精品解析：上海市五三中学2026-2027学年上学期九年级10月学情自测数学 试卷

上海市浦东新区川沙五三中学九年级10月月考测试卷 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列四个函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的一般形式，即(，且a，b，c为常数)，即可一一判定． 【详解】解：A.中含分式，不满足二次函数的一般形式，故该函数不是二次函数； B.在中，当时，不是二次函数，故该选项不符合题意； C.，不是二次函数，故该选项不符合题意； D.，是二次函数，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的识别，熟练掌握和运用二次函数的一般形式是解决本题的关键． 2. 关于二次函数的图象，下列描述错误的是（ ） A. 该抛物线开口向上 B. 当时，y有最小值2 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】该二次函数为顶点式，可直接获取开口方向、顶点坐标与对称轴，据此判断选项． 【详解】解：二次函数解析式为，． ∴ 抛物线开口向上， 抛物线顶点坐标为，对称轴为直线， A正确． ∴ 当时，有最小值，B正确． ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而减小，C正确． ∴ 当时，随的增大而增大，D错误． 3. 已知二次函数的图像如图所示，那么下列结论中正确的是（ ） A. B. 当时， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图像与性质逐一进行判断即可求解． 【详解】解：A、由图像可知：，， ∴，选项错误； B、由对称轴可知：， ∴另一个交点为：， 从图像可得：时，，选项错误； C、由对称轴可知：， ∴，选项错误； D、由B选项证明可得： 当时， ，即，选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的基本性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图像与性质． 4. 在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式，分析、的符号以及对称轴的位置，结合图象特征进行判断；首先由两个函数解析式可知，它们与轴的交点均为，即交于轴上同一点；其次根据的符号判断抛物线的开口方向；最后根据对称轴公式判断对称轴位置． 【详解】解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，选项中两个图象与轴交点不同，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右下降，则，二次函数图象开口向上，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，二次函数图象开口向下，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，与轴交于正半轴，则；二次函数图象开口向上，则，与轴交于正半轴，则；且二次函数对称轴为直线， ∵， ∴，对称轴在轴左侧，符合图象特征． 5. 已知线段、、，求作线段，使得的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，分析各选项中线段的比例关系，找出符合即的图形． 【详解】解：A、选项中，即，不符合题意； B、选项中，即，即，符合题意； C、选项中，即，不符合题意； D、选项中，即，不符合题意． 6. 已知一元二次方程有两个实数根，，且，给出下列结论：①；②抛物线的顶点坐标为；③；④当时，．其中正确的有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数与不等式、根的判别式、二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．由方程两根可得抛物线解析式，再逐一判断各结论． 【详解】解：∵方程有两根，且， ①错误； ②顶点横坐标 纵坐标 顶点为正确； ③错误； ④∵，对称轴为直线 当时， 即．故④正确， 正确结论有②④，共2个． 故选：B． 二、填空题（本大题共11题，每题4分，满分44分） 7. 如果函数是关于x的二次函数，则_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意，可得 ， 解方程，得， 解得或； 由，得， 故. 8. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的解析式为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移；根据抛物线平移的规律：向右平移时，替换为；向下平移时，替换为或函数值减去． 【详解】解：将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的解析式为 故答案为：． 9. 已知点P是线段的黄金分割点，，，那么_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的． 根据黄金分割点的概念作答即可． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，，， ∴． 故答案为：． 10. 如图，直线，若，，，则线段的长是_____ ． 【答案】3 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，利用比例的基本性质即可得解． 【详解】∵AlA∥BB1∥CC1， ∴， ∵AB=8，BC=4，A1B1=6， ∴B1C1=3． 【点睛】考查了平行线分线段成比例定理，明确线段之间的对应关系． 11. 二次函数（a、b、c是常数，）的图象如图所示，则点在第__________象限． 【答案】三 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，以及象限内点的坐标特征，根据图象可知，，，即可判断点所在象限，即可解题． 【详解】解：由图知，，，对称轴为直线 ∴ 点在第三象限． 故答案为：三． 12. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，且在边处设计有宽的通道方便出入，若墙足够长，求这个花园可围成的最大面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】设垂直于墙的一边长为，表示出平行于墙的一边长，再利用矩形面积公式列出二次函数关系式，最后利用二次函数的性质求最值． 【详解】解：设垂直于墙的一边长为，围成的矩形面积为． 因为篱笆长为，且在处设计有宽的通道， 所以平行于墙的一边长为，即， 所以，即， 因为， 所以当时，有最大值，最大值为， 此时平行于墙的一边长为，符合题意， 故这个花园可围成的最大面积是． 13. 若函数的图象与坐标轴至少有两个交点，则k的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】当时，函数值恒为，函数图象一定与轴交于，只需分一次函数和二次函数两种情况，讨论函数与轴的交点，满足至少存在一个交点即可． 【详解】解：当时，， 函数图象一定与轴有个交点， 函数图象与坐标轴至少有两个交点， 函数与轴至少有个交点， 分两种情况讨论： ①函数为一次函数时，二次项系数为，即，解得， 此时函数解析式为，与轴有一个交点，与坐标轴共两个不同交点，符合要求； ②函数为二次函数时，，即， 二次函数与轴至少有一个交点，需满足判别式， 其中，，， ， ， ， ， 或， 综上可知， 的取值范围为． 14. 已知点，，都在函数的图像上，则，，的大小关系是_____________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，利用开口向下的二次函数的性质：点到对称轴的距离越大，对应函数值越小，计算各点到对称轴的距离即可比较大小. 【详解】解： ∵函数中，二次项系数 ， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线 ， 计算各点横坐标到对称轴的距离： 点的横坐标到对称轴的距离为 ， 点的横坐标到对称轴的距离为 ， 点的横坐标到对称轴的距离为 ， ∵开口向下的抛物线，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小 ， 又∵ ， ∴． 15. 如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称，若顶点到的距离是1.08分米，那么、两点之间的距离是_________分米． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，根据顶点到的距离是1.08分米，进而求出点的纵坐标为，代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴， ∵顶点到的距离是1.08分米， ∴点的纵坐标为， 当时，， ∴、两点之间的距离是（分米）； 故答案为：6． 16. 已知，则一次函数的图象与坐标轴围成的面积是_____． 【答案】 或##或 【解析】 【分析】根据比例性质整理得到，分和两种情况求出的值，再求一次函数与坐标轴的交点坐标，最后计算围成三角形的面积. 【详解】解：， ，，， ， 当时， 两边同时除以得：， 解得， 一次函数解析式为， 当时，， 函数与轴交于点， 当时， 可得：， 解得：， 函数与轴交于点， 一次函数与坐标轴围成的三角形面积为； 当时， 可得：， ∴， 一次函数解析式为， 当时，， 函数与轴交于点 当时，解得， 可得：， 函数与轴交于点， 一次函数与坐标轴围成的三角形面积为； 综上所述，一次函数的图象与坐标轴围成的面积是或． 17. 将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象有4个公共点时，则的范围为____________． 【答案】 【解析】 【分析】求出翻折后新函数的分段解析式，分别计算直线与中间段抛物线相切、直线经过右侧交点时的值，结合图象确定范围． 【详解】解：令，得解得， 抛物线与轴交点为和 新函数在时，； 在或时， 当直线与相切时 方程有两个相等实数根 整理得 即 解得 当直线经过点时 ，解得 如图， 结合图象可知，当时，直线与新函数的图象有个公共点． 三、解答题（本大题共7题，满分82分） 18. 函数满足下表： x … 0 1 2 3 … y … 0 m … （1）m的值为________； （2）求出抛物线与y轴的交点坐标； （3）方程的解为：________； （4）直接写出时，x的取值范围：________； 【答案】（1）0 （2） （3）， （4） 【解析】 【分析】（1）二次函数的y值相同的点x值，关于其对称轴对称，即可求出． （2）根据图表和函数表达式可知，写出即可． （3）根据图表可知，写出方程的根即可． （4）根据图表写出x的取值范围． 【小问1详解】 二次函数的y值相同的点x值， 关于其对称轴对称， 根据图表可知， 对称轴是：， 又∵， ∴， 故答案为：0． 【小问2详解】 根据图表和函数表达式可知， 当时， ， 故抛物线与y轴的交点坐标为； 【小问3详解】 根据图表可知， 方程的解， ，， 故答案为：，． 【小问4详解】 根据图表可知， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的对称轴、与x轴，y轴交点问题． 19. 如图，在平行四边形中， 求证： （1） （2） 【答案】（1）证明：如图所示：过作，交于， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 又， ． （2） 证明：由（1）可知，是平行四边形， ， ， ， 即， ， ． 【解析】 【分析】（1）过作，交于，则四边形是平行四边形，再通过，利用对应边成比例求成即可； （2）根据平行得出，，．再通过桥梁和，把要求证的两个比连接了起来． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】证明线段比例，借助平行线构造相似；多组比例证明相等，常用等量代换搭桥． 20. 已知抛物线． （1）求证：此抛物线与x轴必有两个交点； （2）若此抛物线与直线的一个交点在y轴上，求m的值． 【答案】（1） 证明：令，得方程， ∵ ， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴此抛物线与轴必有两个交点． （2） 的值为或． 【解析】 【分析】（1）计算抛物线对应一元二次方程的判别式，证明其恒大于0即可得证； （2）利用y轴上点的横坐标为0的性质，代入两个函数解析式令函数值相等，列方程求解m． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵抛物线与直线的一个交点在轴上， ∴该交点的横坐标为， 将代入抛物线解析式，得， 将代入直线解析式，得， ∴， 整理得， 解得，， 综上所述，的值为或． 21. 如图，已知抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点，其顶点为，对称轴为直线． （1）求顶点的坐标及抛物线的函数表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）, （2）3 【解析】 【分析】（1）利用抛物线对称性求出另一个x轴交点，设交点式代入B点求解析式，再代得顶点C． （2）求出直线，用对称轴截出线段作底，以水平距离为高算出面积． 【小问1详解】 解：根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的两个交点的对称轴即为， 设另一个交点为，则有，解得， ∴抛物线与x轴的交点为、， ∴设抛物线交点式为， 又∵抛物线过点， 代入、有，解得， ∴抛物线解析式为， ∵点C为顶点，即代入有， 故． 【小问2详解】 解：记对称轴与交于点M， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴ ． 22. 某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．在市场调查中选取两类作品；原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）． 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高2元，用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件． （1）成本核算：分别求制作一件A品和一件B品的成本． （2）建立模型，设计方案：设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件（，且为整数），若制作A品和B品的总成本不超过1400元，且为使总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 【答案】（1）制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元 （2）制作A品100件，B品200件时总利润最大 【解析】 【分析】（1）设制作一件B品的成本为a元，则制作一件B品的成本为元，根据“用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等．”列出方程，即可求解； （2）根据题意，列出w关于x的函数关系式，再求出x的取值范围，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 【小问1详解】 解：设制作一件B品的成本为a元，则制作一件A品的成本为元，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元； 【小问2详解】 解：根据题意得：A品的销量为：件，B品的销量为：件， 则， ∵制作A品和B品的总成本不超过1400元， ∴， 解得：， ∵且， 解得：， ∴， ∵，且， ∴当时，w随着x的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，最大值为4800， 此时， 即制作A品100件，B品200件时总利润最大． 23. 我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横，纵坐标相等的点称为“朴实点”，横，纵坐标互为相反数的点称为“沉毅点”，把函数图象至少经过一个“朴实点”和一个“沉毅点”的函数称为“朴实沉毅函数”． （1）函数是一个“朴实沉毅函数”，求出该函数图象上的“朴实点”和“沉毅点”： （2）已知二次函数图象可以由二次函数平移得到，二次函数的顶点就是一个“朴实点”，并且该函数图象还经过一个“沉毅点”，求该二次函数的解析式： （3）已知二次函数（为常数，）图象的顶点为，与轴交于点，经过点的直线上存在无数个“朴实点”，当，函数有最小值，求的值． 【答案】（1）“朴实点”为，“沉毅点”为：； （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据一次函数是一个“朴实沉毅函数”即可 得出结论； （2）先由平移确定出二次函数的a值，再由二次函数的顶点就是一个“朴实点”，得出，二次函数图象经过一个“沉毅点”得出，然后代入，即可得出结论； （3）由题意得，点，求得点N的坐标为：，设直线的表达式为：，将点M的坐标代入上式得：，直线的表达式为：，由经过点M，N的直线l上存在无数个“朴实点”，即，则直线和重合，解得：，．从而抛物线的表达式为：.进而得不可能在和之间．分情况讨论即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得：，即， 解得：， “朴实点”为， 当时，即， 解得：， “沉毅点”为：； 【小问2详解】 解：二次函数图象可以由二次函数平移得到， 则抛物线的表达式为：． ∵抛物线的顶点就是一个“朴实点”，即， ∴抛物线的表达式为： ∵还经过一个“沉毅点”， 即， 将点代入抛物线表达式得：则， 解得：或6， 即抛物线的表达式为：或； 【小问3详解】 解：由题意得，点， 当时，， 即点N的坐标为：， 设直线的表达式为：， 将点M的坐标代入上式得：，解得：， 直线的表达式为：， 经过点M，N的直线l上存在无数个“朴实点”，即，则直线和重合， 且， 解得：，． 抛物线的表达式为：. 当，函数有最小值， 抛物线在顶点处的最小值为， 不可能在和之间． 当时，当时，函数取得最小值， 即， 解得：，（不合题意，舍去）． 当时， 当时，函数取得最小值， 即， 解得：，（不合题意，舍去）， 综上所述，． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象和性质在新定义中的应用，新定义“朴实点”和“沉毅点”的理解和掌握，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 24. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM＋BM最小时，求点M的坐标． （3）抛物线上是否存在点P，使△ACP为直角三角形？若存在，有几个？写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2＋5x＋6；（2）；（3）存在4个，P的坐标为（﹣2，﹣8）或（4，10）或（2＋2，4＋2）或（2﹣2，4﹣2）． 【解析】 【分析】（1）先确定C（0，6），设交点式y=a（x+1）（x-6），然后把C点坐标代入求出a的值即可； （2）连接AC，与对称轴交点即为所求点M，先利用待定系数法求出AC所在直线解析式，再将二次函数解析式配方得到其对称轴方程，继而可得答案； （3）设P点坐标为（x，-x2+5x+6），根据两点间的距离公式得到PC2=x2+（-x2+5x）2，PA2=（x-6）2+（-x2+5x+6）2，AC2=72，讨论：当∠PAC=90°，利用勾股定理得到（x-6）2+（-x2+5x+6）2+72=x2+（-x2+5x）2；当∠PCA=90°，利用勾股定理得到72+x2+（-x2+5x）2=（x-6）2+（-x2+5x+6）2；当∠APC=90°，利用勾股定理得到（x-6）2+（-x2+5x+6）2+x2+（-x2+5x）2=72，然后分别解方程即可得到对应的P点坐标． 【详解】解：（1）当x＝0时，y＝ax2＋bx＋6＝6，则C（0，6）， 设抛物线的解析式为y＝a（x＋1）（x﹣6）， 把C（0，6）代入得a•1•（﹣6）＝6，解得a＝﹣1， ∴抛物线的解析式为y＝﹣（x＋1）（x﹣6），即y＝﹣x2＋5x＋6； （2）连接AC，与对称轴交点即为所求点M， 设AC所在直线的解析式为y＝mx＋n， 将A（6，0），C（0，6）代入，得：， 解得：， 则AC所在直线解析式为y＝﹣x＋6， 又y＝﹣x2＋5x＋6＝﹣（x﹣）2＋， ∴抛物线的对称轴为直线x＝， 在直线y＝﹣x＋6中当x＝时，y＝， 则M的坐标为（，）； （3）设P点坐标为（x，-x2+5x+6）， 存在4个点P，使△ACP为直角三角形． PC2=x2+（-x2+5x）2，PA2=（x-6）2+（-x2+5x+6）2，AC2=62+62=72， 当∠PAC=90°，∵PA2+AC2=PC2， ∴（x-6）2+（-x2+5x+6）2+72=x2+（-x2+5x）2， 整理得x2-4x-12=0，解得x1=6（舍去），x2=-2，此时P点坐标为（-2，-8）； 当∠PCA=90°，∵PC2+AC2=PA2， 72+x2+（-x2+5x）2=（x-6）2+（-x2+5x+6）2， 整理得x2-4x=0，解得x1=0（舍去），x2=4，此时P点坐标为（4，10）； 当∠APC=90°，∵PA2+AC2=PC2， ∴（x-6）2+（-x2+5x+6）2+x2+（-x2+5x）2=72， 整理得x3-10x2+20x+24=0， x3-10x2+24x-4x+24=0， x（x2-10x+24）-4（x-6）=0， x（x-4）（x-6）-4（x-6）=0， （x-6）（x2-4x-4）=0， 而x-6≠0， 所以x2﹣4x﹣4＝0，解得x1＝2＋2，x2＝2﹣2， 此时P点坐标为（2＋2，4＋2）或（2﹣2，4﹣2）； 综上所述，符合条件的点P的坐标为（﹣2，﹣8）或（4，10）或（2＋2，4＋2）或（2﹣2，4﹣2）． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会运用勾股定理解方程，会解一元二次方程；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市浦东新区川沙五三中学九年级10月月考测试卷 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列四个函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于二次函数的图象，下列描述错误的是（ ） A. 该抛物线开口向上 B. 当时，y有最小值2 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时，y随x的增大而减小 3. 已知二次函数的图像如图所示，那么下列结论中正确的是（ ） A. B. 当时， C. D. 4. 在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A. B. C. D. 5. 已知线段、、，求作线段，使得的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一元二次方程有两个实数根，，且，给出下列结论：①；②抛物线的顶点坐标为；③；④当时，．其中正确的有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共11题，每题4分，满分44分） 7. 如果函数是关于x的二次函数，则_______． 8. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的解析式为____． 9. 已知点P是线段的黄金分割点，，，那么_____________． 10. 如图，直线，若，，，则线段的长是_____ ． 11. 二次函数（a、b、c是常数，）的图象如图所示，则点在第__________象限． 12. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，且在边处设计有宽的通道方便出入，若墙足够长，求这个花园可围成的最大面积是_____． 13. 若函数的图象与坐标轴至少有两个交点，则k的取值范围为______． 14. 已知点，，都在函数的图像上，则，，的大小关系是_____________． 15. 如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称，若顶点到的距离是1.08分米，那么、两点之间的距离是_________分米． 16. 已知，则一次函数的图象与坐标轴围成的面积是_____． 17. 将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象有4个公共点时，则的范围为____________． 三、解答题（本大题共7题，满分82分） 18. 函数满足下表： x … 0 1 2 3 … y … 0 m … （1）m的值为________； （2）求出抛物线与y轴的交点坐标； （3）方程的解为：________； （4）直接写出时，x的取值范围：________； 19. 如图，在平行四边形中， 求证： （1） （2） 20. 已知抛物线． （1）求证：此抛物线与x轴必有两个交点； （2）若此抛物线与直线的一个交点在y轴上，求m的值． 21. 如图，已知抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点，其顶点为，对称轴为直线． （1）求顶点的坐标及抛物线的函数表达式； （2）求的面积． 22. 某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．在市场调查中选取两类作品；原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）． 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高2元，用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件． （1）成本核算：分别求制作一件A品和一件B品的成本． （2）建立模型，设计方案：设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件（，且为整数），若制作A品和B品的总成本不超过1400元，且为使总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 23. 我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横，纵坐标相等的点称为“朴实点”，横，纵坐标互为相反数的点称为“沉毅点”，把函数图象至少经过一个“朴实点”和一个“沉毅点”的函数称为“朴实沉毅函数”． （1）函数是一个“朴实沉毅函数”，求出该函数图象上的“朴实点”和“沉毅点”： （2）已知二次函数图象可以由二次函数平移得到，二次函数的顶点就是一个“朴实点”，并且该函数图象还经过一个“沉毅点”，求该二次函数的解析式： （3）已知二次函数（为常数，）图象的顶点为，与轴交于点，经过点的直线上存在无数个“朴实点”，当，函数有最小值，求的值． 24. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM＋BM最小时，求点M的坐标． （3）抛物线上是否存在点P，使△ACP为直角三角形？若存在，有几个？写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $