4.1二次函数（教学课件）数学新教材湘教版九年级上册

第4章 二次函数 4.1 二次函数 导入新课 节日的喷泉给人们带来喜庆，夏日的喷泉给人们带来清凉。 你是否注意到喷泉水流所经过的路线？ 它们会与某种函数有关联吗？ 在观看篮球比赛时，你是否注意到篮球入篮的路线？ 学 习 目 标 1 2 3 经历探索二次函数关系的过程，理解二次函数的概念 （重点） 掌握二次函数的一般形式 y=ax2+bx+c（a≠0），能判断一个函数是否为二次函数（重点） 能根据实际问题列出二次函数表达式，体会二次函数是刻画现实世界变量关系的有效模型（难点） 新知探究 已知一矩形的长为200 cm，宽为150 cm.从中挖去一个圆（如图4 .1-1 所示），设挖去的圆的半径为x cm，剩余部分的面积为S cm2，如何写出S 与x 之间的关系式？ 你能找到它们之间的等量关系吗？ 剩余部分的面积 = 矩形的面积-圆的面积 S 200 150 πx2 = - 你能不能求出自变量x的取值范围吗？ 即 S = －πx2 + 30 000 0 < x ≤ 75 S 是 x 的函数吗？ 对于 x 的每一个取值，S 都有唯一确定的值与它对应，即 S 是 x 的函数 新知探究 某型号笔记本电脑之前的售价为6000 元.经过两次降价，现在的售价为y 元.若每次的降价率为x，写出y 与x 之间的关系式. 第二次降价后的售价(现售价)=原售价×(1 -x)2 平均降低率问题： a(1-x)n=b (x为平均降低率) y = 6000×(1－x)2 你可知自变量x的取值范围吗？ y = 6000x2－12 000x + 6 000 你能整理这个函数表达式吗？ 0 < x < 1 y 是 x 的函数吗？ 对于 x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与它对应，即 y 是 x 的函数 新知探究 议一议 观察由上述问题得到的函数表达式，它们有什么共同点？ S = －πx2 + 30 000，0 < x ≤ 75. ① y = 6000x2－12 000x + 6 000 ，0 < x < 1 ② ①有两个变量 ③自变量最高次数为2 ④因变量最高次数为1 ②含有自变量的代数式是整式 二次函数 y= x2 + x + 新知探究 总结归纳 二次函数的概念： 形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫作x的二次函数 (1)表达式是关于自变量的整式； (2)自变量的最高次数是2； (3)化简后二次项系数不为0。 二次函数必须同时满足以下三个条件： 自变量x的取值范围是全体实数 二次项 一次项 常数项 新知探究 说一说 当常数a，b，c 满足什么条件时，函数y =ax2+bx +c为一次函数？为正比例函数？ 当a＝0，b≠0 时，为一次函数； 当 а＝c＝0，b≠0 时，为正比例函数. 例 学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆围成一个矩形植物园，如图所示.已知篱笆的总长度为100 m，设与围墙垂直的一边篱笆的长度为x m，矩形植物园的面积为S m 2，求S 与x 之间的函数表达式. 典例分析 x x 100-2x 矩形植物园的面积 =长宽 S = x (100－2x) 你可知自变量x的取值范围吗？ 100-2x0 x0 0 < x < 50 例 学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆围成一个矩形植物园，如图所示.已知篱笆的总长度为100 m，设与围墙垂直的一边篱笆的长度为x m，矩形植物园的面积为S m 2，求S 与x 之间的函数表达式. 典例分析 解 由于与围墙垂直的一边篙笆的长度为x m，因此，与围墙平行的一边篙笆的长度为(100－2x)m.于是面积 S 与 x 之间有如下函数关系： S = x (100－2x)，0 < x < 50， 即 S = －2x2 +100x，0 < x < 50. 基础巩固题 新知应用 1. 下 列 函 数 ： (1)y=-3x²；(2)y=x²+；(3)y=3x²-4 - x3；(4)y=-2 x²； (5)y= a x²+3x+6；(6)y=4 - ；(7)y=(x-1)²-x²。 其中，一定是y关于x的二次函数的有 。(填序号) (1) (4) 不是整式 不是整式 最高次数是3 化简：y= -2x+1 二次函数中a≠0 判断方法：(1)表达式是关于自变量的整式； (2)自变量的最高次数是2； (3)化简后二次项系数不为0。 基础巩固题 新知应用 2. 把 y = (2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____， 一次项系数为______，常数项为 . -3x2 -16 12 3. 函数 y = (m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( ) A . m，n 是常数,且m≠0 B . m，n 是常数,且n≠0 C. m，n 是常数,且m≠n D . m，n 为任何实数 C m-n0 基础巩固题 新知应用 4. 某网络主播代销某品牌的电子产品，销售中发现每件售价为99元时， 日销售量为200件，当电子产品的单价每下降5元时，日销售量会增加10件． 已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元.设每件电子 产品的售价为（元），主播每天的利润为（元），则 与 之间的函数关 系式为 ( ) D A. B. C. D. 基础巩固题 新知应用 5.把下列二次函数表达式化成一般形式，并指出二次项系数、一次项系数及常数项． （1） ； 解： ，即一般形式为 ，二次项 系数为1，一次项系数为0，常数项为 . （2） . ， 即一般形式为 ，二次项系数为 ，一次项系数为 ， 常数项为0. 基础巩固题 新知应用 6.写出下列函数的表达式，并指出哪些是二次函数，哪些是一次函数. （1）正方形的面积S 关于它的边长x 的函数； （2）圆的周长C 关于它的半径r的函数； （3）圆的面积S 关于它的半径r的函数. S = x2 二次函数 C = 2πr 一次函数. S=πr2. 二次函数 基础巩固题 新知应用 7.已知一个等腰直角三角形的斜边为x，设它的面积为y，求面积y 与斜边x 之间的函数表达式. 解 由于等腰直角三角形斜边为x ，根据勾股定理得两直角边的边长为，于是面积 y 与 x 之间有如下函数关系：y= 能力提升题 新知应用 8.如图，某小区计划在一个长为 、宽为 的矩形场地 上修建三条宽度均为 的小路，使其中两条与 垂直，另一条与 平行，剩余部分种草.设剩余部分的面积为 ，求 与 之间的 函数表达式，并写出自变量的取值范围． 解：由题意，得 ． 因为 ， ， ， 所以自变量 的取值范围是 ． 因此 与 之间的函数表达式为 ． 能力提升题 新知应用 9.函数y=(m-2)+4是二次函数，求m的取值范围和函数解析式. 解得 m=±2， m≠2. ∴m=-2. ∴此函数解析式为y=-4x2+4. 解：根据题意可得： m-2≠0. m2-2=2， 二次函数必须同时满足以下三个条件： (1)表达式是关于自变量的整式； (2)自变量的最高次数是2； (3)化简后二次项系数不为0。 课堂小结 形如y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫作二次函数 二次函数 概念 根据实际问题构建二次函数 审清题意→找等量关系→列函数表达式 感谢聆听! $