精品解析：河北邯郸市万江高级中学2025-026学年第二学期期末考试高二数学(人教版)试卷

2025—2026学年第二学期期末考试 高二数学（人教版）试卷 内容与范围：选择性必修二（第五章）和选择性必修三 时间：120分钟满分：150分 注意事项： 1.答题前，请务必将自己的姓名､谁考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上.用2B铅笔将答案填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需政动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡并交回.填写好自己的姓名､班级､考号等信息. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一个直线运动的质点的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 2. 某校开展阅读打卡活动，语文老师要求每个学生阅读科普类文本或人文自然类文本中的一本，现有7本科普类文本和8本人文自然类文本可供选择，小明按照语文老师的要求进行选择，则不同的选法共有（ ） A. 7种 B. 8种 C. 15种 D. 56种 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3 5. 已知的展开式中的系数为20，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 3 6. 同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件为两枚骰子点数之和为8，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知离散型随机变量X的分布列如表所示． X 0 1 2 P 0.36 则常数q的值是（ ） A. 1.8或0.2 B. 1.8 C. 0.2 D. 0.4 8. 已知函数，则（ ） A. 有最小值1，无最大值 B. 有最大值1，无最小值 C. 有最小值0，无最大值 D. 有最大值0，无最小值 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩(百分制)分别服从正态分布N(，)，N(，)，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（ ） 附:若随机变量X服从正态分布N(，)，则. A. 甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩甲 B. 甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近 C. 若，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587 D. 若，则乙同学成绩低于80分的概率约为0.3174 10. 下列说法正确的是（    ） A. 已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为30 B. 函数在时瞬时变化率为7 C. 定义在上的可导函数，已知，若，则 D. 定义在上的可导函数，已知，若，，则 11. 已知函数的定义域为的导函数的图象大致如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 是的极小值点 C. 是的极大值点 D. 曲线在处的切线斜率为0 三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是________. 13. 已知函数，则__________. 14. 已知函数满足，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 甲､乙两条生产线生产同一种电子产品，甲生产线的产品合格率为，乙生产线的产品合格率为.现将两条生产线的产品混合在一起，则合格品率为. （1）求甲､乙两条生产线的产量之比. （2）从混合产品中随机抽取3件，记其中甲生产线生产的件数为，以频率估计概率，求的分布列及数学期望. 16. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）求函数在上的值域； （3）设，证明：． 17. 为了解高一（5）班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查，得到了如下的列联表 性别 打篮球 合计 喜爱 不喜爱 男生 22 女生 10 合计 48 已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为. （1）请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）； （2）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由； 附，. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知函数． （1）求在点处的切线方程； （2）求的单调区间和极值． 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若方程有两个不同的根. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期末考试 高二数学（人教版）试卷 内容与范围：选择性必修二（第五章）和选择性必修三 时间：120分钟满分：150分 注意事项： 1.答题前，请务必将自己的姓名､谁考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上.用2B铅笔将答案填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需政动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡并交回.填写好自己的姓名､班级､考号等信息. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一个直线运动的质点的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，得到，由导数的物理意义得到瞬时速度. 【详解】由题意得，所以， 即该质点在时的瞬时速度为． 故选：A． 2. 某校开展阅读打卡活动，语文老师要求每个学生阅读科普类文本或人文自然类文本中的一本，现有7本科普类文本和8本人文自然类文本可供选择，小明按照语文老师的要求进行选择，则不同的选法共有（ ） A. 7种 B. 8种 C. 15种 D. 56种 【答案】C 【解析】 【详解】有7本科普类文本和8本人文自然类文本，从科普类文本或人文自然类文本中选一本， 所以，根据分类加法计数原理，不同的选法共有（种）． 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知，. 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据简单的复合函数的导数求得，再将代入即可得解. 【详解】因为，所以， 所以． 5. 已知的展开式中的系数为20，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】由展开式通项为，， 所以中的系数为，即. 6. 同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件为两枚骰子点数之和为8，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别算出，，结合公式即可求解. 【详解】同时投掷两枚质地均匀的骰子，设两枚骰子投出的点数构成有序数对，则总共有种可能， 设事件为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件为两枚骰子点数之和为8， 所以事件包含的样本点个数有个， 所以， 事件包含的基本事件有：，共5个基本事件， 事件包含的基本事件有：， 所以， 所以. 故选：D. 7. 已知离散型随机变量X的分布列如表所示． X 0 1 2 P 0.36 则常数q的值是（ ） A. 1.8或0.2 B. 1.8 C. 0.2 D. 0.4 【答案】C 【解析】 【详解】因为概率和为1，所以， 化简得，解得或， 又因为，概率不能为负数，故. 8. 已知函数，则（ ） A. 有最小值1，无最大值 B. 有最大值1，无最小值 C. 有最小值0，无最大值 D. 有最大值0，无最小值 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数得到其单调性和最值即可. 【详解】因为，所以. 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的最小值为，无最大值. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩(百分制)分别服从正态分布N(，)，N(，)，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（ ） 附:若随机变量X服从正态分布N(，)，则. A. 甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩甲 B. 甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近 C. 若，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587 D. 若，则乙同学成绩低于80分的概率约为0.3174 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正态曲线的对称轴，以及正态曲线的性质，结合，即可判断选项. 【详解】A.甲同学的平均成绩是75，乙同学的平均成绩是85，，故A错误； B. 甲同学的图象“瘦高”，乙同学的图象“矮胖”，所以甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近，故B正确； C.，故C正确； D.，故D错误. 故选：BC 10. 下列说法正确的是（    ） A. 已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为30 B. 函数在时瞬时变化率为7 C. 定义在上的可导函数，已知，若，则 D. 定义在上的可导函数，已知，若，，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据平均变化与瞬时变化率定义计算可判断A、B，根据导数的定义计算可判断C、D. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：因为，可知当时，瞬时变化率为，故B错误 对于C： ，故C正确； 对于D： ，解得，故D正确； 11. 已知函数的定义域为的导函数的图象大致如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 是的极小值点 C. 是的极大值点 D. 曲线在处的切线斜率为0 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的正负与函数单调性的关系，极值点的定义，及导数的几何意义判断即可. 【详解】由导函数的图象可知，当时，， 所以在上单调递增，故A错误； 由图象可知在的左右两侧附近，，单调递增， 所以不是的极小值点，故B错误； 由图象可知，当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以是的极大值点，故C正确； 由图象可知， 所以曲线在处的切线斜率为2，故D错误. 故选：C 三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是________. 【答案】126 【解析】 【分析】对甲、乙在一起或不在一起进行分类，再进行分步计数，即可得答案. 【详解】根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一，有种； ②甲乙不同时参加一项工作，且丙、丁、戊三人中有两人承担同一份工作，有种； ③甲乙不同时参加一项工作，且甲或乙与丙、丁、戊三人中的一人承担同一份工作，有种； 由分类计数原理，可得共有种. 故答案为：. 【点睛】本题考查排列组合的应用，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意分类的标准. 13. 已知函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则求解. 【详解】因为， 所以， 所以，解得. 14. 已知函数满足，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】根据导数定义，函数在处的导数为 . 对所求极限变形：. 令，当时，， 则. 代入，得 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 甲､乙两条生产线生产同一种电子产品，甲生产线的产品合格率为，乙生产线的产品合格率为.现将两条生产线的产品混合在一起，则合格品率为. （1）求甲､乙两条生产线的产量之比. （2）从混合产品中随机抽取3件，记其中甲生产线生产的件数为，以频率估计概率，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 ，数学期望为 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式计算即可求解； （2） 由（1）知甲生产线产品占总量的，得，利用二项分布及期望公式求解即可； 【小问1详解】 设甲生产线生产的这批电子产品有件，乙生产线生产的这批电子产品有件， 事件“混合在一起的电子产品来自甲生产线”， 事件“混合在一起的电子产品来自乙生产线”， 事件“混合在一起的某一产品是合格品”， 则，． 由，得． 所以甲、乙两条生产线的产量之比为． 【小问2详解】 由（1）可知，甲生产线产品占总量的，所以． ，， ，， 所以的分布列： 0 1 2 3 . 16. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）求函数在上的值域； （3）设，证明：． 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） （3） 因为， 由，得，即， 令，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，即恒成立， 所以． 【解析】 【分析】（1）对求导，根据极值的定义即可求出答案； （2）根据函数的单调性，即可求出值域； （3）可化为，令，通过求导证明即可证明不等式. 【小问1详解】 已知函数的定义域为， 则， 因，故，令得， 当时，，在单调递增； 当时，， 在单调递减， 因此只有极小值，无极大值，且极小值为，无极大值． 【小问2详解】 由（1）的单调性可知在单调递减，在单调递增， 因此最小值为， 计算区间端点值，， 因为，所以， 故在上的最大值为， 因此在上的值域为． 【小问3详解】 略 17. 为了解高一（5）班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查，得到了如下的列联表 性别 打篮球 合计 喜爱 不喜爱 男生 22 女生 10 合计 48 已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为. （1）请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）； （2）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由； 附，. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 性别 打篮球 合计 喜爱 不喜爱 男生 22 6 28 女生 10 10 20 合计 32 16 48 （2）能，理由如下： 零假设为：喜爱打篮球与性别无关， 计算得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为喜爱打篮球与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05. 【解析】 【分析】（1）根据抽到喜爱打篮球的学生的概率求出喜爱打篮球的人数，从而可求出不喜爱打篮球的人数，然后结合列联表中的数据可将列联表补充完整； （2）根据列联表中的数据，结合公式求出，然后根据临界值分析判断即可. 【小问1详解】 在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为， 则喜爱打篮球的有人，则不喜爱打篮球的有人， 所以列联表补充如下： 性别 打篮球 合计 喜爱 不喜爱 男生 22 6 28 女生 10 10 20 合计 32 16 48 【小问2详解】 能，理由略. 18. 已知函数． （1）求在点处的切线方程； （2）求的单调区间和极值． 【答案】（1） （2）的单调递增区间为和，单调递减区间为， 极大值，极小值． 【解析】 【分析】（1）先求函数在处的函数值与导数值（切线斜率），再用点斜式写出切线方程． （2）先求导并因式分解，根据导数的正负判断函数单调性，再结合单调性确定极大值点、极小值点，代入原函数计算极值． 【小问1详解】 由，得， 因为，， 所以在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 的定义域为， ， 令，得或，令，得或，令，得， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为， 当时，取极大值，当时，取极小值． 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若方程有两个不同的根. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1）当时，在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递减，在内单调递增. （2）（i） （ii）证明：不妨设，由（i）知，且， 当时，；当时，， 设， 设函数， 求导得， 函数在内单调递增，则，即， 于是，由，得， 而在内单调递减， 则，所以. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，按求出函数的单调区间. （2）（i）由方程分离参数，构造函数并利用导数确定函数性质求出范围；（ii）由（i）求出的范围，再按分段，利用极值点偏移构造函数并利用导数推理得证. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，由，得；由，得， 函数在内单调递增，在内单调递减； 当时，由，得；由，得， 函数在内单调递减，在内单调递增， 所以当时，在内单调递增，在内单调递减； 当时，在内单调递减，在内单调递增. 【小问2详解】 （i）由，得，令函数， 由（1）得函数在内单调递增，在内单调递减， 又，当时，，且当时，， 则当时，方程有两个不同的根， 所以的取值范围是. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $