第19章·实数·期中复习· 满分压轴讲义 ·2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

第19章·实数·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 综合运用平方根、立方根知识解决含参方程与不等式问题 · 利用算术平方根的非负性处理多条件约束问题 · 掌握无理数估算、整数部分与小数部分的深入应用 · 结合数轴、几何图形综合考查实数的性质 · 理解新定义运算与阅读材料题并正确作答 📚 知识梳理 ☆ 1.平方根与立方根的综合 利用平方根、立方根解方程 已知一个数的平方根/立方根求参数 实数混合运算与指数幂 概念辨析例题：解方程：(x-1)2=9 答案：x=4 或 x=-2 解析：x-1=±3，得 x=4 或 x=-2 ☆ 2.算术平方根的非负性 ≥0、a≥0 的双重非负利用 非负式之和为 0 的判定 与绝对值、完全平方结合 概念辨析例题：若 |a-3|+=0，求 a+b 答案：1 解析：|a-3|≥0，≥0，和为 0 则 a=3、b=-2，a+b=1 ☆ 3.无理数的估算与整数部分 夹逼法估算无理数 整数部分、小数部分的表示 含无理数的式子的取值讨论 概念辨析例题：设 的整数部分为 a，小数部分为 b，求 a+b 答案： 解析：2<<3，a=2，b=，a+b= ☆ 4.实数与数轴、几何综合 数轴上的实数运算与距离 绝对值化简结合数轴位置 实数运算的实际应用 概念辨析例题：数轴上表示 2 与 的两点间的距离为 答案： 解析：距离 = || = （>2） 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 解根式方程 x2=a ⇒ x=± 注意符号 非负性 ≥0、|a|≥0、(a)2≥0 和为 0 各项为 0 整数部分 夹逼法确定 小数=原数-整数 数轴距离 |a-b| 先判大小 绝对值化简 正数取本身、负数取相反 先判符号 新定义运算 按规则转化为普通运算 逐字理解定义 ⚠️ 核心考点 【考点1】无理数与实数概念、平方根立方根基础（第1-6题） · 平方根、立方根概念与基础计算 · 无理数判定与实数的性质 · 倒数、相反数的综合 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东潍坊·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．无理数就是开方开不尽的数 C．互为相反数的立方根还是互为相反数 D．实数包括有理数、无理数和零 3．（25-26七年级下·重庆铜梁·期中）某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能． ①：将屏幕显示的数变成它的算术平方根； ②：将屏幕显示的数变成它的倒数； ③：将屏幕显示的数变成它的平方． 输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第1步到第3步循环按键．例如：当输入5时，第1步操作的结果是25，第2步操作的结果是，第3步操作的结果是，…下列说法： ①若开始输入的数据为2，那么第5步操作之后，显示的结果是4； ②若开始输入的数据为，那么第2026步操作之后，显示的结果是； ③若开始输入一个数据，经过若干步操作后，得到的结果为16，则有6种不同的值；正确的个数是（  ）． A．0 B．1 C．2 D．3 4．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）下列结论： ①若，则； ②小丽每小时可以制作120朵小红花，则她制作的小红花数与制作时间之间成反比例关系； ③若关于、的多项式是三次三项式，则； ④为常数，若的最大值与最小值的差为5，则． 其中正确的结论是______．（填正确结论的序号） 5．（25-26八年级上·全国·单元测试）数学课上，李老师出示了一道题：已知一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数． 以下是乐乐的解题过程： 李老师发现乐乐的答案错误，请帮他写出正确的解题过程． 6．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）小红：如图是课本第71页的部分内容，你理解这部分内容吗？能用类比的方法说明是无理数吗？ 小明：好的． 求证：是无理数． 【考点2】利用平方根、算术平方根解方程与非负性（第7-20题） · 平方根、算术平方根解方程 · 非负式之和为 0 · 含参方程组求解 7．（25-26七年级上·北京海淀·期末）设．其中，，，是正实数，且满足．则（   ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）已知两个整式：，，将这两个整式进行如下操作： 第一次操作：用这两个整式的和除以2，将结果放在这两个整式之间，可以得到一个新的整式串：，，，新整式串的和记作； 第二次操作：用相邻两个整式的和除以2，将结果放在这两个整式之间，又得到一个新的整式串：，，，，，新整式串的和记作；以此类推． 某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论： ①经过三次操作后的整式串共有9个整式； ②若，经过四次操作后，； ③第10次操作后，从左往右第2个整式为：； ④若，，则． 以上四个结论正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（25-26八年级上·甘肃金昌·期末）对于五个整式：，，，，，有以下几个结论： ①若实数满足，则或； ②若实数，满足，则为任意实数，； ③若关于的多项式（为常数）不含的一次项，则该多项式的值一定为正数； ④若实数，满足，则． 上述结论中，正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 10．（15-16七年级下·江苏·期末）若，，则等于（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 11．（24-25八年级上·重庆·期中）已知多项式（为常数），下列说法： ①当时，无论取何值，都有； ②若且，则； ③若，则不存在整数，使得． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 12．（25-26七年级下·安徽六安·期末）已知三个实数，，满足，且，则下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的是________（填序号） 13．（25-26七年级上·山东泰安·期末）若与互为相反数，则的值为______． 14．（24-25八年级下·浙江·阶段检测）若、为非负实数，且，则的最小值是______． 15．（25-26七年级上·广西桂林·期中）关于x的方程：是一元一次方程，则有理数a的值为____． 16．（25-26七年级下·浙江台州·期末）设多项式，，其中，，，为常数，和表示取某数时对应多项式的值，如：．已知两个多项式恒满足：，则称为对称积对． (1)根据对称积对定义，写出，，，之间的关系式________． (2)已知为对称积对，，，，为整数． ①若，证明：． ②当，，求的值． ③若，当，时，求的最小值． 17．（25-26八年级上·山西临汾·阶段检测）综合与探究——代数推理 定义：对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”，这些算术平方根中，最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”． 例如：对于1，4，9这三个数，，这些算术平方根都是整数，因此，1，4，9这三个数称为“漂亮数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． 问题解决： (1)请你通过计算判断4，16，25这三个数是不是“漂亮数”． (2)请你写出两组“漂亮数”．（不与前面出现过的“漂亮数”相同） (3)已知正整数9，25，m是“漂亮数”，且，若“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的3倍，求m的值． 18．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）同州湖音乐喷泉“灯光秀”曾成为我县一道美丽的风景．为了强化灯光效果，在湖的两岸安置了可旋转探照灯．假定湖两岸是平行的，如图1所示，，，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，两灯不停旋转交叉照射．若灯、灯转动的速度分别是度/秒、度/秒．且满足． (1)填空：_________，_________； (2)若灯射线转动24秒后，灯射线开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，若两灯同时转动，在灯射线到达之前，两灯射出的光束交于点．点在射线上，且，则在转动过程中，是否存在一点，使得为定值？若存在，请求出的度数和的值；若不存在，请说明理由． 19．（25-26八年级上·全国·阶段检测）【课本再现】一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记为；的算术平方根是，即．∴被开方数为非负数． (1)【探究新知】若，则的取值范围是 ； (2)【知识应用】若，求的值； (3)【拓展应用】若，求的值． 20．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图（1），在中，，，分别是，，的对边，点从点出发，沿折线以每秒3个单位的速度向终点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动．设点的运动时间为秒． (1)若，． ①求，的长； ②当时，若，求的值； (2)如图（2），当点运动到上，与交于点，若，，，求四边形的面积． 【考点3】非负性与绝对值、几何综合（第21-27题） · 非负性与绝对值、几何条件结合 · 三角形三边关系 · 多条件转化为方程组 21．（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）数轴上原点左边有一点，点对应的数为，有如下说法：①表示的数可能是负数；②若，则；③在，，，中，最大的数是；④若，则．其中正确说法的序号是（   ） A．②④ B．②③ C．②③④ D．①②③④ 22．（25-26七年级下·重庆北碚·期末）已知，，为三角形的三边长，且满足，则以，为边长的等腰三角形的周长为（     ） A． B． C． D．或 23．（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，已知等腰直角，，．射线在内部（），，．设，，，下列结论正确的是（   ） ①  ②  ③  ④ A．①②③ B．②③④ C．②④ D．③④ 24．（24-25七年级下·福建莆田·期中）在平面直角坐标系中，四边形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，其中，满足，，． (1)如图1，求点A与点C的坐标． (2)在（1）的条件下，点M是y轴上一点．且，求点M的坐标； (3)如图2，点P是x轴上点A左边的一点，点Q是射线上一点，连接、，和的平分线相交于点E，求的值． 25．（24-25七年级下·北京·期中）如图，过点作直线分别与直线，相交于、两点，的角平分线交直线于点，射线交直线于点．设，，，其中、、满足． (1)_____________，_____________，_____________； (2)求证：； (3)过点作直线分别交直线于点，交直线于点，且不与重合，不与重合．作的角平分线交线段于点，直接写出与的数量关系__________________________． 26．（23-24七年级上·福建南平·阶段检测）【背景知识】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．    【问题情境】例如，有理数1和在数轴上对应的两点之间的距离是，而的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 【综合运用】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)若，则 ． (2)当取最小值时，的取值范围是 ，其最小值是 ． (3)小明同学在解方程时．由方程右边的值为5可知，满足方程的对应点在1的右边或的左边．若的对应点在1的右边，利用数轴分析可以看出；同理，若的对应点在的左边，可得；故原方程的解是或． 参考小明的解答过程，回答以下问题： ①求方程的解；（须写出必要的求解过程） ②数轴上是否存在有理数，使得方程成立．若存在，请直接写出所有满足条件的有理数；若不存在，请说明理由． 27．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）我们知道表示与之差的绝对值，实际上也可以理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： (1)填空：_______．若，则________． (2)填空：使得成立的的值是________． (3)由以上探索：猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值，如果没有，请说明理由． 【考点4】无理数的估算与整数部分（第28-34题） · 夹逼法确定整数部分 · 小数部分表达式 · 含无理数式子的取值范围 28．（25-26七年级下·全国·周测）根据表中的信息判断，下列结论中，错误的个数是（    ） ①；②235的算术平方根比15.3小；③；④根据表中数据的变化趋势，可以推断出比增大3.25． A．1 B．2 C．3 D．4 29．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（    ）（式子中的“”，“”依次相间） A．22 B． C．23 D． 30．（25-26七年级下·福建福州·期中）用表示最接近的整数（为正整数），例如： ，，，，，…， ，，，，，…， 那么________． 31．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知表示不大于的最大整数，例如，，，，那么______． 32．（24-25七年级下·山东临沂·期中）任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，对81只需进行3次操作后变为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ____ ． 33．（25-26八年级上·四川成都·期末）在综合实践课中，数学兴趣小组对正整数进行研究，将正整数去除平方数后从小到大排成一排，记作，则______；若n为正整数，则的最小值为_______． 34．（25-26八年级上·山西运城·期中）阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题． (1)___________． (2)若，则___________． (3)已知，求的值． 【考点5】实数的大小比较与不等式、新定义（第35-45题） · 统一形式比较实数大小 · 结合不等式性质 · 新定义运算按规则 35．（24-25七年级下·重庆九龙坡·阶段检测）已知为整式，且，其中，，，，…，为自然数，且，令． 例如：当时，，，下列说法： ①若，且，则满足条件的的值有3个； ②若，，且整式的值为的平方根，则满足条件的非正数的值有5个； ③若，则所有满足条件的整式的和为． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 36．（25-26七年级下·重庆·期中）已知方程组的解为非负数，为负数，给出下列结论： ①当时，方程组的解也是方程的解； ②当时，则的立方根为； ③； 其中正确的是（    ） A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 37．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）设实数，，满足条件，且．设，，，则，，之间的大小关系是（　　） A． B． C． D． 38．（21-22七年级下·浙江嘉兴·期中）设，，……都是正整数，其中表示第一个数，表示第二个数，依次类推，表示第n个数（n为正整数），已知，，则______；______． 39．（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图①，由8个同样大小的正方体组成一个“二阶魔方”，整个魔方的体积为．图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，若把正方形放到数轴上，如图②．使得点与重合．若以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点，那么点在数轴上表示的数为_______． 40．（23-24七年级下·安徽亳州·期中）定义新运算“⊕”，对于任意实数a，b都有． （1）若，，则的立方根是________； （2）若不等式成立，则该不等式的解集是________． 41．（21-22九年级·浙江·自主招生）对于绝对值均小于1的实数，，，，则正整数的最小值为______． 42．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）下列命题：①相等的角是对顶角；②算术平方根等于它本身的数有两个，分别是0和1；③已知关于的二元一次方程组，不论取什么有理数，的值始终不变；④已知正实数的平方根是和，若，则；⑤若不等式对一切实数都成立，则的最大值是5； 其中真命题是：___________．（请填序号） 43．（25-26七年级下·安徽亳州·阶段检测）已知的立方根是，是4的平方根． (1)求a，b的值； (2)若c是的整数部分，求的立方根． 44．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）综合与探究 数学活动：三角形全等中的数学问题 【提出问题】 如图，和都是等腰直角三角形（，，），且这两个三角形的顶点O重合，连接．请你认真阅读下面关于这个图形的探究片段，解决所提出的问题： 【探究一】 (1)小红看到图1后，很快发现了与间的数量与位置关系，它们的关系为 ___________． 【探究二】 (2)小红继续探究：如图2，连接和，小红发现．请你帮助小红证明这一结论． 【探究三】 (3)小红还想进一步探究：如图3，连接和，且，的延长线交于点E，若，，求线段的长． 45．（21-22七年级下·四川成都·期中）符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为．例如：，请根据以上阅读材料完成下列 (1)若二阶行列式，求x的值； (2)若二阶行列式的运算结果是关于x的多项式，且该多项式不含x的一次项，求a的值； (3)若二阶行列式，求的值． 💯 课后巩固 复习建议 · 压轴题先拆条件，逐个转化 · 非负式之和为 0 立即列方程 · 整数部分夹逼、小数部分用减法表示 · 数轴题先判断大小再化简 · 新定义题把规则翻译成代数式 【作业1】．（25-26七年级上·天津和平·期中）下列说法正确的有（   ）个． ①与一定有一个表示负数 ②为任意数，均成立 ③若，则与相等； ④两个数的和为正数，那么这两个数中至少有一个正数 A．1 B．2 C．3 D．4 【作业2】．（25-26八年级上·福建三明·期中）若为无理数，但是有理数，则下列结论正确的是（   ） A．是有理数 B．是有理数 C．是无理数 D．是无理数 【作业3】．（19-20七年级上·浙江绍兴·期中）下列说法：①两个无理数的和一定是无理数；②有理数a的倒数是；③的立方根是3；④一个数的相反数一定小于或等于这个数；⑤小明的身高约为米，则他的实际身高a的取值范围是；⑥多项式的次数是7次．其中正确的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【作业4】．（19-20八年级下·云南红河·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按上述规律，第个等式（   ） A． B． C． D． 【作业5】．（24-25八年级上·四川成都·期中）比较大小：_____（填“”、“”或“”）． 【作业6】．（25-26七年级下·北京·期中）对于实数x，用表示不超过x的最大整数，如，，，． （1）________； （2）若，则满足条件的实数t的值是________． 【作业7】．（25-26七年级下·浙江台州·期末）已知，满足，，则_________． 【作业8】．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）若为正整数，且满足，则的值为______． 【作业9】．（25-26八年级上·上海·期中）若，，则___________． 【作业10】．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）如图，在数轴上，我们可以用画半圆的方式，依次得到一些新的点．从原点开始，作一个边长为1的正方形，连接正方形对角两个顶点得到的线段的长度为，以数轴原点为圆心，长度为半径画半圆，交数轴右边于点，如此就能把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为_________． 【作业11】．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）（1）【问题探究】，______，，______； （2）【问题拓展】探究的近似值，如下表． 小明通过上表探究得______（精确到）；所以的整数部分是4，可是的小数部分是无限不循环的，聪明的小明将的小数部分写成______． （3）【问题应用】已知，其中为正整数，，求的值． 【作业12】．（25-26八年级上·福建三明·阶段检测）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，你能确定是几位数吗？ (2)由59319的个位上的数是9，你能确定的个位上的数是几吗？ (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此你能确定的十位上的数是几吗？ (4)已知17576，103823都是整数的立方，按照上述方法，你能确定它们的立方根吗？ 【作业13】．（2025八年级上·全国·专题练习）在一根长条纸带上画有一根数轴，现对折纸带，回答问题： (1)若对应的点与2对应的点重合，则对应的点与数与______对应的点重合． (2)若对应的点与3对应的点重合，则7对应的点与哪个数对应的点重合？对应的点哪个数对应的点重合？ 【作业14】．（25-26七年级下·全国·周测）王老师给同学们布置了这样一道练习题：一个正数的算术平方根为，它的平方根为，求这个正数． 小达的解法如下：依题意可知，，解得，则，这个正数为4．小达的解法正确吗？请说明理由． 【作业15】．（25-26八年级上·山西运城·期末）【阅读理解】在没有计算器的古代，数学家们如何计算开平方呢？我们来学习利用完全平方公式：近似计算算术平方根的方法． 例如：求的近似值（结果精确到）． 解：因为，所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中， ②，其中； 小明以①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以，即 因为比较小，所以将忽略不计，所以，即 得，故，即 (1)【尝试探究】请用②的形式求的近似值． (2)【比较分析】你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高？请说明理由． (3)利用材料中的方法，求的近似值时，可设_________．（用含有a的代数式表示，其中） 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19章·实数·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 综合运用平方根、立方根知识解决含参方程与不等式问题 · 利用算术平方根的非负性处理多条件约束问题 · 掌握无理数估算、整数部分与小数部分的深入应用 · 结合数轴、几何图形综合考查实数的性质 · 理解新定义运算与阅读材料题并正确作答 📚 知识梳理 ☆ 1.平方根与立方根的综合 利用平方根、立方根解方程 已知一个数的平方根/立方根求参数 实数混合运算与指数幂 概念辨析例题：解方程：(x-1)2=9 答案：x=4 或 x=-2 解析：x-1=±3，得 x=4 或 x=-2 ☆ 2.算术平方根的非负性 ≥0、a≥0 的双重非负利用 非负式之和为 0 的判定 与绝对值、完全平方结合 概念辨析例题：若 |a-3|+=0，求 a+b 答案：1 解析：|a-3|≥0，≥0，和为 0 则 a=3、b=-2，a+b=1 ☆ 3.无理数的估算与整数部分 夹逼法估算无理数 整数部分、小数部分的表示 含无理数的式子的取值讨论 概念辨析例题：设 的整数部分为 a，小数部分为 b，求 a+b 答案： 解析：2<<3，a=2，b=，a+b= ☆ 4.实数与数轴、几何综合 数轴上的实数运算与距离 绝对值化简结合数轴位置 实数运算的实际应用 概念辨析例题：数轴上表示 2 与 的两点间的距离为 答案： 解析：距离 = || = （>2） 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 解根式方程 x2=a ⇒ x=± 注意符号 非负性 ≥0、|a|≥0、(a)2≥0 和为 0 各项为 0 整数部分 夹逼法确定 小数=原数-整数 数轴距离 |a-b| 先判大小 绝对值化简 正数取本身、负数取相反 先判符号 新定义运算 按规则转化为普通运算 逐字理解定义 ⚠️ 核心考点 【考点1】无理数与实数概念、平方根立方根基础（第1-6题） · 平方根、立方根概念与基础计算 · 无理数判定与实数的性质 · 倒数、相反数的综合 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的大小比较 【分析】将均计算6次幂，通过比较6次幂的大小，结合负数的绝对值越大，数越小的性质，确定的大小关系． 本题考查了实数的大小比较，掌握通过偶次幂将负数转化为正数比较，结合负数的绝对值越大，数越小是解题的关键． 【详解】解：将整理为：， ， ， 分别计算6次幂： ； ； 比较6次幂的大小：， 即， ∵均为负数，负数的偶次幂越大，原数的绝对值越大，数越小 ∴． 故选：B． 2．（25-26八年级上·山东潍坊·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．无理数就是开方开不尽的数 C．互为相反数的立方根还是互为相反数 D．实数包括有理数、无理数和零 【答案】C 【知识点】相反数的应用、平方根概念理解、立方根概念理解、无理数 【分析】本题考查平方根、无理数、立方根和实数的概念，需逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：A项：，4的平方根是，而非，故A错误； B项：无理数是无限不循环小数，开方开不尽的数只是无理数的一部分（如π是无理数但不是开方所得），故B错误； C项：设a为实数，则是a的相反数，，即它们的立方根互为相反数，故C正确； D项：实数包括有理数和无理数，零是有理数的一部分，故D错误． 故选：C． 3．（25-26七年级下·重庆铜梁·期中）某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能． ①：将屏幕显示的数变成它的算术平方根； ②：将屏幕显示的数变成它的倒数； ③：将屏幕显示的数变成它的平方． 输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第1步到第3步循环按键．例如：当输入5时，第1步操作的结果是25，第2步操作的结果是，第3步操作的结果是，…下列说法： ①若开始输入的数据为2，那么第5步操作之后，显示的结果是4； ②若开始输入的数据为，那么第2026步操作之后，显示的结果是； ③若开始输入一个数据，经过若干步操作后，得到的结果为16，则有6种不同的值；正确的个数是（  ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】倒数、求一个数的算术平方根、数字类规律探索 【分析】先梳理三步按键的变换规律，找出操作循环周期，再分别验证①②③是否正确；设输入数为，推导一轮三步后的变换结果，确定循环周期． 【详解】解：设当前数为： 第1步（平方）：， 第2步（倒数）：， 第3步（算术平方根）：， 第4步（平方）：， 第5步（倒数）：， 第6步(算术平方根)：， 即每6步操作完成一次完整循环，循环周期； 输入，第5步结果是，说法①正确； 周期，计算2026的余数：，余数为4，即第2026步等价于第4步，第4步结果为，不是，说法②错误； 设最终某一步得到16，分6种步数位置逆向： 若16是第1步结果：； 若16是第2步结果：； 若16是第3步结果：； 若16是第4步结果：（重复值）； 若16是第5步结果：（重复值）； 若16是第6步结果：， 汇总所有不重复的：，仅4个不同值，不是6个，说法③错误， 综上，正确的个数是1． 4．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）下列结论： ①若，则； ②小丽每小时可以制作120朵小红花，则她制作的小红花数与制作时间之间成反比例关系； ③若关于、的多项式是三次三项式，则； ④为常数，若的最大值与最小值的差为5，则． 其中正确的结论是______．（填正确结论的序号） 【答案】 ①③④ 【知识点】绝对值的几何意义、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了立方根和平方根，反比例的意义，多项式次数以及绝对值的意义，熟练掌握基础知识点是解题关键； 根据立方根和平方根，反比例的意义，多项式次数以及绝对值的意义，依次对每个结论进行判断即可． 【详解】①由，得，即，所以，正确； ②设制作时间为小时，则小红花数为，小红花数与时间成正比例关系，故错误； ③多项式为三次三项式，则最高次项次数为3，即，解得，所以或；当时，多项式为，是三次二项式，不符合；当时，多项式为，是三次三项式，正确； ④当时，在时，，故最大值为，在时，，故 最小值为：，差为，得； 同理，当时，最大值与最小值的差为，得；当时，最大值与最小值的差为0，不符合，故，正确． 故答案为：①③④． 5．（25-26八年级上·全国·单元测试）数学课上，李老师出示了一道题：已知一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数． 以下是乐乐的解题过程： 李老师发现乐乐的答案错误，请帮他写出正确的解题过程． 【答案】 解：∵一个数的算术平方根为，平方根为， ∴或． ①当时，解得， ∴． ∵算术平方根为非负数， ∴不符合题意； ②当时，解得， ∴， ∴这个数为． 综上所述，这个数为． 【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查算术平方根及平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据平方根及算术平方根的定义进行判断并改正即可． 【详解】略 6．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）小红：如图是课本第71页的部分内容，你理解这部分内容吗？能用类比的方法说明是无理数吗？ 小明：好的． 求证：是无理数． 【答案】 证明：假设不是无理数，那么是有理数． 设（m，n是正整数，且没有大于1的公约数）， 根据平方根的意义：，即． ∴． 由上式右边是3的倍数， ∴是3的倍数，分解质因数时必有质因数3， ∴m一定有质因数3（或m是3的倍数）． 设（p为正整数）， ∴． ∴． ∴． ∴是3的倍数． ∴n是3的倍数． 这样m，n都是3的倍数，与m，n没有大于1的公约数矛盾． ∴不可能写成的形式（m，n是正整数，且最大公约数是1）． ∴是无理数． 【知识点】无理数 【分析】本题考查了用反证法说明是无理数，假设不是无理数，那么是有理数，设（m，n是正整数，且没有大于1的公约数），证明m，n都是3的倍数，与m，n没有大于1的公约数矛盾，故不可能写成的形式（m，n是正整数，且最大公约数是1），即可得证． 【详解】略 【考点2】利用平方根、算术平方根解方程与非负性（第7-20题） · 平方根、算术平方根解方程 · 非负式之和为 0 · 含参方程组求解 7．（25-26七年级上·北京海淀·期末）设．其中，，，是正实数，且满足．则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的立方根、不等式的性质 【分析】本题考查了求一个数的立方根，不等式的性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先根据已知条件确定出a、b、c、d的取值范围，根据不等式的基本性质得出，再比较出有，同理即可得出，，，最后把四式相加即可得出结论． 【详解】解：∵a，b，c，d是正实数，且满足， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：，，， ∴． 故选：A． 8．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）已知两个整式：，，将这两个整式进行如下操作： 第一次操作：用这两个整式的和除以2，将结果放在这两个整式之间，可以得到一个新的整式串：，，，新整式串的和记作； 第二次操作：用相邻两个整式的和除以2，将结果放在这两个整式之间，又得到一个新的整式串：，，，，，新整式串的和记作；以此类推． 某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论： ①经过三次操作后的整式串共有9个整式； ②若，经过四次操作后，； ③第10次操作后，从左往右第2个整式为：； ④若，，则． 以上四个结论正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、数字类规律探索、整式的加减运算 【分析】第二次操作后得到的整式串有5个整式，那么第三次操作时，相邻两个整式之间都会产生一个新的整式，即一共要产生4个新的整式，据此可判断①；求出第三次操作后产生的整式串，再分别求出，，，从而推出，根据非负数的性质求出x、y的值，再计算即可判断②；根据前三次操作的结果可得第n次操作后的第2个整式中x的系数是， y的系数是，据此可判断③；可求出，根据题意求出的值，则可得到，据此可判断④． 【详解】解：①∵第二次操作后得到5个整式， ∴第三次操作时，从左边起，第1个整数和第2个整式之间会产生一个新的整式，第2个整数和第3个整式之间会产生一个新的整式，第3个整数和第4个整式之间会产生一个新的整式，第4个整数和第5个整式之间会产生一个新的整式， ∴第三次操作后的整式串共有个整式，故①正确； ②， ∴第一次操作所得的整式串：， ∴， 第二次操作所得的整式串：，，，，， ∴， 第三次操作所得的整式串：，，，，，，，，， ∴ ， 以此类推可知，； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴，故②错误； ③第一次操作后的第2个整式中x的系数是，y的系数是， 第二次操作后的第2个整式中x的系数是，y的系数是， 第三次操作后的第2个整式中x的系数是，y的系数是， ……， 以此类推可知，第n次操作后的第2个整式中x的系数是， y的系数是， ∴第10次操作后的第2个整式中x的系数是，y的系数是， 第10次操作后，从左往右第2个整式为，故③正确； ④∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④错误； ∴正确的有①③． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了数字类的规律探索，整式的加减运算，非负数的性质，正确理解题意找到对应的规律是解题的关键． 9．（25-26八年级上·甘肃金昌·期末）对于五个整式：，，，，，有以下几个结论： ①若实数满足，则或； ②若实数，满足，则为任意实数，； ③若关于的多项式（为常数）不含的一次项，则该多项式的值一定为正数； ④若实数，满足，则． 上述结论中，正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】绝对值方程、利用平方根解方程、整式的加减运算、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查整式的混合运算，平方根的定义解方程，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． ①由，代入，，即可解出；②由，代入，，可得的取值范围；③由，代入，，当不含一次项时，将代入即可判断；④由，代入各整式化简得，即可解得的值． 【详解】解：①，，， ， 或， 解得或． 故①正确． ②，，， ，即， ， ，且为任意实数． 故②正确． ③，，， ． 当不含一次项时， ，即． ． 当时，，不是正数， 故③错误． ④， ， ， ， 化简得，，． 故④正确． 综上，正确结论为①②④，共3个． 故选：B． 10．（15-16七年级下·江苏·期末）若，，则等于（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【知识点】求一个数的平方根、整式的加减中的化简求值、同底数幂相乘 【分析】本题主要考查了幂的运算以及代数式求值，熟练掌握幂的运算法则和开方运算求未知数的值是解题的关键．先分别求解和的值，再将其代入代数式计算． 【详解】解：∵，， ∴或． ∵，， ∴． 当，时， ， 当，时， ， 故选：． 11．（24-25八年级上·重庆·期中）已知多项式（为常数），下列说法： ①当时，无论取何值，都有； ②若且，则； ③若，则不存在整数，使得． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】利用平方根解方程、运用完全平方公式进行运算、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解的应用，进行配方成完全平方形式，结合平方的非负性求解题目，做题的关键是配方． 结合已知，依次对各个选项进行配方成完全平方形式，结合平方的非负性进行判断即可． 【详解】解：对于①：， ∵，， ∴当时，，故①正确； 对于②：∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，故②正确； 对于③：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴不存在整数，使得，故③正确． 故选：D． 12．（25-26七年级下·安徽六安·期末）已知三个实数，，满足，且，则下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的是________（填序号） 【答案】①②③ 【知识点】利用平方根解方程、整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、不等式的性质 【分析】根据已知，且，逐个验证每个结论，判断正确性． 【详解】三个实数，，满足，且， ①若，则，即，①正确. ②若，则，， 将代入得：， 整理得，即，②正确. ③若，根据平方差公式得， ，，即， ，即，③正确. ④若，则， ， ， ，解得，故④错误. 综上，正确结论的序号是①②③． 13．（25-26七年级上·山东泰安·期末）若与互为相反数，则的值为______． 【答案】15 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查立方根的性质，根据立方根的性质，若两个立方根互为相反数，则被开方数互为相反数，由此建立方程，再通过代数变形求值． 【详解】解：因为与互为相反数， 所以 两边立方得， 整理得， 即， 所以 故答案为：15． 14．（24-25八年级下·浙江·阶段检测）若、为非负实数，且，则的最小值是______． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，根据完全平方公式变形可得，进而根据、为非负实数，，则当取得最小值时，，则，即可求解． 【详解】解： ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵、为非负实数， ∴当时，最小， 则或 此时 即 ∴ ∴的最小值是 故答案为：． 15．（25-26七年级上·广西桂林·期中）关于x的方程：是一元一次方程，则有理数a的值为____． 【答案】1或或0 【知识点】利用平方根解方程、零指数幂、判断是否是一元一次方程 【分析】一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式． 【详解】解：由题意得：或， 解得：或或0． 当时，原方程为，是一元一次方程， 当时，原方程为，是一元一次方程， 当时，，原方程为，是一元一次方程， 故答案为1或或0． 【点睛】本题考查一元一次方程的定义．熟记相关结论即可． 16．（25-26七年级下·浙江台州·期末）设多项式，，其中，，，为常数，和表示取某数时对应多项式的值，如：．已知两个多项式恒满足：，则称为对称积对． (1)根据对称积对定义，写出，，，之间的关系式________． (2)已知为对称积对，，，，为整数． ①若，证明：． ②当，，求的值． ③若，当，时，求的最小值． 【答案】(1) (2)①证明：由（1）可得 当时， ∵，则 ∴； ②； ③ 【知识点】利用平方根解方程、已知字母的值 ，求代数式的值、整式的加减运算、计算多项式乘多项式 【分析】（1）分别计算，，，的值，代入条件，即可求解； （2）①，将代入第一问得到的关系式，因为，所以可以对等式进行变形推导，得到和的关系。 ②，先利用和联立方程求解的值，再利用得到的关系式，结合第一问的参数关系式，联立求解，最后计算； 对于③，先由得到的一个等式，结合第一问的关系式，推导与的关系，再代入，得出，，进而求得关于的代数式，根据随的增大而减小，取得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， ， ∵ ∴ ∴ 即， ∴； （2）①略； ②由，得：，则 由，得，则 联立，解得： 由，得 ∴ 代入得， 解得： ∴ ∴； ③∵ ∴ ∴ 设，则 ∵ ∴， 代入得， ∴ ∵，即，即 ∴ ∴ ∴ ∴， 代入得 ∴ 即 ∴ ∵， ∴， 又∵为整数，则 ∵ ∵ ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，最小值为 17．（25-26八年级上·山西临汾·阶段检测）综合与探究——代数推理 定义：对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”，这些算术平方根中，最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”． 例如：对于1，4，9这三个数，，这些算术平方根都是整数，因此，1，4，9这三个数称为“漂亮数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． 问题解决： (1)请你通过计算判断4，16，25这三个数是不是“漂亮数”． (2)请你写出两组“漂亮数”．（不与前面出现过的“漂亮数”相同） (3)已知正整数9，25，m是“漂亮数”，且，若“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的3倍，求m的值． 【答案】(1)4，16，25这三个数是“漂亮数” (2)1，9，16；4，25，64（答案不唯一） (3)81 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了新定义和算术平方根，解题关键是理解已知条件中的定义． （1）根据已知条件中的定义，先求出任意两个数乘积的算术平方根，然后判断即可； （2）根据已知条件中的定义，先求出任意两个数乘积的算术平方根，然后进行解答即可； （3）分别根据已知条件中的定义和最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，列出关于m的方程，求出m即可． 【详解】（1）解：，，， ，20，10都是整数， ，16，25是“漂亮数”； （2）1，9，16这三个数称为“漂亮数”； 4，25，64这三个数称为“漂亮数”，理由如下： ，，， 1，9，16这三个数称为“漂亮数”； ，，， 4，25，64这三个数称为“漂亮数”； （3）∵正整数， ∴。 三个算术平方根为、、。 ∵，， ∴“最小算术平方根”为15，“最大算术平方根”为。” ， ． 解得． 的值为81． 18．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）同州湖音乐喷泉“灯光秀”曾成为我县一道美丽的风景．为了强化灯光效果，在湖的两岸安置了可旋转探照灯．假定湖两岸是平行的，如图1所示，，，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，两灯不停旋转交叉照射．若灯、灯转动的速度分别是度/秒、度/秒．且满足． (1)填空：_________，_________； (2)若灯射线转动24秒后，灯射线开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，若两灯同时转动，在灯射线到达之前，两灯射出的光束交于点．点在射线上，且，则在转动过程中，是否存在一点，使得为定值？若存在，请求出的度数和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1，3 (2)当B灯转动12秒或84秒时，两灯的光束互相平行 (3)存在，，． 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了非负数的性质，平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）利用非负数的性质，进而得出a、b的值； （2）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当和当时，根据平行线的性质列式计算求解即可； （3）设灯B射线转动时间为秒，根据，，即可得出，当时，在转动过程中，是否存在一点D，使得k为定值，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：1，3； （2）解：设B灯转动秒，两灯的光束互相平行， 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得 ； 当时，如图， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行； （3）解：． 理由：设灯B射线转动时间为秒， ∵， ∴， 又∵， ∴，而， ∴， ∴当时，在转动过程中，存在一点D，使得k为定值， 此时，． 19．（25-26八年级上·全国·阶段检测）【课本再现】一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记为；的算术平方根是，即．∴被开方数为非负数． (1)【探究新知】若，则的取值范围是 ； (2)【知识应用】若，求的值； (3)【拓展应用】若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2026 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，算术平方根的双重非负性的应用，二元一次方程组的解法． （1）根据被开方数为非负数可得答案； （2）根据非负数的性质可得，再解方程组，最后代入计算即可； （3）由被开方数为非负数确定的取值范围，进而化简绝对值，再解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：，则的取值范围是； 故答案为：； （2）解：， ， 解得：， ； （3）解：， ， ， ， ． 20．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图（1），在中，，，分别是，，的对边，点从点出发，沿折线以每秒3个单位的速度向终点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动．设点的运动时间为秒． (1)若，． ①求，的长； ②当时，若，求的值； (2)如图（2），当点运动到上，与交于点，若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)①，；②或或 (2) 【知识点】绝对值非负性、绝对值方程、利用平方根解方程、几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）①根据绝对值和平方的非负性可得，由此可得，的值； ②由①可知，，根据题意分两种情况讨论如下：（ⅰ）点在上运动时，即时，点在上运动，则，，由，进而可得的值；（ⅱ）当点在上运动时，即 时，在上运动，则，，进而得，由，进而可得的值；综上所述即可得出答案； （2）连结，根据，得，，，，设，，，，则，，，，再根据得， ，据此得，由此解出，的值即可得出四边形的面积． 【详解】（1）解：① 又， 解得： ，； ②由（1）可知， ，点从点出发，沿折线以每秒3个单位的速度向终点运动， 有以下两种情况： （ⅰ）点在上运动时，即时，点在上运动，如图（1）①所示： 依题意得：，， ，故不合题意，舍去， ． （ⅱ）当点在上运动时，即 时，点在上运动，如图（1）②所示： 依题意得：，， 或 综上所述：当或或时，； （2）解：连结，如图（2）所示： ， ，，， ， 设，，， ， ， ， ， 解得： 故四边形的面积为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，绝对值的非负性，绝对值方程，三角形等高面积比等于底之比，根据题意表示出三角形的底和高，利用三角形面积公式列出方程是解题的关键． 【考点3】非负性与绝对值、几何综合（第21-27题） · 非负性与绝对值、几何条件结合 · 三角形三边关系 · 多条件转化为方程组 21．（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）数轴上原点左边有一点，点对应的数为，有如下说法：①表示的数可能是负数；②若，则；③在，，，中，最大的数是；④若，则．其中正确说法的序号是（   ） A．②④ B．②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【知识点】用数轴上的点表示有理数、相反数的定义、绝对值的几何意义、求一个数的平方根 【分析】本题主要考查了数轴上的点、相反数、绝对值、平方根的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由点M在原点左边，故m为负数，再根据相反数、绝对值、有理数乘方、平方根逐项判断即可． 【详解】解：∵点M在原点左边， ∴． ①由，则，故表示的数不可能是负数，故①错误； ②有且，则，故②正确； ③由，则，，故最大，故③正确； ④由且，∴，故④错误． 综上，正确的有②③． 故选B． 22．（25-26七年级下·重庆北碚·期末）已知，，为三角形的三边长，且满足，则以，为边长的等腰三角形的周长为（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、构成三角形的条件 【分析】先利用三角形三边关系化简等式右侧，再根据平方和算术平方根的非负性求出，的值，最后分情况讨论等腰三角形的周长，验证三边关系后得到结果． 【详解】解：，，是三角形的三边长， ，， ，， 等式右侧为：， 可得：， 整理得：， ，， ，， 解得：，， ①当腰长为，底边长为时， ，符合三角形三边关系， 三角形的周长为， ②当腰长为，底边长为时， ，符合三角形三边关系， 三角形的周长为， 综上，等腰三角形的周长为或． 23．（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，已知等腰直角，，．射线在内部（），，．设，，，下列结论正确的是（   ） ①  ②  ③  ④ A．①②③ B．②③④ C．②④ D．③④ 【答案】B 【知识点】算术平方根的实际应用、运用完全平方公式进行运算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、完全平方公式、算术平方根的相关概念，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． 根据题意易证，故，由全等三角形性质得，在中，，同理可得，，即，故结论①错误；由可得，故，即，由算术平方根定义可得，故结论②正确；因为，所以，，从而有，故即结论③，④正确． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴由勾股定理得，， ∵， ∴，故结论①错误， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，故结论②正确； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，故结论③，④正确． 综上，②③④正确． 故选：B． 24．（24-25七年级下·福建莆田·期中）在平面直角坐标系中，四边形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，其中，满足，，． (1)如图1，求点A与点C的坐标． (2)在（1）的条件下，点M是y轴上一点．且，求点M的坐标； (3)如图2，点P是x轴上点A左边的一点，点Q是射线上一点，连接、，和的平分线相交于点E，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、解一元一次方程（二）——去括号、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，平行公理的推论等知识，解题的关键是学会利用方程和参数解决问题． （1）直接根据二次根式的非负性和平方的非负性得到，，即可作答； （2）设，分三种情况根据三角形面积公式列方程计算即可； （3）如图过点作，设，，，则，，分别用，，的代数式表示，即可解决问题． 【详解】（1）∵， ∴， ∴，； （2）设， ∵， ∴， ∵， 当点M在线段上时， ∵， ∴ ， ∴， 当点M在点O的下方时， 则 ，方程无解， ∴点M不可在点O的下方， 当点M在点C上方时， 则，方程无解， ∴点M不可能在点C的上方， 综上所述，； （3）解：如图，过点作，设，，，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ， ∴， ∴， ∴． 25．（24-25七年级下·北京·期中）如图，过点作直线分别与直线，相交于、两点，的角平分线交直线于点，射线交直线于点．设，，，其中、、满足． (1)_____________，_____________，_____________； (2)求证：； (3)过点作直线分别交直线于点，交直线于点，且不与重合，不与重合．作的角平分线交线段于点，直接写出与的数量关系__________________________． 【答案】(1)80，140，140 (2) 证明：如图，过P作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． (3)或或 【知识点】求一个数的算术平方根、角平分线的有关计算、平行公理推论的应用、根据平行线的性质求角的度数 【分析】（1）根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性和二次方的非负性，求出x、y、z的值即可； （2）过P作，根据平行线的判定和性质证明，利用平行公理求出最后结果即可； （3）分三种情况：当点Q在线段上时，当点Q在点M的左侧时，当点Q在点E的右侧时，分别画出图形，作出辅助线求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， 解得：，，， 故答案为：80；140；140． （2）略 （3）解：当点Q在线段上时，过点S作，，如图所示： ∵， ∴，， ∴，，，， ∵是的角平分线，是的平分线， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴； 当点Q在点M的左侧时，过点S作，，如图所示： ∵， ∴，， ∴，，，， ∵是的角平分线，是的平分线， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ， ∴， 即； 当点Q在点E的右侧时，过点S作，，如图所示： ∵， ∴，， ∴，，，， ∵是的角平分线，是的平分线， ∴，， ∴，， ∴， 即； 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，平行公理的应用，非负数的应用，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，画出图形，作出辅助线，数形结合． 26．（23-24七年级上·福建南平·阶段检测）【背景知识】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．    【问题情境】例如，有理数1和在数轴上对应的两点之间的距离是，而的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 【综合运用】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)若，则 ． (2)当取最小值时，的取值范围是 ，其最小值是 ． (3)小明同学在解方程时．由方程右边的值为5可知，满足方程的对应点在1的右边或的左边．若的对应点在1的右边，利用数轴分析可以看出；同理，若的对应点在的左边，可得；故原方程的解是或． 参考小明的解答过程，回答以下问题： ①求方程的解；（须写出必要的求解过程） ②数轴上是否存在有理数，使得方程成立．若存在，请直接写出所有满足条件的有理数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)，3 (3)①或4；存在，②或 【知识点】绝对值的几何意义、实数与数轴 【分析】（1）根据绝对值的几何意义即可； （2）设A点表示的数为，B点表示的数为1，P点表示的数为，再分三种情况分类讨论即可； （3）①设A点表示的数为，B点表示的数为3，P点表示的数为，再分三种情况分类讨论即可，②分四种情况分类讨论即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 故答案为：或； （2）解：设A点表示的数为，B点表示的数为1，P点表示的数为， 如图所示，当P在之间（包含A、B）时，；    当P在A点左侧时 ；    当P在B点右侧时 ；    ∴的最小值为3． 故答案为：，3； （3）解：①设A点表示的数为，B点表示的数为3，P点表示的数为，    如图，当P在AB之间（包含A、B）时，，    ∴点P应在A点左侧或B点右侧． 当P在A点左侧时如图，， ∴， ∴； 同理，当P在B点右侧时， ∴， ∴； ∴综上所述，当时，或4； ②当时， ∵， ∴， 解得符合题意； 当时 ∵， ， 解得不符合题意； 当时 ∵， ， 解得不符合题意； 当时， ∵， ， 解得符合题意； ∴综上所述，当，或． 【点睛】本题主要考查实数在数轴上对应的点以及绝对值，熟练掌握实数在数轴上对应的点以及绝对值是解决本题的关键． 27．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）我们知道表示与之差的绝对值，实际上也可以理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： (1)填空：_______．若，则________． (2)填空：使得成立的的值是________． (3)由以上探索：猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值，如果没有，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)有最小值，最小值为 【知识点】绝对值的几何意义、求一个数的算术平方根 【分析】（）根据绝对值的意义解答即可求解； （）由得式子可理解为到与到的距离之和，又由知不在和之间，再分在左边和在右边两种情况解答即可求解； （）由得式子可理解为到与到的距离之和，根据两点之间线段最短，可知当时，的值最小，据此即可求解； 本题考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：， 若，则与的距离等于， ∴或， 当时，， ∴； 当时，，不合题意； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴式子可理解为到与到的距离之和， ∵， ∴不在和之间， 当在左边时，， 解得； 当在右边时，， 解得； 故答案为：或； （3）解：有最小值，最小值为，理由如下： ∵， ∴式子理解为到与到的距离之和， 根据两点之间线段最短，可知当时，的值最小，最小值为． 【考点4】无理数的估算与整数部分（第28-34题） · 夹逼法确定整数部分 · 小数部分表达式 · 含无理数式子的取值范围 28．（25-26七年级下·全国·周测）根据表中的信息判断，下列结论中，错误的个数是（    ） ①；②235的算术平方根比15.3小；③；④根据表中数据的变化趋势，可以推断出比增大3.25． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、与算术平方根有关的规律探索题、无理数的大小估算 【分析】本题考查了算术平方根的计算与表格数据的分析，掌握算术平方根的定义及平方差公式的应用是解题的关键 依次对四个结论进行判断，结合表格中与的对应关系，利用算术平方根的定义、平方数大小比较及平方差公式推导，统计错误结论的个数，从而确定答案． 【详解】解：① ∵表格中当时，，∴ 正确； ②∵，∴，故错误； ③∵，∴，故错误； ④，故错误； 综上所述，错误结论有②、③、④，共3个． 故选：C． 29．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（    ）（式子中的“”，“”依次相间） A．22 B． C．23 D． 【答案】C 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题主要考查了算术平方根的意义，本题是阅读型题，正确理解新定义的含义是解题的关键．利用题干中的新定义依次得到各数的整数部分，计算即可得出结论． 【详解】，， 与之间共有个数， ，， 与之间共有个数， ，， 与之间共有个数， ， ，， 与之间共有个数， ． 故选C． 30．（25-26七年级下·福建福州·期中）用表示最接近的整数（为正整数），例如： ，，，，，…， ，，，，，…， 那么________． 【答案】 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、无理数的大小估算 【分析】根据无理数的估算以及四舍五入法则，得出的值，求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ，， ，， ，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，， ， ． 31．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知表示不大于的最大整数，例如，，，，那么______． 【答案】606 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题主要考查取整函数，明确取整函数的性质：等价于即每个整数对应一段连续的值，计算每一段的和即可得出结论． 【详解】解：当且仅当（为整数）， 当时，，，共3个，和为； 当时，，，共5个，和为； 当时，，，共7个，和为； 当时，，，共9个，和为； 当时，，，共11个，和为； 当时，，，共13个，和为； 当时，，，共15个，和为； 当时，，，共17个，和为； 当时，，，共18个，和为； ∴， 故答案为：606． 32．（24-25七年级下·山东临沂·期中）任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，对81只需进行3次操作后变为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ____ ． 【答案】255 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用． 根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴对255只需进行3次操作后变为1， 从后向前推，找到需要4次操作得到1的最小整数， ∵ ，，，， ∴对256只需进行4次操作后变为1， ∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255， 故答案为：255． 33．（25-26八年级上·四川成都·期末）在综合实践课中，数学兴趣小组对正整数进行研究，将正整数去除平方数后从小到大排成一排，记作，则______；若n为正整数，则的最小值为_______． 【答案】 【知识点】估计算术平方根的取值范围、与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查算术平方根的估算和应用，关键是通过对数的规律的探究，表达出前个数中的平方数的个数． ①先列出原始正整数序列：，识别其中的平方数，去除平方数后，按顺序计数到第项，直接得到即可； ②设第个非平方数，从1到中，平方数的个数为，因此非平方数的个数为．根据题意可得方程，变形为，则的整数部分为，尝试，代入得，验证满足条件，然后计算附近的平方数：，，得到的最小值即可． 【详解】解：将正整数从小到大排成一排为，其中平方数为，，，．去除平方数后，剩余数为 由此可知； 设第个非平方数为，从1到中，平方数的个数为，因此非平方数的个数为． 令，则，则的整数部分为，且， 当时，，的整数部分为，满足条件，故． ∵， ∴，即， ，，且， 的最小值为； 故答案为：；． 34．（25-26八年级上·山西运城·期中）阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题． (1)___________． (2)若，则___________． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或1或3 【知识点】求一个数的立方根、与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查求一个数的立方根．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）参照题干材料进行猜想、验证，可得答案； （2）根据与互为相反数，可得与5互为相反数，由此可解； （3）将所给等式变形为，根据0，，1的立方根等于它本身，可得答案． 【详解】（1）解：因为，所以是两位数； 其次观察立方数．猜想个位数字是8； 接着将195112往前移动3位小数点后约为195，因为，，所以的十位数字应为5，于是猜想、验证，得195112的立方根是58； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到， 故答案为：． （2）解： ， 与互为相反数， 与5互为相反数， ， ， 故答案为：； （3）解： ， ， 或， 解得或1或3． 【考点5】实数的大小比较与不等式、新定义（第35-45题） · 统一形式比较实数大小 · 结合不等式性质 · 新定义运算按规则 35．（24-25七年级下·重庆九龙坡·阶段检测）已知为整式，且，其中，，，，…，为自然数，且，令． 例如：当时，，，下列说法： ①若，且，则满足条件的的值有3个； ②若，，且整式的值为的平方根，则满足条件的非正数的值有5个； ③若，则所有满足条件的整式的和为． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根、数字类规律探索、求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了整式的加减，平方根、立方根、解不等式以及新定义，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据整式的加减，平方根、立方根、解不等式以及新定义判断即可． 【详解】解：①当时，， ， 为自然数， 满足条件的的值有个， ∴， 故①正确； ②当，时， ， ，， ， 当时，，当时，， 为非正数， 或， 或， 且为自然数， ， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 为非正数， 符合条件的非正数有5个，故②正确； ③，，，，，…，为自然数，且， 当时，，此时； 当时，，即， 则或或， 此时或或； 当时，，即， 则，，， 此时， 当时，，即， 当时，，此时不合题意； 满足条件的整式的和为， 故③正确， 综上所述，正确的个数是3个， 故选：D． 36．（25-26七年级下·重庆·期中）已知方程组的解为非负数，为负数，给出下列结论： ①当时，方程组的解也是方程的解； ②当时，则的立方根为； ③； 其中正确的是（    ） A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 【答案】A 【知识点】求一个数的立方根、已知二元一次方程组的解的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】先解方程组得到关于的表达式，再根据的范围判断③，再分别代入的值验证①②即可． 【详解】解：解方程组， 两式相加得，化简得， 两式相减得，化简得， ∵x为非负数，y为负数， ∴， 解得不等式组的解集为，故③正确． ① 当时， 左边， 右边， 左边右边，因此方程组的解满足，故①正确． ② 当时， ， ， ∴， ∵ ， ∴的立方根为，故②正确． 37．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）设实数，，满足条件，且．设，，，则，，之间的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】实数的大小比较、不等式的性质 【分析】本题考查实数的大小比较，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质． 先化简，根据不等式的基本性质比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵实数，，满足条件， ∴， ∴， ∴， 故选：． 38．（21-22七年级下·浙江嘉兴·期中）设，，……都是正整数，其中表示第一个数，表示第二个数，依次类推，表示第n个数（n为正整数），已知，，则______；______． 【答案】 4 6064 【知识点】利用平方根解方程、数字类规律探索 【分析】根据已知，分别求得，，……，得出规律，将代入即可求得答案． 【详解】解：∵，，，，……是一列正整数， 当时，， 将代入得， 解得，另一答案为0，舍去； 当时，， 将代入得， 解得，负值已舍； 当时，， 将代入得， 解得，负值已舍； 观察到数列：，，，， ∴， ∴． 39．（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图①，由8个同样大小的正方体组成一个“二阶魔方”，整个魔方的体积为．图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，若把正方形放到数轴上，如图②．使得点与重合．若以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点，那么点在数轴上表示的数为_______． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、立方根的实际应用、实数与数轴 【分析】本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出正方形的边长． 先用立方体的体积公式求出魔方的棱长，然后再求出侧面的面积，进而可求出的边长，进而可求出点代表的数． 【详解】解：∵魔方的体积为， ∴魔方的棱长为：， ∴侧面面积为：， ∴正方形的面积为：， ∴正方形的边长为：， ∴点与重合．若以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点，点在数轴上表示的数为， 故答案为： ． 40．（23-24七年级下·安徽亳州·期中）定义新运算“⊕”，对于任意实数a，b都有． （1）若，，则的立方根是________； （2）若不等式成立，则该不等式的解集是________． 【答案】 2 【知识点】求一个数的立方根、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查立方根，解一元一次不等式，根据新定义得出式子是解题的关键： （1）由新运算的定义得出，再根据立方根得出答案； （2）由新运算的定义得出，解不等式即可得出答案． 【详解】解：（1）由新运算的定义知：， 把，代入，得， 所以8的立方根是2， 故答案为：2； （2）因为，， 所以， 所以， 所以， 解得， 故答案为：． 41．（21-22九年级·浙江·自主招生）对于绝对值均小于1的实数，，，，则正整数的最小值为______． 【答案】2024 【知识点】绝对值的几何意义、实数的性质 【分析】本题考查了绝对值的性质；根据，2，3，，，可得，所以，即可求出正整数的最小值． 【详解】解：设，，中正数的和为，负数和为， ∵ ∴， ①当时，，所以负数至少有1012个， 将代入得，，， 所以正数至少有1012个， 所以， 即至少为2024个， ②当时，与①同理， 综上，最小值为2024. 故答案为：2024. 42．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）下列命题：①相等的角是对顶角；②算术平方根等于它本身的数有两个，分别是0和1；③已知关于的二元一次方程组，不论取什么有理数，的值始终不变；④已知正实数的平方根是和，若，则；⑤若不等式对一切实数都成立，则的最大值是5； 其中真命题是：___________．（请填序号） 【答案】②③④ 【知识点】绝对值的几何意义、平方根概念理解、加减消元法、判断命题真假 【分析】根据对顶角、平方根、解二元一次方程组、代数式求值、绝对值等知识逐项判断即可． 【详解】解：①对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，所以①是假命题； ②算术平方根等于它本身的数有两个，分别是0和1，即②是真命题． ③解方程组可得：，则， 所以不论取什么有理数，的值始终不变，③是真命题． ④因为正实数的平方根是和， 所以，即，且， 因为， 所以，即， 因为正实数，则，④是真命题． ⑤：设， 当时，； 当时，； 当时，． 所以的最小值是3， 若不等式对一切实数a都成立，则，即m的最大值是3，则⑤是假命题． 故答案为：②③④． 【点睛】本题主要考查了对顶角、平方根、解二元一次方程组、代数式求值、绝对值等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 43．（25-26七年级下·安徽亳州·阶段检测）已知的立方根是，是4的平方根． (1)求a，b的值； (2)若c是的整数部分，求的立方根． 【答案】(1)或 (2)2或0 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的立方根，求这个数、无理数整数部分的有关计算、加减消元法 【分析】（1）根据立方根、平方根即可求出a，b的值； （2）估算无理数的大小即可求c的值，将a，b，c的值代入求解即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是， ∴， ∵是4的平方根， 或， 当时，解得， 当时，解得． 综上，或． （2）解：∵， ∴的整数部分是3， ， 当，时，，8的立方根是2； 当，时，，0的立方根是0； 综上，的立方根是2或0． 44．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）综合与探究 数学活动：三角形全等中的数学问题 【提出问题】 如图，和都是等腰直角三角形（，，），且这两个三角形的顶点O重合，连接．请你认真阅读下面关于这个图形的探究片段，解决所提出的问题： 【探究一】 (1)小红看到图1后，很快发现了与间的数量与位置关系，它们的关系为 ___________． 【探究二】 (2)小红继续探究：如图2，连接和，小红发现．请你帮助小红证明这一结论． 【探究三】 (3)小红还想进一步探究：如图3，连接和，且，的延长线交于点E，若，，求线段的长． 【答案】(1) (2)证明：如图1，过点C作于点E，过点D作，交的延长线于点F， 则． ∵， ∴， ， ， 在和中， ． ． ，， ； (3)2 【知识点】利用平方根解方程、全等三角形综合问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）证明，即可得证； （2）过点C作于点E，过点D作，交的延长线于点F，证明，得到，根据三角形的面积公式，即可得出结论； （3）过点D作，交的延长线于点H，先证明，求出的长，再证明，根据线段的和差关系以及全等三角形的性质，即可得出结果． 【详解】（1）解：， ，即． 在和中， ． ． （2）略 （3）解：如图2，过点D作，交的延长线于点H． ， ． ， ， ， 又∵，， ∴， ， ， ， （负值舍去）， ， ， 又∵， ∴， ， ， ， ， ， 即的长为2． 45．（21-22七年级下·四川成都·期中）符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为．例如：，请根据以上阅读材料完成下列 (1)若二阶行列式，求x的值； (2)若二阶行列式的运算结果是关于x的多项式，且该多项式不含x的一次项，求a的值； (3)若二阶行列式，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2023 【知识点】新定义下的实数运算、已知多项式乘积不含某项求字母的值、提公因式法分解因式 【分析】（1）根据题意可得，则可得到，据此可得答案； （2）根据题意可得，求出的展开结果，根据结果中不含x的一次项，得到含x的一次项的系数为0，据此求解即可； （3）根据题意可得，则可求出，把所求式子变形为，然后把代入继续变形求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ， ∵二阶行列式的运算结果是关于x的多项式，且该多项式不含x的一次项， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 💯 课后巩固 复习建议 · 压轴题先拆条件，逐个转化 · 非负式之和为 0 立即列方程 · 整数部分夹逼、小数部分用减法表示 · 数轴题先判断大小再化简 · 新定义题把规则翻译成代数式 【作业1】．（25-26七年级上·天津和平·期中）下列说法正确的有（   ）个． ①与一定有一个表示负数 ②为任意数，均成立 ③若，则与相等； ④两个数的和为正数，那么这两个数中至少有一个正数 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】相反数的定义、绝对值的几何意义、有理数加法运算、平方根概念理解 【分析】本题考查了相反数的性质、绝对值和平方根的概念，以及逻辑判断，熟练掌握这些知识是解题的关键． 逐一分析每个说法的正确性即可． 【详解】解：说法①：∵ 当 时， 和 均为 0，都不是负数，∴ ①错误； 说法②：取 ，则 ，而 ，两者不相等，∴ ②错误； 说法③：取 ，，则 ，但 ，∴ ③错误； 说法④：∵ 两个数的和为正数，则两个数不能同时为负数（否则和为负），∴ 至少有一个正数，∴ ④正确． 综上，只有说法④正确，正确个数为 1． 故选：A． 【作业2】．（25-26八年级上·福建三明·期中）若为无理数，但是有理数，则下列结论正确的是（   ） A．是有理数 B．是有理数 C．是无理数 D．是无理数 【答案】D 【知识点】无理数、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了无理数的运用，掌握无理数与有理数的和差均为无理数是解题的关键． 由是有理数，展开得为有理数，设其为，则 为有理数．选项 D的表达式可化为 ，进一步利用已知条件化为 ，由于有理而无理，故无理，因此D正确．其他选项均可能为无理数或不满足条件，据此即可解答． 【详解】解：∵是有理数，设为， ∴为有理数． 对于选项 D：， ∵ ， 又 ∵ 为有理数， 为无理数， ∴ 为无理数， 故是无理数，选项D正确，符合题意． 其他选项： A．，含无理项，故是无理数，不符合题意； B．，含无理项，故是无理数，不符合题意； C．，为有理数，故不是无理数，不符合题意． 故选：D． 【作业3】．（19-20七年级上·浙江绍兴·期中）下列说法：①两个无理数的和一定是无理数；②有理数a的倒数是；③的立方根是3；④一个数的相反数一定小于或等于这个数；⑤小明的身高约为米，则他的实际身高a的取值范围是；⑥多项式的次数是7次．其中正确的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】倒数、求一个数的立方根、无理数、多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了无理数和有理数，倒数，相反数，近似值，多项式的次数和立方根的知识，熟练掌握这些概念是解题的关键． 本题根据无理数和有理数，倒数，相反数，近似值，多项式的次数和立方根的知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：说法①：两个无理数的和一定是无理数，错误； 例如，和都是无理数，但它们的和为0，是有理数， ∴两个无理数的和不一定是无理数； 说法②：有理数 的倒数是，错误， 当时，0 是有理数，但倒数无定义（分母不能为零）， ∴这个说法不严谨； 说法③：的立方根是3，正确， ∵， ∴27的立方根是3； 说法④：一个数的相反数一定小于或等于这个数，错误； 例如，若这个数为负数，如 ，其相反数为 3，有 ；若这个数为正数，如 3，其相反数为，有；若为 0，相反数等于自身， ∴相反数不一定小于或等于原数； 说法⑤：小明的身高约为 米，则他的实际身高的取值范围是，正确，近似数米，表示四舍五入到十分位，实际身高范围应为大于等于 米（当百分位为 5时进位）且小于米（当 时四舍五入为 米）； 说法⑥：多项式的次数是 7 次，错误，多项式的次数是指各项中变量的指数和的最大值：项的次数为（π 是常数，不计入次数）； 项 的次数为； 项 5 的次数为， 最高次数为5，不是 7； 综上，正确的说法有③和⑤，共2 个； 故选：A； 【作业4】．（19-20八年级下·云南红河·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按上述规律，第个等式（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查了整式的规律、算术平方根等知识点，从已有式子中发现规律是解题的关键． 直接根据已有式子和算术平方根归纳规律即可． 【详解】解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：， …… 第n个等式：． 故选：D． 【作业5】．（24-25八年级上·四川成都·期中）比较大小：_____（填“”、“”或“”）． 【答案】 【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟悉掌握二次根式的估算是解题的关键． 由于两个分数的分母相同，只需比较分子的大小关系即可． 【详解】解：比较分子和 ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【作业6】．（25-26七年级下·北京·期中）对于实数x，用表示不超过x的最大整数，如，，，． （1）________； （2）若，则满足条件的实数t的值是________． 【答案】 1 /0.75 【知识点】无理数整数部分的有关计算、一元一次不等式组的其他应用 【分析】首先估算出的取值范围，根据新定义即可求解；根据的定义列出不等式组，结合为整数的性质即可求出的值． 【详解】解: （1）， ， 不超过的最大整数为，即； （2）根据的定义，可得对于任意实数，满足 ， 将，代入，得 解得不等式组的解集为 ． 是整数， 是整数． 设，其中为整数，则， 代入不等式，得 ， 解得 ． 为整数， ， ． 【作业7】．（25-26七年级下·浙江台州·期末）已知，满足，，则_________． 【答案】2 【知识点】利用平方根解方程、提公因式法分解因式 【分析】根据题意可得，，则可得到，据此得到，，求出y的值，进而求出x的值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【作业8】．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）若为正整数，且满足，则的值为______． 【答案】3 【知识点】估计算术平方根的取值范围、无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算；通过计算的平方值，并与相邻整数的平方比较，确定其整数范围． 通过估算的值，确定其介于两个连续整数之间，从而得到的值 【详解】解：∵，， ∴． ∴，， ∴． ∴， 即． ∵且， ∴， ∴． 故答案为：3． 【作业9】．（25-26八年级上·上海·期中）若，，则___________． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题主要考查了算术平方根的概念，解题的关键是理解算术平方根每向左（或右）移动一位，则被开方数向相同的方向移动两位，反之，被开方数每移动两位，则算术平方根向相同的方向移动一位． 利用算术平方根的概念进行求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 【作业10】．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）如图，在数轴上，我们可以用画半圆的方式，依次得到一些新的点．从原点开始，作一个边长为1的正方形，连接正方形对角两个顶点得到的线段的长度为，以数轴原点为圆心，长度为半径画半圆，交数轴右边于点，如此就能把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为_________． 【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离、与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了实数与数轴、估算无理数的大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，再计算、、……，得出规律即可解决． 【详解】解：由题意得，点表示的数为， ∵， ∴， ∴表示的数为2， ∴， 则表示的数为， ∵， ∴， ∴， ∴表示的数为3， ∴， 同理可得； ； ； ； ， 以此类推可得，当为奇数时， 当为偶数时； ∴； 故答案为：． 【作业11】．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）（1）【问题探究】，______，，______； （2）【问题拓展】探究的近似值，如下表． 小明通过上表探究得______（精确到）；所以的整数部分是4，可是的小数部分是无限不循环的，聪明的小明将的小数部分写成______． （3）【问题应用】已知，其中为正整数，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数的大小估算 【分析】本题考查了算术平方根的性质、无理数的估算及代数式求值，解题关键是利用算术平方根的小数点移动规律、夹逼法估算无理数范围，进而解决相关问题． （1）根据算术平方根的小数点移动规律，被开方数的小数点每移动两位，算术平方根的小数点相应移动一位，据此计算即可． （2）通过表格中给出的平方数范围，利用夹逼法确定精确到的近似值；再根据整数部分与小数部分的关系，写出的小数部分． （3）先估算的范围，从而确定的整数部分和小数部分，再将代入代数式进行计算． 【详解】解：(1) ，， ， ，， ． 故答案为． (2) 由表格可知， ，， ， 整数部分是， 小数部分为． 故答案为． (3) ，， ， ， 即 ， ，为正整数，， ，， ． 【作业12】．（25-26八年级上·福建三明·阶段检测）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，你能确定是几位数吗？ (2)由59319的个位上的数是9，你能确定的个位上的数是几吗？ (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此你能确定的十位上的数是几吗？ (4)已知17576，103823都是整数的立方，按照上述方法，你能确定它们的立方根吗？ 【答案】(1)两位数 (2)9 (3)3 (4)26；47 【知识点】立方根概念理解、求一个数的立方根、立方根的实际应用、与立方根有关的规律探索 【分析】本题主要考查了立方根以及数的立方，正确理解题意是解题的关键． （1）根据59319大于1000而小于1000000，即可确定59319的立方根是两位数； （2）根据一个数的立方的个位上的数就是这个数的个位上的数的立方的个位上的数，据此即可确定； （3）根据数的立方的计算方法即可确定； （4）根据（1）（2）（3）即可得到答案． 【详解】（1）解：因为， 所以，所以是两位数； （2）解：只有个位数是9的立方数的个位数依然是9，所以的个位数是9； （3）解：因为，所以，即， 所以的十位上的数是3． （4）解：通过同样的方法可得，17576的立方根是两位数，17576的立方根的个位数字是6，十位数字是2，故17576的立方根是26；同理可得，103823的立方根是47． 【作业13】．（2025八年级上·全国·专题练习）在一根长条纸带上画有一根数轴，现对折纸带，回答问题： (1)若对应的点与2对应的点重合，则对应的点与数与______对应的点重合． (2)若对应的点与3对应的点重合，则7对应的点与哪个数对应的点重合？对应的点哪个数对应的点重合？ 【答案】(1) (2)11， 【知识点】实数与数轴 【分析】借助数轴和对称求解实数. 【详解】（1）解：因为对应的点与2对应的点重合，和2互为相反数， 所以这两点关于原点对称， 所以对应的点与数对应的点重合． 故答案为： （2）解：因为对应的点与3对应的点重合，所以这两点关于1对称， 因此1对应的点到7的距离和到所求的数对应的点距离相等. 所以7对应的点与对应的点重合. 同理可得：对应的点与对应的点重合. 故答案为： 【点睛】本题考查了实数的相关知识，解决问题的关键是熟练掌握利用数轴以及对称求解实数． 【作业14】．（25-26七年级下·全国·周测）王老师给同学们布置了这样一道练习题：一个正数的算术平方根为，它的平方根为，求这个正数． 小达的解法如下：依题意可知，，解得，则，这个正数为4．小达的解法正确吗？请说明理由． 【答案】 小达的解法不正确．理由如下： 依题意可知，为，两数中的一个． 当时， 解得，则，这个正数为； 当时， 解得，则，这个正数为． 综上所述，这个正数为或． 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】是两数中的一个，应该分两种情况分别计算． 【详解】略 【点睛】本题考查了算术平方根，平方根，算术平方根是平方根中的正数，但是不确定哪个是正数，需要分类讨论，解题的关键是分类讨论． 【作业15】．（25-26八年级上·山西运城·期末）【阅读理解】在没有计算器的古代，数学家们如何计算开平方呢？我们来学习利用完全平方公式：近似计算算术平方根的方法． 例如：求的近似值（结果精确到）． 解：因为，所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中， ②，其中； 小明以①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以，即 因为比较小，所以将忽略不计，所以，即 得，故，即 (1)【尝试探究】请用②的形式求的近似值． (2)【比较分析】你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高？请说明理由． (3)利用材料中的方法，求的近似值时，可设_________．（用含有a的代数式表示，其中） 【答案】(1)9.22 (2) 解：②的形式精确度更高 理由： ∵更接近 ∴②的形式精确度更高 （答案不唯一）比如： ∵85更接近81 ∴②的形式精确度更高 (3)或． 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数的大小估算 【分析】本题考查完全平方公式的应用及无理数近似值的估算． （1）先通过夹逼法确定的整数范围：，因此设（），和题干的对应；利用完全平方公式展开，忽略极小的二次项（因为，远小于一次项，对结果影响可忽略），把二次方程降为一次方程求解；最后计算近似值，结果精确到0.01． （2）这一问是误差分析，本质是比较两种近似方法的误差大小：两种方法的误差都来自“忽略的二次项”：形式①忽略，形式②忽略；误差的大小由和的大小决定：、越小，、就越小，忽略带来的误差就越小，精确度越高；计算两种形式的、，对比大小即可得出结论。 （3）先找相邻的两个完全平方数，确定的整数范围；结合的要求，选择“整数”或“整数”的形式；注意：更接近，因此优先设（也可设）． 【详解】（1）解：因为，所以 即 因为比较小，所以将忽略不计， 所以，即 得， 故 （2）略 （3）解：因为，，且， 所以， 又，因此可设或（二者均可以） 【点睛】这道题完整呈现了古代开平方近似算法的核心逻辑： 夹逼定界：先确定无理数的整数范围，把开平方转化为“整数±小量”的形式； 平方降次：利用完全平方公式展开，忽略极小的二次项，把二次方程转化为一次方程求解； 误差分析：通过比较忽略的小量大小，判断近似值的精确度； 方法迁移：将方法推广到任意无理数的近似计算． 易错点： （1）中展开完全平方公式时符号错误，或忽略的合理性； （2）中混淆误差来源，错误认为、越大精确度越高； （3）中设式错误，未满足的要求，或选错整数基准． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $