2.2《反比例函数的图象》第2课时 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级下册

第二章 反比例函数 第2课 反比例函数的图象 新版北师大数学九年级下册 第2课 增减性及K的几何意义 学习目标 1.通过观察多组k>0和k<0的反比例函数图象,能归纳出反比例函数的增减性规律,会利用增减性比较函数值的大小. 2.通过探究图象上点与坐标轴围成的矩形面积,能推导出k的几何意义,会计算与反比例函数相关的矩形、三角形的面积. 3.通过解决烘焙店的实际问题,能运用反比例函数的性质解释生活中的数量变化,体会数形结合的研究方法. 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 小明周末到妈妈的手工烘焙店帮忙,妈妈准备了1200g低筋面粉制作曲奇饼干.设每块饼干的用粉量为xg,能制作的总块数为y块. 1.请写出y与x的函数关系式,这是我们学过的哪类函数？ ,是反比例函数 2.如果想做出更多块饼干,每块饼干的用粉量需要调大还是调小？你能从函数的角度解释这个变化吗？ 需要调小;面粉总量固定,每块用量越少,总块数越多,两个量之间成反比例关系. 问题构建 反比例函数当k>0时,图象是双曲线,分布在第一、三象限. 问题1：观察函数、 、 的图象，回答下面的问题. 这三个函数的k值有什么共同点？图象分布有什么共同特征？ k都大于0;图象都分布在第一、三象限,形状都是双曲线 观察第一象限内的图象,从左往右看,图象是上升还是下降？这说明 x增大时,y怎么变化？ 从左往右呈下降趋势;说明在第一象限内,x增大时,y随之减小. 问题构建 问题2:聚焦三个函数的第三象限图象,延续观察. 观察第三象限内的图象,从左往右看,图象是上升还是下降？x增大时,y怎么变化？ 从左往右同样呈下降趋势;在第三象限内,x增大时,y也随之减小. 综合两个象限的规律,你能总结出k>0时反比例函数的增减性吗？ 当k>0时,在每一象限内,y的值随着x值的增大而减小 三个函数的k值不同,k的大小和图象离原点的远近有什么关系？ k越大,第一象限的曲线离原点越远,图象越靠外 问题构建 对于因为k>0,所以y的值随x的值增大而减小， 辨析 问题3:上面的说法对吗？请你举一组具体的x值验证说明. 不对;比如x₁=-2时y₁=-2,x₂=2时y₂=2, x从-2变到2是增大的,但y从-2变到2也增大了,不符合“y的值随x的值增大而减小” 追问:为什么会出现这种情况？我们描述增减性时必须加上什么前提？ 因为反比例函数的图象在x=0处断开,分成独立的两支,跨象限比较时不满足统一的增减规律;必须加上“在每一象限内”的前提 问题构建 当k=-2、-4、-6时,反比例函数的图象特征 问题4:类比k>0的研究思路,先判断:k<0时,图象分布在哪些象限？ 分布在第二、四象限 追问1:观察第二象限的图象,从左往右看,图象是上升还是下降？x增大时,y怎么变化？ 从左往右上升;第二象限内,x增大时,y随之增大 追问2:观察第四象限的图象,从左往右看,图象是上升还是下降？x增大时,y怎么变化？ 从左往右上升;第四象限内,x增大时,y也随之增大 问题构建 将你刚才发现的规律填入表格内,并与之前学习过的函数对比 k的符号 图象所在象限 增减性（每一象限内） k>0 第一、三象限 y的值随x的值增大而减小 k<0 第二、四象限 y的值随x的值增大而增大 问题5:我们之前学过一次函数的增减性也和k有关,二者有什么不同？ 一次函数在全体实数范围内统一增减;反比例函数只能在每一象限内讨论增减,跨象限不适用统一规律. 问题构建 (1)反比例函数,y随x的增大而减小 判断下面的说法是否正确？若不正确,给出正确的说法. (2)反比例函数,在第二象限内,y随x的增大而增大 (3)对于反比例函数,因为k<0,所以y随x的增大而增大 (4)对于,当x>0时,y随x的增大而减小 错误;改正:当k=6>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小 正确 错误;改正:当k=-2<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大 正确 协作破冰 例题:已知点A(-3,y₁),B(-1,y₂)，C(2,y₃)都在反比例函数的图象上,比较y₁,y₂,y₃的大小. 1.这三个点分别在哪个象限？对应的y值符号是什么？ A、B在第三象限,y值为负;C在第一象限,y值为正 2.同一象限内的点怎么比较大小？不同象限的点怎么比较？ 同一象限内用增减性比较;不同象限的点根据正负性比较，正数一定大于负数 3.请写出完整的比较过程和结果 ∵k=6>0,图象在一、三象限, ∴y₃>0,y₁<0,y₂<0；第三象限内y随x增大而减小,-3<-1， ∴y₁>y₂ 综上：y₂<y₁<y₃ 本例也可以直接计算得出结果比较大小 协作破冰 情境延伸:妈妈要定制矩形烤盘,要求烤盘的面积固定为12dm²,设烤盘的长为xdm,宽为ydm,则函数关系式为. 问题5:如果在函数图象上取一点P，过P分别作x轴、y轴的平行线,和坐标轴围成一个矩形,这个矩形的两边分别对应点P的什么？ 矩形的两边分别对应点P横、纵坐标的绝对值 追问1:猜一猜,这个矩形的面积是多少？和函数的k值有什么关系？ 矩形面积=|x|×|y|=|xy|；因为xy=12,所以面积是12,等于k 追问2：矩形面积一定等于K吗？ 矩形面积等于|k|，因为还有k＜0的情况 教师示范 在反比例函数图象上任取两点P、Q.过点P分别作x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S₁；过点Q分别作x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S₂. 问题6:设点P的坐标为,请用和表示 设点Q的坐标为请用和表示 追问:因为点P和Q的任意性，你有怎样的发现？ 过反比例函数图象上任意一点,向x轴、y轴作垂线,两条垂线与坐标轴围成的矩形面积等于|k|.这就是反比例函数中k的几何意义. 教师示范 问题7:如果只向x轴作一条垂线,连接该点和原点,形成的直角三角形面积是多少？ 三角形面积是矩形面积的一半,即|k|/2 追问1:这个面积的大小,会随着点在图象上的位置变化而变化吗？ 不会;只要是同一个反比例函数,无论点取在哪里,对应的矩形面积、三角形面积都是固定值. 追问2:如果点P和点Q是反比例函数图象上关于原点对称的两个点,过P、Q分别作x轴的垂线,形成的两个三角形面积有什么关系？ 面积相等，都等于|k|/2 巩固拓展 问题8:函数、 、 的图象, k越大,第一象限的图象离原点越远,这和k的几何意义有什么联系？ |k|就是图象上点对应的矩形面积,|k|越大，相同横坐标对应的纵坐标越大,因此图象离坐标轴越远. 追问:对于k<0的情况,|k|越大,图象离原点越远还是越近？ 同样离原点越远；|k|的大小决定了双曲线的“张开程度”,|k|越大,双曲线离原点越远. 巩固拓展 如右图所示，点P、Q分别是反比例函数在第一象限图象上任意两点，分别过点P、Q作PB⊥x轴交于点B，QF⊥x轴交于点F；PC⊥y轴于C，QE⊥y轴于E，EQ和PQ交于点A 问题9:找出图中面积相等的矩形 追问1:你能借助长方形面积公式表示两个小矩形的面积吗？ AP·AE=AB·AQ 巩固拓展 追问2:猜想BE与PQ的位置关系？并说明理由. ∵AP·AE=AB·AQ ∴，∠EAB=∠QAP=90° ∴△ABE∽△PAQ ∴∠AEB=∠PQA ∴BE∥PQ 追问3:画出直线PQ交两个坐标轴分别于点M、N，猜想线段PM与PN的数量关系. 由BE∥PQ可得，四边形BEMP与四边形BEQN都是平行四边形，可得PM=EB=QN. 当堂检测 1.对于反比例函数,下列说法正确的是（ ） A. 图象位于第一、三象限 B. 在每一象限内，y随x的增大而减小 C. 图象上任意一点向坐标轴作垂线，围成的矩形面积为5 D. 当x>0时，y随x的增大而减小 C 解析：k=-5<0，图象在二、四象限，每一象限内y随x增大而增大，A、B、D 错误；矩形面积=|k|=5，C正确. 当堂检测 2.已知点(-4, y₁)，(-1, y₂)，(2, y₃)都在反比例函数 的图象上,比较y₁、y₂、y₃的大小，并说明理由. y₃<y₁<y₂ 理由：∵k=-8<0，图象在第二、四象限 ∴点(-4, y₁)、(-1, y₂)在第二象限 y₁>0，y₂>0； 点(2, y₃)在第四象限,y₃<0 第二象限内y随x的增大而增大，-4<-1，∴y₁<y₂ 综上：y₃<y₁<y₂ 反思总结 1.描述反比例函数的增减性时,为什么必须加上“在每一象限内” 这个前提？ 2.反比例函数中k的几何意义是什么？你能说出几种和它相关的常见图形面积？ 3.回顾本节课的研究过程,我们是怎样一步步得到函数性质的？这和我们之前研究一次函数、二次函数的方法有什么共同点？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第37页 第1,2题 二、素养类作业 课本第37页 第4题 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $