2.2《反比例函数的图象》第1课时 课件 2026-2027学年北师大版数九年级下册

第二章 反比例函数 第2课 反比例函数的图象 新版北师大数学九年级下册 第1课 反比例函数图象的基本性质 学习目标 1.通过动手列表、描点、连线的作图过程,发现反比例函数的图象形状特征. 2.通过对比k>0和k<0时的函数图象,归纳出图象所在象限与k的符号关系，画图观察反比例函数图象的中心对称性与轴对称性. 3.通过对生活现象的观察，用图象性质解释简单的生活实际问题,感受数学知识对生活的改变. 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 物理实验中,压力为10N时,压强p（单位：Pa）与受力面积S（单位：m²）满足关系式p=，这是我们上节课认识的反比例函数.小明想画出它的图象,直观观察变化规律. 回忆我们之前学习一次函数、二次函数时,画任意函数图象的通用步骤是什么？ 列表、描点、连线 我们以课本中的为例,先思考：自变量x可以取哪些值？列表选值的时候要注意什么？ x可以取所有不等于0的实数;列表时要注意正负值都要取,取值尽量对称,多取一些点，这样画出的图象更准确. 问题构建 问题1:请你补全下面的表格,计算对应的y值. -8 -4 -2 -1 1 2 4 8 -1 -2 -4 4 2 1 追问1:根据表格中的坐标，在平面直角坐标系中描点 问题构建 追问2:这几个点应该如何连接呢？你是怎样判断的？ 自变量的值从-4到-3，因变量的值从-1到- ，变化量- 自变量的值从-3到-2，因变量的值从- 到-2，变化量- 自变量的值从-2到-1，因变量的值从-2到-4，变化量-2 依据二次函数的学习经验，变化不是均匀的，一定是曲线 追问3:位于第一象限和第三象限的点是否能直接相连呢？你是怎样思考的？ 两个象限的点都在自己的象限内，不能相连，因为自变量x的取值不能为0，因变量的取值中也不可能等于0，所以坐标轴就像两根“电线” ，点都不能与之相交. 问题构建 追问3:说出该函数的K值，并用你自己的语言描述反比函数图象的位置特征？ 该函数k=4，我们发现图象是两支曲线，分别位于第一象限和第三象限，与坐标轴无限接近，永不相交. 追问4:如果k都取正值,你发现的图象特征是否具有一般性,观察老师所画的图象进行观察判断. 三个函数的K都满足k＞0，图象都位于第一象限和第三象限，K的值越大，离坐标轴越远. 问题构建 问题2:如果k的值小于0，结论怎样的？在坐标系中画出的图象. -8 -4 -2 -1 1 2 4 8 1 2 4 -4 -2 -1 - 该函数k=-4，我们发现图象是两支曲线，分别位于第二象限和第四象限，与坐标轴无限接近，永不相交. 问题构建 问题3:对比和的图象,总结一下:反比例函数的图象所在象限和k的符号有什么关系？ 反比例函数的图象是由两支曲线组成的,类似于二次函数图象的命名抛物线,我们把反比例函数图象命名为双曲线. 当k>0时,两支曲线分别位于第一、三象限内；当k<0时,两支曲线分别位于第二、四象限内. 追问:快速判断：下列反比例函数的图象分别在哪些象限？ ① ② ③ ①第一、三象限； ②第二、四象限； ③第一、三象限 问题构建 问题4:在平行四边形的系列知识中,我们也研究了图形的对称性，反比例函数图象是否具有对称性呢？你有怎样的研究方法？ -8 -4 -2 -1 1 2 4 8 1 2 4 -4 -2 -1 - 1.观察表格，把其中的8个点坐标书写出来，你认为有关联的点可以写在一起 (-8,0.5)和(8,-0.5)；(-4,1)和(1,-4); (-2,2)和(2,-2);(-1,4)和(1,-4) 2.从坐标上来看，这些点又怎样的位置关系？ 关于原点对称 猜想：反比例函数图象关于原点对称 协作破冰 3.刚才我们研究了对于一般的反比例函数(k≠0)你能验证它是否具有中心对称性吗？ 解，设点（a,b）在反比例函数图象(k≠0)上 可得k=ab 点(a,b)关于原点的中心对称点坐标为(-a,-b) 把点(-a,-b)代入可得： (-a)×(-b)=ab=k 所以：反比例函数(k≠0)具有关于原点中心对称的性质. 4.除了代数推理，你能根据中心对称的定义进行验证吗？ 协作破冰 问题5:我们已经确认反比例函数的图象是中心对称图形，它是不是轴对称图形呢？如果是，它的对称轴是什么？ 因为对称轴是一条直线 猜想:反比例函数可能关于直线y=x对称 追问1:关于直线y=x对称的对称点坐标有怎样的规律？ 平面内任意一点坐标为(a,b),则它关于直线y=x的对称点坐标(b,a) 追问2:你能证明反比例函数图象关于直线y=x对称吗？ 设反比例函数图象上任意一点坐标为(a,b)，点在上 ∴k=ab,该点关于直线y=x的对称点坐标为(b,a) ∴k=ba,对称点(b,a)也在反比例函数图象上 ∴反比例函数关于直线y=x对称. 教师示范 追问3:还有别的直线是反比例函数的对称轴吗？ 猜想:关于直线y=-x轴对称 追问4:关于直线y=-x轴对称的点的坐标又怎样的特征？ 平面内任意一点(a,b)，关于直线y=-x的对称点，坐标为(-b,-a) 设点P(a,b)关于直线y=-x的对称点为Q(-b,-a),验证点 Q是否满足函数表达式： 把x=-b代入得y=k/(-b)=-k/b.由ab= k可推出 k/b=a,因此代入后y=-a. 这说明点Q(-b, -a)的坐标满足即点Q也在反比例函数的图象上. 教师示范 反比例函数图象对称性总结适用范围：反比例函数（k为常数，k≠0），该性质与k的符号无关. 对称类型 几何特征 代数特征 具体结论 中心对称 将双曲线绕对称中心旋转180°后，旋转后的图象与原图象完全重合 若点(x₀,y₀) 在反比例函数的图象上，则其关于原点的对称点(-x₀,-y₀)也一定在该函数的图象上 对称中心为坐标原点(0,0) 巩固拓展 轴对称 将双曲线沿对称轴翻折后，直线两侧的图象部分能够完全重合 ① 若点(x₀,y₀) 在反比例函数的图象上，则其关于直线y=x的对称点 (y₀,x₀)也一定在该函数的图象上 ② 若点(x₀,y₀)在反比例函数的图象上,则其关于直线y=-x的对称点 (-y₀,-x₀)也一定在该函数的图象上 共有2条互相垂直的对称轴，分别为直线y=x和直线 y=-x 对称类型 几何特征 代数特征 具体结论 巩固拓展 例题背景:已知反比例函数（k为常数,k≠0）的图象经过点P(-3,4) 基础达标问 能力提升问 1.求该反比例函数的表达式,并判断函数图象位于哪几个象限. 2.判断下列各点是否在该反比例函数的图象上,并说明理由： ①A(2,-6)；②B(-2,-6)；③C(12,-1) 3.若点D(m,3)在该函数图象上,求m的值 1.直接写出该反比例函数图象的对称中心坐标,以及所有对称轴的表达式. 2.结合图象的对称性解答： ①写出点P(-3,4)关于原点的对称点P₁的坐标,并验证P₁是否在函数图象上； ②写出点P(-3,4)关于直线y=x的对称点P₂ 的坐标,并验证P₂是否在函数图象上； ③写出点P(-3,4)关于直线y=-x的对称点P₃ 的坐标,并验证P₃是否在函数图象上. 巩固拓展 1.求该反比例函数的图象与直线y=-x的交点坐标. 拓展探究问(原创) 与y=-x， 得-x=- 即x²=12，解得x=±2 对应y=±2 ，因此交点坐标为 (2 , -2 ) 和 (-2 , 2 ) 2.若点M、N是该反比例函数图象上关于原点对称的两个点,过点M作MA⊥x轴于点A,过点N作NB⊥y轴于点B,MA与NB交于点C ①若点M的横坐标为-6,求点C的坐标； ②求△MNC的面积. 当堂检测 ①点M横坐标为-6,代入函数得y=-12÷(-6)=2,即M(-6, 2)； M、N关于原点对称,因此N(6,-2)；MA⊥x轴,故A(-6, 0),MA为直线 x=-6； NB⊥y轴,故B(0,-2),NB为直线 y=-2； 两直线交点C的坐标为(-6,-2) ② MC的长度为2-(-2)=4，NC的长度为6-(-6)=12；由坐标可知MC⊥NC，因此△MNC为直角三角形 面积=1/2×MC×NC=1/2×4×12=24 当堂检测 某工地要运送一批建材,已知总路程为12km,设运输车的平均速度为vkm/h,行驶全程的时间为th，且t=12/v（v>0） （1）这个函数的图象在实际问题中位于哪个象限？为什么？ （2）当行驶速度v增大时，行驶时间t会怎样变化？请结合图象性质说明理由. （1）位于第一象限；因为速度v和时间t都是正数，所以只有第一象限的一支图象 （2）当v增大时，t会减小； 因为k=12>0，在第一象限内,图象从左到右逐渐下降,所以速度越大,所用时间越短. 反思总结 1.画反比例函数图象分为哪几个步骤？作图过程中有哪些需要注意的细节？ 2.反比例函数的图象在位置、对称性上分别有什么规律？ 3.本节课我们研究反比例函数图象的过程，和研究一次函数、二次函数的方法有什么相同之处？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第35页 第1题 二、素养类作业 课本第38页 第8题 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $