2.2 第1课时 二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学课件聚焦二次函数y=x²和y=-x²的图象与性质，通过复习一次函数、反比例函数图象及“列表、描点、连线”画法，搭建旧知支架，自然引出二次函数图象探究，形成完整知识脉络。 其亮点在于以描点法实践为基础，通过问题链引导观察图象特征，培养几何直观与抽象能力，对比归纳两函数性质，发展推理意识，结合典例与实际问题（如正方形面积）强化模型意识。学生能提升探究能力，教师可借助结构化资源提高教学效率。

第二章 二次函数 2.2 二次函数的图象与性质 第1课时 二次函数 y = x2 和 y =－x2 的图象与性质 九年级下册数学（北师版） ① 一次函数 y = kx + b (k≠0) x y o b<0 b>0 b=0 x y o b<0 b>0 b=0 1.你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？ 复习回顾 ② 反比例函数 O x y 2. 通常怎样画一个函数的图象？ 列表、描点、连线. 3. 那么二次函数 y = x2 的图象是什么样的呢？你能动手画出它吗？ 你会用描点法画二次函数 y = x2 的图象吗? 1. 列表：在 y = x2 中自变量 x 可以是任意实数，列表表示几组对应值： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y = x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 9 4 1 0 1 9 4 二次函数 y=x2 和 y= -x2 的图象和性质 1 合作探究 探究新知 2 4 -2 -4 O 3 6 9 x y 函数图象画法 列表 描点 连线 2. 描点：根据表中 x， y 的数值在坐标平面中描点(x，y) 3. 连线：如图，再用光滑的曲线顺次连接各点，就得到 y = x2 的图象． 2 4 -2 -4 O 3 6 9 x y x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9　 4　 1　 0　 1　 4　 9　 …　 问题1 你能描述图象的形状吗？ 二次函数 y = x2 的图象是一条抛物线，并且抛物线开口向上. 观察思考 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大. 2 4 -2 -4 O 3 6 9 x y 问题2 图象与 x 轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？ 有，(0，0). 问题3 当 x < 0 时，随着 x 值的增大，y 值如何变化？ 当 x > 0 时呢？ 问题4 当 x 取何值时，y 的值最小？ 最小值是什么？ x = 0 时，ymin= 0. －3 3 o 3 6 9 x y 对称轴与抛物线的交 点叫做抛物线的顶点， 它是图象的最低点， 为 (0，0). 问题5 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴 是什么？ 这条抛物线于 y轴对称，y 轴就是它的对称轴. y 2 4 -2 -4 O -3 -6 -9 x x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9　 -4　 -1　 0　 -1　 -4　 -9　 …　 做一做：画出函数 y = －x2 的图象，并仿照 y = x2 的性 质说出 y = －x2 有哪些性质？ 合作探究 抛物线关于 y 轴对称. 顶点坐标是（0，0）；是抛物线上的最高点. 2 4 -2 -4 O -3 -6 -9 x 图象是一条开口向下的抛物线. 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x > 0 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x = 0 时，ymax = 0. y y＝x2 y＝－x2 图象 位置开 口方向 对称性 顶点 最值 增减性 开口向上,在 x 轴上方 开口向下,在 x 轴下方 关于 y 轴对称，对称轴方程是直线 x ＝ 0 顶点坐标是原点（0，0） 当 x=0 时，y最小值 = 0 当 x=0 时，y最大值 = 0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 要点归纳 y O x y O x 例1 若点 A(-3，y1)，B(-2，y2) 是二次函数 y = -x2图象上的两点，那么 y1 与 y2 的大小关系是________. y2＞y1 例1变式 若点 A(-1，y1)， B(2，y2) 是二次函数 y = -x2 图象上的两点，那么 y1 与 y2 的大小关系是__________. y1 ＞ y2 典例精析 例2 已知：如图，直线 y＝3x＋4 与抛物线 y＝x2 交于A、B 两点，求出 A、B 两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积． 解：由题意得 解得 所以两函数的交点坐标为 A(4，16) 和 B(－1，1)． ∵直线 y＝3x＋4与 y 轴相交于点C(0，4)，即 CO ＝ 4. ∴S△ACO＝ ·CO·4＝8，S△BOC＝ ×4×1＝2， ∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10. 二次函数 y = x2 和y=－x2 图象与性质 画法 描点法 以对称轴为中心对称取点 图象 抛物线 轴对称图形 性质 重点关注4个方面 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 当堂小结 1. 两条抛物线 y = x2 与 y = -x2 在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（　　） A. 顶点坐标均为 (0，0) B. 对称轴均为 x = 0 C. 开口都向上 D. 都有 (0，0) 处取最值 C 2．若点 A(2，m) 在抛物线 y = x2 上，则点 A 关于 y 轴对称点的坐标是 　 　　． (-2，4) 课堂练习 a S -1 -2 -3 O 1 2 3 3 2 1 6 5 4 9 8 7 3．设正方形的边长为 a，面积为 S，试作出 S 随 a 的变化而变化的图象． 解： S = a2 (a>0) 列表： a 0 1 2 3 … S … 0 1 4 9 描点并连线． S=a2 4. 已知二次函数 y = x2，若 x≥m 时，y 最小值为 0，求实数 m 的取值范围． 解：∵二次函数 y = x2， ∴ m≤0． ∵当 x≥m 时，y最小值 = 0， ∴当 x = 0 时，y 有最小值，且 y最小值 = 0， 5. 已知 是二次函数，且当 x ＞ 0时，y 随 x 的增大而减小，则 a =________. 解析：由题意可知 3 ∴a = 3. 又∵当 x ＞ 0 时，y 随 x 的增大而减小， 解得 a = 3 或 a = -3. ∴ y = -x2 或 y = 5x2. 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $