4.1 二次函数-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学习题课件(湘教版·新教材)
2026-10-05
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教辅
摘要：
该初中数学课件聚焦二次函数，涵盖定义、一般形式、模型建立及自变量取值范围等核心知识点，通过“练基础”“练提升”“练素养”分层设计，以基础题导入，逐步过渡到实际应用问题，构建从概念理解到综合运用的学习支架。
其亮点在于以数学眼光观察现实情境，如握手次数、矩形种植面积等问题，培养抽象能力与模型意识，通过分层练习发展数学思维，如推理能力与运算能力。学生能提升知识应用能力，教师可借助系统练习资源提高教学效率。
内容正文：
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第4章 二次函数
4.1 二次函数
3
练基础
练提升
练素养
4
练基础
1. （株洲校级阶段练习）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是 （ ）
A. y=x2+1 B. y=
C. y=（x−1）2−x2 D. y=x-1
知识点1 二次函数的定义
A
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2. 下列函数关系中，是二次函数的是 （ ）
A. 在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系
B. 当距离s一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C. 等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D. 圆的面积S与半径r之间的关系
D
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3. （益阳阶段练习）已知函数：①y=2x-1；②y=-2x2-1；③y=3x3-2x2；④y=2（x+ 3）2-2x2；⑤y=ax2+bx+c；⑥y=x2++5，其中是二次函数的为________.
②
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4. （易错题）当m=________时，y=（m-2）x是二次函数.
-2
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5. 二次函数y=2x（x-1）的一次项系数是 （ ）
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
知识点2 二次函数的一般形式
D
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6. 将二次函数y=3x（x-1）-5（x+2）化成一般形式为y=ax2+bx+c，则8a+3b-c= ________.
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7. （邵阳校级阶段练习）参加会议的人两两握手，有人统计一共握了y次手，那么y与参会人数x之间的函数表达式是 （ ）
A. y=x2-x B. y=x2-x
C. y=x2-x D. y=x2+x
知识点3 建立二次函数模型
B
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8. 有一块长为60 m、宽为40 m的矩形绿地，计划在它的四周相同的宽度内种植阔叶草，中间种植郁金香，写出郁金香的种植面积S（m2）关于四周相同的宽度a（m）的函数表达式：___________________（化为一般式，不用写出自变量的取值范围）.
S=4a2-200a+2 400
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9. （衡阳校级阶段练习）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在每件利润不超过进价20%的情况下可以自行定价. 若每件商品售价为x元，每月可卖出（350-10x）件商品，写出该商店每月售出这款商品所得利润y（元）与售价x（元）的函数表达式，并写出自变量x的取值范围.
知识点4 二次函数中自变量的取值范围
解：由题意得，每件商品的利润为（x-21）元，
所以y与x的函数表达式为y=（x-21）（350-10x）=-10x2+560x-7 350.
因为x≤21×（1+20%）=25.2且x>21，所以自变量x的取值范围为21<x≤25.2.
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10. ［教材P136T3改编］如图，在长为200 m、宽为80 m的矩形区域内修建三条等宽的小路（图中阴影部分，三条小路分别与矩形区域的边平行）. 试写出剩余部分（空白部分）的面积y（m2）与小路的宽度x（m）之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围.
解：y=（200-2x）（80-x）=2x2-360x+16 000（0<x<80）.
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11. 如图，正方形ABCD的边长为5，F是BC上一动点，过对角线交点E作EG⊥EF，交CD于点G，设BF的长为x，△EFG的面积为y，则y与x满足的函数关系是 （ ）
A. 正比例函数
B. 一次函数
C. 二次函数
D. 以上都不是
练提升
C
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12. 某校九（1）班共有x名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手y次，试写出y与x之间的函数表达式：_____________，它_________（填“是”或“不是”）二次函数.
y=x(x-1)
是
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13. ［新定义·新运算问题］在实数范围内定义一种运算“※”，其运算法则为a※b=a2−2ab，根据这个法则，若y=（x+3）※2，则y=_________.
x2+2x-3
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14. 某果园有100棵枇杷树，平均每棵产量为40 kg，现准备多种一些枇杷树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵树接受的阳光就会减少，根据实践经验，每多种一棵树，投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量0.25 kg，若设增种x棵枇杷树，投产后果园枇杷树的总产量为y kg，则y与x之间的函数表达式为_______________________（不用写出自变量的取值范围）.
y=（100+x）（40-0.25x）
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15. 如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为x m，y m.
（1）若绳长为10 m，则y与x的函数表达式为_______，y是x的_________函数.
（2）若矩形的周长为20 m，矩形的面积为S m2，则S与x的函
数表达式为________________，S是x的________________函数.
y=-x+5
一次
S=-x2+10x
二次
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16. （张家界校级阶段练习）将一根长16π cm的铁丝剪成两段，然后再将两段铁丝分别组成一个圆. 设其中一个圆的半径长为x cm，这两个圆的面积之和为y cm2.
（1）写出y关于x的函数表达式，并写出函数中自变量x的取值范围.
（2）当这两个圆的面积和等于40π cm2时，求这两个圆的半径长.
解：（1）由题意，得另一个圆的半径为=（8-x） cm，所以y=πx2+π（8-x）2=πx2+64π-16πx+πx2=2πx2-16πx+64π，自变量x的取值范围是0<x<8.
（2）由题意，2πx2-16πx+64π=40π，所以2πx2-16πx+24π=0，所以x2-8x+12=0，所以（x-2）（x-6）=0，解得x1=2，x2=6，所以这两个圆的半径长分别为2 cm、6 cm.
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17. （1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？
（2）完成下表：
（3）如果用n表示六边形一条边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，求m与n之间的函数表达式.
练素养
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解：（1）观察每个图形，发现第1个图形的小圆圈有1个，第2个图形的小圆圈有2+3+2=7（个），第3个图形的小圆圈有3+4+5+4+3=19（个），第4个图形的小圆圈有4+5+6+7+6+5+4=37（个），由此可推知第5个图形的小圆圈有5+6+7+8+9+8+7+6+5=61（个）.
（2）将（1）中算出的结果填入表格，如下表所示.
（3）结合（1）（2）可知，m=n+（n+1）+…+（n+n-2）+（n+n-1）+（n+n-2）+…+（n+1）+n，首尾相加得m=2［n+（n+1）+…+（n+n-2）］+（n+n-1）=2×+2n-1=
3n2-3n+1.
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