精品解析：上海市青浦区第一中学2026-2027学年上学期九年级数学10月学情自测卷

内容：（初三数学）素养评估 一、选择题．（每小题4分，共24分） 1. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 3. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，随增大而增大 4. 如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 5. 两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题．（每小题4分，共68分） 7. 已知，那么________． 8. 如果函数是关于x的二次函数，则_______． 9. 已知线段，点是线段的黄金分割点，且，那么的长为________． 10. 将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 11. 如图，，，，，则的长度是________． 12. 如图，已知矩形矩形，点D，C分别在线段上，若，则线段的长为____________． 13. 已知点，在抛物线上，且，则__________（填“>”“<”或“=”）． 14. 如图，的三个顶点均在网格的格点上，请选三个格点组成一个格点三角形，它与有一条公共边且相似（不全等），则这个格点三角形是_______． 15. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为_______． 16. 如图，矩形中，点，，若，则点的坐标是________． 17. 如图，中，，将△ABC绕点C逆时针旋转，旋转后的图形是，点A的对应点落在中线AD上，且点是△ABC的重心，与BC相交于点E．那么________． 三、解答题．（第18、19、20题每题分，第21、22题每题12分，第23、24题每题14分，共82分） 18. 已知二次函数（、、是常数，且），函数与自变量的部分对应值如表： … 0 1 3 4 … … 10 2 5 … （1）直接写出的值________； （2）求出函数表达式： （3）求抛物线顶点坐标，写出开口方向和对称轴． 19. 如图，在中，，点，，，在同一条直线上，且． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为点，，． （1）请以原点为位似中心，画出，使它与的位似比为；点的对应点的坐标为________； （2）用无刻度的直尺画出上的一点，使得（保留作图痕迹，写出结论） 21. 为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 活动准备 1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形）； 2．底部跨度（的长）为； 3．立柱的长为，且，垂足为． 设计方案 考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计） 22. 已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，点F在DE的延长线上，AD＝AF，AE•CE＝DE•EF． （1）求证：△ADE∽△ACD； （2）如果AE•BD＝EF•AF，求证：AB＝AC． 23. 如图，在直角坐标平面中，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，，抛物线经过三点． （1）求此抛物线的对称轴及点的坐标； （2）连接，当时， ①求此抛物线表达式； ②在抛物线的对称轴上是否存在点，使得？如果存在，求出所有符合条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． 24. 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D是斜边AB上的动点，联结CD，作DE⊥CD交射线CB于点E，设AD＝x． （1）当点D是边AB的中点时，求线段DE的长； （2）当△BED是等腰三角形时，求x的值； （3）如果，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内容：（初三数学）素养评估 一、选择题．（每小题4分，共24分） 1. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可. 【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数. ∵选项A中是一次函数， ∴A不符合题意； ∵选项B中 ，符合二次函数的定义， ∴B符合题意； ∵选项C中，未说明，当时不是二次函数， ∴C不符合题意； ∵选项D中 里，是分式，不是整式，不符合二次函数定义， ∴D不符合题意. 2. 已知抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线与轴有两个交点，可得二次项系数不为及判别式大于，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴， ∴的取值范围是且． 3. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，随增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性即可得到答案． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故B错误，C正确； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误， ∴当时，随的增大而减小，故D错误． 4. 如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴A、添加，根据“两角相等的两个三角形相似”可以得到，选项不符合题意； B、添加，得到，根据“两角相等的两个三角形相似”可以得到，选项不符合题意； C、添加，根据“两组边对应成比例及夹角相等的两个三角形相似”可以得到，选项不符合题意； D、添加，不能判定与相似，选项符合题意． 5. 两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据最长边分别为和确定相似比，相似三角形的周长比等于相似比，再根据周长之和为即可求解． 【详解】解：两个相似三角形的最长边分别为和， 相似比为， 较大三角形与较小三角形的周长比为：， 它们的周长之和为， 较小三角形的周长为：， 故选：B． 6. 如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点、特殊值点等方面逐项判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵时，， ∴，故④错误； ∵抛物线交x轴于，对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一交点为， ∴时，，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有3个． 二、填空题．（每小题4分，共68分） 7. 已知，那么________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 8. 如果函数是关于x的二次函数，则_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意，可得 ， 解方程，得， 解得或； 由，得， 故. 9. 已知线段，点是线段的黄金分割点，且，那么的长为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得，， ∵黄金分割比为，且， 即 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解， 即的长为． 10. 将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】原抛物线已经是顶点式，直接根据二次函数平移的“左加右减，上加下减”规律计算即可． 【详解】解：根据抛物线平移规律：左加右减自变量，上加下减常数项． ∵原抛物线解析式为， ∴向左平移1个单位，对自变量加1，得， 再向上平移2个单位，对整体加2，得， ∴最后得到的新抛物线解析式为：． 11. 如图，，，，，则的长度是________． 【答案】15 【解析】 【分析】由 ，根据平行线分线段成比例定理可得 ，求出的长，进而求得的长． 【详解】解：， ， ，，， ， ， ． 12. 如图，已知矩形矩形，点D，C分别在线段上，若，则线段的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，相似多边形的性质，由矩形的性质可得，由矩形矩形，可得，代数求解即可． 【详解】解：∵矩形矩形， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 已知点，在抛物线上，且，则__________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】> 【解析】 【分析】先判断抛物线的开口方向与对称轴，再利用二次函数的增减性比较和的大小． 【详解】对于抛物线， 二次项系数， 因此抛物线开口向下，对称轴为直线， 根据二次函数的性质，当时，随的增大而减小， ， ． 14. 如图，的三个顶点均在网格的格点上，请选三个格点组成一个格点三角形，它与有一条公共边且相似（不全等），则这个格点三角形是_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，由，，判定． 【详解】解：这个格点三角形可以是（答案不唯一），理由如下： 由勾股定理得：， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 15. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为_______． 【答案】32 【解析】 【分析】设围栏垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米，列出围栏面积S关于x的二次函数解析式，化为顶点式，即可求解． 【详解】解：设围栏垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米， ∴围栏的面积， ∴当时，S取最大值，最大值为32， 故答案为：32． 【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，根据已知条件列出函数解析式是解题的关键． 16. 如图，矩形中，点，，若，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题是坐标系中的矩形问题，利用一线三垂直构造相似三角形．由矩形内角为推导角相等，证得；再由得到相似比，求出两条直角边长，最后转化为横、纵坐标． 【详解】解：如图所示：过点作于点， ∵点，点， ， ，又， ． 又， ． 相似比， 故． 代入、： ， ． 由图知在的右下方， 故横坐标为，纵坐标为． 【点睛】坐标系中出现直角顶点，优先构造一线三垂直模型；利用相似比求线段长，再转化成横纵坐标，是九年级这类题型标准解法． 17. 如图，中，，将△ABC绕点C逆时针旋转，旋转后的图形是，点A的对应点落在中线AD上，且点是△ABC的重心，与BC相交于点E．那么________． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用重心性质和直角三角形斜边中线性质表示出的长；作，利用勾股定理求出和的长；利用面积法求出点到的距离，进而求出的长；证明，求出的长，最后计算比值． 【详解】设． 点是的重心，且在上， ，． ，是的中线， ，． 旋转， ，． ． 过点作于． ，， ． ． 在中，． 在中，． 过点作交的延长线于． ， ， ． 在中，． ，， ． ，即． ． ． ． 故答案为：． 三、解答题．（第18、19、20题每题分，第21、22题每题12分，第23、24题每题14分，共82分） 18. 已知二次函数（、、是常数，且），函数与自变量的部分对应值如表： … 0 1 3 4 … … 10 2 5 … （1）直接写出的值________； （2）求出函数表达式： （3）求抛物线顶点坐标，写出开口方向和对称轴． 【答案】（1） （2） （3）顶点坐标为，开口向上，对称轴为直线 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出a、b、c的值，再求出时的函数值即可得到答案； （2）由（1）即可得到答案； （3）把解析式化为顶点式即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得， 在中，当时，， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得该函数的函数表达式为； 【小问3详解】 解：∵，二次项系数， ∴顶点坐标为，开口向上，对称轴为直线． 19. 如图，在中，，点，，，在同一条直线上，且． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）证明：∵， ， ∴， ∵， ∴； （2）9 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角可知，进而即可证明 （2）根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∵，， ∴, ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为点，，． （1）请以原点为位似中心，画出，使它与的位似比为；点的对应点的坐标为________； （2）用无刻度的直尺画出上的一点，使得（保留作图痕迹，写出结论） 【答案】（1）如图，即为所求； ； （2）如图，点即为所求； 【解析】 【分析】（1）先画出，再根据要求画出，进而可知点的坐标； （2）由题意可知和高相等，根据“等高三角形的面积比等于底边长的比”可知若，则．利用网格的格点连线，构造平行线分线段成比例，在上找到将分为的点，该点即为所求点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：和有公共顶点，底边、都在直线上，因此两个三角形的高相等（都是点到直线的距离）．根据“等高三角形的面积比等于底边长的比”，由，可得，即点在上，满足，也就是． 作图略． 21. 为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 活动准备 1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形）； 2．底部跨度（的长）为； 3．立柱的长为，且，垂足为． 设计方案 考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计） 【答案】（1） （2）这根材料的长度够用 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）求出点坐标，代入函数解析式，进行求解即可； （2）求出的坐标，进而求出的长，进行判断即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：，， ∴， 把代入，得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 由题意，可知：， ∴关于轴对称， ∵， ∴当时，， ∴， ∵， 故这根材料的长度够用． 22. 已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，点F在DE的延长线上，AD＝AF，AE•CE＝DE•EF． （1）求证：△ADE∽△ACD； （2）如果AE•BD＝EF•AF，求证：AB＝AC． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）由AE•CE＝DE•EF，推出△AEF∽△DEC，可得∠F＝∠C，再证明∠ADF＝∠C，即可解决问题； （2）欲证明AB＝AC，利用相似三角形的性质证明∠B＝∠C即可. 【详解】（1）∵AD＝AF， ∴∠ADF＝∠F， ∵AE•CE＝DE•EF， ∴， 又∵∠AEF＝∠DEC， ∴△AEF∽△DEC， ∴∠F＝∠C， ∴∠ADF＝∠C， 又∵∠DAE＝∠CAD， ∴△ADE∽△ACD． （2）∵AE•BD＝EF•AF， ∴， ∵AD＝AF， ∴， ∵∠AEF＝∠EAD+∠ADE，∠ADB＝∠EAD+∠C， ∴∠AEF＝∠ADB， ∴△AEF∽△ADB， ∴∠F＝∠B， ∴∠C＝∠B， ∴AB＝AC． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 23. 如图，在直角坐标平面中，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，，抛物线经过三点． （1）求此抛物线的对称轴及点的坐标； （2）连接，当时， ①求此抛物线表达式； ②在抛物线的对称轴上是否存在点，使得？如果存在，求出所有符合条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1），， （2）①；②存在，， 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的性质可求出抛物线的对称轴，再根据且点在轴的负半轴上可求出点A的坐标，再根据，点在轴的正半轴上，可得出点关于直线对称．进一步即可求出点B的坐标． （2）①设相交于点D．先证明，由相似三角形的性质可得出，即可求出，即可求出点C的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线表达式．②过点作，垂足为点．由已知条件得出，，利用A，C的坐标求出的解析式，设直线与直线的交点为点，则． 设，然后分两种情况当点在点上方时和当点在点下方时，利用三角形的面积求出y值即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过三点，且点在轴的负半轴上， ∴． 由抛物线表达式可知：对称轴为直线． ∵，点在轴的正半轴上， ∴点关于直线对称． ∴． 【小问2详解】 ①设相交于点D． ∵， ∴， ∴ ∵点C在x轴上，， ∴，轴，， ∴，， 即， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴，即， ∴． 把代入，可得． ∴抛物线表达式为． ②存在．如图，过点作，垂足为点． ∵， ∴． ∴． ∵，∴． ∵，， 设直线的解析式为：， 则， 解得： ∴可求得直线的解析式为． 设直线与直线的交点为点，则． 设， （Ⅰ）当点在点上方时，． ∵， ∴， 即，得． ∴． （Ⅱ）当点在点下方时，． 同理可得． ∴． 综上所述，，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合问题，求二次函数解析式，一次函数解析式以及二次函数的性质,相似三角形的判定以及性质等知识点，根据题意画出图像是解题的关键． 24. 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D是斜边AB上的动点，联结CD，作DE⊥CD交射线CB于点E，设AD＝x． （1）当点D是边AB的中点时，求线段DE的长； （2）当△BED是等腰三角形时，求x的值； （3）如果，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域． 【答案】（1）；（2）或2；（3）（0＜x＜10） 【解析】 【分析】（1）先由勾股定理求出BC的长，再由D为斜边上的中点，找条件证明△EDC∽△ACB即可求出DE的长； （2）分E在BC边上和延长线上两种情况考虑，利用等腰三角形的性质计算即可； （3）作DM垂直于BC，得到DM与AC平行，由平行得比例，表示出DM与BM，进而表示出CD与CM，由三角形DEM与三角形CDM相似得比例，表示出DE，由BD=AB-AD=10-x，将DE与DB代入表示出y，化简得到结果，并求出x的范围即可． 【详解】（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=10，AC＝6， ∴BC=8， ∵点D为斜边AB的中点， ∴CD=AD=BD=5， ∴∠DCB=∠DBC， ∵∠EDC=∠ACB=90°， ∴△EDC∽△ACB， ∴，即， 解得； （2）分两种情况情况： （i）当E在BC边上时， ∵△BED为等腰三角形，∠BED为钝角， ∴EB=ED， ∴∠EBD=∠EDB， ∵∠EDC=∠ACB=90°， ∴∠CDA=∠A， ∴CD=AC， 作CH⊥AB，垂足为H， 那么AD=2AH， ∴ ∴， ∴， 即； （ii）当E在CB延长线上时， ∵△BED为等腰三角形，∠DBE为钝角， ∴BD=BE， ∴∠BED=∠BDE， ∵∠EDC=90°， ∴∠BED+∠BCD=∠BDE+∠BDC=90°， ∴∠BCD=∠BDC， ∴BD=BC=8， ∴AD=x=AB-BD=10-8=2； 综上所述，当△BED是等腰三角形时，x的值为或2 （3）作DM⊥BC，垂足为M， ∵DM∥AC， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵△DEM∽△CDM， ∴ ∴ ∴， 整理得：（0＜x＜10）． 【点睛】此题属于相似型综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的判定与性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $