2.1 认识反比例函数 课件 2026-2027学年北师大版数九年级下册

第二章 反比例函数 第1课 认识反比例函数 新版北师大数学九年级下册 学习目标 1.通过分析行程问题、台灯调光问题中的数量关系,能列出对应的函数表达式,归纳反比例函数的共同特征,理解反比例函数的概念. 2.通过类比正比例函数的研究方法,掌握用待定系数法求反比例函数表达式的步骤,能准确判断一个函数是否为反比例函数. 3.通过解决杠杆原理等生活实际问题,体会反比例函数的模型意义,感受 “生活-数学-生活”的研究过程,发展数学抽象与应用意识. 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 观察公路、台灯、函数图象三个元素，你能提出哪些和函数知识相关联的问题？ 结合我们之前学习一次函数、正比例函数、二次函数的经验，你觉得本章我们会围绕反比例函数研究哪些内容？会按照怎样的顺序展开研究？ 函数的概念 图象及性质 现实中应用 问题构建 情境1:周末爸爸开车带小明去100km外的外婆家,全程路程固定不变 问题1:设汽车行驶的平均速度为vkm/h,行驶全程的时间为th,根据路程公式s=vt,你能用含v的式子表示t吗？ 由s=t,s=100,可得t= 追问1:请计算并填写下表,观察随着v逐渐变大,t是怎样变化的？ /(km/h) 40 50 60 70 80 t/h 随着值逐渐增大,t的值逐渐减小 2.5 2 问题构建 追问2:在这个变化过程中,有哪几个变量？变量t是变量的函数吗？请结合函数定义说明理由. 有速度和时间t两个变量；t是的函数,因为对于的每一个确定的正值,t都有唯一确定的值与之对应,符合函数的定义. 情境2:晚上小明回家写作业,转动旋钮调节台灯亮度,爸爸告诉他，亮度变化是通过改变电阻、调整电流实现的. 问题2:物理中欧姆定律为U=IR,当台灯两端电压U=220V时,设电阻为RΩ,电流为IA,你能用含R的式子表示I吗？ 由U=IR变形可得I= 问题构建 追问1:请计算并填写下表,观察随着R逐渐变大,I是怎样变化的？ R/Ω 20 40 60 80 100 I/A 11 5.5 2.75 2.2 随着值逐渐增大,I的值逐渐减小 追问2:这个过程中,变量I是变量R的函数吗？为什么？ I是R的函数,因为对于R的每一个确定的正值，I都有唯一确定的值与之对应,符合函数定义. 问题构建 问题3:对比t=和I=这两个函数关系式,它们有哪些共同的特征？请从变量关系、运算形式、乘积特点三个角度说一说. ①都包含两个变量,自变量和因变量一一对应； ②形式上都是“一个常数除以自变量”； ③两个变量相乘的积是一个固定不变的常数（vt=100,IR=220） 追问:你能再举一个类似的生活例子吗？比如面积固定的长方形,长和宽的关系. 例如长方形面积为20cm²,长为𝑥cm,宽为𝑦cm，那么,长和宽的乘积固定. 问题构建 问题4:我们之前学过正比例函数𝑦=k𝑥（k为常数,k≠0）,是比值固定的函数.现在这类乘积不变的函数,我们叫反比例函数,请你类比正比例函数的定义,试着给反比例函数下一个定义? 一般地,如果两个变量𝑥,𝑦之间的对应关系可以表示成（k为常数,k≠0）的形式,那么称𝑦是𝑥的反比例函数. 追问:根据定义思考,反比例函数的自变量𝑥可以取0吗？为什么？除了的形式,反比例函数还可以写成什么形式？ 自变量𝑥不能为0,因为分母不能为0； 还可以写成𝑥𝑦=k（k为常数,k≠0）的形式； 还可以写成 （k为常数,k≠0）的形式. 问题构建 下列函数中,𝑥是自变量,哪些是反比例函数？每个反比例函数对应的k值是多少？ （1）𝑦=； （2）𝑦=； （3）𝑦=； （4）𝑥𝑦=2; (5) (6) （1）是反比例函数，k=5； （2）是反比例函数，k=0.4； （3）是正比例函数，不是反比例函数； （4）是反比例函数，变形为𝑦=，k=2 （5）是反比例函数，变形为，k=3 （6）是反比例函数，k= 协作破冰 和正比例函数一样,知道了反比例函数的形式,我们可以用一组对应值求出k的值,从而确定函数表达式,这种方法叫待定系数法. 问题5:已知𝑦是𝑥的反比例函数,当𝑥=6时,𝑦=3.求这个反比例函数的表达式,说说你的解题步骤. ①设函数表达式为（k≠0）； ②把𝑥=6,𝑦=3代入表达式,得3=,解得=18； ③写出函数表达式: 追问1:在这个函数中,当𝑥=3时,𝑦的值是多少？ 把𝑥=3代入得𝑦=6 追问2:在这个函数中,当𝑦=9时,𝑥的值是多少？ 把𝑦=9代入得𝑥=2 协作破冰 问题6:已知𝑦是𝑥的反比例函数,表格中给出了部分𝑥和𝑦的对应值,请先求出函数表达式,再补全表格. 𝑥 （ ） -2 -1 -1/2 1/2 1 （ ） 3 𝑦 2/3 （ ） 2 （ ） （ ） （ ） -1 （ ） 先设把𝑥=-1,𝑦=2代入,得2=k/(-1)，解得k=-2,函数表达式为, 补全结果:𝑥第一空填-3,𝑥第二空填2； 𝑦从左到右依次填1、4、-4、-2、-2/3. 追问1:有同学认为,具备反比例关系的都是反比例函数,你同意这个观点吗？ 教师示范 根据长方体体积公式:长×宽×高 V== 此时,成反比例关系,反比例函数. 追问2:我们在初中已经认识了函数家族的好几位成员,请你说出它们的名字和一般形式. 正比例函数（k为常数,k≠0）； 一次函数（k为常数,k≠0）； 二次函数（a为常数,a≠0）; 反比例函数 教师示范 函数类型 一般形式 核心数量特征 自变量取值范围 正比例函数 𝑦=k𝑥（k≠0） 两个量的比值为定值 全体实数 一次函数 𝑦=k𝑥+b（k≠0） 因变量匀速变化 全体实数 二次函数 𝑦=a𝑥²+b𝑥+c（a≠0） 因变量随自变量二次变化 全体实数 反比例函数 𝑦=k/𝑥（k≠0） 两个量的乘积为定值 𝑥≠0 的实数 快速抢答——判断下列函数分别属于哪一类①𝑦=3𝑥 ②𝑦=3/𝑥 ③𝑦=3𝑥² ④𝑦=3𝑥+2 巩固拓展 已知与+1成反比例，并且当𝑥=3时，𝑦=4. (1)写出𝑦关于𝑥的函数表达式； (2)当𝑥=7时，求𝑦的值． 解：(1) 设 ，因为当𝑥=3时，𝑦=4 ， 所以有4 ，解得k=16，因此 . (2) 当𝑥=7时，=2 巩固拓展 生活应用：杠杆的秘密 改编课本“阿基米德撬动地球”的阅读材料,设计一道基础应用题：用撬棍撬动一块石头,阻力和阻力臂的乘积为1200N・m，设动力为FN,动力臂为lm （1）写出F关于l的函数关系式； （2）当动力臂为2m时,需要多大的动力？ （1）根据杠杆平衡原理:动力×动力臂=阻力×阻力臂 已知阻力与阻力臂的乘积为1200 N・m,因此有F・l=1200变形可得F关于l的函数关系式：F=（l>0） （2）当动力臂l=2m时,将其代入函数关系式： F=1200/2=600 答：需要600N的动力 当堂检测 1. 填空： (1) 若是反比例函数，则m的取值范围是 . (2) 若是反比例函数,则m的取值范 围是 . (3) 若是反比例函数，则m的值是 . m≠1 m≠0且m≠－2 －1 当堂检测 2. 李华家离学校1500m，每天他往返于两地之间，有时步行，有时骑车,有时坐公交地铁.假设小明每天上学时的平均速度为v (m/min)，所用的时间为t (min)． (1) 求变量v 和t 之间的函数关系式； 解： (t > 0)． 当堂检测 (2) 李华星期二步行上学用了25 min，星期三骑自行 车上学用了10min，星期四坐地铁上学12分钟，那么他星期二到星期四上学时的平均速度是多少？ 平均速度(72+180+150)÷3=134(m/min)． 答：他星期二到星期四上学时的平均速度是多少134m/min. 解：当t=25时,=72米/分 ； 当t=10时,=180米/分 . 当t=12时,=150米/分 . 反思总结 1.本节课我们经历了怎样的学习过程？和之前学习正比例函数的研究路径相比，有什么相同的地方？ 2.判断一个函数是不是反比例函数,你有哪些判断标准？请总结出来. 3.请你再举出一个生活中的反比例函数实例.并写出对应的函数关系式. 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第32页 第1，2题 二、素养类作业 拓展阅读：《阿基米德能撬动地球吗？》 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $