4.2.2 二次函数y＝a(x－h)²＋k的图象与性质 第2课时 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

第4章 二次函数 4.2 二次函数的图象与性质 4.2.2 二次函数y＝a(x－h)²＋k的图象与性质 第2课时　二次函数y＝a(x－h)²＋k的图象与性质 旧知回顾 1．二次函数y＝a(x－h)2的图象是怎样的？ 二次函数y＝a(x－h)2图象是抛物线，它的对称轴是直线x＝h，它的顶点坐标是(h，0). 当a>0时，抛物线的开口向上； 当a<0时，抛物线的开口向下． 2．二次函数y＝－2(x＋4)2开口向____，顶点是(－4，0)，当x＝－4时，y有最大值0，当______时，y随x的增大而____；当______时，y随x的增大而______，它由y＝－2x2向_____平移____个单位长度得到． 下 x>－4 减小 x<－4 增大 左 4 自学互研 知识模块一　抛物线y＝a(x－h) ² ＋k图象的平移 探 究 如何画二次函数y=2+3的图象？ 先来探究二次函数y= 2+3与y= 2之间的关系. y=2+3 的图象可由y=2 的图象向上平移 3 个单位得到. 二次函数y=2+3 与y=2 的关系. 二次函数 图象上的点 横坐标x 纵坐标y y=2 y=2+3 d d 2 2 +3 x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 观察 y=2+3 的图象，说说它有哪些特征. 顶点为(1,3) 对称轴为直线 x=1 开口向上的抛物线 y=2+3 y=2 画 y = a(x - h)2 + k 的图象的步骤： 写出对称轴和顶点坐标，并且在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点; 01 列表(自变量x从顶点的横坐标开始取值)、描点和连线，画出图。 02 03 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分(只要先把对称轴左边的对称点描出来，然后用一条光滑曲线顺次连接它们和顶点即可). 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与y＝ax2的图象有何关系？ 二次函数y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是常数，a≠0)的图象与二次函数y＝ax2(a≠0)的图象形状相同，位置不同． 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可由二次函数y＝ax2的图象先向左或向右平移|h|个单位长度，再向上或向下平移|k|个单位长度而得到． 【例1】由y＝2(x－3)2向____平移____个单位长度可以得到y＝2(x－3)2－5，把y＝2(x－3)2－5向____平移____个单位长度，再向____平移____个单位长度，可以得到y＝2x2的图象． 下 5 左 3 上 5 【变例1】抛物线y＝－3(x＋2)2－3可由抛物线y＝－3x2平移得到，则下列平移过程正确的是 ( ) A．先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 D．先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度 B 【变例2】抛物线y＝－(x－1)2＋3的开口向____，顶点是________ ，对称轴是________，它可由抛物线y＝－x2向____平移____个单位长度，再向____平移____个单位长度得到． 下 (1，3) 直线x＝1 右 1 上 3 知识模块二　二次函数y＝a(x－h) ² ＋k的图象与性质 例 画二次函数y＝(x ＋ 1)2-3 的图象. 解：对称轴是直线 x = －1，顶点坐标为 (－1，－3). x －1 0 1 2 3 －3 －2.5 －1 1.5 5 列表：自变量 x 从顶点的横坐标 －1开始取值. x －1 0 1 2 3 y＝(x ＋ 1)2-3 －3 －2.5 －1 1.5 5 x O y 2 4 －2 －4 2 4 －2 －4 描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分. 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分，这样我们得到了函数 y＝(x ＋ 1)2-3 的图象，如右图. 二次函数 y = a(x - h)2 + k 的性质 抛物线y = a(x - h)2 + k 对称轴 顶点坐标 开口方向 性质 在对称轴的左边 在对称轴的右边 a ＞ 0 a ＜ 0 （h,k） 向上 向下 直线x=h y随x的增大而减小 y随x的增大而增大 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 【例2】已知二次函数y＝a(x＋1)2－b(a≠0)有最小值1，则a，b的大小关系为 ( ) A．a>b　　　　　 B．a<b　　　　　 C．a＝b　　　　　D．不能确定 A 【变例1】抛物线y＝(x＋3)2－2的顶点坐标是____________．二次函数y＝－3(x－)2＋5的对称轴是__________． (－3，－2) 直线x＝ 【变例2】如果抛物线y＝(x＋3)2＋经过点A(1，y1)和点B(3，y2)，那么y1与y2的大小关系是y1____y2(选填“>”“<”或“＝”). < 【变例3】函数y＝与y＝－kx2＋k(k≠0)在同一平南直角坐标系中的大致图象可能是 ( ) B 【变例4】如图，把抛物线y＝x2沿直线y＝x平移个单位长度后，其顶点在直线上的A处，则平移后抛物线的函数表达式是 ( ) A ． y＝(x＋1)2－1 B．y＝(x＋1)2＋1 C．y＝(x－1)2＋1 D．y＝(x－1)2－1 C 随堂检测 1. 将抛物线 y＝ x2 向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，所得的抛物线是(　　) A．y＝ (x－2)2－1 B．y＝ (x－2)2＋1 C．y＝ (x＋2)2＋1 D．y＝ (x＋2)2－1 A 2. 抛物线 y = 2x2 不动，把 x 轴、y 轴分别向上、向左平移 3 个单位，则在新坐标系下，此抛物线的表达式为__________________． y = 2(x-3)2-3 3. 已知 y ＝ (x－3)2－2 的部分图象如图所示，抛物线与 x 轴交点的一个坐标是(1，0)，则另一个交点的坐标是________． (5，0) 4.写出下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和开口方向: （1）y ＝ (x－9)2+7 （2）y ＝ － (x+18）2 － 13 解：（1）对称轴：x=9 顶点坐标（9,7） 开口向上 （2）对称轴：x= － 18 顶点坐标（－ 18, － 13） 开口向下 5.画出二次函数y= － 2 (x－2)2+3的图象. 解:二次函数y= － 2 (x－2)2+3的对称轴是直线x=2，顶点坐标是(2,3). x 2 2.5 3 3.5 4 … y= － 2 (x－2)2+3 3 2.5 1 -1.5 -5 … 列表:自变量x从顶点的横坐标1开始取值. 描点和连线:画出图象在对称轴右边的部分 . . . . . 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分.这样就得到了y= － 2 (x－2)2+3的图象，如图所示 . . . . . . . . . 课堂小结 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k 与y = ax2 形状相同，位置不同. 二次函数 y = a(x-h)2 + k 的图象和性质 图象特点 当 a > 0，开口向上；当 a < 0，开口向下.对称轴是 x = h, 顶点坐标是(h，k). 平移规律 左右平移： 括号内左加右减； 上下平移： 括号外上加下减. $