上海市上海外国语大学附属外国语学校松江云间中学2026-2027学年高二上学期10月第一次学情检测数学试卷

2026—2027学年第一学期第一次学情检测 高二数学 考试时长：120分钟 分值：150分 考生注意： 1．本试卷共4页，共21题． 2．本考试分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 3．答卷前，务必用黑色水笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号． 一．填空题（本大题共有12题，满分54分．第1题至第6题每题4分，第7题至第12题每题5分．） 1. 若与垂直，则________. 2. 椭圆的离心率为________． 3. 以为圆心，且和直线相切的圆的半径为_____． 4. 圆：与圆：的相交弦所在直线方程为________． 5. 将一个底面半径为1，高为的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积为_________． 6. 若方程为圆的方程，则的值为______. 7. 已知椭圆C的离心率为，其左右焦点分别为，上顶点为，若的外接圆半径为，则椭圆C的方程为__________. 8. 在三角形中，角的对边分别为，直线与直线平行，则三角形是______三角形． 9. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为_______. 10. 已知线段AB的长为4，动点C满足（为常数，），且点C始终不在以B为圆心1为半径的圆内，则的取值范围是______. 11. 在中，，，．已知点，，分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________． 12. 我们称如图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点都满足方程，现将一边在x轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为心吧．若已知点“爱心线”上任意一点的最小距离为，则用表示心吧面积的最大值为_______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分．每题有且只有一个正确答案，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分．） 13. 已知线段中点为，且，则线段的垂直平分线方程为（ ） A. B. C. D. 14. 直线的方程为，则圆上到直线距离为1的点的个数为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 3 15. 年月日时分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列结论中正确的是（ ） ①椭圆的长轴长为；②线段长度的取值范围是；③的面积最小值是；④的周长恒为． A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 16. 已知平面上一点到点的距离满足，设点的运动轨迹为曲线．有以下两个命题： 命题①：曲线关于原点对称； 命题②：当点不在坐标轴上时，点在椭圆内部． 则下列判断正确的是（　　） A. ①②均为真命题 B. ①为真命题②为假命题 C. ①为假命题②为真命题 D. ①②均为假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分．第17—19题每题14分，第20—21题每题18分） 17. 已知直线，直线，圆． （1）求圆被直线截得的弦长； （2）求直线与直线的夹角． 18. 四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点. （1）证明：平面； （2）设，，求到平面的距离. 19. 如图，正方形区域边长为， 距 、 的距离都为 ， 距 、 的距离都为 ，有一个圆形跑道经过 、 两点． （1）建立适当的坐标系，求圆形跑道圆心所在的直线方程； （2）若直线与该圆形跑道有且只有一个交点，求圆形跑道的周长（结果保留两位小数）． 20. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，直线交椭圆于、两点． （1）求焦点、的坐标与椭圆的离心率的值； （2）直线过点且与圆相切，且不过第二象限． （i）求弦长的值； （ii）点是椭圆上的动点，求三角形面积的最大值，并求出此时点的坐标． 21. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）椭圆的右焦点为，过点且斜率存在的直线与椭圆相交于，两点，是线段的中点，直线与相交于点． （i）求直线的斜率之积； （ii）求的正切值的取值范围． 2026—2027学年第一学期第一次学情检测 高二数学 考试时长：120分钟 分值：150分 考生注意： 1．本试卷共4页，共21题． 2．本考试分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 3．答卷前，务必用黑色水笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号． 一．填空题（本大题共有12题，满分54分．第1题至第6题每题4分，第7题至第12题每题5分．） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】## 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】1 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】等腰 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题共有4题，满分18分．每题有且只有一个正确答案，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分．） 【13题答案】 【答案】D 【14题答案】 【答案】D 【15题答案】 【答案】D 【16题答案】 【答案】A 三、解答题（本大题共有5题，满分78分．第17—19题每题14分，第20—21题每题18分） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） 取AC中点为O，连接，，由底面为矩形， 则分别为的中点，，又平面，平面， 则平面； （2）. 【19题答案】 【答案】（1）以 为原点， 为 轴， 为 轴建立平面直角坐标系， （2） 或 【20题答案】 【答案】（1） ，，离心率； （2） （i）；（ii）面积最大值为，此时点坐标为. 【21题答案】 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $