第20章·二次根式·期中复习·满分压轴讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

第20章·二次根式·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 综合运用二次根式的概念、性质解决压轴化简问题 · 掌握复合二次根式与新定义运算的处理方法 · 结合数轴、三角形等几何背景考查二次根式 · 能进行高难度二次根式混合运算与化简求值 · 读懂阅读材料题，提炼规则并应用 📚 知识梳理 ☆ 1.二次根式的性质与化简综合 =|a| 与取值范围结合 复合二次根式的化简： 多重根号与字母讨论 概念辨析例题：化简 答案： 解析：3+2=(=(，开方得 ☆ 2.二次根式的运算与求值 混合运算按顺序，灵活用公式 先化简再求值 条件式变形整体代入 概念辨析例题：已知 x+y=-5，xy=1，求 x+y 的值 答案：= 或按公式计算 解析：由 (=x+y+2=-5+2=-3 不成立，注意 xy=1>0 时 x、y 同负，改用 (+) 处理 ☆ 3.新定义与规律探索 新定义运算按规则翻译 规律探索先观察再归纳 阅读材料题提炼公式 概念辨析例题：定义新运算 a⊕b=，求 2⊕8 答案：4 解析：2⊕8===4 ☆ 4.二次根式的应用 几何图形中的二次根式 三角形三边、等腰三角形条件 实际问题的建模 概念辨析例题：若三角形三边为 2、4、，求 x 的范围 答案：由三边关系列不等式 解析：2+4>>|4-2|，即 2<<6，解得 6<x<38 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 复合二次根式 配完全平方 先配方 混合运算 按顺序、用公式 化简到最简 新定义 按规则翻译 逐条理解 规律探索 特殊到一般 验证 几何应用 三边关系等 二次根式满足条件 化简求值 先化简再代入 整体代换 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次根式的概念与有意义的条件（第1-6题） · 被开方数非负与取值范围联立 · 含参讨论 · 端点检验 1．（2023·云南·模拟预测）要使有意义，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 2．（25-26九年级下·重庆万州·阶段检测）已知：，求_________． 3．（23-24八年级上·福建泉州·阶段检测）若的最大值为，最小值为，则的值为________. 4．（25-26八年级上·上海·期中）如果有意义，那么的取值范围是___________． 5．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）若满足关系式 ，则 ____． 6．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知a、b分别为等腰三角形的两条边长，且a、b满足，则此三角形的周长是________． 【考点2】最简二次根式与同类二次根式（第7-9题） · 最简二次根式严格判断 · 同类被开方数相等 · 求参 7．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段检测）已知是最简二次根式，且与可以合并，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·福建南平·期末）下列二次根式中能与合并的是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·上海·期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 【考点3】二次根式的性质化简（第10-16题） · =|a| 先判符号 · 配方化简复合根式 · 注意字母范围 10．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）已知实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（    ）． A． B． C． D．2 11．（24-25八年级上·上海·期中）把式子分母有理化过程中，错误的是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级上·上海·阶段检测）在数学中也经常用对仗（对偶）思想解决有关问题，比如，已知： ，则的“对偶式”是，通过，可以得到，同样也可以得到，从而解决相应的问题．请运用上述方法解决下列问题： 已知实数、满足，则______． 13．（21-22七年级下·上海·期末）化简 (1)； (2)； (3)． 14．（2023九年级·北京朝阳·竞赛）双重二次根式为形如的代数式，我们可以尝试通过配方将其转化为形如的形式，再开根号即可完成化简．请完成下列题目： (1)若，试化简代数式； (2)解方程：； (3)直接写出代数式的化简结果． 15．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知，求的值． 16．（24-25七年级上·四川成都·期末）阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时，， 当即时，的最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题： (1)当时，的最小值为__________；当时，的最大值为_________； (2)当时，求的最小值； (3)如图，已知四边形的对角线，交于点，若的面积为2，的面积为3，求四边形面积的最小值． 【考点4】分母有理化与有理化因式（第17-20题） · 有理化因式成对使用 · 分母有理化 · 比较大小用差或平方 17．（25-26八年级上·上海·期中）下列二次根式中，与 互为有理化因式的是（     ） A． B． C． D． 18．（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）若，则________． 19．（25-26八年级上·上海·期中）二次根式除法可以这样做：如果，像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若a是的小数部分，则的值为 ③比较两个二次根式的大小： ④计算： 以上结论正确的是________．（写出所有正确的序号） 20．（25-26八年级上·上海·期中）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【考点5】新定义与规律探索（第21-31题） · 新定义翻译成代数式 · 规律先观察后归纳 · 阅读材料提炼规则 21．（23-24八年级下·广西贺州·期中）对于任意的正数x、y的新定义运算为：，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 22．（23-24八年级上·上海·阶段检测）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则 ，记，，…，，则 ________． 23．（25-26八年级上·上海·期中）表示不大于 的最大整数，如 ，则_________ 24．（25-26八年级上·上海宝山·期中）阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，那么形如（a、b实数）的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫这个复数的虚部． 它有如下特点： （1）它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似，例如：      （2）若两个复数，它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如：的共轭复数为． 若是的共轭复数，则_______________． 25．（25-26七年级上·上海普陀·期中）我们把满足等式的三个正整数m、n、称为一组“完美平方数” （例如：3、4、5或5、12、13）．当n为小于100的正整数时，共有_________组这样的“完美平方数”． 26．（25-26六年级上·上海静安·期中）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如：，，即，所以2，3就是一对“隔一数对”． 请同学们解答下列问题：已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算：_____． 27．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测）如果，那么称为的“拉格数”，记为由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的结论有__________． 28．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）小海说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．”然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．小华看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？请计算____（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）． 29．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段检测）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”． 如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判段Ａ与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”． ①________（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于________． (3)若分式，（a，b为整数且），E是F的“关联分式”，且“关联值”，求c的值． 30．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段检测）新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”． ①（   ）；②（   ）； ③（   ）； ④（   ）； (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 31．（23-24七年级上·广东广州·开学考试）对于数规定运算“”为．若等式成立，求的值． 【考点6】二次根式的混合运算（第32-41题） · 混合运算按顺序 · 公式灵活运用 · 符号括号 32．（24-25八年级上·河北邢台·阶段检测）若，，则（   ） A． B．2 C．3 D．10 33．（2024·云南昆明·三模）无理数像一首读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，数学家称其是一种特殊的数．若某矩形的长为，宽为，则这个矩形面积的值大约在（    ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 34．（25-26八年级上·上海金山·期中）已知的小数部分是，的小数部分是，且，则_____． 35．（25-26八年级上·上海黄浦·阶段检测）计算的结果为______． 36．（25-26八年级上·上海·阶段检测）求值：_________． 37．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算∶ 38．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）计算 (1) (2)（其中） (3)（其中） (4)（其中） 39．（23-24八年级下·北京·期中）读取表格信息，解决问题． (1)计算：_________；__________； (2)满足的可以取得的最小整数是_____． 40．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算: 41．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）已知数轴上有A、B、C、D四个点，其中A、B分别表示和，点C向左移动4个单位后与点A重合． (1)点C表示的数是 ； (2)对于数轴上三个点，若其中两个点关于第三个点对称，则称这三个点有“优美关系”．如果点A、B、D有“优美关系”，则点D表示的数为 ； (3)若点C所表示的数的整数部分为，小数部分为，求的值． 【考点7】二次根式的化简求值与应用（第42-45题） · 先化简再求值 · 条件式变形整体代入 · 结果最简 42．（2026·江西·三模）若一个三角形的三边长分别为，，，记，则三角形的面积，这个公式被称为海伦-秦九韶公式．小明在研究该公式时发现，当三角形的三边长为连续整数时，该公式可简化．设一个三角形的三边长分别为，，（且为整数），若该三角形的面积为整数，则的最小值为_____． 43．（25-26八年级上·上海闵行·期中）先化简，再求值：，其中是4的算术平方根，是的倒数． 44．（25-26八年级上·上海虹口·期中）请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质及整体代入思想，给出了如下解法： 由，分母有理化得：． 但直接代入太繁琐，转而寻求整体关系： 由得，两边平方得， 得，则． 观察原代数式，注意到前两项可提取公因式： 代入，得． 因此，原式得值为2023． 请运用上述思想方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 45．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）阅读下面材料并解决有关问题： （一）由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数，，由于所以，即，所以，并且当时，； （二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：； (1)在①、②、③、④这些分式中，属于假分式的是________（填序号）； (2)已知：，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？并求出最小值．（写出解答过程） 💯 课后巩固 复习建议 · 复合二次根式先配方再开方 · 先判符号再开方化简 · 新定义题把规则翻译成代数式 · 混合运算按序、巧用公式 · 几何背景题先列条件再转化 【作业1】．（25-26八年级上·上海·期中）以下各组二次根式中，是同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【作业2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）能使等式成立的的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 【作业3】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）设的整数部分为，小数部分为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【作业4】．（23-24八年级下·山东聊城·期中）若，则等于（   ） A． B． C． D． 【作业5】．（24-25八年级上·上海·阶段检测）化简：_____． 【作业6】．（2025·安徽·模拟预测）若则的值为______ 【作业7】．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段检测）的整数部分是_______________． 【作业8】．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）设，则的值为______． 【作业9】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知，则________． 【作业10】．（23-24八年级上·上海·期中）若，则的值为_____． 【作业11】．（25-26八年级上·上海金山·期中）若，则_____． 【作业12】．（25-26八年级上·上海·期中）已知，判断和的正负并求的值． 【作业13】．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： (2)m是正整数，且，求m． (3)已知，求的值． 【作业14】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）若，其中a、x、y为两两不等的实数，求的值． 【作业15】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算：． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20章·二次根式·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 综合运用二次根式的概念、性质解决压轴化简问题 · 掌握复合二次根式与新定义运算的处理方法 · 结合数轴、三角形等几何背景考查二次根式 · 能进行高难度二次根式混合运算与化简求值 · 读懂阅读材料题，提炼规则并应用 📚 知识梳理 ☆ 1.二次根式的性质与化简综合 =|a| 与取值范围结合 复合二次根式的化简： 多重根号与字母讨论 概念辨析例题：化简 答案： 解析：3+2=(=(，开方得 ☆ 2.二次根式的运算与求值 混合运算按顺序，灵活用公式 先化简再求值 条件式变形整体代入 概念辨析例题：已知 x+y=-5，xy=1，求 x+y 的值 答案：= 或按公式计算 解析：由 (=x+y+2=-5+2=-3 不成立，注意 xy=1>0 时 x、y 同负，改用 (+) 处理 ☆ 3.新定义与规律探索 新定义运算按规则翻译 规律探索先观察再归纳 阅读材料题提炼公式 概念辨析例题：定义新运算 a⊕b=，求 2⊕8 答案：4 解析：2⊕8===4 ☆ 4.二次根式的应用 几何图形中的二次根式 三角形三边、等腰三角形条件 实际问题的建模 概念辨析例题：若三角形三边为 2、4、，求 x 的范围 答案：由三边关系列不等式 解析：2+4>>|4-2|，即 2<<6，解得 6<x<38 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 复合二次根式 配完全平方 先配方 混合运算 按顺序、用公式 化简到最简 新定义 按规则翻译 逐条理解 规律探索 特殊到一般 验证 几何应用 三边关系等 二次根式满足条件 化简求值 先化简再代入 整体代换 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次根式的概念与有意义的条件（第1-6题） · 被开方数非负与取值范围联立 · 含参讨论 · 端点检验 1．（2023·云南·模拟预测）要使有意义，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能为0和二次根式的被开方数的非负性是解题关键．根据分式的分母不能为0和二次根式的被开方数的非负性求解即可得． 【详解】解：由分式的分母不能为0和二次根式的被开方数的非负性得：且， 解得且， 故选：A． 2．（25-26九年级下·重庆万州·阶段检测）已知：，求_________． 【答案】1 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知式子的值，求代数式的值、二次根式有意义的条件 【分析】先确定，得到，结合已知得到，利用非负性求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 3．（23-24八年级上·福建泉州·阶段检测）若的最大值为，最小值为，则的值为________. 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，根据二次根式有意义的条件和二次根式的非负性，根据二次根式有意义的条件和二次根式的非负性即可求出x的取值范围和y的取值范围，然后将等式两边平方得到，利用偶次方的非负数和二次根式的非负数求出的最大值和最小值，从而求出的最大值和最小值，即为，代入即可． 【详解】解：∵ ∴， 解得：， 将等式两边平方，得， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， 又∵， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 4．（25-26八年级上·上海·期中）如果有意义，那么的取值范围是___________． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】根据分式有意义的条件，形如的式子叫作二次根式解答． 本题考查了二次根式有意义条件，分式有意义的条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得且， 解得，， 故 故答案为：． 5．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）若满足关系式 ，则 ____． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、求二次根式中的参数、加减消元法 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的非负性，解二元一次方程组，由二次根式有意义的条件得，即得，，再根据二次根式的非负性得，，即得，再解方程组求出的值即可求解，掌握二次根式有意义的条件及性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 由，解得， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知a、b分别为等腰三角形的两条边长，且a、b满足，则此三角形的周长是________． 【答案】11或13 【知识点】二次根式有意义的条件、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，三角形三边关系，等腰三角形的性质，掌握二次根式有意义的条件，三角形三边关系，等腰三角形的性质是解题的关键．先根据二次根式有意义的条件得出：，解得：，把代入求出a的值，然后再分类分析，计算三角形的周长即可． 【详解】解：由题意，得， 解得：， 把代入，得 当等腰三角形的腰长为3时，则三角形的三边为3，3，5， ， 能组成三角形， 三角形的周长为：； 当等腰三角形的腰长为5时，则三角形的三边为5，5，3， ， 能组成三角形， 三角形的周长为：， 综上所述，此三角形的周长为11或 故答案为：11或 【考点2】最简二次根式与同类二次根式（第7-9题） · 最简二次根式严格判断 · 同类被开方数相等 · 求参 7．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段检测）已知是最简二次根式，且与可以合并，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平方根解方程、已知最简二次根式求参数、同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，利用平方根解方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 由是最简二次根式且与可以合并，得出，然后利用平方根解方程即可． 【详解】解：∵是最简二次根式且与可以合并， ∴，解得：， 故选：． 8．（23-24八年级下·福建南平·期末）下列二次根式中能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】、由，则与可以进行合并，符合题意； 、由，则与不可以进行合并，不符合题意； 、由，则与不可以进行合并，不符合题意； 、由，则与不可以进行合并，不符合题意； 故选：． 9．（25-26八年级上·上海·期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 【答案】 【知识点】已知最简二次根式求参数、同类二次根式 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义和最简二次根式的定义，根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式的被开方数必须相等，因此列出方程，求解后得到或，但需验证二次根式是否为最简形式，由此排除不满足条件的值即可． 【详解】解：由于两个二次根式均为最简二次根式且是同类二次根式， 被开方数相等，即， 整理得， ， 解得或， 当时，，不是最简二次根式，不符合题意，故舍去； 当时，和，均为最简二次根式，符合题意； ． 故答案为：． 【考点3】二次根式的性质化简（第10-16题） · =|a| 先判符号 · 配方化简复合根式 · 注意字母范围 10．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）已知实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（    ）． A． B． C． D．2 【答案】D 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、利用二次根式的性质化简 【分析】根据数轴确定，结合，化简计算即可． 本题考查了数轴，绝对值，二次根式的化简，熟练掌握化简的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故． 故选D． 11．（24-25八年级上·上海·期中）把式子分母有理化过程中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平方差公式分解因式、利用二次根式的性质化简、分母有理化 【分析】本题考查了分母有理化，涉及到了因式分解等知识，解题关键是掌握式子恒等变形的方法，注意分子分母同乘或除以一个不为零的数或式子，原式的值才不变，本题据此依次判断即可． 【详解】解：A、将式子的分子分母同乘以，式子的值不变，故该选项正确，不符合题意； B、将分子因式分解为，与分母约分后得到，故该选项正确，不符合题意； C、因为有可能为0，所以分子分母同时乘以错误，故该选项符合题意； D、将分子因式分解为，与分母约分后得到，故该选项正确，不符合题意； 故选：C ． 12．（25-26八年级上·上海·阶段检测）在数学中也经常用对仗（对偶）思想解决有关问题，比如，已知： ，则的“对偶式”是，通过，可以得到，同样也可以得到，从而解决相应的问题．请运用上述方法解决下列问题： 已知实数、满足，则______． 【答案】2025 【知识点】运用平方差公式进行运算、利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，根据题意构造的对偶式，的对偶式，得出，，两式相加得出，从而可计算． 【详解】解：根据题意得：的对偶式，的对偶式， ∴①， ②， 得， ， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2025． 13．（21-22七年级下·上海·期末）化简 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】（1）先利用完全平方公式进行变形，再利用二次根式的性质计算即可得出结果； （2）先利用完全平方公式进行变形，再利用二次根式的性质计算即可得出结果； （3）先利用完全平方公式进行变形，再利用二次根式的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 14．（2023九年级·北京朝阳·竞赛）双重二次根式为形如的代数式，我们可以尝试通过配方将其转化为形如的形式，再开根号即可完成化简．请完成下列题目： (1)若，试化简代数式； (2)解方程：； (3)直接写出代数式的化简结果． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简、复合二次根式的化简 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，考查二次根式的化简，完全平方公式和平方差公式，考查计算能力，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的非负性，求出的值，然后代数利用完全平方式进行求值即可； （2）利用完全平方式和平方差公式进行求解即可； （3）利用完全平方式进行求解即可． 【详解】（1）解：由得， ， ∴， ∴ ； （2）解： ，经检验，符合题意； （3）解： ∵ 即 ∴， ∴． 15．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知，求的值． 【答案】的值为． 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值、完全平方公式分解因式、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了配方法，二次根式的性质，非负性的性质，代数式求值，由，配方为，然后通过非负性质求出，，，然后代入即可求解， 掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴的值为． 16．（24-25七年级上·四川成都·期末）阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时，， 当即时，的最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题： (1)当时，的最小值为__________；当时，的最大值为_________； (2)当时，求的最小值； (3)如图，已知四边形的对角线，交于点，若的面积为2，的面积为3，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)４； (2) (3) 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用．熟练掌握配方法，完全平方的非负性，二次根式的性质，理解阅读部分的信息并灵活运用，是解本题的关键． （1）当时，由，可得的最小值，当时，由，可得的最大值； （2）当时，由，可得时， 的最小值是； （3）设的面积为a，根据，得．可得四边形的面积，可得当时，四边形的面积的最小值为：． 【详解】（1）解：当时， ∵， ∴当即时，的最小值为4； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴当，即时，的最大值为； 故答案为：4；； （2）解：当时， ∵， ∴当，即时， 的最小值是：． （3）解：设的面积为a， ∵， ∴， ∴． ∴四边形的面积：， ∵， ∴当，即时，四边形的面积的最小值为：． 【考点4】分母有理化与有理化因式（第17-20题） · 有理化因式成对使用 · 分母有理化 · 比较大小用差或平方 17．（25-26八年级上·上海·期中）下列二次根式中，与 互为有理化因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查有理化因式，根据有理化因式需满足相乘后结果为有理式，对于，其有理化因式应为本身或相反数，因平方后可得有理式或，即可得出结果． 【详解】解：∵，结果为有理式， ∴ 与 互为有理化因式； 故选A． 18．（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）若，则________． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查与二次根式有关的代入求值，先有理化分母化简得到，整理得，最后代入已知条件计算得出结果。 【详解】解：， ∴， ∴， 整理得， ∴ ， 故答案为：． 19．（25-26八年级上·上海·期中）二次根式除法可以这样做：如果，像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若a是的小数部分，则的值为 ③比较两个二次根式的大小： ④计算： 以上结论正确的是________．（写出所有正确的序号） 【答案】①③④ 【知识点】无理数整数部分的有关计算、分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题考查了利用分式的基本性质、平方差公式进行分母有理化． ①类比示例，利用分式的基本性质进行分母有理化； ②估计无理数的整数部分，求出小数部分，进而分母有理化进行化简； ③通过分母有理化，比较两个二次根式的大小； ④通过分母有理化找到题中无理式求和的运算规律，从而化简求出值． 【详解】解：①， 故将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以，故①正确； ②∵a是的小数部分， ∴， 故，故②错误； ③，， ，， ∵，， 故， ∴， 故 即，故③正确； ④， ， ， ， 故 ，故④正确． 故答案为：①③④． 20．（25-26八年级上·上海·期中）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】二次根式的乘除混合运算、二次根式的加减运算、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简各二次根式，再计算加减即可； （2）先化简各二次根式，再计算加减即可； （3）先化简各二次根式，再计算乘除，最后分母有理化即可； （4）先化简各二次根式，再计算乘除即可； （5）将除法转换为乘法，分母有理化后计算乘法即可； （6）先化简二次根式，分母有理化，再计算加减即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 【考点5】新定义与规律探索（第21-31题） · 新定义翻译成代数式 · 规律先观察后归纳 · 阅读材料提炼规则 21．（23-24八年级下·广西贺州·期中）对于任意的正数x、y的新定义运算为：，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】新定义下的实数运算、二次根式的加减运算 【分析】本题考查新定义运算，二次根式混合．理解新定义和掌握二次根式加减运算法则是解题的关键． 先根据新定义运算，将原式转化成二次根式加减运算，再根据二次根式加减运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 22．（23-24八年级上·上海·阶段检测）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则 ，记，，…，，则 ________． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、分式化简求值、已知字母的值，化简求值 【分析】利用分式的计算推出，即可求出的值． 【详解】∵， ∴， ， …… ， …… ， ∴， ∴． 23．（25-26八年级上·上海·期中）表示不大于 的最大整数，如 ，则_________ 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算 【分析】本题考查新定义，估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义，理解新定义的意义是正确解答的关键． 根据新定义得，，，，，，，，，……，，再进行计算即可． 【详解】解：∵，，，，，，，，，……，， ∴ ． 故答案为：． 24．（25-26八年级上·上海宝山·期中）阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，那么形如（a、b实数）的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫这个复数的虚部． 它有如下特点： （1）它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似，例如：      （2）若两个复数，它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如：的共轭复数为． 若是的共轭复数，则_______________． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、已知字母的值 ，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了实数的新定义运算，准确理解所给定义式是解题的关键； 根据完全平方公式展开计算即可． 【详解】解： ， ∵是的共轭复数， ∴， ∴， 故答案为：． 25．（25-26七年级上·上海普陀·期中）我们把满足等式的三个正整数m、n、称为一组“完美平方数” （例如：3、4、5或5、12、13）．当n为小于100的正整数时，共有_________组这样的“完美平方数”． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、数字类规律探索、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，等式变形与化简及完全平方数的性质．由等式推导出，即，由于n是小于100的正整数，且m必须为奇数，代入m为奇数值计算n，满足的m值有6个，对应6组“完美平方数”． 【详解】解：由，得，即， ∴， 由于n是正整数，m必须为奇数，设（为正整数），则 ， 要求，即，， 尝试值： ①， ②， ③， ④， ⑤， ⑥， ⑦，（不符合） 因此，从1到6，对应6组“完美平方数”． 故答案为：6． 26．（25-26六年级上·上海静安·期中）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如：，，即，所以2，3就是一对“隔一数对”． 请同学们解答下列问题：已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算：_____． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了新定义的理解及有理数的计算，根据“隔一数对”的定义，两个连续的非零整数满足，因此每个项可转化为，求和后利用有理数的加减运算，中间项相互抵消，得到结果． 【详解】解：∵两个连续的非零整数都是“隔一数对”， ∴对于任意非零整数，有， ∴ ∵， ∴原式， 故答案为：． 27．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测）如果，那么称为的“拉格数”，记为由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的结论有__________． 【答案】②③④ 【知识点】新定义下的实数运算、积的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查同底数幂的乘除法的实际应用，掌握同底数幂的乘除法法则是解题的关键． 结合定义，利用同底数幂的乘除法的逆运算进行计算即可． 【详解】解：由题意，∵， ∴， 故①错误； ∵， ∴， 故②正确； ∵，， ∴， 故③正确； 设，，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故④正确； ∴， ∵， ∴， ∴， 故⑤错误； 那么正确的有②③④． 故答案为：②③④． 28．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）小海说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．”然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．小华看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？请计算____（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、有理数加法运算、新定义下的实数运算 【分析】本题考查新定义下的运算，绝对值，有理数的加法，掌握知识点是解题的关键． 根据给定的算式，分析“*”运算的法则：当两个数同号时，结果为它们的绝对值之和；当两个数异号时，结果为它们的绝对值之和的相反数；当有一个数为0时，结果为另一个数的绝对值（始终为非负）．先计算括号内的表达式，再计算外层的即可． 【详解】解：首先计算：由于有一个数为0，结果为另一个数的绝对值，即，∴． 然后计算：由于两数异号，结果为它们的绝对值之和的相反数，即． 故答案为：． 29．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段检测）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”． 如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判段Ａ与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”． ①________（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于________． (3)若分式，（a，b为整数且），E是F的“关联分式”，且“关联值”，求c的值． 【答案】(1)是， (2)①－3x－6；②1 (3)6或22 【知识点】新定义下的实数运算、同分母分式加减法、异分母分式加减法 【分析】本题考查的是新定义题型，涉及分式的加减运算，二元方程的整数解，理解新定义，熟练掌握分式的加减运算法则是解本题的关键． （1）把与相加，根据同分母的分式的加法运算法则化简，根据化简结果判断即可； （2）把与相加，根据异分母的分式的加法法则化简，再根据与互为“关联分式”，且“关联值” ，求出多项式M，最后根据为正整数，分式的值为正整数求出x值即可． （3）把E与F相加，根据异分母的分式的加法法则化简，再根据E与F互为“关联分式”，且“关联值” ，得到，当时，，当时，则，根据a，b为整数解得，或，，即可求得． 【详解】（1）解： ，， ， 与互为“关联分式”， “关联值”； （2）解：① ，， ， 与互为“关联分式”，且“关联值” ， ， ， ②， 分式的值为正整数． 或，此时的值为1或， 为正整数， 的值为1． （3）解：∵，，E是F的“关联分式”，且“关联值”， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵a，b为整数 ∴当时， 当时，则 ∵a，b为整数 ∴，或，， ∴． 综上，c的值为6或22． 30．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段检测）新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”． ①（   ）；②（   ）； ③（   ）； ④（   ）； (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①；②；③；④ (2) (3) 【知识点】新定义下的实数运算、解分式方程（化为一元一次）、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义分别判断即可； （2）根据“关联数对”定义计算即可； （3）根据“关联数对”定义，结合方程的解为整数，计算即可． 【详解】（1）解：当，时，分式方程为，， ∵， ∴①不是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 解得：， ， ②不是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 解得， ， ③是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 此方程无解， ④是关于的分式方程的“关联数对”； 故答案为：①；②；③；④． （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ， 解得：， ， 解得； （3）解：数对，且，是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ∵可化为， ∴， 解得：， 方程有整数解， 整数，即， 又，， ． 31．（23-24七年级上·广东广州·开学考试）对于数规定运算“”为．若等式成立，求的值． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、整式的混合运算 【分析】本题考查整式混合运算、新定义运算等知识，读懂题意，按照新定义运算展开式子是解决问题的关键． 由新定义运算，将等式展开，得到，求解即可得到答案． 【详解】解： ， ， 则， ， ， ， ， 则，解得． 【考点6】二次根式的混合运算（第32-41题） · 混合运算按顺序 · 公式灵活运用 · 符号括号 32．（24-25八年级上·河北邢台·阶段检测）若，，则（   ） A． B．2 C．3 D．10 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、二次根式的除法 【分析】本题考查了二次根式的除法、算术平方根与立方根，熟练掌握二次根式的运算是解题关键．先根据二次根式的除法法则可得，根据算术平方根可得，再代入计算立方根即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 33．（2024·云南昆明·三模）无理数像一首读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，数学家称其是一种特殊的数．若某矩形的长为，宽为，则这个矩形面积的值大约在（    ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 【答案】C 【知识点】无理数的大小估算、二次根式的应用、二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的运用，无理数的估算，根据题意利用二次根式乘法求出矩形面积，再由无理数的估算方法估算即可． 【详解】解：根据题意，矩形面积为：， ，即， ， 这个矩形面积的值大约在4与5之间， 故选：C． 34．（25-26八年级上·上海金山·期中）已知的小数部分是，的小数部分是，且，则_____． 【答案】或 【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分、实数的混合运算 【分析】本题考查的是无理数的估算及平方根的定义，关键是准确估值算出的值； 由估计的值确定，从而计算出的值，最后算出的值. 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴. 故答案为：或. 35．（25-26八年级上·上海黄浦·阶段检测）计算的结果为______． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算；通过观察表达式结构，设，将原表达式用表示，利用整式乘法展开并合并同类项，从而简化计算． 【详解】解：设，， ∴原式 ． ∴原式． 故答案为：． 36．（25-26八年级上·上海·阶段检测）求值：_________． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、分式的规律性问题、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及裂项相消法求和，熟练掌握二次根式的性质和裂项相消的方法是解题的关键． 先对每一项的根式进行化简，找出规律，再将所有项相加求和即可． 【详解】解： ， ∴ ， 故答案为：． 37．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算∶ 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握算理是解决问题的关键．先计算括号里的减法，化为最简二次根式后合并同类二次根式，再计算括号外除法即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 38．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）计算 (1) (2)（其中） (3)（其中） (4)（其中） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】求一个数的立方根、利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的乘法以及立方根和算术平方根的性质化简，再合并即可； （2）根据二次根式的运算法则化简即可 （3）根据二次根式的运算法则化简即可； （4）根据二次根式的运算法则化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 39．（23-24八年级下·北京·期中）读取表格信息，解决问题． (1)计算：_________；__________； (2)满足的可以取得的最小整数是_____． 【答案】(1)； (2)6 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查数字的变化规律和实数的运算及解不等式的能力，二次根式的加法、乘法运算，根据表格数据发现的规律是关键． （1）根据表格中的数据确定出，的值即可； （2）根据表格中数据得出，代入不等式计算可得的取值范围． 【详解】（1）解：根据表格中的数据得：； ， ∴, 故答案为：；． （2）解：， ， ， 又 ， ∴ 解得：， 可以取得最小正整数是6, 故答案为：6． 40．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算: 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 先对各个二次根式化简，再利用二次根式的加减运算法则进行求解即可． 【详解】解： ． 41．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）已知数轴上有A、B、C、D四个点，其中A、B分别表示和，点C向左移动4个单位后与点A重合． (1)点C表示的数是 ； (2)对于数轴上三个点，若其中两个点关于第三个点对称，则称这三个点有“优美关系”．如果点A、B、D有“优美关系”，则点D表示的数为 ； (3)若点C所表示的数的整数部分为，小数部分为，求的值． 【答案】(1) (2)或1或 (3) 【知识点】实数与数轴、无理数整数部分的有关计算、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键． （1）点C向左平移4个单位长度后与点A重合，也就是点A向右平移4个单位长度得到点C解答即可． （2）分三种情况考虑，利用数轴上点的特征和对称性解答即可． （3）通过估算的取值范围，求出x和y的值，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：点C向左平移4个单位后与点A重合， 点C表示的数是 故答案为：； （2）解：设点D表示的数为， 点A、点B、点D为优美关系，且点A、B分别表示数和． 当点B和点D关于点A对称时，则点A为线段的中点，即， 即， 解得； 当点B和点A关于点D对称时，则点D为线段的中点，即， 即， 解得； 当点A和点D关于点B对称时，则点B为线段的中点，即， 即， 解得； 点D对应的实数为或1或 故答案为：或1或； （3）解：∵ ∴ ∴ ∴ ∵点C所表示的数的整数部分为，小数部分为， ∴ ∴ ． 【考点7】二次根式的化简求值与应用（第42-45题） · 先化简再求值 · 条件式变形整体代入 · 结果最简 42．（2026·江西·三模）若一个三角形的三边长分别为，，，记，则三角形的面积，这个公式被称为海伦-秦九韶公式．小明在研究该公式时发现，当三角形的三边长为连续整数时，该公式可简化．设一个三角形的三边长分别为，，（且为整数），若该三角形的面积为整数，则的最小值为_____． 【答案】 【知识点】二次根式的应用 【分析】先根据海伦公式代入三边长化简得到面积表达式，再根据面积为整数的条件，结合且为整数，从小到大验证即可得到的最小值． 【详解】解：∵三角形三边长为，，， ∴半周长， ∴，，， ∴， ∵为整数， ∴为大于的整数， 当时，，不是整数，不符合题意； 当时，，是整数，符合题意； ∴的最小值为． 43．（25-26八年级上·上海闵行·期中）先化简，再求值：，其中是4的算术平方根，是的倒数． 【答案】， 【知识点】利用二次根式的性质化简、已知条件式，化简求值 【分析】本题重点考查了二次根式的混合运算，化简求值，二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)，同时本题还运用到了平方差公式和完全平方差公式，熟练掌握二次根式混合运算顺序以及平方差和完全平方差公式是本题求解的关键． 先将左边括号的代数式构造平方差公式和完全平方差公式，约掉相同的公因式，并相加减得左边括号代数式，右边括号代数式通分，再约掉相同的公因式，最终得到化简后的代数式。代入的值，即可完成求解． 【详解】解：由题意知，， 原式 ， 将，代入得， 原式 44．（25-26八年级上·上海虹口·期中）请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质及整体代入思想，给出了如下解法： 由，分母有理化得：． 但直接代入太繁琐，转而寻求整体关系： 由得，两边平方得， 得，则． 观察原代数式，注意到前两项可提取公因式： 代入，得． 因此，原式得值为2023． 请运用上述思想方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化以及代数式的整体代入求值，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键． 通过分母有理化得到的表达式，进而推导出关于的二次式的整体值，再将代数式进行变形后整体代入计算． 【详解】（1）由， 得 ， ， ， 即， ， ， ， ． （2）由， 得 ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ． 45．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）阅读下面材料并解决有关问题： （一）由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数，，由于所以，即，所以，并且当时，； （二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：； (1)在①、②、③、④这些分式中，属于假分式的是________（填序号）； (2)已知：，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？并求出最小值．（写出解答过程） 【答案】(1)①②④ (2) (3)时，有最小值，最小值为3 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、分式化简求值、利用二次根式的性质化简 【分析】本题为新定义问题，创新题，考查了分式的计算，二次根式的变形，完全平方公式的应用等知识，理解题目中的相关材料，并根据题意灵活应用是解题关键． （1）根据真分式、假分式的定义逐项判断即可求解； （2）先根据，得到，进而得到，即可得到，利用倒数的定义即可求出； （3）先求出，再将变形为根据（一）结论得到 ，即可求出当且仅当，即时，有最小值，最小值为3． 【详解】（1）解：①是假分式，符合题意； ②是假分式，符合题意； ③是真分式，不合题意； ④是假分式，符合题意． 故答案为：①②④． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意，， ∴． 原式 ． 当且仅当，即时，等号成立． ∴原式的最小值为3． 💯 课后巩固 复习建议 · 复合二次根式先配方再开方 · 先判符号再开方化简 · 新定义题把规则翻译成代数式 · 混合运算按序、巧用公式 · 几何背景题先列条件再转化 【作业1】．（25-26八年级上·上海·期中）以下各组二次根式中，是同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题主要考查同类二次根式的判断，同类二次根式需化简后被开方数相同．选项D中两个二次根式化简后都被开方数为10s，因此是同类二次根式；其他选项化简后被开方数均不同． 【详解】解： A：，被开方数为，不符合题意； B：，化为最简二次根式后被开方数为，，被开方数为，不符合题意； C：被开方数为，被开方数不同，不符合题意； D：， ， 两者被开方数均为，是同类二次根式，符合题意． 故选：D． 【作业2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）能使等式成立的的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式有意义的条件及分式二次根式的性质．等式 成立的条件是 且 ，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故选：D． 【作业3】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）设的整数部分为，小数部分为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】无理数整数部分的有关计算、已知字母的值，化简求值 【分析】先估算的范围，得到的取值范围，求出整数部分和小数部分，再代入式子化简计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，则， ∴，即， ∴的整数部分，小数部分为， ∴ ． 【作业4】．（23-24八年级下·山东聊城·期中）若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、利用二次根式的性质化简、已知条件式，化简求值 【分析】本题考查代数式的化简求值，解题的关键是利用二次根式的性质及绝对值的意义将原式化简，再进行加减运算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故选：D． 【作业5】．（24-25八年级上·上海·阶段检测）化简：_____． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，设，然后两边同时平方求出x的值即可． 【详解】解：设， 则 ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【作业6】．（2025·安徽·模拟预测）若则的值为______ 【答案】或 【知识点】绝对值方程、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、解绝对值方程等知识点，掌握二次根式的性质是解题的关键． 由二次根式的性质可得，然后解绝对值方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，有，解得：； 当时，有，该方程无解； 当时，有，解得：． 综上，该方程的解为或． 故答案为：或． 【作业7】．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段检测）的整数部分是_______________． 【答案】969 【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了估算无理数的大小和二次根式的性质与化简，能根据幂的运算法则简化指数是解此题的关键．根据完全平方公式可得，根据幂的运算法则可得，进一步化简即可求解． 【详解】解：， ， ，， ， 的整数部分为：． 故答案为：969． 【作业8】．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）设，则的值为______． 【答案】 【知识点】分式化简求值、二次根式的混合运算 【分析】此题考查了分式的混合运算-化简求值，直接利用混合运算法则化简，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】， ， ， ， ，， ∴ ， ∴ ， ∴原式， 故答案为：． 【作业9】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知，则________． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、通过对完全平方公式变形求值、二次根式的混合运算 【分析】本题考查配方法，非负数的性质，二次根式的计算，掌握算理是解决问题的关键．将原式进行配方得到几个非负数相加得零，利用非负数的性质可知几个非负数都为零，则可求得的值，然后代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴， ． 故答案为：． 【作业10】．（23-24八年级上·上海·期中）若，则的值为_____． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】利用平方差公式简化计算，通过换元法可快速求解，考察对平方差公式的灵活应用 【详解】解：设， 由题意得 ， ∴ ∵ ∴将代入得 解得 即所求 【作业11】．（25-26八年级上·上海金山·期中）若，则_____． 【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、合并同类项、通过对完全平方公式变形求值、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了完全平方公式、二次根式的性质、取绝对值、整式的加减等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先通过完全平方公式简化两个根式，再根据二次根式化简，然后根据x的取值范围去绝对值，最后相加并合并同类项即可． 【详解】解：由完全平方公式，有： ， ， ∵ ， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为 ． 【作业12】．（25-26八年级上·上海·期中）已知，判断和的正负并求的值． 【答案】和都为负数，5 【知识点】利用二次根式的性质化简、已知条件式，化简求值 【分析】根据，可判定和同号且同为负，后根据二次根式的性质，结合已知，化简求值即可． 本题考查了二次根式的化简求值，实数的和，积运算，熟练掌握化简求值的基本思路是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， 故和同号且同为负， 故 ． 【作业13】．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： (2)m是正整数，且，求m． (3)已知，求的值． 【答案】(1)1；10 (2)1 (3)8 【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，数学常识，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先把每一个二次根式进行分母有理化，然后再进行计算即可解答； （2）先利用分母有理化化简，从而求出 ，然后根据已知可得，再利用完全平方公式进行计算即可解答； （3）利用完全平方公式，进行计算即可解答． 【详解】（1）解： （2） ； （3） ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴． 【作业14】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）若，其中a、x、y为两两不等的实数，求的值． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，通过分析左右两边四个二次根式有意义得到a的值是解题的关键． 已知等式右边成立，，即；由等式左边成立可知，已知等式可变为，移项、开平方得，利用代入法求式子的值即可． 【详解】解：∵在实数范围内成立， ∴，即，， 又∵， ∴，原等式可变为， ∴， ∴． 【作业15】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先分母有理化，再利用完全平方公式表示变形为，接着根据二次根式的乘法法则和二次根式的性质计算，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $