精品解析：山东省青岛第五十八中学2026-2027学年高一上学期10月份月考数学试题

山东省青岛第五十八中学2026-2027学年高一上学期10月份月考 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用Venn图数形结合求解集合. 【详解】由，如下图示， 且， 则. 故选：C. 2. 设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合且以集合为值域的函数关系的有（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ② 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义，且定义域为，值域为，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意知，函数的定义域为，值域为， 对于①中，函数的定义域不是集合，所以①不正确； 对于②中，函数的定义域为集合，值域为集合，能表示集合到集合且以集合为值域的函数关系， 所以②正确； 对于③中，函数的定义域为集合，值域不是集合，所以③不正确； 对于④中，集合中的元素在集合中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以④不正确. 故选：D. 3. 下列函数中，与函数是相等函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依次判断各个选项的解析式和定义域是否和相同，二者皆相同即为同一函数，由此得到结果. 【详解】的定义域为； 对于A，定义域为，与定义域不同，不是同一函数，A错误； 对于B，，与定义域相同，解析式相同，是同一函数，B正确； 对于C，定义域为，与定义域不同，不是同一函数，C错误； 对于D，，与解析式不同，不是同一函数，D错误. 故选：B. 4. 不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分和两种情况讨论，当时不等式显然成立，当时转化为，根据分式不等式的求解方法求解，最终得到结果. 【详解】由，当时，不等式显然成立； 当时，，， 解得：且. 综上，不等式的解集为. 故选：D. 5. 已知集合，，，则集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对集合C分析，当n为偶数时，它与集合A相等，所以集合A是集合C的真子集；又集合B和集合C相等，从而得出集合A、B、C的关系． 【详解】集合， 当时，， 当时，， 又集合，， 集合，集合， ，可得， 综上可得 故选：C． 6. 已知、、均为正实数，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件可得，由此可得出，结合基本不等式可求得答案. 【详解】因为、、均为正实数，则，即，所以， 故 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 7. 基本不等式是均值不等式“链”中的一环（时），而利用该不等式链我们可以解决某些函数的最值问题，例如：求的最小值我们可以这样处理：，即，当且仅当时等号成立.那么函数（）的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用题干中的知识，参照基本不等式的解法求解即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以（）的最小值为. 故选：B. 8. 在数学上称函数为高斯函数，其中表示不大于的最大整数，如.那么使不等式成立的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解二次不等式求出的范围，再由高斯函数得到的取值范围，转化为求其非空真子集即可得解. 【详解】因为，则，则， 又表示不大于的最大整数，因此不等式的解集为. 依题意可知，只需求出不等式解集的一个非空真子集即可， 选项中只有⫋. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. 的定义域为 D. 的定义域为 【答案】BC 【解析】 【分析】令，利用换元法求得函数解析式，并求出定义域，可判断A，令代入解析式可判断B，根据抽象函数定义域的求法可判断C，D. 【详解】对于A，令，则， 则， 即，因此A错误； 对于B，由，则，因此B正确； 对于C，的定义域为，则中，即， 故的定义域为，因此C正确； 对于D，的定义域为，则中，即， 故的定义域为，因此D错误； 故选：BC. 10. 已知x，y均为正实数，则（ ） A. 的最大值为 B. 若，则的最大值为8 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，结合基本不等式，可判定A、C正确，B错误，再由，化简得到，得出，结合二次函数的性质，可判定D正确. 【详解】A中，因为，可得，当且仅当时，等号成立， 所以，即的最大值为，所以A正确； B中，由，则， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，所以B不正确； C中，若，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确； D中，由，可得， 则， 令，则， 又由，所以当，可得， 所以，所以D正确. 故选：ACD. 11. 设非空集合满足：当时，有.给出如下命题，其中真命题是（ ） A. 存在， B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】先由非空集合满足：当时，有，判断出或，，对照四个选项分别列不等式组，解出不等式进行一一验证即可. 【详解】∵非空集合满足：当时，有. ∴当时，有，即，解得：或； 同理：当时，有，即，解得： . 对于A：由上可知A错误； 对于B: ，必有，故必有，解得：，故B正确； 对于C: 若，有，解得：，故C正确； 对于D: 若，有，解得：或，故D不正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为_______. 【答案】 【解析】 【分析】函数的定义域满足，解得答案. 【详解】函数的定义域满足，解得且. 故答案为：. 13. 已知集合，，若，求实数a的取值范围是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】确定，然后由，根据集合中元素个数分类讨论可得. 【详解】由已知，且， 由， （1），即，则，满足， （2）是一元集，若，则，此时，不满足， 若，则也不满足， （3），则，解得， 综上，的取值范围是. 14. 当时，关于的不等式恒成立，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先分和进行讨论，当时根据不等式讨论分析可知：为的零点，可得，结合基本不等式求解. 【详解】由可得. 当时，由可得，因为关于的不等式恒成立，所以， 因为是开口向上的抛物线，所以不恒成立，故舍去； 当时，则有当时，；当时，. 因为在时恒成立， 所以当时，；当时，. 即是 的零点. 所以，化简可得， 所以，当且仅当， 即等号成立. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据，可按照与分别讨论参数范围即可；（2）根据“”是“”的必要不充分条件得到是的真子集，进而建立不等关系得到的取值范围即可. 【小问1详解】 由题意知， 若，当时，则，解得； 当时，则或解得或． 综上，实数的取值范围是． 【小问2详解】 因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集， 所以且等号不能同时成立， 解得，即实数的取值范围是． 16. 已知函数，. （1）若存在，使得，求的取值范围； （2）求不等式的解集. 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 【解析】 【分析】（1）根据存在命题的性质，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可. （2）根据一元二次不等式的解法，分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 . 因为存在，使得， 所以，或，又因为， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 若，即，此时二次函数的图象在轴上方， 不等式的解集为； 若，即，此时方程为， 只有一个根，不等式的解集为； 若，即，此时方程的两根分别为，，不等式的解集为． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 17. 某科技公司为提高研发速度，计划建造一个高为3米，宽度为x（）米，地面面积为80平方米的长方体形状的实验室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案. 方案一：实验室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共9600元，总报价记为P； 方案二：其给出的整体报价为元（）. （1）求P的函数解析式，并求总报价P的最小值； （2）若对任意的x（）时，方案二都比方案一省钱，求实数m的取值范围. 【答案】（1），总报价的最小值为. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出的解析式，然后利用基本不等式的性质求出最小值. （2）根据题意列出不等式，然后根据基本不等式的性质求出的范围即可. 【小问1详解】 由题意可知，地面长为米，墙面面积为平方米， 所以. 根据基本不等式的性质， 当且仅当，即时等号成立，所以总报价的最小值为. 【小问2详解】 若对任意的时，方案二都比方案一省钱，即时， 恒成立， 化简得，因为， 当且仅当，即时等号成立， 可得，所以实数的取值范围为. 18. 已知二次函数. （1）若的解集为，解关于的不等式； （2）若函数满足，且.求的解析式； （3）若对任意，不等式恒成立，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解得到为方程的根，且，再根据韦达定理得到，，进而代入不等式求解即可； （2）由题设先求出，进而列方程组求解即可； （3）由题设易得，令，得到，进而结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 的解集为， 为方程的根，且， 则，即，， 则不等式，即为， 则，解得， 不等式的解集为． 【小问2详解】 由（）， 则， 又，故，解得，， 由，得，所以. 【小问3详解】 若对任意，不等式恒成立， 整理得：恒成立， 因为不为0，所以，所以， 所以， 令，因为，所以， 若时，此时， 若时，， 当且仅当，即时，即时，上式取得等号. 综上所述，的最大值为． 19. 给定函数，若实数使得，则称为函数的不动点，若实数使得，则称为函数的稳定点，函数的不动点一定是该函数的稳定点. （1）求函数的不动点； （2）若函数恰有两个不相等且均大于1的不动点、，求的取值范围； （3）设，，且恰好有两个不相等的稳定点、，求实数的取值范围. 【答案】（1）和3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用不动点的定义列方程，解方程即得答案； （2）利用不动点的定义把问题转化成方程有两个大于1的不相等的实数根、，进而得到，再整理得到，进而求解即可； （3）利用稳定点的定义把问题转化成方程有两个不同的根，分类讨论即得答案. 【小问1详解】 令，得，整理得，解得或， 经检验知均满足要求，故函数的不动点为和3． 【小问2详解】 依题意，有两个大于1的不相等的实数根、， 即方程有两个大于1的不相等的实数根、， 所以，解得， 所以 ， 因为函数开口向上，对称轴为， 而，则， 所以的取值范围为． 【小问3详解】 令，得， 即，得， 所以有，此方程恰好有两个不同的实数解． ①当，即时，方程化为， 仅有一个实数解，不满足题意； ②当时，要么方程无实数解， 要么方程仅有一个实数解为1或者． 故或或， 解得或． 综上所述，实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省青岛第五十八中学2026-2027学年高一上学期10月份月考 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合且以集合为值域的函数关系的有（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ② 3. 下列函数中，与函数是相等函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 5. 已知集合，，，则集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知、、均为正实数，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 基本不等式是均值不等式“链”中的一环（时），而利用该不等式链我们可以解决某些函数的最值问题，例如：求的最小值我们可以这样处理：，即，当且仅当时等号成立.那么函数（）的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 在数学上称函数为高斯函数，其中表示不大于的最大整数，如.那么使不等式成立的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. 的定义域为 D. 的定义域为 10. 已知x，y均为正实数，则（ ） A. 的最大值为 B. 若，则的最大值为8 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最小值为 11. 设非空集合满足：当时，有.给出如下命题，其中真命题是（ ） A. 存在， B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为_______. 13. 已知集合，，若，求实数a的取值范围是_______________. 14. 当时，关于的不等式恒成立，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16. 已知函数，. （1）若存在，使得，求的取值范围； （2）求不等式的解集. 17. 某科技公司为提高研发速度，计划建造一个高为3米，宽度为x（）米，地面面积为80平方米的长方体形状的实验室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案. 方案一：实验室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共9600元，总报价记为P； 方案二：其给出的整体报价为元（）. （1）求P的函数解析式，并求总报价P的最小值； （2）若对任意的x（）时，方案二都比方案一省钱，求实数m的取值范围. 18. 已知二次函数. （1）若的解集为，解关于的不等式； （2）若函数满足，且.求的解析式； （3）若对任意，不等式恒成立，求的最大值. 19. 给定函数，若实数使得，则称为函数的不动点，若实数使得，则称为函数的稳定点，函数的不动点一定是该函数的稳定点. （1）求函数的不动点； （2）若函数恰有两个不相等且均大于1的不动点、，求的取值范围； （3）设，，且恰好有两个不相等的稳定点、，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $