设计方案并求出最大面积． 【答案】任务一：小菜园的面积能达到平方米，此时米，米； 任务二：当米，米时，小菜园面积最大，最大面积为平方米． 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，解题关键是准确构建数学模型并合理求解． 任务一：设，则，根据面积关系列出一元二次方程，求解后判断是否符合题意即可； 任务二：建立小菜园面积关于边长的二次函数模型，利用二次函数性质求解面积最大值及对应的边长． 解：依题意得：米， 任务一：设，则， 若小菜园的面积能达到平方米， 即， ， ， 解得，， 则当米时，米，符合题意； 当米时，，不符合题意； 综上，小菜园的面积能达到平方米，此时米，米． 任务二：小菜园的面积， ， 当时，取最大值，最大值为， 即当米，米时，小菜园面积最大，最大面积为平方米． 【变式1】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，一边靠墙（墙足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形花圃，这个花圃的最大面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确列出函数关系式是解答的关键．设，花圃面积为，根据题意得，利用二次函数的性质求解即可． 解：设，花圃面积为，则， 根据题意，， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为32， 故这个花圃的最大面积是， 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）如图，要建一个矩形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙足够长），如果用长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，设养鸡场平行于墙的一边长为，当____时，养鸡场的面积最大． 【答案】30 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意；设围成养鸡场的面积为，由题意易得矩形的另一边长为，然后可得方程，进而根据二次函数的性质可进行求解． 解：设围成养鸡场的面积为，由题意得： ， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为300； 故答案为30． 【变式3】（25-26九年级上·广东广州·期末）2022年教育部正式印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，《劳动》成为一门独立的课程. 某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖园（靠墙的一边不需用篱笆），墙长为16米. （1）当围成的矩形养殖园面积为108平方米时，求养殖园的边的长； （2）求矩形养殖园面积的最大值. 【答案】（1）12米；（2）平方米 【分析】本题考查了一元二次方程、二次函数的实际应用： （1）设养殖园的边的长为，则，根据围成的矩形养殖园面积为108平方米，即可列式计算作答． （2）设矩形养殖园面积为，建立关于x的式子表达，化为顶点式，再结合开口方向，即可作答． （1）解：∵用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖园（靠墙的一边不需用篱笆），墙长为16米. ∴设养殖园的边的长为， 则， 那么 解得 ∵墙长为16米. ∴ ∴养殖园的边的长为米； （2）解：设矩形养殖园面积为， ∴ ∵ ∴开口向下，在时，有最大值，且为平方米． 【题型 2】靠墙+墙长限制（中考核心高频） 【例题2】（25-26九年级上·新疆巴州·期末）李爷爷开辟了一块如图所示的矩形菜地，已知矩形菜地的一边靠墙（墙的最大可用长度为），其余三边用总长为的篱笆组成．设矩形菜地的宽为． （1）若矩形菜地的面积是，求x的值． （2）当x为何值时，围成的矩形菜地的面积最大？ 【答案】（1）；（2）当时，围成的菜地面积最大，最大值为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据矩形面积计算公式建立方程求解即可； （2）设围成的菜地的面积为平方米，根据矩形面积计算公式用含的式子表示出，再根据二次函数的性质求解即可． （1）解：由题意得，， 整理得， 解得：或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， 答：当时，围成的菜地面积为198平方米； （2）解：设围成的菜地的面积为平方米， 由题意得， ， 当时，，符合题意， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：当时，围成的菜地面积最大，最大值为． 【变式1】（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门，若花圃的面积刚好为，则此时花圃段的长为（    ）m． A．4或 B． C．4 D．10 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键． 设，则米，根据围成的花圃的面积刚好为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合BC的长度不超过米，即可确定的值，此题得解． 解：设米，则米， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 故选C． 【变式2】（24-25九年级上·浙江台州·期中）小明为班级围建一个矩形蔬菜园，其中一边靠墙，墙可利用的最大长度为，篱笆长为，菜园中间用一道篱笆隔成2个小矩形． （1）当围成的菜园面积为时，的长为_____； （2）记，若围成面积比大的菜园，则的范围为_____． 【答案】 6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元二次不等式的应用 （1）设，则，根据围成的菜园面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）根据围成面积比大的菜园，可列出关于a的一元二次不等式，解之可得出a的取值范围，结合墙可利用的最大长度为，即可确定a的取值范围． 解：（1）设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴当围成的菜园面积为时，的长为， 故答案为：6； （2）根据题意得：， 即， 解得：， 又∵墙可利用的最大长度为， ∴， ∴a的范围为． 故答案为：． 【变式3】（2026·辽宁抚顺·二模）为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质，某校为此用篱笆围成一个矩形劳动基地．基地的一面靠墙（墙的最大可用长度为），且中间用垂直于墙的篱笆隔开分成面积相等的两个区域，已知篱笆的总长为，设矩形的一边长为，面积为． （1）求关于的函数解析式，并求出自变量的取值范围； （2）求出所能围成的矩形基地的最大的面积． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查二次函数解实际应用题，涉及求二次函数表达式、二次函数最值等知识，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键． （1）根据题意，表示出长方形的长与宽，根据矩形面积公式即可得到二次函数表达式，由墙的最大可用长度为即可确定自变量的取值范围； （2）由（1）中得到函数关系式，利用二次函数图像与性质，在自变量范围内讨论求出其最值即可得到答案． （1）解：长为， ， ， ， ； （2）解：由（1）， ，即抛物线开口向下， 有最大值，当时，的最大值为48， 又，且当时，随的增大而减小， 当时，有最大值，最大值为， 围成的矩形基地的最大的面积为． 【题型 3】靠墙+内部隔断（中考热门题型） 【例题3】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，要在屋前的空地上围一个矩形花圃，花圃的一边靠墙（墙足够长），另三边用篱笆围成，篱笆总长，在与墙平行的一边开一个宽的门．设垂直于墙的一边为． （1）用含有的代数式表示边的长为______m； （2）当矩形花圃的面积最大时，求边的长，并求出矩形花圃面积的最大值． 【答案】（1）；（2）当时，矩形花圃面积最大，最大值为 【分析】本题主要考查矩形的性质，二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是关键． （1）根据矩形的性质，用代数式表示即可； （2）根据题意，列式子，运用二次函数图象的性质求解即可． （1）解：篱笆总长，在与墙平行的一边开一个宽的门，设垂直于墙的一边为，四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：设矩形花圃面积为， ∴， ∵， ∴有最大值，当时，矩形花圃面积最大，最大值为． 【变式1】（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，用长的篱笆靠墙（墙足够长）围成一个面积是的长方形鸡场，鸡场有一个的门，求鸡场的长和宽．设与墙垂直的边长为，所列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设与墙垂直的边长为，则与墙平行的边长为，再根据长方形的面积公式列出方程即可． 解：设与墙垂直的边长为，则与墙平行的边长为， 由题意得，， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·浙江绍兴·开学考试）某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为200m2的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长35m，另外三面用49m长的篱围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm，则所列方程为__． 【答案】x（49+1-2x）=200 【分析】设当试验田垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（49+1﹣2x）m，根据花园的面积为200m2，列出方程即可． 解：设当试验田垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（49+1﹣2x）m， 依题意得：x（49+1﹣2x）＝200， 故答案为：x（49+1﹣2x）＝200． 【点拨】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，分析清楚数量关系是解题关键． 【变式3】（25-26九年级上·福建泉州·阶段检测）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，且在边处设计有1米宽的通道方便出入，设边所用的篱笆长为米． （1）请写出与的函数关系式，若墙足够长，请求出菜园的最大面积； （2）若墙的长为米，请求出菜园的最大面积（可用的式子表示） 【答案】（1）当边长为米时，菜园的面积最大为平方米；（2）当时，菜园的面积最大为平方米，当时，菜园的面积最大为平方米． 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）设边的长为x米，菜园的面积为y平方米，则边的长为米，根据矩形的面积公式即可找出y关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题； （2）根据（1）的结论结合二次函数的性质可得出，在中，y值随x值的增大而增大，分和时两种情况讨论，即可求出y的最大值． （1）解：设边的长为x米，菜园的面积为y平方米，则边的长为米， 根据题意得：， ∵， ∴当时，y取最大值，最大值为． 答：当边长为米时，菜园的面积最大为平方米； （2）解：∵， 在中，y值随x值的增大而增大， 当时，y取最大值，最大值为， 当时，y取最大值，最大值为． 答：当时，菜园的面积最大为平方米，当时，菜园的面积最大为平方米． 三.模块二：中考压轴新增题型（本次重点加练） 【题型 4】矩形面积多条件结论问题 【例题4】（25-26九年级上·陕西安康·期中）问题提出（1）当时，二次函数的最大值为______． 问题探究（2）已知二次函数是常数，的图象经过两点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点的纵坐标的最大值． 问题解决（3）某养殖户利用一段围墙（围墙足够长）为一边，用总长为的围网围成了如图所示的三块矩形区域，且这三块矩形区域的面积相等．设的长度为，矩形区域的面积为，当为何值时，有最大值？最大值是多少？ 【答案】（1）3；（2）；（3）当时，有最大值，最大值是 【分析】（1）由题意知，，则对称轴为直线，图象开口向下，然后根据二次函数的图象与性质求当时的即可； （2）待定系数法求得二次函数的解析式为．由顶点始终在直线上，可知抛物线横、纵坐标平移的距离相同，设平移后的抛物线为，令，表示，然后根据二次函数的图象与性质进行求解作答即可； （3）由题意知，，即．设，则．由周长为列等式，整理得，解得，，根据，可得，即，．根据二次函数的图象与性质求解作答即可． （1）解：由题意知，， ∴对称轴为直线，图象开口向下， ∴当时，随的增大而减小， ∴时，， 故答案为：3； （2）解：将代入得，， 解得， 二次函数的解析式为． 顶点始终在直线上， 抛物线横、纵坐标平移的距离相同，设平移后的抛物线为， 令，则， ∵， 平移后所得抛物线与轴交点的纵坐标的最大值为． （3）解：三块矩形区域的面积相等， ， ∴． 设，则． ， ∴， 解得，， ∵， 解得， ∴， ∴． ∵，， 当时，有最大值，最大值是300． 【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数解析式，二次函数的应用，二次函数的最值，二次函数图象的平移等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【变式1】（25-26九年级上·天津河西·期中）九年级一班的同学计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来10米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形，等腰三角形（底边靠墙），半圆形这三种方案，最佳方案是（    ）    A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．三种方案使得菜园面积一样大 【答案】C 【分析】分别计算三个方案的菜园面积进行比较即可． 解：方案1：设米，则米，    则菜园面积， 当时，此时菜园最大面积为米2； 方案2：如图，过点B作于H，则， ∵， ∴当时，的面积最大为平方米；    方案3：半圆的半径米， ∴此时菜园最大面积（米2）（米2）． 故选：C． 【点拨】本题考查二次函数的应用，根据题意计算三个方案的最大面积是解本题的关键． 【变式2】（25-26九年级下·河南鹤壁·阶段检测）综合与实践 【课本再现】 （1）九年级兴趣小组在复习课本时，发现这样一个题目，请你帮忙解决： 如图①，一个铝合金型材长，用它制作一个“日”字形窗户的框架，如果恰好用完这条铝合金型材，那么当，分别为多少米时，窗户的面积最大？直接写出答案； 【类比迁移】 （2）兴趣小组的小明同学认为可以把这种解决问题的方法从平面图形迁移到立体图形，并绘制了如图②所示的长方形硬纸片，其中，，现要用它围成一个长方体盒子的侧面，请你帮忙算一下这个盒子的最大体积是多少？ 【深入思考】 （3）兴趣小组的小亮同学认为将（2）中的长方形硬纸片按照图③的方式围成的长方体盒子的侧面，会让这个长方体的体积更大，你认可小亮的观点吗？请说明理由； 【拓展延伸】 （4）若给出一个长为a，宽为的长方形纸片围成一个长方体盒子的侧面，直接写出其最大体积． 【答案】（1），；（2）576；（3） 解：不认可，理由如下： 如图， 设，则 根据题意得，这个盒子的体积 ∵， ∴抛物线开口向下 ∴当时，V取得最大值384 ∵ ∴按照图③的方式围成的长方体盒子的侧面，会让这个长方体的体积更小， ∴不认可小亮的观点； （4） 【分析】（1）设为，则，然后表示出矩形的面积，根据二次函数的性质求解即可求得答案； （2）设，则，然后表示出这个盒子的体积，根据二次函数的性质求解即可求得答案； （3）设，则，然后表示出这个盒子的体积，根据二次函数的性质求解即可求得答案； （4）设，则，然后表示出这个盒子的体积，根据二次函数的性质求解即可求得答案． （1）解：设为，则， ∴窗户的面积 ∵， ∴抛物线开口向下 ∴当时，S取得最大值， ∴，时，窗户的面积最大； （2）解：如图， 设，则 根据题意得，这个盒子的体积 ∵， ∴抛物线开口向下 ∴当时，V取得最大值576； （3）略 （4）解：如图， 设，则 根据题意得，这个盒子的体积 ∵， ∴抛物线开口向下 ∴当时，V取得最大值． 【变式3】（24-25九年级上·福建泉州·阶段检测）阅读材料： ①对于任意实数和，都有，∴，于是得到， 当且仅当时，等号成立． ②任意一个非负实数都可写成一个数的平方的形式．即：如果，则． 如：等． 例：已知，求证：． 证明：∵，∴ ∴，当且仅当时，等号成立． 请阅读上述材料并解答下列问题：如图，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙的最大可用长度为14米），中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． （1）若所用的篱笆长为22米． ①若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的段长为多少？ ②当长为多少米时，这个花圃的面积最大？并求出最大面积； （2）若要围成面积为75平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 【答案】（1）①米；②；平方米；（2） 【分析】（1）①用含x的代数式表示出矩形的另一边的长，再根据矩形的面积公式即可建立方程，解方程即可求得垂直于墙的一边的长； ②利用二次函数的性质即可求出当垂直于墙的一边的长为多少米时，这个花圃的面积最大值和此时的面积； （2）设所需的篱笆长为米，由题意得：，再根据给出的材料提示即可求出需要用的篱笆最少是多少米． （1）解：设段的长为米，则花圃的长边为米， 依题意得，， 解得，， ∵， ∴， ∴不合题意，舍去， 故段的长为米； 设花圃的面积为，依题意得， ， ∵， ∴当时，有最大值，， ∴当长为米时，这个花圃的面积最大，最大面积为平方米． （2）解：设段的长为米，需要用的篱笆是米， 依题意得， ∴，此时，即， ∴要围成面积为75平方米的花圃，需要用的篱笆最少是米． 【点拨】此题考查了二次函数和一元二次方程的实际应用问题．解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可． 四.同步检测 （一）填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 1．（24-25九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，某农场计划修建三间矩形饲养室，饲养室一面靠现有墙（墙可用长≤20m），中间用两道墙隔开，已知计划中的修筑材料可建围墙总长为60m，设饲养室宽为xm，占地总面积为ym2，则三间饲养室总面积y的最大值___． 【答案】 【分析】设饲养室宽为，则长为，根据长方形面积公式即可得，由墙可用长可得的范围，再根据二次函数的性质进行求解． 解：（1）设饲养室宽为，则长为， ， ， ； 在时，随的增大而减小， 当时，， 故答案是：． 【点拨】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题以后，准确列出二次函数关系式，正确运用二次函数的有关性质来解题． 2．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，某学校拟建一块矩形花圃，打算一边利用学校现有的墙（墙足够长），其余三边除门外用栅栏围成，栅栏总长度为，门宽为．这个矩形花圃的最大面积是______． 【答案】 【分析】直接根据题意表示出垂直于花圃的一边长，再利用矩形面积求法列出关系式，配方可得答案． 解：设花圃的长为x,面积为y, 则y关于x的函数表达式为： ∴当时，面积最大为． 【点拨】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系，正确表示出另一边长是解题关键． 3．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，小明想用长16米的栅栏（虚线部分），借助围墙围成一个矩形花园，则矩形的最大面积是 _____平方米． 【答案】 【分析】设为米，则米，即可求面积 解：设米，矩形的面积为，则米， ∴ 即矩形的最大面积为平方米 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 4．（24-25九年级下·辽宁沈阳·开学考试）如图，一块矩形土地由篱笆围着，并且由一条与边平行的篱笆分开．已知篱笆的总长为420m（篱笆的厚度忽略不计），当______m时，矩形土地的面积最大． 【答案】70 【分析】设，求出的长度关系，然后求出四边形的面积关系式，利用二次函数的性质即可求解． 解：设，则， 所以四边形的面积为， 所以当时，S取得最大值为7350平方米， 故答案为：70． 【点拨】本题考查了二次函数函数的实际应用，涉及到二次函数的性质，属于基础题． （2） 解答题（本大题共10小题，每小题8分，共58分） 5．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，用一段长30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度为20米）的矩形鸡场，设边长为米，鸡场的面积为平方米． （1）求与的函数关系式； （2）写出自变量的取值范围； （3）求该矩形鸡场面积的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）该矩形鸡场面积的最大值为 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，二次函数的实际应用． （1）先根据，求出，再根据矩形面积公式即可列出关系式； （2）根据实际意义列出不等式组，求出的取值范围即可； （3）将二次函数化成顶点式，在的取值范围内利用二次函数的性质即可解答． （1）解：根据题意得：， ， ； （2）解：墙的长度为20米，即， ，即， 解得：， （3）解：由（1）知， ， 且， 当时，有最大值，最大值为， 答：该矩形鸡场面积的最大值为． 6．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长．设长为，矩形的面积为．问：当长为多少米时，所围成的花圃面积最大？最大面积是多少？ 【答案】长为时，花圃面积最大，最大面积为 【分析】根据题意，得出关于的函数，根据二次函数的性质求得最值，即可求解． 解：根据题意得，， ， 当时，有最大值，的最大值为50， 当长为时，花圃面积最大，最大面积为． 【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 7．（24-25九年级下·江苏南京·期末）如图，在一块空地上有一段长为米的旧墙，现在利用旧墙一部分（不超过）和100米长的木栏围成一个矩形菜园． （1）若，求矩形菜园面积的最大值； （2）若木栏增加米，矩形菜园面积的最大值为2800米，则的值为_____． 【答案】（1）矩形菜园面积的最大值为1050平方米；（2） 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质求最值是解题的关键． （1）设米，根据矩形的面积公式建立二次函数，利用二次函数的性质求最大值； （2）设米，根据矩形的面积公式建立二次函数，利用二次函数的最大值求解即可． （1）解：设米，，根据题意，得： 矩形菜园面积， ，图像开口向下， 当时，随的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为1050平方米． 答：矩形菜园面积的最大值为1050平方米； （2）解：当木栏增加米时，木栏总长为米， 设米，，根据题意，得： 矩形菜园面积， ，图像开口向下， 当时，随的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为， ∵矩形菜园面积的最大值为2800米， ∴， 解得：（负值已舍去）， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·福建福州·期末）为充分利用现有资源，学校“牧春园”计划用一块矩形地种植两种花卉．如图，矩形地一面靠墙（墙的长度为12m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积相等的矩形，已知栅栏的总长度为27m． （1）若矩形地的面积为，求的长； （2）当边为多少时，矩形地的面积最大，最大面积是多少? 【答案】（1）；（2）时，最大面积是 【分析】（1）根据等量关系式：，列出方程进行求解，并检验根是否符合实际意义，即可求解； （2）设，面积为，则有（），列出函数解析式，根据的取值范围求出最值即可． （1）解：设，则有（），由题意得 ， 整理得：， 解得：，， ， 解得：， （不合题意，舍去）， ， 答：的长为． （2）解：设，面积为，则有（），由题意得 由（1）同理可求， ， 当时， ， 故当时，矩形地的面积最大，最大面积是． 【点拨】本题考查了一元二次方程和二次函数的实际应用，根据等量关系式列出方程及函数解析式，并进行正确求解是解题的关键． 9．（24-25九年级上·北京朝阳·期中）某课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米． （1）直接写出面积S与x的数量关系式并写出自变量的取值范围； （2）若矩形生物苗圃园的面积为100平方米时，求垂直于墙的一边长为多少米？ （3）垂直于墙的一边长为多少米时，这个苗圃园的面积最大？ 【答案】（1），自变量取值范围为；（2）垂直于墙的一边长为10米；（3）垂直于墙的一边长为米时，这个苗圃园的面积最大 【分析】（1）根据题意可直接求解； （2）由（1）可当时代入求解即可； （3）由（1）及结合二次函数的最值可进行求解． （1）解：由题意得： ； 由墙长为18米可知：， 解得：， ∴该函数的自变量取值范围为； （2）解：由（1）可得： ， 解得：， ∵， ∴； 答：垂直于墙的一边长为10米． （3）解：由（1）可知， ∵，对称轴为直线， ∴当时，面积S有最大值，最大值为； 答：垂直于墙的一边长为米时，这个苗圃园的面积最大． 【点拨】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． 10．（2025·山东德州·模拟预测）用一段长为的50米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长25米． （1）如图1，当菜园面积为300平方米时，求矩形菜园的长和宽． （2）如图2，若菜园中间用一道篱笆隔开，这个菜园的长和宽各为多少时，面积最大，最大面积是多少? （3）在（2）的条件下，农户准备种植A，B两种蔬菜，每平方米分别投入6元，8元．经计算，种植A种蔬菜每平方米可获利8元，种植B种蔬菜每平方米可获利12元，农户拿出1000元用来种植这两种蔬菜，设种植A种蔬菜x平方米，总获利y元．若要求A种蔬菜的种植面积不能少于B种蔬菜种植面积的2倍，当种植A种蔬菜多少平方米时，获得的利润最大?并求出最大利润． 【答案】（1）矩形的长为，宽为；（2）矩形的长为，宽为时，菜园的面积最大，最大面积为；（3）种植A种蔬菜平方米时，获得的利润最大，最大利润为元 【分析】此题考查了一元二次方程与二次函数的应用，正确理解题意、准确列出一元二次方程与二次函数关系式是解题的关键． （）设平行于墙的矩形边长为，则邻边为，列出方程即可求解； （）设菜园面积为，得出关于的二次函数解析式，然后求二次函数的最大值即可求解； （3）先列出函数表达式，根据题意列不等式组，并解方程组求出最大值即可． （1）解：设平行于墙的矩形边长为， 则 ， ， 解得，不合题意，舍去， ， 答：矩形的长为，宽为； （2）设菜园的面积为，平行于墙的矩形边长为， 则， ∵，抛物线开口向下，对称轴为， 当时，随的增大而增大  ，                                 又∵， ∴时，有最大值， ， 答：矩形的长为，宽为时，菜园的面积最大，最大面积为． （3）由题意得：， 又， 解得：， ， 随x的增大而减小， 当时，y最大， 故种植A种蔬菜平方米时，获得的利润最大，最大利润为元． 11．（24-25九年级下·河北保定·开学考试）如图，某单位拟在一块空地上修建矩形植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过16米，另外三边由36米长的栅栏围成，设矩形中，垂直于墙的边米，面积为平方米． （1）与之间的函数关系式为________，自变量的取值范围为________； （2）若矩形的面积为154平方米，求的值； （3）当矩形的面积最大时，利用的墙长是多少米？并求此时的最大面积． 【答案】（1），；（2）；（3）矩形空地的面积最大为时，利用的墙长是 【分析】 根据矩形的面积公式列出与之间的函数关系式， 并由求出自变量x的取值范围即可； 若矩形空地的面积为，则由可得关于的一元二次方程，求得方程的解并作出取舍即可；把 中所得的二次函数解析式写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案． 解：（1）， ∵， ∴． ∴与之间的函数关系式为 ， 故答案为：，； （2）由题意得∶ ，解得：， ∵， ∴不符合题意， ∴； （3）∵ ∵， ∴当时， 有最大值． ∴墙长， ∴矩形空地的面积最大为时，利用的墙长是． 【点拨】 本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 12．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的菜园，有如下两种方案． 方案一：如图①，围成一个矩形菜园，其中一边是墙，其余的三边，， 用篱笆，其中； 方案二：如图②，围成一个扇形菜园，一条半径是墙，其余用篱笆； 小明同学认为方案二围成扇形菜园的最大面积大于方案一围成矩形菜园的最大面积，请你通过计算说明小明同学说法是否正确？ 【答案】解：小明同学说法不正确，理由如下： 方案一：设边长为，矩形面积为，则边长为， ， ， ∴当时，有最大值为， 此时，满足题意； 方案二：设，扇形菜园面积为，则弧长为， ， ， ∴当时，有最大值为， ∴两种方案最大面积相等，小明同学说法不正确． 【分析】本题考查了二次函数的应用，准确列出函数解析式是解答本题的关键．方案一：设边长为，矩形面积为，则边长为，列出二次函数解析式并求出最大值；方案二：设，扇形菜园面积为，则弧长为，列出二次函数解析式并求出最大值；比较两个最大值得出结论即可． 解：略 13．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，用一段长的篱笆围成一个一边靠墙（无需篱笆）的矩形菜园，并且中间也用篱笆隔开，，墙长． （1）设，矩形的面积为y ，则y关于x的函数关系式为______，x的取值范围为______． （2）求矩形面积的最大值，并求出此时的长； （3）在（2）的情况下，若将矩形和矩形分别种植甲，乙两种农作物．甲种农作物的年收入（单位：元）和种植面积（单位：）的函数关系式为；乙种农作物的年收入（单位：元）和种植面积S（单位：）的函数关系式为，若两种农作物的年收入之和不少于5184元，求的取值范围． 【答案】（1），；（2）矩形面积的最大值为72 ，此时的长为12m；（3） 【分析】（1）先求出，利用矩形面积公式求出函数关系式，由得到x的取值范围； （2）利用自变量的取值范围，结合抛物线的增减性即可得到答案； （3）设矩形的面积为a，两种农作物的总年收入为w元，列得总收入的函数解析式，由此得到，解得，再求出， 求出当时，当时，的值，即可得到． （1）解：∵， ∴， ∴矩形的面积， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）， ∵， ∴抛物线开口向下， 令， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y最大值为， 此时的长为m； （3）设矩形的面积为a，两种农作物的总年收入为w元， ∴， 依题意，， 解得， ∵，且， ∴随着a的增大而减小， ∴当时，有最小值为（m）， 当时，有最小值为（m）， ∴． 【点拨】此题考查了二次函数的实际应用，二次函数的性质与图象，一次函数的应用，正确理解题意列得函数关系式是解题的关键． 14．（2026·江苏连云港·一模）张老师在中考总复习二次函数时，对九下教材第8页练习3（3）进行变式探究：如图，用长为的护栏围成一块靠墙，中间用护栏隔开的矩形花圃,其中，且墙长为． （1）设，矩形花圃的面积为．则y关于x的函数关系式为__________，x的取值范围为__________； （2）求矩形花圃面积的最大值； （3）在（2）的情况下，若将矩形和矩形分别种植甲、乙两种鲜切花．甲种鲜切花的年收入（单位：元）与种植面积的函数关系式为；乙种鲜切花的年收入（单位：元）与种植面积的函数关系式为，若两种鲜切花的年收入之和达到28800元，求的长． 【答案】（1）；；（2）300平方米；（3）18米或11米 【分析】（1）先求出，利用矩形面积公式求出函数关系式，由得到x的取值范围； （2）利用自变量的取值范围，结合抛物线的增减性即可得到答案； （3），，设，则，根据题意列出方程，解方程即可． （1）解：∵， ∴， ∴矩形的面积， ∵， ∴， 故答案为：；． （2）解：， ∵， ∴抛物线开口向下， 令， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y最大值为， ∴矩形花圃面积的最大值为； （3）解：当时，，， 设，则，则： ，， ∴， ， ∵两种鲜切花的年收入之和达到28800元， ∴， 解得：，， 答：的长为或． 【点拨】此题考查了二次函数的实际应用，二次函数的性质与图象，求不等式组的解集，一元二次方程的应用，正确理解题意列得函数关系式是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.5 问题解决活动：怎样围面积最大（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】本课核心模型：靠墙矩形面积最值（课本原型） 1 【知识点二】中考必考核心限制条件（失分重灾区） 1 【知识点三】中考经典围栏模型 2 【知识点四】中考标准解题步骤（阅卷满分模板） 2 【知识点五】高频易错总结（中考专属） 2 二.题型精析（夯实基础） 2 【题型 1】常规靠墙无隔断、无墙长限制（中考基础） 2 【题型 2】靠墙+墙长限制（中考核心高频） 4 【题型 3】靠墙+内部隔断（中考热门题型） 5 三.模块二：中考压轴新增题型（本次重点加练） 6 【题型 4】矩形面积多条件结论问题 6 四.同步检测 8 （一）填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 8 （二）解答题（本大题共10小题，每小题8分，共58分） 9 一.知识梳理解读 【知识点一】本课核心模型：靠墙矩形面积最值（课本原型） 问题情境：利用一面墙，用固定总长篱笆围三边矩形，求最大面积。 设：垂直墙边长为 ，篱笆总长为 ，则平行墙边长：。 面积函数：，开口向下，理论顶点为最大值点。 【知识点二】中考必考核心限制条件（失分重灾区） 实际问题中墙长有限，绝对不能直接代顶点！必须双重约束： 1. 边长为正： 2. 平行墙边长不超墙长 ： 联立不等式得到真实自变量区间，再判断： ① 对称轴在区间内：顶点取最大值； ② 对称轴在区间外：利用单调性，端点取最值。 【知识点三】中考经典围栏模型 模型1：常规靠墙无隔断（基础中考）：篱笆围三边，墙为第四边。 模型2：靠墙+多道隔断（高频中考）：内部有隔断，总篱笆包含所有垂直墙隔断长度。 模型3：无墙全封闭模型：周长固定，正方形面积最大。 【知识点四】中考标准解题步骤（阅卷满分模板） 1. 设变量：优先设垂直墙边长为 （计算最简）； 2. 列边长：用含 式子表示平行墙边长； 3. 定范围：根据边长为正、墙长限制列不等式，写出定义域； 4. 建函数：列出面积二次函数； 5. 判顶点：验证对称轴是否在定义域内； 6. 求最值：区间内取顶点，区间外取端点，压轴题需分段对比。 【知识点五】高频易错总结（中考专属） 1. 忽略墙长限制，直接套顶点公式，中考直接扣分； 2. 隔断题型数错篱笆段数，导致函数式列错； 3. 不写自变量取值范围，实际应用题步骤残缺； 4. 存在性问题不解方程、不验证实际边长，直接判断出错。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】常规靠墙无隔断、无墙长限制（中考基础） 【例题1】（25-26九年级上·河南开封·期末）某校计划围一个矩形小菜园作为实践基地，九年级数学学习小组以“怎样围面积最大”为主题，开展活动．在学校实验楼房一侧的空地上，计划用篱笆和楼房的一面外墙围一个矩形小菜园作为实践基地，其中篱笆长米．如果外墙长米，矩形小菜园一边靠墙，另三边用篱笆围成． 任务一： （1）小菜园的面积能达到平方米吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 任务二： （2）怎样围小菜园面积最大？请你给出设计方案并求出最大面积． 【变式1】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，一边靠墙（墙足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形花圃，这个花圃的最大面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）如图，要建一个矩形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙足够长），如果用长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，设养鸡场平行于墙的一边长为，当____时，养鸡场的面积最大． 【变式3】（25-26九年级上·广东广州·期末）2022年教育部正式印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，《劳动》成为一门独立的课程. 某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖园（靠墙的一边不需用篱笆），墙长为16米. （1）当围成的矩形养殖园面积为108平方米时，求养殖园的边的长； （2）求矩形养殖园面积的最大值. 【题型 2】靠墙+墙长限制（中考核心高频） 【例题2】（25-26九年级上·新疆巴州·期末）李爷爷开辟了一块如图所示的矩形菜地，已知矩形菜地的一边靠墙（墙的最大可用长度为），其余三边用总长为的篱笆组成．设矩形菜地的宽为． （1）若矩形菜地的面积是，求x的值． （2）当x为何值时，围成的矩形菜地的面积最大？ 【变式1】（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门，若花圃的面积刚好为，则此时花圃段的长为（    ）m． A．4或 B． C．4 D．10 【变式2】（24-25九年级上·浙江台州·期中）小明为班级围建一个矩形蔬菜园，其中一边靠墙，墙可利用的最大长度为，篱笆长为，菜园中间用一道篱笆隔成2个小矩形． （1）当围成的菜园面积为时，的长为_____； （2）记，若围成面积比大的菜园，则的范围为_____． 【变式3】（2026·辽宁抚顺·二模）为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质，某校为此用篱笆围成一个矩形劳动基地．基地的一面靠墙（墙的最大可用长度为），且中间用垂直于墙的篱笆隔开分成面积相等的两个区域，已知篱笆的总长为，设矩形的一边长为，面积为． （1）求关于的函数解析式，并求出自变量的取值范围； （2）求出所能围成的矩形基地的最大的面积． 【题型 3】靠墙+内部隔断（中考热门题型） 【例题3】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，要在屋前的空地上围一个矩形花圃，花圃的一边靠墙（墙足够长），另三边用篱笆围成，篱笆总长，在与墙平行的一边开一个宽的门．设垂直于墙的一边为． （1）用含有的代数式表示边的长为______m； （2）当矩形花圃的面积最大时，求边的长，并求出矩形花圃面积的最大值． 【变式1】（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，用长的篱笆靠墙（墙足够长）围成一个面积是的长方形鸡场，鸡场有一个的门，求鸡场的长和宽．设与墙垂直的边长为，所列方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·浙江绍兴·开学考试）某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为200m2的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长35m，另外三面用49m长的篱围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm，则所列方程为__． 【变式3】（25-26九年级上·福建泉州·阶段检测）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，且在边处设计有1米宽的通道方便出入，设边所用的篱笆长为米． （1）请写出与的函数关系式，若墙足够长，请求出菜园的最大面积； （2）若墙的长为米，请求出菜园的最大面积（可用的式子表示） 三.模块二：中考压轴新增题型（本次重点加练） 【题型 4】矩形面积多条件结论问题 【例题4】（25-26九年级上·陕西安康·期中）问题提出（1）当时，二次函数的最大值为______． 问题探究（2）已知二次函数是常数，的图象经过两点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点的纵坐标的最大值． 问题解决（3）某养殖户利用一段围墙（围墙足够长）为一边，用总长为的围网围成了如图所示的三块矩形区域，且这三块矩形区域的面积相等．设的长度为，矩形区域的面积为，当为何值时，有最大值？最大值是多少？ 【变式1】（25-26九年级上·天津河西·期中）九年级一班的同学计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来10米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形，等腰三角形（底边靠墙），半圆形这三种方案，最佳方案是（    ）    A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．三种方案使得菜园面积一样大 【变式2】（25-26九年级下·河南鹤壁·阶段检测）综合与实践 【课本再现】 （1）九年级兴趣小组在复习课本时，发现这样一个题目，请你帮忙解决： 如图①，一个铝合金型材长，用它制作一个“日”字形窗户的框架，如果恰好用完这条铝合金型材，那么当，分别为多少米时，窗户的面积最大？直接写出答案； 【类比迁移】 （2）兴趣小组的小明同学认为可以把这种解决问题的方法从平面图形迁移到立体图形，并绘制了如图②所示的长方形硬纸片，其中，，现要用它围成一个长方体盒子的侧面，请你帮忙算一下这个盒子的最大体积是多少？ 【深入思考】 （3）兴趣小组的小亮同学认为将（2）中的长方形硬纸片按照图③的方式围成的长方体盒子的侧面，会让这个长方体的体积更大，你认可小亮的观点吗？请说明理由； 【拓展延伸】 （4）若给出一个长为a，宽为的长方形纸片围成一个长方体盒子的侧面，直接写出其最大体积． 【变式3】（24-25九年级上·福建泉州·阶段检测）阅读材料： ①对于任意实数和，都有，∴，于是得到， 当且仅当时，等号成立． ②任意一个非负实数都可写成一个数的平方的形式．即：如果，则． 如：等． 例：已知，求证：． 证明：∵，∴ ∴，当且仅当时，等号成立． 请阅读上述材料并解答下列问题：如图，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙的最大可用长度为14米），中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． （1）若所用的篱笆长为22米． ①若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的段长为多少？ ②当长为多少米时，这个花圃的面积最大？并求出最大面积； （2）若要围成面积为75平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 四.同步检测 （一）填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 1．（24-25九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，某农场计划修建三间矩形饲养室，饲养室一面靠现有墙（墙可用长≤20m），中间用两道墙隔开，已知计划中的修筑材料可建围墙总长为60m，设饲养室宽为xm，占地总面积为ym2，则三间饲养室总面积y的最大值___． 2．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，某学校拟建一块矩形花圃，打算一边利用学校现有的墙（墙足够长），其余三边除门外用栅栏围成，栅栏总长度为，门宽为．这个矩形花圃的最大面积是______． 3．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，小明想用长16米的栅栏（虚线部分），借助围墙围成一个矩形花园，则矩形的最大面积是 _____平方米． 4．（24-25九年级下·辽宁沈阳·开学考试）如图，一块矩形土地由篱笆围着，并且由一条与边平行的篱笆分开．已知篱笆的总长为420m（篱笆的厚度忽略不计），当______m时，矩形土地的面积最大． （2） 解答题（本大题共10小题，每小题8分，共58分） 5．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，用一段长30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度为20米）的矩形鸡场，设边长为米，鸡场的面积为平方米． （1）求与的函数关系式； （2）写出自变量的取值范围； （3）求该矩形鸡场面积的最大值． 6．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长．设长为，矩形的面积为．问：当长为多少米时，所围成的花圃面积最大？最大面积是多少？ 7．（24-25九年级下·江苏南京·期末）如图，在一块空地上有一段长为米的旧墙，现在利用旧墙一部分（不超过）和100米长的木栏围成一个矩形菜园． （1）若，求矩形菜园面积的最大值； （2）若木栏增加米，矩形菜园面积的最大值为2800米，则的值为_____． 8．（24-25八年级下·福建福州·期末）为充分利用现有资源，学校“牧春园”计划用一块矩形地种植两种花卉．如图，矩形地一面靠墙（墙的长度为12m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积相等的矩形，已知栅栏的总长度为27m． （1）若矩形地的面积为，求的长； （2）当边为多少时，矩形地的面积最大，最大面积是多少? 9．（24-25九年级上·北京朝阳·期中）某课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米． （1）直接写出面积S与x的数量关系式并写出自变量的取值范围； （2）若矩形生物苗圃园的面积为100平方米时，求垂直于墙的一边长为多少米？ （3）垂直于墙的一边长为多少米时，这个苗圃园的面积最大？ 10．（2025·山东德州·模拟预测）用一段长为的50米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长25米． （1）如图1，当菜园面积为300平方米时，求矩形菜园的长和宽． （2）如图2，若菜园中间用一道篱笆隔开，这个菜园的长和宽各为多少时，面积最大，最大面积是多少? （3）在（2）的条件下，农户准备种植A，B两种蔬菜，每平方米分别投入6元，8元．经计算，种植A种蔬菜每平方米可获利8元，种植B种蔬菜每平方米可获利12元，农户拿出1000元用来种植这两种蔬菜，设种植A种蔬菜x平方米，总获利y元．若要求A种蔬菜的种植面积不能少于B种蔬菜种植面积的2倍，当种植A种蔬菜多少平方米时，获得的利润最大?并求出最大利润． 11．（24-25九年级下·河北保定·开学考试）如图，某单位拟在一块空地上修建矩形植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过16米，另外三边由36米长的栅栏围成，设矩形中，垂直于墙的边米，面积为平方米． （1）与之间的函数关系式为________，自变量的取值范围为________； （2）若矩形的面积为154平方米，求的值； （3）当矩形的面积最大时，利用的墙长是多少米？并求此时的最大面积． 12．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的菜园，有如下两种方案． 方案一：如图①，围成一个矩形菜园，其中一边是墙，其余的三边，， 用篱笆，其中； 方案二：如图②，围成一个扇形菜园，一条半径是墙，其余用篱笆； 小明同学认为方案二围成扇形菜园的最大面积大于方案一围成矩形菜园的最大面积，请你通过计算说明小明同学说法是否正确？ 13．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，用一段长的篱笆围成一个一边靠墙（无需篱笆）的矩形菜园，并且中间也用篱笆隔开，，墙长． （1）设，矩形的面积为y ，则y关于x的函数关系式为______，x的取值范围为______． （2）求矩形面积的最大值，并求出此时的长； （3）在（2）的情况下，若将矩形和矩形分别种植甲，乙两种农作物．甲种农作物的年收入（单位：元）和种植面积（单位：）的函数关系式为；乙种农作物的年收入（单位：元）和种植面积S（单位：）的函数关系式为，若两种农作物的年收入之和不少于5184元，求的取值范围． 14．（2026·江苏连云港·一模）张老师在中考总复习二次函数时，对九下教材第8页练习3（3）进行变式探究：如图，用长为的护栏围成一块靠墙，中间用护栏隔开的矩形花圃,其中，且墙长为． （1）设，矩形花圃的面积为．则y关于x的函数关系式为__________，x的取值范围为__________； （2）求矩形花圃面积的最大值； （3）在（2）的情况下，若将矩形和矩形分别种植甲、乙两种鲜切花．甲种鲜切花的年收入（单位：元）与种植面积的函数关系式为；乙种鲜切花的年收入（单位：元）与种植面积的函数关系式为，若两种鲜切花的年收入之和达到28800元，求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $