精品解析：上海市上海外国语大学附属外国语学校松江云间中学2026-2027学年高二上学期10月第一次学情检测数学试卷

2026—2027学年第一学期第一次学情检测 高二数学 考试时长：120分钟 分值：150分 考生注意： 1．本试卷共4页，共21题． 2．本考试分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 3．答卷前，务必用黑色水笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号． 一．填空题（本大题共有12题，满分54分．第1题至第6题每题4分，第7题至第12题每题5分．） 1. 若与垂直，则________. 2. 椭圆的离心率为________． 3. 以为圆心，且和直线相切的圆的半径为_____． 4. 圆：与圆：的相交弦所在直线方程为________． 5. 将一个底面半径为1，高为的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积为_________． 6. 若方程为圆的方程，则的值为______. 7. 已知椭圆C的离心率为，其左右焦点分别为，上顶点为，若的外接圆半径为，则椭圆C的方程为__________. 8. 在三角形中，角的对边分别为，直线与直线平行，则三角形是______三角形． 9. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为_______. 10. 已知线段AB的长为4，动点C满足（为常数，），且点C始终不在以B为圆心1为半径的圆内，则的取值范围是______. 11. 在中，，，．已知点，，分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________． 12. 我们称如图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点都满足方程，现将一边在x轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为心吧．若已知点“爱心线”上任意一点的最小距离为，则用表示心吧面积的最大值为_______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分．每题有且只有一个正确答案，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分．） 13. 已知线段中点为，且，则线段的垂直平分线方程为（ ） A. B. C. D. 14. 直线的方程为，则圆上到直线距离为1的点的个数为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 3 15. 年月日时分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列结论中正确的是（ ） ①椭圆的长轴长为；②线段长度的取值范围是；③的面积最小值是；④的周长恒为． A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 16. 已知平面上一点到点的距离满足，设点的运动轨迹为曲线．有以下两个命题： 命题①：曲线关于原点对称； 命题②：当点不在坐标轴上时，点在椭圆内部． 则下列判断正确的是（　　） A. ①②均为真命题 B. ①为真命题②为假命题 C. ①为假命题②为真命题 D. ①②均为假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分．第17—19题每题14分，第20—21题每题18分） 17. 已知直线，直线，圆． （1）求圆被直线截得的弦长； （2）求直线与直线的夹角． 18. 四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点. （1）证明：平面； （2）设，，求到平面的距离. 19. 如图，正方形区域边长为， 距 、 的距离都为 ， 距 、 的距离都为 ，有一个圆形跑道经过 、 两点． （1）建立适当的坐标系，求圆形跑道圆心所在的直线方程； （2）若直线与该圆形跑道有且只有一个交点，求圆形跑道的周长（结果保留两位小数）． 20. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，直线交椭圆于、两点． （1）求焦点、的坐标与椭圆的离心率的值； （2）直线过点且与圆相切，且不过第二象限． （i）求弦长的值； （ii）点是椭圆上的动点，求三角形面积的最大值，并求出此时点的坐标． 21. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）椭圆的右焦点为，过点且斜率存在的直线与椭圆相交于，两点，是线段的中点，直线与相交于点． （i）求直线的斜率之积； （ii）求的正切值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期第一次学情检测 高二数学 考试时长：120分钟 分值：150分 考生注意： 1．本试卷共4页，共21题． 2．本考试分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 3．答卷前，务必用黑色水笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号． 一．填空题（本大题共有12题，满分54分．第1题至第6题每题4分，第7题至第12题每题5分．） 1. 若与垂直，则________. 【答案】 【解析】 【详解】因为与垂直，则，解得. 2. 椭圆的离心率为________． 【答案】## 【解析】 【详解】椭圆标准方程为， 表示焦点在轴的椭圆，且，，所以， 所以椭圆的离心率为. 3. 以为圆心，且和直线相切的圆的半径为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆与直线相切时半径等于圆心到切线的距离，代入点到直线的距离公式计算即可. 【详解】由圆与直线相切的性质可知，圆的半径等于圆心到直线的距离， 根据点到直线的距离公式：  ， 所以，所求圆的半径为. 4. 圆：与圆：的相交弦所在直线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】通过已知的圆的方程，利用相减法找到两个圆的交点所在直线方程即可. 【详解】圆的方程是，简化后为， 联立 ，两式相减，得到， 化简可得. 因此，过两圆交点的直线方程为. 故答案为：. 5. 将一个底面半径为1，高为的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积为_________． 【答案】 【解析】 【详解】圆柱形铁块的体积为， 设实心铁球的半径为，则，解得， 故该实心铁球的表面积为. 6. 若方程为圆的方程，则的值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据圆的方程的形式，得，再代入验证求解. 【详解】若方程表示圆，则，即， 当时，方程，即，为圆的方程，成立， 当时，方程，即，不是圆的方程，故舍去， 所以 7. 已知椭圆C的离心率为，其左右焦点分别为，上顶点为，若的外接圆半径为，则椭圆C的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】借助离心率和三角形外接圆的半径，求解椭圆的方程. 【详解】已知椭圆C的离心率为，所以， 因为，所以， 因为，，所以为等边三角形， 由题知，的外接圆半径为， 由正弦定理得，即，解得， 所以，， 所以椭圆C的方程为. 8. 在三角形中，角的对边分别为，直线与直线平行，则三角形是______三角形． 【答案】等腰 【解析】 【分析】根据两直线平行的充要条件得到边角等式，结合正弦定理与三角恒等变换判断三角形形状. 【详解】已知直线与平行， 根据两直线平行的充要条件：对于直线和平行， 等价于且. 代入对应系数得，且， 由于边长，故，，显然不相等， 因此只需满足即可。 由正弦定理，，（为外接圆半径，）， 代入得：，移项后由两角差的正弦公式得. 在中，，故， 因此，即， 故为等腰三角形. 9. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】化简曲线为和直线为，得到直线恒过定点，结合题意，利用斜率公式，即可求解. 【详解】如图所示，由曲线， 可得，则， 又由直线，可化为，可得直线恒过定点， 则， 要使得直线与曲线有两个不同的交点，则满足或， 所以实数的取值范围为. 10. 已知线段AB的长为4，动点C满足（为常数，），且点C始终不在以B为圆心1为半径的圆内，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】以线段所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，设点，用坐标表示以及点不在以点为圆心为半径的圆内，从而求出的范围． 【详解】以线段所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示； 设点，则，， ，； 由，得， ；① 又点不在以点为圆心为半径的圆内， ， 即；② 由①②可知圆与圆外离或外切，或者圆内含于或内切于圆 或，解得或 的范围是． 故答案为：． 11. 在中，，，．已知点，，分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆对称性分析各点的可能性情况，分情况讨论求的值，即可得离心率. 【详解】因为， 根据对称性可知：点其中一个为上下顶点，一个为右顶点，一个为焦点，不妨取上顶点. ①当点中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为左焦点，如图1 则或，解得或无解； ②当点中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为右焦点，如图2， 则或，方程组均无解； 综上所述：，，，所以离心率. 12. 我们称如图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点都满足方程，现将一边在x轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为心吧．若已知点“爱心线”上任意一点的最小距离为，则用表示心吧面积的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，曲线上任意一点求得的最小值为，进而求得心吧面积的最大值. 【详解】解：由曲线方程， 由点“爱心线”上任意一点且点在轴的右侧， 所以点“爱心线”上任意一点的最小距离，一定出现在爱心线位于轴的右侧的点， 当时，可得， 设曲线上任意一点，且， 有， 因为的最小值为，所以的最小值为， 当时，心吧面积为的最小值为； 当时，心吧面积为的最大值为. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分．每题有且只有一个正确答案，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分．） 13. 已知线段中点为，且，则线段的垂直平分线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，则线段的垂直平分线的方向向量为， 又线段中点为，则线段的垂直平分线为. 14. 直线的方程为，则圆上到直线距离为1的点的个数为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心和半径，得到到的距离为，从而得到直线距离为1的点的个数为3. 【详解】，故圆心为，半径为3， 到的距离为， 又，故过点作垂直与圆交于点，在上取点，使得， 过点作⊥，交圆于点， 所以圆上到直线距离为1的点的个数为3，分别为. 故选：D 15. 年月日时分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列结论中正确的是（ ） ①椭圆的长轴长为；②线段长度的取值范围是；③的面积最小值是；④的周长恒为． A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】由题意求出椭圆方程及几何量，利用椭圆的定义、几何性质及函数单调性逐一判断四个结论. 【详解】对于①，由题意，半圆半径，则椭圆短半轴长，焦距，所以长半轴长， 则椭圆长轴长，故①正确； 对于②，因为三点共线，且在圆上，所以， 则， 设，则， 又在椭圆 上，所以， 所以， 因为，所以，即， 所以，故②正确； 对于③，设直线的方程为， 联立，得， 联立，得， 所以 ， 当时，；当时，， 所以的面积取值范围是，最小值不是，故③错误； 对于④，由，可知为椭圆的下焦点， 由椭圆的定义可知， 又， 所以的周长为，故④正确， 综上所述，正确的结论是①②④，故D正确. 16. 已知平面上一点到点的距离满足，设点的运动轨迹为曲线．有以下两个命题： 命题①：曲线关于原点对称； 命题②：当点不在坐标轴上时，点在椭圆内部． 则下列判断正确的是（　　） A. ①②均为真命题 B. ①为真命题②为假命题 C. ①为假命题②为真命题 D. ①②均为假命题 【答案】A 【解析】 【分析】通过设点坐标，根据点的对称、三角形的性质、椭圆的性质，逐个判断即可. 【详解】设点，则关于原点的对称点为，根据两点间距离公式. 所以. 又因为， 所以. 又，所以. 所以曲线关于原点对称，所以①正确； 当点与点不共线时，根据三角形性质可得 ，由得， 解得. 所以. 根据椭圆的性质可知点在椭圆的内部. ②正确， 故选：A 三、解答题（本大题共有5题，满分78分．第17—19题每题14分，第20—21题每题18分） 17. 已知直线，直线，圆． （1）求圆被直线截得的弦长； （2）求直线与直线的夹角． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出圆心到直线的距离，根据弦长公式求解即可； （2）求出两直线的斜率，由夹角公式求解即可. 【小问1详解】 因为圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以圆被直线截得的弦长为； 【小问2详解】 直线的斜率，直线的斜率， 设两直线夹角为，由两直线夹角公式得， 所以， 所以直线与直线的夹角为. 18. 四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点. （1）证明：平面； （2）设，，求到平面的距离. 【答案】（1） 取AC中点为O，连接，，由底面为矩形， 则分别为的中点，，又平面，平面， 则平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）取AC中点为O，连接，通过证明可完成证明； （2）如图做，垂足为F，由题可证平面，据此可得到平面的距离 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图做，垂足为F， 又平面，平面，则， 又平面，则平面. 则到平面的距离为， 则. 19. 如图，正方形区域边长为， 距 、 的距离都为 ， 距 、 的距离都为 ，有一个圆形跑道经过 、 两点． （1）建立适当的坐标系，求圆形跑道圆心所在的直线方程； （2）若直线与该圆形跑道有且只有一个交点，求圆形跑道的周长（结果保留两位小数）． 【答案】（1）以 为原点， 为 轴， 为 轴建立平面直角坐标系， （2） 或 【解析】 【分析】（1）利用圆心到 、 两点距离相等可得圆心在线段 的垂直平分线上. （2）利用圆与 相切，圆心到点 的距离为半径以及圆心在（1）所求直线上可求解半径 的值，进而求得圆的周长. 【小问1详解】 如图以 为原点， 为 轴， 为轴建立平面直角坐标系. 则 ， ， ， ， . ∵圆形跑道经过 、 两点， ∴圆心在线段 的垂直平分线上. ∵ ， ∴线段 的垂直平分线的斜率为 . ∵ 中点坐标为 ， ∴线段 的垂直平分线的方程为 ，即 . ∴圆形跑道圆心所在的直线方程为 . 【小问2详解】 ∵直线 与该圆形跑道有且只有一个交点， ∴直线 与该圆相切，即圆心到轴距离为半径 . 设圆心为 ，则. ∴，即 . 解得，则. ∴圆形跑道的周长为 或 . 20. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，直线交椭圆于、两点． （1）求焦点、的坐标与椭圆的离心率的值； （2）直线过点且与圆相切，且不过第二象限． （i）求弦长的值； （ii）点是椭圆上的动点，求三角形面积的最大值，并求出此时点的坐标． 【答案】（1） ，，离心率； （2） （i）；（ii）面积最大值为，此时点坐标为. 【解析】 【分析】(1)由椭圆标准方程求得焦点坐标和离心率； (2)先根据直线与圆相切、不过第二象限确定直线方程，联立椭圆利用韦达定理求弦长，再通过辅助角公式求椭圆上点到直线的最大距离，进而得到面积最大值和对应点坐标. 【小问1详解】 由椭圆得，故，，因此左焦点，右焦点，离心率. 【小问2详解】 （i）设直线的方程为，斜率不存在时直线与圆不相切，舍去. 直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径1，即，解得，即. 因直线不过第二象限，时纵截距为，经过第二象限，舍去，故，直线方程为. 联立，消去得。设，由韦达定理得. 弦长. （ii）设为椭圆上任意点，满足，到直线的距离. 令，则（为辅助角），取值范围为. 故最大值为，. 三角形面积，因此. 此时，联立椭圆方程解得，即. 【点睛】 21. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）椭圆的右焦点为，过点且斜率存在的直线与椭圆相交于，两点，是线段的中点，直线与相交于点． （i）求直线的斜率之积； （ii）求的正切值的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据离心率和所过点列方程组可求答案； （2）（i）方法一设直线的方程为，方法二设直线的方程为，然后同椭圆方程联立，写出韦达定理，表示出直线的斜率可得答案； （ii）方法一根据直线横截距方程得到利用正切的和角公式，结合韦达定理，表示出目标式，求解最值可得范围.方法二和方法三都是根据直线纵截距方程得到利用正切的和角公式，结合韦达定理，表示出目标式，求解最值可得范围. 【小问1详解】 由题意可得 解得， 椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）方法一：由题意可知直线的斜率不为0， 设直线的方程为， 由，联立得， ， 得， 则， 直线的方程为，得， 则. 方法二：设直线的方程为， 联立方程，得， ， 得， ， 直线的方程为，得， 则. （ii）方法一：由（i）方法一可知，， 得，，， 在直角中，， 在直角中，， ， 因为， 所以， ， 所以， 所以的正切值的取值范围是. 方法二：由（i）方法二可知，， 得， 在直角中，， 在直角中，， ， 因为 所以， ， 所以， 所以的正切值的取值范围是. 方法三：由（i）方法二可知，， 得， 在直角中，， 在直角中，， ， 因为， 所以， ， 所以， 所以的正切值的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $