精品解析：山东泰安市新泰市南部联盟2025-2026学年八年级上学期10月数学试题

2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式不能运用公式法进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程不是分式方程的是（　　） A. B. C. D. 4. 若，则的值为（ ） A. 12 B. 6 C. 3 D. 5. 下列分式变形从左到右一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（　　） A. 61和63 B. 63和65 C. 65和67 D. 64和67 8. 若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（　　） A. B. C. D. 9. 为迎接植树节打造绿色校园，重庆外国语学校组织购买了一批树苗，已知购买香樟树苗花费元，购买木兰树苗花费元，其中每颗香樟树苗价格是每颗木兰树苗价格的，且香樟树苗数量比木兰树苗少颗，求一共买了多少颗木兰树苗？假设购买颗木兰树苗，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 分式方程有增根，则m的值为（　　） A. 0和3 B. 1 C. 1和﹣2 D. 3 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 11. 因式分解：_______． 12. 若，则的值是________． 13. 已知，则___． 14. 若，，为常数，则的值为______． 15. 若分式方程的解是正数，则m的取值范围为 _____________． 三、解答题（本大题共8小题，满分90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）分解因式： ① ② （2）分式计算： ① ② （3）解分式方程： ① ② 17. 先化简，然后从﹣2，﹣1，1，2四个数中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 18. 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______． A．提取公因式；B．平方差公式； C．两数和的完全平方公式；D．两数差的完全平方公式． （2）该同学因式分解的结果是否彻底？______．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ______． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 19. 按要求解答下列问题． 老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图： （1）求被手遮住部分的代数式，并将其化简； （2）原代数式的值能等于吗？请说明理由． 20. 先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若，求和的值． 解： ， ， 参照以上解答过程解决以下问题： （1）若，求的值． （2）已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围． 21. 【阅读理解】在比较两个数或式子的大小时，解决策略一般是利用“作差法”．如：要比较式子、的大小，只需要作差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 （1）若，则 ；（填“”“”或“”） （2）已知，，当，且时，比较与的大小，并说明理由． 22. 某运输公司需要装运一批货物，由于机械设备没有及时到位，只好先用人工装运，完成了总任务的一半；后来机械装运和人工装运同时进行，完成了剩余的一半任务．那么单独采用机械装运多少小时可以完成剩余的一半任务？ 23. 一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款．小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元， （1） 这个八年级的学生总数在什么范围内？ （2） 若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，根据定义分析选择即可． 【详解】解：A、属于整式的乘法，不是因式分解，选项说法错误，不符合题意； B、属于整式的除法，不是因式分解，选项说法错误，不符合题意； C、属于因式分解，选项说法正确，符合题意； D、结果不是整式的积形式，不是因式分解，选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，严格按照定义判断是否是因式分解是解题的关键． 2. 下列各式不能运用公式法进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平 方差公式，完全平方公式的特点，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，能运用平方差公式分解，故选项A不符合题意； B、，能运用平方差公式分解，故选项B不符合题意； C. 首尾虽为平方形式，但加上的不是他们乘积的2倍，不能分解，本选项C符合题意； D、可用完全平方公式分解，故选项D不符合题意； 故选C 【点睛】能否用公式法进行因式分解关键看是否符合相关公式的特点：能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项；符号相反；能用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点是：两项平方项的符号相同；另一项是两底数积的2倍． 3. 下列方程不是分式方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解答本题的关键，分母中含有未知数的方程叫做分式方程．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A、方程分母中含未知数x，故A是分式方程； B、方程分母中含未知数x，故B是分式方程； C、方程分母中不含未知数，故C不是分式方程； D、方程分母中含未知数x，故D是分式方程； 故选：C． 4. 若，则的值为（ ） A. 12 B. 6 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查代数式求值，关键是利用完全平方公式对原式进行变形． 把原式利用完全平方公式进行变形，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选A 5. 下列分式变形从左到右一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的性质依次进行判断即可得．本题考查了分式的化简，掌握分式的性质是解题的关键． 【详解】解：A．不成立，例如，原选项说法错误，不符合题意； B．成立，原选项说法正确，符合题意； C．当时，，原选项说法错误，不符合题意； D．不成立，例如，原选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 6. 计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了含乘方的分式的乘除混合运算，分式的乘除混合运算，先将除法转化为乘法，再进行计算． 【详解】解：原式 ， 故选：A． 7. 248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（　　） A. 61和63 B. 63和65 C. 65和67 D. 64和67 【答案】B 【解析】 【分析】248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（23+1）（23﹣1），即可求解． 【详解】解：248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1） ＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1） ＝（224+1）（212+1）（26+1）（23+1）（23﹣1） ＝（224+1）（212+1）×65×63， 故选：B． 【点睛】此题考查多项式的因式分解，将248﹣1利用平方差公式因式分解得到（224+1）（212+1）×65×63，即可得到答案． 8. 若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是答案． 【详解】根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的3倍， A、，错误； B、，错误； C、，错误； D、，正确； 故选：D． 【点睛】本题考查的是分式的基本性质，熟记分式的基本性质是解题的关键. 9. 为迎接植树节打造绿色校园，重庆外国语学校组织购买了一批树苗，已知购买香樟树苗花费元，购买木兰树苗花费元，其中每颗香樟树苗价格是每颗木兰树苗价格的，且香樟树苗数量比木兰树苗少颗，求一共买了多少颗木兰树苗？假设购买颗木兰树苗，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设购买棵木兰树苗，则购买棵香樟树苗，根据“每颗香樟树苗价格是每颗木兰树苗价格的”即可列出方程． 【详解】解：设购买棵木兰树苗，则购买棵香樟树苗， 根据题意，得：． 故选：A． 【点睛】本题考查分式方程的应用，准确找出等量关系是解题的关键． 10. 分式方程有增根，则m的值为（　　） A. 0和3 B. 1 C. 1和﹣2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】方程两边同时乘以（x-1）（x+2），分式方程化为整式方程，根据分式方程有增根，得出x-1=0，x+2=0，可得方程的增根，然后代入计算即可． 【详解】分式方程两边同时乘以（x-1）（x+2），原方程可化为x（x+2）-（x-1）（x+2）=m， 整理得，m=x+2， ∵分式方程有增根， ∴x-1=0或x+2=0， ∴x=1或x=-2． 当x=1时，m=1+2=3； 当x=-2时，m=-2+2=0， 当m=3时，原方程即为，解得x=1 原方程有增根，符合题意； 当m=0时，方程即为 ，即 x−(x−1)=0 此方程无解 ∴原分式方程无解 ∴m=0不符合题意 即m的值是3 故选：D 【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根就是使最简公分母为0的未知数的值，确定增根后，把分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 11. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的提公因式法与公式法，熟练掌握提公因式法和完全平方公式是解题的关键． 先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解. 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，非负数的性质，根据题意可得，由非负数的性质可求出a、b、c的值，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知，则___． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则，正确将已知变形进而化简是解题关键．将变形得到，代入分式化简即可得解． 【详解】解： ， ， ， ， 故答案为：1． 14. 若，，为常数，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减法，先通分，然后进行同分母分式加减运算．通过通分得到分子的对应项，从而求得A、B的值，代入即可求出的值． 【详解】 ， ∵， ∴， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：1． 15. 若分式方程的解是正数，则m的取值范围为 _____________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式，熟练掌握分式的解法是解题的关键．解分式方程得，根据题意得到即可得到答案． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 系数化1得，， 分式方程的解是正数， ， 解得且． 故答案为：且． 三、解答题（本大题共8小题，满分90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）分解因式： ① ② （2）分式计算： ① ② （3）解分式方程： ① ② 【答案】（1）①；② （2）①；② （3）①；②无解 【解析】 【分析】（1）①根据提公因式法因式分解即可；②根据平方差公式和完全平方公式因式分解即可； （2）①先算括号内的减法，再算除法，即可求解；②先算除法，再算加法即可求解； （3）①根据解分式方程的步骤求解即可；②根据解分式方程的步骤求解即可． 【小问1详解】 解：① ； ② ； 【小问2详解】 解：① ； ② ； 【小问3详解】 解：①， ， ， ， 经检验，是原方程的解； 解：②， ， ， ， ， 检验：当时，， 原方程无解． 17. 先化简，然后从﹣2，﹣1，1，2四个数中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】，3． 【解析】 【分析】先进行分式的混合运算，根据分式有意义的条件，把a=2代入计算即可． 【详解】原式===， 当a=2时，原式==3． 考点：分式的化简求值． 18. 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______． A．提取公因式；B．平方差公式； C．两数和的完全平方公式；D．两数差的完全平方公式． （2）该同学因式分解的结果是否彻底？______．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ______． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】（1）C （2）不彻底，； （3） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键． （1）根据分解因式的过程直接得出答案； （2）该同学因式分解的结果不彻底，将继续分解因式即可得解； （3）利用换元法，将看成一个整体，设，进行因式分解即可得解； 【小问1详解】 解：，是利用了两数和的完全平方公式， 故选：C． 【小问2详解】 解： ， 该同学因式分解的结果不彻底， ， ． 【小问3详解】 解：设， ． 19. 按要求解答下列问题． 老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图： （1）求被手遮住部分的代数式，并将其化简； （2）原代数式的值能等于吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，解分式方程，将未知式子看做一个整体是解题的关键． （1）设被手遮住部分的代数式为，代入原式求解可得答案； （2）设，可得，代入原式得被除数，原代数式无意义，所以原代数式的值不能等于． 【小问1详解】 解：设被手遮住部分的代数式为， 则， ∴ ， 即：被手遮住部分的代数式为； 【小问2详解】 不能，理由如下： 若能使原代数式的值能等于， 则，即， 解得，经检验：是原方程的解， 但是，当时，原代数式中的除数，原代数式无意义. 所以原代数式的值不能等于． 20. 先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若，求和的值． 解： ， ， 参照以上解答过程解决以下问题： （1）若，求的值． （2）已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用完全平方公式整理成平方和的形式，然后根据非负数的性质列式求出、的值，然后代入代数式计算即可； （2）先利用完全平方公式整理成平方和的形式，再利用非负数的性质求出、的值，然后利用三角形的三边关系即可求解． 【小问1详解】 ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ． ，，是的三边， 的取值为： ． 又 是中最长的边，且， 的取值为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式以及非负数的性质，三角形三边关系，第问中一定要特别注意为最长边这一条件．利用完全平方公式配方成平方和的形式是解题的关键． 21. 【阅读理解】在比较两个数或式子的大小时，解决策略一般是利用“作差法”．如：要比较式子、的大小，只需要作差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 （1）若，则 ；（填“”“”或“”） （2）已知，，当，且时，比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2），见解析 【解析】 【分析】（1）先化简，再根据作出判断即可； （2）计算，并根据，且作出判断即可； 【小问1详解】 解： ， ， ， ， 即； 【小问2详解】 解：， ， ， ，且， ， ， ， ． 22. 某运输公司需要装运一批货物，由于机械设备没有及时到位，只好先用人工装运，完成了总任务的一半；后来机械装运和人工装运同时进行，完成了剩余的一半任务．那么单独采用机械装运多少小时可以完成剩余的一半任务？ 【答案】 单独采用机械装运小时可以完成剩余的一半任务 【解析】 【分析】设单独采用机械装运小时可以完成剩余的一半任务，则机械装运的工作效率为，根据1小时完成了剩余的一半任务，列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设单独采用机械装运小时可以完成剩余的一半任务，则机械装运的工作效率为， 根据题意得：，解得， 经检验是原方程的解， 且符合题意． 答：单独采用机械装运小时可以完成剩余的一半任务． 23. 一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款．小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元， （1） 这个八年级的学生总数在什么范围内？ （2） 若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？ 【答案】（1）240人＜八年级学生数≤300人 （2）这个学校八年级学生有300人． 【解析】 【分析】答：八年级学生总数为人 (1)关系式为：学生数≤300，学生数+60>300列式求值即可； (2)批发价为每支x元，则零售价为每支元,列方程求解 【详解】解：(1)有已知，240人<总数≤300人； (2)批发价为每支x元，则零售价为每支元 可列方程 求得x= 经检验x=符合题意 学生总数为人 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $