2.3 反比例函数的应用 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级下册

第二章 反比例函数 第3课 反比例函数的应用 新版北师大数学九年级下册 学习目标 1.通过分析淤泥压强、蓄电池电流、蓄水池排水等实际问题,能列出反比例函数关系式,会代入数值计算或列不等式求解相关量. 2.通过探究正比例函数与反比例函数的交点问题,能求解两个函数的表达式与交点坐标,会判断交点的位置关系与存在性. 3.通过跨学科与生活场景的应用,能建立反比例函数模型,体会数形结合思想,感知函数的实际应用价值. 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 某校科技小组开展野外考察,前方遇到一片淤泥地,同学们通过铺垫木板的方式安全通过.已知人和木板对地面的总压力为600N 从物理角度想一想,为什么铺上木板就能安全通过淤泥地？ 压力一定时,增大受力面积可以减小压强,避免下陷 设木板面积为Sm²,地面受到的压强为PPa,你能写出p和S的关系式吗？ 根据压强公式可得P 这就是我们生活中的反比例函数问题，今天我们就用反比例函数的知识解决这类实际问题 问题构建 任务一：①压强问题：建立函数模型 问题1:用含S的代数式表示P,P是S的反比例函数吗？为什么？ ;是反比例函数,符合的形式,其中k=600≠0 追问1:这个函数的自变量S可以取负数吗？实际取值范围是什么？ 不能取负数;实际问题中木板面积必须为正，因此S>0. 追问2:与数学中的反比例函数相比,实际问题的自变量有什么特点？ 必须符合现实意义,通常只能取正数,图象也只有第一象限的一支. 问题构建 ②数值计算：求解压强与面积 问题2:当木板面积为0.2m²时,地面受到的压强是多少？ 把S=0.2代入,得=3000Pa 追问1:如果要求压强不超过6000Pa,木板面积至少要多大？ 由题意得≤6000，解得S≥0.1,即木板面积至少为0.1m². 追问2:想一想:当压力一定时，木板面积越大,压强越____；压强越大,需要的木板面积越____. 小；小.符合反比例函数“乘积一定”的特征 问题构建 ③图象表达：直观解释规律 问题3:在平面直角坐标系中画出的图象,图象在哪个象限？为什么？ 只在第一象限;因为S>0,p>0,实际问题只有第一象限的一支双曲线 追问1:结合图象说一说:为什么面积越大，压强越小？ k=600>0,在第一象限内,y随x的增大而减小，因此面积S越大,压强p越小 追问2:你能借助图象对问题(2)(3)进行解释吗？ 点(0.2,3000)和点(0.1,6000)都在这支双曲线上 问题构建 实验室的电路探究 科技小组回到实验室,研究自制装置的蓄电池电路.已知蓄电池两端电压为定值,电流I与电阻R满足欧姆定律U=IR 问题4:当电压一定时,电流I和电阻R之间是什么关系？ 成反比例关系,电阻越大,电流越小 追问1:右图是电流随电阻变化的函数图象，点A(9, 4)在图象上,你能求出电压是多少吗？ U=IR=9×4=36V 追问2:请写出电流I关于电阻R的函数表达式 由U=36V,得I=（R>0） 追问3:这是一个反比例函数吗？它的k值是多少？ 是反比例函数，k=36 问题构建 实际应用：电流限制下的电阻范围 问题5:如果用电器的电流不得超过10A,那么可变电阻应控制在什么范围内？ 由题意得36/R≤10,解得R≥3.6,即可变电阻应不小于3.6Ω 追问1:如果电阻调为18Ω,电流会超过10A吗？ I=36/18=2A,小于10A,不会超过 追问2:结合增减性说一说:为什么电阻越大,越安全？ k>0,第一象限内电流随电阻增大而减小,电阻越大,电流越小,越不容易烧坏用电器. 问题构建 问题6:回顾两个问题的解决过程,用反比例函数解决实际问题一般分哪几步？ ①根据等量关系列出函数关系式； ②确定自变量的实际取值范围； ③代入数值计算或列不等式求解； ④结合实际意义检验结果 追问1:这类问题的函数图象有什么共同特点？ 通常只有第一象限的一支双曲线,自变量和函数值都为正数 追问2:此类函数问题通常和哪些知识一起考查？ 方程和不等式 协作破冰 函数图象的交点奥秘 科技小组整理数据时发现：正比例函数和反比例函数的图象会出现交点 问题7:正比例函数的一般形式是什么？反比例函数的一般形式是什么？ 正比例函数y=k₁x（k₁≠0）;反比例函数（k₂≠0） 追问1:已知交点坐标，怎么求两个函数的表达式？ 把交点坐标分别代入两个函数解析式，求出k₁和k₂的值 追问2:把点A(,2) 代入正比例函数y=k₁x,求k₁的值,写出表达式 2 = k₁・ ，解得 k₁=2，表达式为y=2x 追问3:把点A(,2) 代入反比例函数求k₂的值,写出表达式 2 = 解得k₂=6,表达式为 协作破冰 追问4:除了点A,两个函数还有其他交点吗？ 还有另一个交点,两个函数图象通常有两个交点 追问5:你能求出另一个交点B的坐标吗？说说你的方法 方法一：联立两个函数方程，解得 x=±，因此B点坐标为 (- ,-) 追问6:观察课本图2-7A、B两点的坐标,它们有什么位置关系？ 横、纵坐标都互为相反数,两点关于原点中心对称 追问7:为什么会有这样的对称关系？ 因为正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，所以它们的交点也关于原点对称 教师示范 追问8:是不是所有正比例函数和反比例函数都有两个交点？ 不是.当k₁和k₂同号时,有两个交点;当k₁和k₂异号时，没有交点. 追问9:为什么异号时没有交点？ k₁和k₂异号时,两个函数的图象不在相同的象限,因此不会相交. 追问10:如果已知一个交点是(a,b),能直接写出另一个交点吗？ 可以,直接写(-a,-b)，利用中心对称性快速求解 教师示范 利用交点解不等式解集 问题8:结合图象观察:当x取什么值时,正比例函数的值大于反比例函数的值？ 当-<x<0或x>时,正比例函数图象在上方，函数值更大 追问1：当x取什么值时，正比例函数的值小于反比例函数的值？ 当x<-或0<x<时,反比例函数图象在上方，函数值更大 追问2:解决这类问题的关键是什么？ 先找到交点，再根据图象的上下位置判断解集，体现数形结合的思想 巩固拓展 一次函数与反比例函数问题 如图，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与y轴交于点C，与反比例函数y＝－ 的图象交A(－1，m)，B(n，－2)两点. (1)求k，b，m，n的值； 巩固拓展 解：(1)∵反比例函数y＝－ 的图象经过点A(－1，m)，B(n，－2)， 将A(－1，m)，B(n，－2)分别代入y＝－ 中，得m＝6，n＝3， ∴A(－1，6)，B(3，－2)， ∵一次函数y＝kx＋b的图象经过A，B两点， ∴将A，B两点代入y＝kx＋b中，得， 解得， ∴k＝－2，b＝4，m＝6，n＝3； 巩固拓展 一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与y轴交于点C，与反比例函数y＝－ 的图象交A(－1，m)，B(n，－2)两点. (2)根据函数的图象，直接写出不等式kx＋b＜－ 的解集； 解：由(1)知A(－1，6)，B(3，－2)， 观察图象可得，不等式kx＋b＜－ 的解集 为－1＜x＜0或x＞3； 当堂检测 1. 下列关于反比例函数应用的说法，正确的是（ ） A. 路程一定时，速度和时间成正比例关系 B. 电压一定时，电流和电阻成反比例关系 C. 矩形的长和宽成反比例关系 D. 正比例函数 y=x 和反比例函数 y=-2/x 有两个交点 B 解析：A选项路程一定，速度和时间成反比例；C选项面积未说明固定，不一定成反比例；D选项k异号，没有交点 当堂检测 2.已知正比例函数y=3x与反比例函数y=k/x 的图象交于点A(1,m) （1）求m的值和反比例函数的表达式； （2）求两个函数的另一个交点坐标. （1）把x=1代入y=3x，得m=3；把(1,3)代入 y=k/x，得k=3，反比例函数表达式为 y=3/x（2）根据中心对称性,另一个交点坐标为 (-1,-3) 反思总结 1.用反比例函数解决实际问题的一般步骤是什么？自变量取值范围需要注意什么？ 2.正比例函数和反比例函数的交点有什么对称规律？交点的存在性和什么有关？ 3.本节课解决问题的过程中,用到了哪些数学思想？和一次函数的应用相比有什么共同点？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第40页 第1题 二、素养类作业 拓展阅读：课本第40页 《走近函数大家庭》 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $