第1章 一元二次方程 全章综合训练 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训练 第1章 一元二次方程 全章综合训练 ▌课时目标 1. 能综合辨析一元二次方程概念、一般形式与各项系数，按方程结构灵活选择直接开平、配方、公式、因式分解法求解，并规范完成含参讨论。 2. 会用判别式判断实数根情况，用根与系数关系求对称代数式、已知一根求另一根及构造新方程；含参时先保证一元二次再结合Δ、a≠0检验。 3. 能综合解决面积、增长率、销售、动态几何等问题，并处理新定义、规律探索类题型。 ▌课时目录 知识点01：一元二次方程概念与形式的综合辨析 知识点02：一元二次方程四种解法的综合选择与灵活运用 知识点03：根的判别式与根的情况的综合应用 知识点04：韦达定理与代数式求值的综合应用 知识点05：一元二次方程在实际问题中的综合应用 知识点06：含参数一元二次方程的解法与讨论 知识点07：一元二次方程规律探索与新定义问题 ▌知识点01：一元二次方程概念与形式的综合辨析 综合辨析需关注三个层面： 1. 定义三要素：整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为2，三者缺一不可。 2. 一般形式中，必须强调这一隐含条件，当题目说“关于x的方程”时，需分类讨论a＝0（退化为一次方程）和两种情况。 3. 各项系数的符号：系数包括符号，如方程中，a＝2，b＝－3，c＝－1，而非b＝3、c＝1。 典型辨析题：已知是关于x的一元二次方程，求m的值。 解：由且，得且故。 1．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A、化简得，整理为，不是一元二次方程； B、分母含未知数，是分式方程，不是一元二次方程； C、是一元二次方程； D、含两个未知数，不是一元二次方程． 2．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（    ） A．2， B．2，1 C．2，或，1 D．2，0 【答案】C 【分析】先将一元二次方程化为一般形式，再根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数的定义，求解即可． 【详解】解：∵， 整理得，， 此时二次项系数为，一次项系数为； ∵， 整理得，， 此时二次项系数为，一次项系数为， ∴一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为，或，． 3．（26-27九年级上·四川成都·开学考试）一元二次方程的一个解为，则的值为_____． 【答案】 【分析】把代入原一元二次方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个解， ∴将代入方程， 得， 整理得， 解得． 4．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）若关于的一元二次方程有一个根为2026，则一元二次方程必有一个根为________． 【答案】 【分析】观察两个方程的结构，利用换元法将待求方程转化为与已知方程形式相同的方程，结合已知根求解． 【详解】解：将方程变形为， 设，则原方程可化为， ∵关于的一元二次方程有一个根为， ∴有一个根为， 即，解得， 因此一元二次方程必有一个根为． ▌知识点02：一元二次方程四种解法的综合选择与灵活运用 四种解法的优先级与适用场景： 1. 直接开平方法：适用于型，速度最快，如(2x－1)2＝9。 2. 因式分解法：适用于能通过提公因式、公式法、十字相乘法分解为 型的方程，如x2－5x＋6＝0、(x－1)(x＋2)＝x－1（需先移项再分解）。 3. 公式法：适用于所有一元二次方程，是通法，当其他方法不易求解时使用，如2x2－4x－1＝0。 4. 配方法：一般不作为首选解法，但在推导求根公式、求代数式最值时有特殊优势。综合选择原则：先观察方程结构，优先尝试直接开平方或因式分解，若不易分解再用公式法；含参方程通常用公式法。 典型题：解方程3(x－2)2＝12（直接开平方最简）；解方程x2－4x＝5（移项后因式分解或配方法）；解方程2x2－5x＋1＝0（公式法）。 5．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）解一元二次方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）原方程移项得， 配方得， 开方得， 解得，． （2）原方程移项得， 因式分解得， 即或， 解得，． 6．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）确定方程各项系数，计算判别式，代入一元二次方程求根公式求解； （2）移项后提取公因式分解因式，转化为两个一元一次方程求解． 【详解】（1）解：， ∵，，， ∴， ， 解得，； （2）解：， 移项，得， 分解因式，得， 可得或， 解得，． 7．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用配方法进行计算即可； （2）利用公式法进行计算即可． 【详解】（1）解：原方程变形为， 即， ．     ． ，； （2）解：原方程变形为， ，，． ， ，     ，． 8．（26-27九年级上·北京·开学考试）解一元二次方程： (1) (2) (3) 【答案】(1) ， (2) ， (3) ， 【详解】（1）解：， ， ， 即 ， ， 解得，； （2）解：， ， ， 或， 解得，； （3）解：， ， ， 或， 解得，. ▌知识点03：根的判别式与根的情况的综合应用 判别式的综合应用包括三个层次： 1. 不解方程判断根的情况：计算Δ的符号即可。 2. 已知根的情况求参数的取值范围：由Δ>0（两不等实根）、Δ＝0（两相等实根）、Δ<0（无实根）列出关于参数的不等式（或等式），注意同时考虑二次项系数不为0。 3. 证明方程总有实数根：证明Δ≥0恒成立。 典型综合题：已知关于x的方程有两个实数根，求k的取值范围。 解：由题意得且，解得 且。 注意：当题目说“有两个实数根”，包含相等情况（Δ≥0）；若说“有两个不等实数根”，则Δ＞0。 9．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程无实数根的条件，计算各选项的根的判别式判断． 【详解】解：A选项，方程中，，有实数根； B选项，方程中，，有实数根； C选项，将方程整理为，，有实数根； D选项，方程中，，没有实数根． 10．（26-27九年级上·四川成都·开学考试）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据一元二次方程二次项系数不为0和根的判别式与根的情况的关系，即可求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且． 11．（26-27九年级上·四川成都·开学考试）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根． 【答案】(1)证明：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴ ， ∵不论为何值，，即， ∴不论为何值，该方程总有两个实数根； (2)，方程的另一个根为． 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）先把代入原方程求解m，代入原方程，求解另一个根即可． 【详解】（1）略 （2）解：把代入，得： ， 解得：． 则方程为， 方程变为：， 或， 解得：，， ∴方程的另外一个根为2． 12．（26-27九年级上·天津河西·开学考试）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)当时，用适当的方法解方程． 【答案】(1)且． (2)，． 【分析】（1）由一元二次方程二次项系数不为0及根的判别式大于0列不等式求解； （2）代入，用配方法解一元二次方程． 【详解】（1）解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∵ ， ∴ ， 解得， 综上所述，的取值范围是且； （2）当时，原方程为， ∴ ， ， ， ， ∴ ，． ▌知识点04：韦达定理与代数式求值的综合应用 韦达定理的综合应用包括： 1. 直接求两根之和与积； 2. 求对称代数式的值（如、、等），需熟练掌握常见变形公式； 3. 已知一根求另一根及参数； 4. 构造以两数和为S、积为P的新方程。 综合题中常将韦达定理与根的判别式结合：先由判别式确定参数范围，再用韦达定理求代数式的值。 典型题：已知方程的两根为一个直角三角形的两直角边，且斜边长为，求k的值。 解：设两根为，由韦达定理得，，由勾股定理得，即，解得或；当时，，无实根，舍去，故。 13．（26-27九年级上·四川·开学考试）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则______． 【答案】 15 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式降次，再结合根与系数的关系代入计算即可． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ，可得， 根据根与系数的关系可得， 展开所求代数式：， 将代入得：， 将代入得：． 14．（26-27九年级上·四川成都·开学考试）设是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再展开所求式子后整体代入计算. 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴根据根与系数的关系可得，， ∴. 15．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）“若一元二次方程的两个实数根分别为、，则，．”此定理是由法国数学家弗朗索瓦·韦达在16世纪提出的，因此得名“韦达定理”．若、是一元二次方程的两个实数根，求证：． 【答案】证明：∵ 整理得，， 由“韦达定理”可得：，， ∵， ∴． 【分析】首先由“韦达定理”得，，然后将展开后代入证明即可． 【详解】略 16．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用构造不等式，并求解即可； （2）设方程的两根为、，且，由根与系数的关系可得，解得，，代入求出的值即可． 【详解】（1）解：∵有两个不相等的实数根， ∴， 化简，得， 解得； （2）解：设方程的两根为、，且， ， 由根与系数的关系可得，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴，即，符合． ▌知识点05：一元二次方程在实际问题中的综合应用 综合应用题常融合多种问题类型，需在审题时准确识别等量关系： 1. 增长率问题：，注意n为增长次数； 2. 利润问题：总利润＝单件利润×销售量，销售量常为售价的函数； 3. 面积问题：注意平移变换和不规则图形的分割，靠墙问题需检验墙长限制； 4. 动态几何问题：抓住不变量（如某边长度不变）或等量关系（如面积不变、线段相等），设时间为t或线段长为x列方程； 5. 方案设计问题：需检验每种方案的几何约束或经济约束。 典型综合题：某商店购进一批单价为20元的日用品，若按单价30元销售，每月可卖出400件；若单价每提高1元，销量就减少20件。 （1）若要实现月利润4320元，应如何定价？ （2）若要使月利润不低于4320元，定价范围是多少？ （3）若考虑到库存压力，销量不得低于240件，定价范围又是多少？ 解：（1）设提价x元，则(30＋x－20)(400－20x)＝4320，解得x＝2或x＝8，定价为32元或38元； （2）由(30＋x－20)(400－20x)≥4320得2≤x≤8，即定价32~38元； （3）由400－20x≥240得x≤8，综合得2≤x≤8，定价仍为32~38元。 17．（25-26八年级下·江苏南京·期末）某青年旅社有间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高元，就会有间客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出元/天的维护费用．若该青年旅社希望每天纯收入为元，且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入总收入维护费用） 【答案】每间客房的定价应为300元 【分析】设每间客房的定价提高了x元，根据每天纯收入为元，且能吸引更多的游客，列方程即可解决． 【详解】解：设每间客房的定价提高了x元，由题意得： ， 解得：， 当时，有游客居住的客房数量是：（间）； 当时，有游客居住的客房数量是：（间）； 所以当时，能吸引更多的游客，则每间客房的定价为（元）． 答：每间客房的定价应为300元． 18．（26-27九年级上·江苏南京·开学考试）如图，某建筑工程队在一堵墙边上用23米长的铁栏围成一个面积为84平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是13米，铁栅栏只围三边，且在边上要造一个1米宽的门，在边上要造一个2米宽的运输通道．求所围成长方形的两条邻边的长． 【答案】垂直于墙的一边长为米，平行于墙的一边长为米． 【分析】设垂直于墙的一边长为米，平行于墙的一边长为米，则，再结合长方形仓库的面积列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边长为米，平行于墙的一边长为米， 边需要铁栏米，边需要铁栏米，边需要铁栏米， 铁栏总长为米， ， ， 长方形仓库面积为84平方米， ，即， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 即垂直于墙的一边长为米，平行于墙的一边长为米． 19．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）火爆开赛的“苏超”联赛，使扬州赛区吉祥物“包赢”文创周边深受球迷喜爱．这款融合扬州包子、足球与运河元素的萌趣摆件，每件进价30元．市场调研发现：售价定为40元时，每月可卖出100件；售价每上涨2元，每月就少卖出10件． (1)若店家某月想要总利润达到1120元，每件摆件应定价多少元？ (2)店家计划单月获利1300元，该计划能否实现？请通过计算说明理由． 【答案】(1)每件摆件应定价44元或46元 (2)该计划不能实现 【分析】（1）设每件摆件应定价为x元，根据总利润达到1120元，列出方程，解方程即可； （2）设每件摆件应定价为y元，根据单月获利1300元，列出方程，判断方程解的情况，即可得出答案． 【详解】（1）解：设每件摆件应定价为x元，根据题意得： ， 解得：，， 答：每件摆件应定价44元或46元； （2）解：设每件摆件应定价为y元，根据题意得： ， 整理得：， ∵， ∴此方程无解， ∴该计划不能实现． 20．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，在矩形中，，，点M从点A出发沿以的速度向点D移动，一直到达点D为止；同时，点N从点C出发沿以的速度向点B移动．经过多长时间，M、N两点之间的距离是？ 【答案】秒或秒 【分析】本题考查了动点问题，矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，解题关键在于正确表示线段长度，构造直角三角形，建立方程，易错点在于忽略解的合理性；设运动时间为秒，用表示线段，，，，构造图形与关系，应用勾股定理建立方程，解出方程并检验是否符合题意，即检验值有没有使得，点的运动超出矩形范围，超出需舍去． 【详解】解：设经过t秒时，M、N两点之间的距离是13cm， 则，， 如图，过点N作于点E，则四边形ABNE是矩形， ∴，， ∴． 根据题意得：， 即， 解得， （秒），， 经检验，两个值都符合题意． 答：经过秒或秒，M、N两点之间的距离是． ▌知识点06：含参数一元二次方程的解法与讨论 含参方程需从三个维度讨论： 1. 参数在二次项位置时：需讨论a＝0（退化为一次方程）和（一元二次方程）两种情况，分别求解。 2. 参数在常数项或一次项位置时：通常用公式法或因式分解法求解，注意根据判别式讨论根的情况。 3. 解含参方程后需检验解的合理性：如解为分式形式时，需确保分母不为0。 典型题：解关于x的方程（a为常数）。 解：当a＝0时，方程化为−x＋1＝0，解得x＝1；当时，用因式分解法得(ax−1)(x−1)＝0，解得。综上：当a＝0时，解为x＝1；当时，解为。 21．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可能是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式，先计算判别式得到的取值范围，再结合选项即可得出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式 其中，，，代入得： ， 解不等式得 对比选项，只有A选项满足条件． 22．（2026·江苏常州·二模）已知关于的方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据方程有实数根可得判别式大于等于0，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解： 关于的方程是一元二次方程，且有实数根， ， 整理得 ， 解得 ． 23．（2026·江苏苏州·三模）如图，在沙漠中有一条东西向的公路，一个人在公路上点的位置，要走到沙漠中的目的地，已知地到公路的距离，，且人在公路上走的速度为，在沙漠里走的速度为，则此人从走到的最短时间是______h． 【答案】 【分析】假设从上点处开始从公路进入沙漠，连接，设，此人从走到的时间，则，整理得， 两边平方整理得，再根据求出即可求解． 【详解】解：假设从上点处开始从公路进入沙漠，连接，设，此人从走到的时间， ∴走公路的路程为，走沙漠的路程为， ∵人在公路上走的速度为，在沙漠里走的速度为， ∴， 整理得， 两边平方得， 整理得， ∵关于的方程有解， ∴， 整理得， ∴， 即 ∵， ∴， ∴， 解得， ∴最小， 此时代入方程得，整理得，解得，符合题意， ∴此人从走到的最短时间是． 24．（26-27九年级上·江苏南京·开学考试）设是方程的两个根，是方程的两个根，则代数式的值为___________． 【答案】 【分析】利用根与系数的关系得到两根和与两根积，结合方程解的定义得到，满足的关系式，将所求代数式展开后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根，，是方程的两个根， ∴，，，，且，， ∴ ． ▌知识点07：一元二次方程规律探索与新定义问题 此类题目考查学生阅读理解能力和迁移应用能力： 1. 规律探索题：通过观察数列或图形的变化规律，归纳出一元二次方程的系数规律或根的规律。 例如：观察方程的根为；的根为；的根为，猜想第n个方程为，根为。 2. 新定义问题：题目给出一种新的运算或概念（如“友好方程”“倍根方程”等），要求学生理解定义并据此列方程求解。 例如：定义“倍根方程”为“一个根是另一个根的2倍的方程”，若是倍根方程，且一个根为1，求b、c的值。 解：另一根为2或，当另一根为2时，由韦达定理得1＋2＝−b，1×2＝c，得b＝−3，c＝2； 当另一根为时，1＋＝−b，1×＝c，得b＝，c＝。 25．（2026·江苏泰州·三模）定义：若，满足，且（为常数），则称点为“和谐点”． (1)若是“和谐点”，则___________． (2)若双曲线存在“和谐点”，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“和谐点”的定义，把点代入，转换为关于m的一元二次方程，运用因式分解法求解即可； （2）设双曲线上的“和谐点”为根据“和谐点”的定义得到，整理得到，把代入得到，，再结合一元二次方程有根的计算得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：是“和谐点”， ∴，， ∴， 整理得，，即， 解得，， ∵“和谐点”中，， ∴； （2）解：已知若，满足，且（为常数），则称点为“和谐点”， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵双曲线存在“和谐点”，设这个点的坐标为， ∴， ∴， 整理得，， ∴， 当时，，当时，， ∵双曲线存在“和谐点”， ∴， 解得，， ∴． 26．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）我们给出定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． (1)关于x的方程的衍生点，则________， ________． (2)若关于x的一元二次方程的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值． (3)是否存在b，c，使得不论n为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上，若有请求出b，c的值，若没有说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】(1) 由衍生点的定义可知，方程的两根为和，利用根与系数的关系建立关于、的方程即可求解． (2) 先因式分解求出方程的两根为和，根据分类讨论确定衍生点的坐标，再利用垂线与坐标轴围成正方形意味着横、纵坐标的绝对值相等，建立关于的方程求解． (3) 设衍生点，将其代入直线解析式，整理为关于的恒等式，利用对任意恒成立的充要条件确定、的值，再用根与系数的关系求、． 【详解】（1）解：由衍生点的定义可知，方程的两根为，， 由根与系数的关系得：， ． （2）解：方程可因式分解为， 方程的两根为和． 当，即时，，， ， 过点向轴、轴作垂线，与坐标轴围成正方形， ， ， ， 解得：， 当，即时，，， ， 围成正方形， ， 或 ， ， （舍去）或， ， 综上所述， 或 ． （3）解：假设存在满足条件的、， 设方程的两根为，则衍生点， 点在直线上， ， 整理得：， 上式对任意恒成立， 且， 解得：，， 方程的两根为和， 由根与系数的关系得：，， 存在，满足题意． 27．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）某数学兴趣小组将如下一些关于a的多项式因式分解后，发现各因式的常数项是两个连续的整数，且与多项式的系数之间存在着某种联系： … 我们定义具有这种规律的多项式为“关于a的连续式”．观察上述规律，思考以下问题： (1)根据题目中给出的规律，______（填“是”或“不是”）“关于a的连续式”； (2)若一个“关于a的连续式”可表示为（p，q为整数），其因式分解形式为（n为整数），请用含n的代数式分别表示p和q； (3)已知k为整数，多项式能否成为“关于a的连续式”？若能，请求出k的值，并将该式写成因式分解的形式；若不能，请说明理由． 【答案】(1)是 (2)，； (3)能；， 【分析】（1）参照题干判断即可； （2）将展开，与对应即可解答； （3）设，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：， 是“关于a的连续式”； （2）解：， 一个“关于a的连续式”可表示为的因式分解形式为， ，； （3）解：能，理由如下： 设， 同（2）可得， 解得， ． 28．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，小明设计如下的正方形图案，外一层是空心圆，内部全是实心圆，归纳图案中的规律，完成下列任务． (1)图案中实心圆有______个，空心圆有______个； (2)此类图案中是否存在实心圆比空心圆多8个，请你作出判断并说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，第6个图案中实心圆比空心圆多8个． 【分析】此题考查了图形类规律探究，一元二次方程的应用，正确理解图形的变化规律得到计算规律，以及掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）分别计算各图案中空心圆和实心圆的数量，得到规律：图案中实心圆有个，空心圆有个； （2）根据（1）所得规律，依题意列方程解答即可． 【详解】（1）解：图案1空心圆有个，实心圆有1个， 图案2空心圆有个，实心圆有个， 图案3空心圆有个，实心圆有个， …… ∴图案中实心圆有个，空心圆有个， 故答案为： ， （2）存在，理由如下： 设图案中实心圆比空心圆多8个，根据题意，得： ， 整理，得， 解得（舍去）或， 故第6个图案中实心圆比空心圆多8个． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·江苏南通·期末）用配方法解方程 ，变形后的结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再配方，将方程左边化为完全平方式，即可得到变形结果． 【详解】解：∵， ∴移项得：， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得： ， 整理得：． 2．（25-26八年级下·江苏南通·期末）一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（    ） A．2、 B．2、3 C．1、 D．、3 【答案】D 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中为一次项系数，为常数项，对应题目方程即可得到结果． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数、常数项分别是、． 3．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）若是关于的方程的一个实根，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用方程根的定义，把已知等式变形，采用整体代入法即可求代数式的值． 【详解】解：是方程的一个实根， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）下列方程中，属于一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，要求二次项系数不为0， ∵选项A中未说明，当时不是一元二次方程，∴A错误； ∵选项B中方程是分式方程，不是整式方程，∴B错误； ∵选项C中方程含有和两个未知数，不是一元方程，∴C错误； ∵选项D中方程，是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，且二次项系数为，∴D符合一元二次方程的定义． 5．（2026·山东东营·二模）春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x支支干，则根据题意可以列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设主干长出支支干，分别计算主干、支干、小分支的数量，根据三者总数为21列方程即可． 【详解】解：∵主干只有1根，设主干长出支支干， ∴支干的总数量为， ∵每根支干又分出支小分支， ∴小分支的总数量为， ∵主干、支干和小分支总数是21， ∴可列方程为． 6．（2026·河北廊坊·二模）关于的一元二次方程的解的情况，下列说法错误的是（     ） A．方程必定有两个不相等的实数根 B．若方程有解，则两个解必定异号 C．若，则两根之和为 D．若方程有解，则两个解的和为负数 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与根与系数的关系，先确定方程系数，计算判别式判断根的情况，再根据两根之积、两根之和逐一判断选项即可． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， A：计算判别式判断根的个数： ， ∵， ∴恒成立， ∴方程总有两个不相等的实数根，A选项说法正确； B：判断两根符号： 两根之积为， ∴两根必定异号，B选项说法正确； C： 两根之和为，当时，两根之和为，C选项说法正确； D： 两根之和为，当时，，此时两根之和为正数， 因此“若方程有解，则两个解的和为负数”不成立，D选项说法错误． 7．（2026·四川南充·三模）关于的方程有两个不相等的实数根，，若，则实数（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】先利用一元二次方程根的判别式确定的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系结合已知条件列方程求，最后舍去不符合范围的解即可． 【详解】对于方程 ，其中 ，，， ∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 代入计算得 ， 解得 ， 根据根与系数的关系可得 ，， ∵ ， ∴ 代入得 ， 整理得 ，即 ， 解得 或 ， ∵ ， ∴． 8．（25-26九年级上·福建泉州·期末）若关于的方程（）有一个实数根为，则方程（）必有实数根为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，关键是利用方程根的定义进行转化；可先将已知方程的根代入原方程，再通过代数变形推导，找到满足第二个方程的根. 【详解】解：∵ 关于的方程有一个实数根为， ∴ 将代入方程得： ， 整理得：， 将上式两边同时除以，得： ， 变形为：， 对比方程，可知当时，方程成立， ∴ 方程必有实数根为． 故答案选：B． 二、填空题 9．（25-26九年级下·吉林·期中）若是关于的一元二次方程（）的解，则代数式的值是_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入原方程，求出的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程（）的解， ， 整理得 ， ． 10．（2026·江苏扬州·模拟预测）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程的解的定义得到与的关系式，整理得出的值，再利用整体代入的方法计算代数式的值． 【详解】解：把代入方程得， 整理得， 等式两边同时除以得， 可得， 所以． 11．（2026·江苏南京·二模）设，是一元二次方程的两个根，若，，则______，______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和、两根之积与方程系数,的关系，代入已知条件求解即可． 【详解】解：对于一元二次方程，由根与系数的关系可得，， ，， ，解得；． 12．（2026·江苏徐州·二模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程有实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范围. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 整理得， 解得：， 故答案为：. 13．（2026·山西临汾·三模）某奶茶店销售一款招牌奶茶，每杯成本为5元．当售价为15元/杯时，平均每天能售出300杯．市场调查发现，售价每降价1元，平均每天就能多售出50杯．店主希望扩大销量，提高知名度，且使每天的销售利润仍保持在3000元，则每杯奶茶应降价____________元． 【答案】 【分析】设出每杯奶茶的降价金额，结合已知条件表示出每杯利润和每日销售量，根据总利润每杯利润销售量列方程求解，再根据扩大销量的要求选择符合题意的解即可. 【详解】解：设每杯奶茶应降价元， 由题意得：， 解得，； ∵店主希望扩大销量，降价越多销量越高， ∴舍去，取， 答：每杯奶茶应降价元. 14．（2026·江苏扬州·二模）若是一元二次方程的一个根，则方程的另一根为____________． 【答案】 【分析】设方程的另一个根为，利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：设方程的另一个根为， 由于是一元二次方程的根， 则根据根与系数的关系得： 解得：， 即方程的另一个根为． 15．（2026·江苏泰州·一模）设关于x的方程的两根分别是、，则代数式的值为______． 【答案】2027 【分析】根据一元二次方程的根的定义可得，进而可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得，再将原式变形为，整体代入即可求解． 【详解】解：方程的两根分别为， ，， ， ． 16．（2026·江苏无锡·中考真题）在四边形中，，，，，，点在四边形内．如图1，，将该四边形分成两部分，面积分别记作，，则______（填“存在”或“不存在”）点，使得；如图2，将点向右平移个单位长度，得到点（点仍在该四边形内）．，，将该四边形分成两部分，面积分别记作，．若存在点，，使得，则的取值范围是____． 【答案】 存在 【分析】连接，过点作，分别交，于点，，求梯形的面积，可得三角形的面积，进而确定点的轨迹并算出点到的距离；通过分析临界情况利用梯形面积公式根据题意列方程，求解即可得出的取值范围． 【详解】解：如图，在图1中连接，过点作，分别交，于点，， ∵在四边形中，，， ∴四边形是直角梯形， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 当时， ， 在中， ， ∴点到的距离为， ∴存在点，使得， 此时点的轨迹为线段（不包括端点），且与间的距离为； 如图，在图2中考虑临界情况，当点在上的点处，点在上的点处时，设， 若，则， 解得， ∴， 解得，（舍去）， ∴． 三、解答题 17．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）用合适的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： 解得：，． （2）解： ∵，，， ∴， ∴， ∴，． （3）解： 直接开平方得，， ∴或， 解得：，． （4）解： 整理得，， ∴， 解得：，． 18．（25-26八年级下·北京顺义·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设，是原方程的两个实数根．若k为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，可得，进一步求解即可； （2）根据，结合k为正整数，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得，， ∴的取值范围为； （2）解：∵，是原方程的两个实数根，， ∵k为正整数， ∴， ∴方程为， ∴． 19．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）现有如图所示A、B、C三类纸片各若干张，A、B类纸片是边长分别为，的正方形，C类纸片是长、宽分别为，的矩形纸片． (1)若取A、B类纸片各1张，C类纸片2张可拼成一个面积为64的大正方形，求的值； (2)若取3张A类纸片，2张B类纸片，5张C类纸片可拼成一个大长方形， ①在下面的方框中画出拼图； ②若大长方形面积为65，求所拼大长方形的长． 【答案】(1) (2)①拼图如下： ② 【分析】（1）由面积相等列出方程，求解出的值即可； （2）①将3张A和2张C拼成一列，3张C和2张B拼成一列即可； ②由面积相等列出方程，求解出的值，再求出长方形的长即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，则， ∵， ∴，则； （2）①略 ②由题意可知：， 整理，得， 因式分解，得， 解得或， ∵， ∴， ∴大长方形的长为：． 20．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）综合与实践：探究奶茶甜度 【阅读材料】奶茶甜度是衡量饮品口感的重要指标，行业内统一规定甜度计算公式：奶茶甜度，甜度数值越大，代表奶茶口感越甜；制作奶茶时额外添加的糖均可完全溶解，不计沉淀损耗． 【问题背景】某连锁奶茶店统一规格饮品基础参数：一杯a克的奶茶含糖量b克，称甜度为标准糖，以此甜度作为基准甜度，根据顾客需求划分四种甜度档位： 标准糖：含糖量b克； 七分糖：含糖量0.7b克； 五分糖：含糖量0.5b克； 三分糖：含糖量0.3b克． 已知制作过程中，后添加的糖全部溶解在饮品内，会同步增加奶茶总质量，请结合甜度计算公式完成下列探究任务． (1)任务一： 一杯总质量为400克的奶茶含糖40克，则该奶茶的甜度为_； (2)任务二： 一天，小明到这家奶茶店点了一杯a克七分糖奶茶，则该奶茶的甜度_（用含a、b的代数式表示）；由于店员疏忽，做成了一杯a克五分糖奶茶，店员再往这杯奶茶中加入了0.2b克糖，则奶茶的甜度_（用含a、b的代数式表示）；请比较大小：_． (3)任务三： 为了保持奶茶店产品的品质，一杯a克五分糖奶茶需要再加入多少克的糖才能与七分糖奶茶的甜度一样？ (4)任务四：奶茶店推出“双杯拼配”玩法： 甲杯：a克三分糖奶茶（含糖0.3b克） 乙杯：a克标准糖奶茶（含糖b克） 操作1：从甲、乙两杯各倒出x克奶茶，互相交换倒入对方杯中，搅拌均匀； 操作2：再从操作1后的甲、乙两杯各倒出x克奶茶，互相交换倒入对方杯中，搅拌均匀．此时甲杯奶茶的甜度恰好等于五分糖奶茶的甜度，则x的值为_（用含a的代数式表示，且）． 【答案】(1) (2)；； (3)克（或） (4) 【分析】（1）根据甜度计算公式，用糖的质量除以奶茶总质量即可． （2）分别用含糖量比总质量表示两种情况下奶茶的甜度，再作差比较大小． （3）设需要再加入克糖，根据甜度相等列出分式方程求解，并检验． （4）依次计算操作1和操作2后甲杯的含糖量，根据甲杯甜度等于五分糖甜度列出方程求解． 【详解】（1）解： 奶茶甜度， 该奶茶的甜度． （2）解： 一杯克七分糖奶茶含糖， ， 一杯克五分糖奶茶含糖克，再加入克糖后，含糖克，总质量为克， ， ，， ， ， 即． （3）解：设一杯克五分糖奶茶需要再加入克糖才能与七分糖奶茶的甜度一样， 加入克糖后，糖的质量为克，奶茶总质量为克， ， 解得，， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：需要再加入克糖． （4）解：操作1后，甲杯含糖量为克， 甲杯甜度为， 操作1后，乙杯含糖量为克， 乙杯甜度为， 操作2后，甲杯含糖量为克， 操作2后，甲杯甜度为， 五分糖奶茶的甜度为， ， 整理，得， ， ， ，且， ． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训川练 第1章一元二次方程全章综合训练 课时目标 能综合辨析一元二次方程概念、一般形式与各项系数，按方程结构灵活选择直接开平 配方、公式、因式分解法求解，并规范完成含参讨论。 2. 会用判别式判断实数根情况，用根与系数关系求对称代数式、已知一根求另一根及构 造新方程；含参时先保证一元二次再结合△、≠0检验。 3 能综合解决面积、增长率、销售、动态几何等问题，并处理新定义、规律探索类题型， 课时目录 知识点01：一元二次方程概念与形式的综合辨析 知识点02：一元二次方程四种解法的综合选择与灵活运用 知识点03：根的判别式与根的情况的综合应用 知识点04：韦达定理与代数式求值的综合应用 知识点05：一元二次方程在实际问题中的综合应用 知识点06：含参数一元二次方程的解法与讨论 知识点07：一元二次方程规律探索与新定义问题 知识点01：一元二次方程概念与形式的综合辨析 1/15 综合辨析需关注三个层面： 定义三要素：整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为2，三者缺一不可。 一般形式a2+br+c=0中，必须强调a≠0这一隐含条件，当题目说“关于x的方程 ax2+bx+c=0”时，需分类讨论a=0(退化为一次方程)和a≠0两种情况。 各项系数的符号：系数包括符号，如方程2x-3x-1=0中，a=2,b=-3,c=-1,而非 b=3、c=1。 典型辨析腿：已知(m-2):-3-1=0是关于x的一元二次方程，求m的值。 解：由m2-3=2且m-2≠0，得m2=5且m≠2故m=±V5。 1.(26-27九年级上广西南宁·开学考试)下列方程是一元二次方程的是() A.（x-1)2=x2 B.x2+=2 C.2x2+3x+1=0 D.x+2y=21 2.(26-27九年级上广西南宁·开学考试)一元二次方程2x2-5=x的二次项系数和一次项系数分别是 () A.2,-5 B.2,1 C.2,-1或-2,1D.2,0 3.(26-27九年级上四川成都开学考试)一元二次方程x2-x+m=0的一个解为x=2,则m的值为 4.(26-27九年级上：浙江温州开学考试)若关于x的一元二次方程x2+bx+5=0有一个根为2026，则一 元二次方程(x+旷+b(x+)=-5必有一个根为 知识点02：一元二次方程四种解法的综合选择与灵活运里 四种解法的优先级与适用场景： 2/15 直接开平方法：适用于(x+m=n(n≥0)型，速度最快，如(2x-1y=9。 因式分解法：适用于能通过提公因式、公式法、十字相乘法分解为(r+b)(cx+d)=0型的 方程，如x2-5x十6=0、x一1)x十2)=x一1（需先移项再分解）。 公式法：适用于所有一元二次方程，是通法，当其他方法不易求解时使用，如2x2-4x一1 =0。 配方法：一般不作为首选解法，但在推导求根公式、求代数式最值时有特殊优势。综合选 择原则：先观察方程结构，优先尝试直接开平方或因式分解，若不易分解再用公式法：含 参方程通常用公式法。 典型题：解方程3x一2}=12（直接开平方最简）；解方程x2-4x=5(移项后因式分解或 配方法)：解方程2x2-5x十1=0（公式法）。 5.(26-27九年级上：陕西西安·开学考试)解一元二次方程： 0-2x-2=0 (②r-7x=-12 6.(26-27九年级上吉林长春·开学考试)解方程： 0r-4x-1=0 ②3x(x-5列=10-2x 7.(26-27九年级上：陕西西安开学考试)解方程： 0-4x-12=0 22r=3+5x 8.(26-27九年级上北京开学考试)解一元二次方程： 0-4x-1=0 (②=2x+3 6)x+4)}°=2x+4) 3/15 知识点03：根的判别式与根的情况的综合应里 判别式△=}-4ac的综合应用包括三个层次： 不解方程判断根的情况：计算△的符号即可。 已知根的情况求参数的取值范围：由△>0（两不等实根）、△=0（两相等实根）、△<0 (无实根)列出关于参数的不等式（或等式），注意同时考虑二次项系数不为0。 证明方程总有实数根：证明△≥0恒成立。 典型综合题：己知关于x的方程(k-)r-2c+k+2=0有两个实数根，求k的取值范围。 解：由慰意得k-1≠0且△=(-2k)-4-1k+2)=4-4k+-2)=8-4≥0，解得 k≤2且k≠1。 注意：当题目说“有两个实数根”，包含相等情况（△≥0）；若说“有两个不等实数 根”，则△>0。 9.(26-27九年级上·福建福州阶段检测)下列一元二次方程中，没有实数根的是() A.x2-x=0 B.x2+2x+1=0 c.(x-12-3=0 D.2x2+3=0 10.(26-27九年级上四川成都开学考试)关于x的一元二次方程mx2-2x-1=0有实数根，则m的取值 范围是() A.m≥-1 B.m>-1且m≠0 C.m≥-1且m≠0 D.m≤-1且m≠0 2-(m+2)x+2m=0 11.(26-27九年级上四川成都开学考试)已知关于的一元二次方程 (I)求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根： (2)若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根. x2-（2k+4)x+k-6=0 12.(26-27九年级上·天津河西·开学考试)已知关于x的一元二次方程 有两个不 相等的实数根。 (1)求k的取值范围： (2)当k=1时，用适当的方法解方程， 4/15 知识点04：韦达定理与代数式求值的综合应里 韦达定理的综合应用包括： 直接求两根之和与积： 1.1 十 求对称代数式的值（如+、。、K-等），需熟练掌握常见变形公式： 已知一根求另一根及参数； 构造以两数和为S、积为P的新方程x2-Sx+P=0。 综合题中常将韦达定理与根的判别式结合：先由判别式确定参数范围，再用韦达定理求代 数式的值。 2-(k+1)x+k2+1=0 典型题：已知方程 的两根为一个直角三角形的两直角边，且斜边长 为5，求k的值。 解：设两根为，由韦达定理得+写=k+1,西=2+1 1 4 ,由勾股定理得 +g-(阿可-5，里-后小-5.解得=2或6，当6时 =k+-42+1=-8<0 无实根，舍去，故k=2。 13.(26-27九年级上四川开学考试)若m,是一元二次方程x2-6x+1=0的两个实数根，则 2m+(n-2)}= 14.(2627九年级上四川成都开学考试)设，5是一元二次方程”-3x-4=0 的两个实数根，则 (x+2)(x2+2) 的值为. 15。(26-27九年级上·福建福州阶段检测)“若一元二次方程+x+C-0的两个实数根分别为、与， 5/15 则+=合，写名=。”此定理是由法因数学家弗朗素瓦韦达在16世纪提出的，因此得名“韦 达定理”.若、是一元二次方程x-x-2)=m 的两个实数根，求证： (x-1)(x2-1)≤0 16.(25-26八年级下·江苏苏州期末)已知关于x的一元二次方程x2-4x-m=0有两个不相等的实数根. (I)求m的取值范围： (2)若该方程的一个根是另一个根的3倍，求m的值， 知识点05：一元二次方程在实际问题中的综合应用 综合应用题常融合多种问题类型，需在审题时准确识别等量关系： 增长率问题：a(1+x”=b,注意n为增长次数： 利润问题：总利润=单件利润×销售量，销售量常为售价的函数： 面积问题：注意平移变换和不规则图形的分割，靠墙问题需检验墙长限制： 动态几何问题：抓住不变量（如某边长度不变）或等量关系（如面积不变、线段相等）， 设时间为t或线段长为x列方程； 方案设计问题：需检验每种方案的几何约束或经济约束。 典型综合题：某商店购进一批单价为20元的日用品，若按单价30元销售，每月可卖出400 件；若单价每提高1元，销量就减少20件。 (1)若要实现月利润4320元，应如何定价？ (2)若要使月利润不低于4320元，定价范围是多少？ (3)若考虑到库存压力，销量不得低于240件，定价范围又是多少？ 解：(1)设提价x元，则(30+x-20)(400-20x)=4320,解得x=2或x=8,定价为32元 或38元： （2)由(30+x-20)(400-20x)≥4320得2≤x≤8，即定价3238元： (3)由400-20x≥240得x≤8，综合得2≤x≤8，定价仍为32~38元。 17.(25-26八年级下江苏南京·期末)某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价 为每天200元时，所有客房都可以住满.客房定价每提高10元，就会有1间客房空闲，对有游客入住 的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/天的维护费用.若该青年旅社希望每天纯收入为14000元， 且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入一维护费用） 6/15 18.(26-27九年级上江苏南京·开学考试)如图，某建筑工程队在一堵墙边上用23米长的铁栏围成一个 面积为84平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是13米，铁栅栏只围三边，且在边AB上要造一 个1米宽的门，在边BC上要造一个2米宽的运输通道.求所围成长方形的两条邻边的长. A 19.(25-26八年级下·江苏扬州期末)火爆开赛的“苏超”联赛，使扬州赛区吉祥物“包赢”文创周边深 受球迷喜爱.这款融合扬州包子、足球与运河元素的萌趣摆件，每件进价30元.市场调研发现：售 价定为40元时，每月可卖出100件；售价每上涨2元，每月就少卖出10件. (1)若店家某月想要总利润达到1120元，每件摆件应定价多少元？ (2)店家计划单月获利1300元，该计划能否实现？请通过计算说明理由 20.(25-26九年级上江苏镇江期中)如图，在矩形ABCD中，AB=5cm,BC=24cm,点M从点A出 发沿AD以3cm/s的速度向点D移动，一直到达点D为止；同时，点N从点C出发沿CB以5cm/s的 速度向点B移动.经过多长时间，MN两点之间的距离是13Cm? N←-C M 知识点06：含参数一元二次方程的解法与过论 含参方程需从三个维度讨论： 参数在二次项位置时：需讨论a=0(退化为一次方程)和a≠0（一元二次方程）两种情 况，分别求解。 参数在常数项或一次项位置时：通常用公式法或因式分解法求解，注意根据判别式讨论根 的情况。 解含参方程后需检验解的合理性：如解为分式形式时，需确保分母不为0。 典型题：解关于x的方程r-(a+)x+1=0(a为常数)。 解：当a=0时，方程化为-x十1=0，解得x=1;当a≠0时，用因式分解法得(ax-1)x-1) 7/15 X=二，x2=1 =二，x2=1 =0,解得 a 。综上：当a=0时，解为x=1;当a≠0时，解为a 21. (25-26八年级下江苏苏州期中)已知关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有两个不相等的实数根， 则k的值可能是() 9 9 A.2 B.4 C.3 D.2 22.(2026江苏常州二模)已知关于x的方程+4x-k=0有实数根，则k的取值范围是 23.(2026江苏苏州三模)如图，在沙漠中有一条东西向的公路MN,一个人在公路上点A的位置，要 走到沙漠中的目的地B,己知B地到公路MN的距离BC=8km,AC=1Om,且人在公路上走的速度 为5km/h,在沙漠里走的速度为3mh，则此人从A走到B的最短时间是h. B M A 24.(26-27九年级上江苏南京·开学考试)设a,b是方程x2+20x+1=0的两个根，c,d是方程 r-19x+1=0的两个根，则f代数式a+c6+ca-d)b-d 的值为. 知识点07：一元二次方程规律探索与新定义问题 此类题目考查学生阅读理解能力和迁移应用能力： 规律探索题：通过观察数列或图形的变化规律，归纳出一元二次方程的系数规律或根的规 律。 例如：观察方程x2-2x-3=0的根为=3,5=-1；x2-4x-5=0的根为=5,5=-1： x2-6x-7=0的根为=7，=-1，猜想第n个方程为x-2x-(2n+)=0,根为 x=2n+1,x2=-1。 新定义问题：题目给出一种新的运算或概念（如“友好方程”“倍根方程”等），要求学 生理解定义并据此列方程求解。 8/15 例如：定义“倍根方程”为“一个根是另一个根的2倍的方程”，若x+bx+C=0是倍根 方程，且一个根为1，求b、c的值。 解：另一根为2或2，当另一根为2时，由韦达定理得1十2=-b,1×2=c,得b=-3,c =2; 11 3 1 当另一根为2时，1+2=-b,1x2=c,得b=2,c=2。 25.(2026江苏泰州三模)定义：若”，’满足 =2y+1.广=2x+“且x≠y(为常数)，则称点 M(x,y)为“和谐点”. (1)若P(3,m是“和谐点”，则m= 2)若双曲线 3 存在“和谐点”，求k的取值范围。 26.（25-26人年级下江苏盐城阶段检测)我们给出完义：若关于x的一元二次方程“+r+c=0(≠0) 的两个实数根为5，：≤），分别以，5为横坐标和纵坐标得到 M(G3）,则称点M为该一 元二次方程的衍生点。 Q)关于x的方程+hbx+c=0的衍生点M(2-l,5+）,则b= c= ②若关于x的一元二次方程-(5m+)x+5m=0 的衍生点为M过点M向x轴和y轴作垂线，两条 垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值. ®)是否存在b,G,使得不论n≠0)为何值，关于x的方程r+bx+c=0的衍生点M始终在直线 y=nx+2n+1 的图象上，若有请求出b,c的值，若没有说明理由， 27.(25-26八年级下江苏无锡期中)某数学兴趣小组将如下一些关于α的多项式因式分解后，发现各因 式的常数项是两个连续的整数，且与多项式的系数之间存在着某种联系： a2-a=a(a-1) 9/15 a2+a=a(a+l） a2+3a+2=(a+1)(a+2) a2+5a+6=(a+2)(a+3) 我们定义具有这种规律的多项式为“关于的连续式”，观察上述规律，思考以下问题： (1)根据题目中给出的规律，a+7a+12一（填“是”或“不是”）“关于4的连续式”： 2若一个“关于a的连续式”可表示为心+p0+90,q为整数)，其因式分解形式为 (a+nm(a+n+)(n为整数)，请用含n的代数式分别表示p和： ③)记知k为整数。多项式心+k+a-9能石成为“关于a的连续式”？若能，诗求出女的值。 并将该式写成因式分解的形式；若不能，请说明理由 28.(25-26九年级上江苏徐州阶段检测)如图，小明设计如下的正方形图案，外一层是空心圆，内部全 是实心圆，归纳图案中的规律，完成下列任务。 O O 0 0 0 ●O O O●O 。●●O 0 00 ●●● 0 ●● 0●0 O 0。 图案1 图案2 图案3 (I)图案n中实心圆有 个，空心圆有 个； (2)此类图案中是否存在实心圆比空心圆多8个，请你作出判断并说明理由. 课时训练 一、选择题 1.(25-26八年级下·江苏南通期末)用配方法解方程x2+10x+9=0,变形后的结果正确的是() 10/15 A.(x+5y=16B.(x+5=25 C.(x+5)}=-9 D.(x+5}2=-16 2.(25-26八年级下江苏南通期末)一元二次方程2x2-x+3=0的一次项系数、常数项分别是() A.2、-3 B.2、3 C.1、-3 D.-1、3 3.(25-26八年级下·浙江嘉兴期末)若a是关于x的方程2x2-x-4=0的一个实根，则代数式 a2-g+2026的值是() 2 A.2025 B.2026 C.2027 D.2028 4.(25-26八年级下江苏盐城阶段检测)下列方程中，属于一元二次方程的是（) A.ax2+bx+c=0 B.7+x-1=0 C.2x2+y-2=0 D.x2+V2x-1=0 5.(2026山东东营·二模)春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长.这株植物的主干先长出若干支干， 每根支千又分出与主干分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长 出x支支干，则根据题意可以列方程为() A（1+x2=21 B.1+x+x2=21 C.1+x+(1+x2=21 D.1+(1+x)+(1+x)2=21 6.(2026河北底坊二模)关于x的一元二次方程-(m+2)x-4-0的解的情况，下列说法错误的是 () A.方程必定有两个不相等的实数根 B.若方程有解，则两个解必定异号 C.若m=-4,则两根之和为-2 D.若方程有解，则两个解的和为负数 7.(2026四川南充三模)关于"的方程-2++k+2=0有两个不相等的实数根，5，若 xx32+x+x2= 2,则实数=() 11/15 A.0 B.3 C.-3 D.0或-3 8,(2526九年级上福建泉州期未)若关于'的方程-伽-C=0ac≠0)有-个实数根为2026， 则方程9+y-a=0 ac≠0 必有实数根为() 1 1 A.2026 B. 2026 C.-2026 D.2026 二、填空题 9.(25-26九年级下·吉林·期中)若x=2是关于x的一元二次方程ax+bx-2=0(a≠0)的解，则代数 式11-4a-2b的值是 10.(2026江苏扬州模拟预测)如果关于x的一元二次方程2+br+3=0的一个解是x=-3,则代数式 3a-b-2的值为- 1山，(2026江苏南京二模)设，5是一元二次方程+伽+c=0的两个根，若+场=5，=4， 则b=,c= 12.(2026江苏徐州·二模)若关于x的一元二次方程x+x-m=0有实数根，则m的取值范围是 13.(2026山西临汾·三模)某奶茶店销售一款招牌奶茶，每杯成本为5元.当售价为15元/杯时，平均每 天能售出300杯.市场调查发现，售价每降价1元，平均每天就能多售出50杯.店主希望扩大销量， 提高知名度，且使每天的销售利润仍保持在3000元，则每杯奶茶应降价 元 14.(2026江苏扬州二模)若x=1是一元二次方程x2-x-3m2+m=0的一个根，则方程的另一根为 15.(2026江苏泰州一模)设关于x的方程-2026x-1=0 的两根分别是、。，则代数式 x2-2025x+的值为 16.(2026江苏无锡中考真题)在四边形ABCD中，AD‖BC,∠ABC=90°，AD=3,AB=4, 12115 St S2 BC=5,点P在四边形1BCD内.如图1，PB,PD将该四边形分成两部分，面积分别记作9， 则 一（填“存在”或“不存在”)点P,使得S=S2:如图2，将点P向右平移m(m>O)个单位 长度，得到点2（点仍在该四边形内）.PB,P吧.D S 将该四边形分成两部分，面积分别记作， S2 若存在点P,,使得9=8，则m的取值范围是一 S S S2 S2 图1 图2 三、解答题 17.(25-26八年级下·江苏泰州阶段检测)用合适的方法解下列方程： a03r2-3x=0 2r-4x+2=0 6)(x+1'=9 r+4x-)=6 18.(25-26八年级下·北京顺义期末)已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-3=0有两个不相等的实数 根 (I)求k的取值范围： ②)设，是原方程的两个实数根.若k为正整数，求的值 19.(25-26八年级下江苏泰州期末)现有如图所示A、B、C三类纸片各若干张，A、B类纸片是边长分 13115 别为4,2的正方形，C类纸片是长、宽分别为口，2的矩形纸片 (a>2) 2 A B (1)若取A、B类纸片各1张，C类纸片2张可拼成一个面积为64的大正方形，求a的值： (2)若取3张A类纸片，2张B类纸片，5张C类纸片可拼成一个大长方形， ①在下面的方框中画出拼图： ②若大长方形面积为65，求所拼大长方形的长 20.(25-26八年级下江苏准安期末)综合与实践：探究奶茶甜度 【阅读材料】奶茶甜度是衡量饮品口感的重要指标，行业内统一规定甜度计算公式：奶茶甜度 溶解在奶茶中糖的质量 奶茶的总质量 ，甜度数值越大，代表奶茶口感越甜；制作奶茶时额外添加的糖均可完全 溶解，不计沉淀损耗。 【问题背景】某连锁奶茶店统一规格饮品基础参数：一杯a克的奶茶含糖量b克，称甜度为标准糖， 以此甜度作为基准甜度，根据顾客需求划分四种甜度档位： 标准糖：含糖量b克： 七分糖：含糖量0.7b克： 五分糖：含糖量0.5b克； 三分糖：含糖量0.3b克. 己知制作过程中，后添加的糖全部溶解在饮品内，会同步增加奶茶总质量，请结合甜度计算公式完成 下列探究任务！ (1)任务一： 一杯总质量为400克的奶茶含糖40克，则该奶茶的甜度为_： (2)任务二： 14/15 一天，小明到这家奶茶店点了一杯a克七分糖奶茶，则该奶茶的甜度-（用含a、b的代数式表 示)；由于店员疏忽，做成了一杯a克五分糖奶茶，店员再往这杯奶茶中加入了0.2b克糖，则奶茶的 甜度5_（用含a,b的代数式表示）：请比较大小4， (3)任务三： 为了保持奶茶店产品的品质，一杯α克五分糖奶茶需要再加入多少克的糖才能与七分糖奶茶的甜度一 样？ (4)任务四：奶茶店推出“双杯拼配”玩法： 甲杯：a克三分糖奶茶（含糖0.3b克） 乙杯：a克标准糖奶茶（含糖b克） 操作1：从甲、乙两杯各倒出x克奶茶，互相交换倒入对方杯中，搅拌均匀： 操作2：再从操作1后的甲、乙两杯各倒出x克奶茶，互相交换倒入对方杯中，搅拌均匀，此时甲杯 奶茶的甜度恰好等于五分糖奶茶的甜度，则x的值为-（用含a的代数式表示，且x<0.5a), 15/15