精品解析：四川自贡市荣县中学校2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题

2026年下期第一学月初三年级数学巩固练习 （时间：120分钟 总分值：150分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，含有一个未知数，且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程，据此即可作答． 【详解】解：A、不是整式方程，故该选项是错误的； B、，化简后得，未知数的次数为1，故该选项是错误的； C、是一元二次方程，故该选项是正确的； D、，时不是一元二次方程，故该选项是错误的； 故选：C 2. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，运用代数计算思想，解题关键是准确计算，易错点是判别式公式记忆或计算失误；通过计算一元二次方程的判别式，判断根的情况． 【详解】解：∵ , , ， ∴ ， ∴ 方程没有实数根； 故选A． 3. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. （是常数） B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般式，形如（其中a、b、c是常数且）的函数叫做二次函数，据此可得答案． 【详解】解：A. 当时，不是二次函数，不符合题意； B. 是一次函数，不符合题意； C.是二次函数，符合题意； D. 不是二次函数，不符合题意； 故选：C． 4. 已知二次函数图象上三点，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小． 求出抛物线的对称轴，求出A关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的开口方向和增减性，即可求出答案． 【详解】∵， ∴二次函数的开口向下，对称轴是直线， ∴在对称轴的右侧随的增大而减小， A点关于直线的对称点是， ∵， ∴， 故选：D． 5. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 利用二次函数的图象和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A、二次函数解析式中， ∴抛物线开口向上，该选项正确，不符合题意； B、 抛物线的对称轴为直线，该选项正确，不符合题意； C、抛物线的顶点坐标为，该选项错误，符合题意； D、当时，y随x的增大而减小，该选项正确，不符合题意； 故选：C． 6. 等腰三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是（    ） A. 7 B. 10 C. 8 D. 10或8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系；解方程求出两根，由等腰三角形的定义得、、或、、，由三角形的三边关系，即可求解；理解等腰三角形的定义，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解： 解得：，， 三角形是等腰三角形， 、、或、、， ， 此种情况不存在； 三角形的三边为：、、， 三角形的周长为：， 故选：B． 7. 在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式，分析、的符号以及对称轴的位置，结合图象特征进行判断；首先由两个函数解析式可知，它们与轴的交点均为，即交于轴上同一点；其次根据的符号判断抛物线的开口方向；最后根据对称轴公式判断对称轴位置． 【详解】解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，选项中两个图象与轴交点不同，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右下降，则，二次函数图象开口向上，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，二次函数图象开口向下，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，与轴交于正半轴，则；二次函数图象开口向上，则，与轴交于正半轴，则；且二次函数对称轴为直线， ∵， ∴，对称轴在轴左侧，符合图象特征． 8. 若关于的一元二次方程的两个根分别为和，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由根与系数的关系，得，， 解得，， ． 9. 把一根长为的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则与之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是根据实际问题列二次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 要求长方形的面积，需求出长方形相邻两边的长度，根据长方形的周长公式可计算出长方形另一边的长为；接下来，根据长方形的面积公式即可得到与的函数关系式． 【详解】解：设这个长方形的一边长为，周长是， 另一边长是， 与的函数关系式为：． 选项、、都不正确，选项正确． 故选：． 10. 如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是，且过点，如下结论：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤；其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3 个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和系数之间的关系，根据图象判断①，对称轴判断②，特殊点判断③，增减性判断④，最值判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为，与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①错误，②正确； ∵图象过，且对称轴为， ∴图象过， ∴；故③错误； ∵， ∴；故④正确； 当时，函数有最小值为， ∴， ∴；故⑤错误； 综上：正确的结论有2个； 故选B． 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11. 二次函数经过，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将已知点的坐标代入二次函数解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得． 12. 已知二次函数的图象开口向上，则m的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的定义，根据函数是二次函数，可得出，再由图象开口向上，得出，据此可解决问题． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， 解得，， 故答案为：2． 13. 二次函数的部分图象如图所示，当时，x的取值范围是____________． 【答案】或 【解析】 【分析】首先根据对称轴和与x轴的一个交点确定另一个交点的坐标，然后根据其图象确定自变量的取值范围即可． 【详解】解：由图象可得抛物线对称轴为直线，抛物线与轴一个交点为， ∴抛物线与轴另一个交点为， ∴当时，x的取值范围是或． 14. 当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝_____． 【答案】10 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决． 【详解】∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1， ∴该函数开口向上，对称轴为x＝2， ∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m， ∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时m＝（﹣1﹣2）2+1＝10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 15. 如图，在中，，，．点P从A出发沿以的速度向B移动，点Q从B出发沿以的速度向C移动．若两点同时出发，则当的面积为时，运动时间______秒． 【答案】2或3 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据题意得，易得；再根据的面积为列关于t的一元二次方程求解即可． 【详解】解：根据题意得， 所以面积为： 当的面积为时，即， 解得：或3． 所以当的面积为时，运动时间或3． 故答案为：2或3． 三、解答题（共9小题，共90分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）求出判别式的值，再代入公式求解即可得到答案； （2）通过合并同类项，化为或，然后解一元一次方程即可． 【小问1详解】 将原方程化为它的一般形式，得， ∵， ∴， ∴，． 【小问2详解】 ∴， ∴， ∴或 ∴，． 17. 已知（k为常数）是二次函数，且当时，y随x的增大而增大． （1）求k的值； （2）试判断点是否在该二次函数的图象上． 【答案】（1） （2）点不在该二次函数的图象上 【解析】 【分析】（1）先根据二次函数的定义求出的所有可能取值，再根据二次函数的增减性求解即可； （2）先求出二次函数的解析式，再将代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵（为常数）是二次函数， ∴，且， 解得或， 又∵当时，随的增大而增大， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴这个二次函数的解析式为， 当时，， ∴点不在该二次函数的图象上． 18. 已知抛物线，现将该函数图象向右平移2个单位，向上平移5个单位得到抛物线． （1）求抛物线的解析式． （2）当时，求抛物线的最大值和最小值． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）当时，抛物线的最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）抛物线的平移法则：左加右减，上加下减； （2）由二次函数的性质可得在上，随着的增大而减小，由此计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵抛物线，现将该函数图象向右平移2个单位，向上平移5个单位得到抛物线， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线的解析式为，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴在上，随着的增大而减小， 当时，取得最大值，为， 当时，取得最小值，为； 故当时，抛物线的最大值为，最小值为． 19. 某商店的一种服装，每件成本为50元．经市场调研，售价为60元时，可销售200件，售价每提高1元，销售量将减少10件．那么，该服装每件售价是多少元时，商店销售这批服装获利能达到2240元？ 【答案】该服装每件售价是64元或66元时，商店销售这批服装获利能达到2240元． 【解析】 【分析】设每件服装售价提高x元，则每天可售出(200﹣10x)件，根据总利润=每件服装的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】设每件服装售价提高x元，则每天可售出(200﹣10x)件， 依题意，得：(60+x﹣50)(200﹣10x)=2240， 整理，得：x2﹣10x+24=0， 解得：x1=4，x2=6， ∴60+x=64或66． 答：该服装每件售价是64元或66元时，商店销售这批服装获利能达到2240元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20. 如图，已知抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点，其顶点为，对称轴为直线． （1）求顶点的坐标及抛物线的函数表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）, （2）3 【解析】 【分析】（1）利用抛物线对称性求出另一个x轴交点，设交点式代入B点求解析式，再代得顶点C． （2）求出直线，用对称轴截出线段作底，以水平距离为高算出面积． 【小问1详解】 解：根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的两个交点的对称轴即为， 设另一个交点为，则有，解得， ∴抛物线与x轴的交点为、， ∴设抛物线交点式为， 又∵抛物线过点， 代入、有，解得， ∴抛物线解析式为， ∵点C为顶点，即代入有， 故． 【小问2详解】 解：记对称轴与交于点M， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴ ． 21. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，方程有实数根，即一元二次方程根的判别式，可列出含m的不等式，解该不等式即可得出答案； （2）该方程有两个实数根，所以m的取值应满足（1）中的条件，即 ．根据一元二次方程根与系数的关系，可用含m的代数式表示、，结合题干，可得出与m有关的一元二次方程，解出该方程，结合前提条件得出m的取值为． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 【小问2详解】 方程的两实数根分别为，， ，， 解得， ． 22. 二次函数的图像如图所示，根据图像填空： （1）方程的两个根为________； （2）不等式的解集为________； （3）若方程只有一个实数根，求的值________； （4）若方程有两个不相等的实数根，的取值范围为________． 【答案】（1）， （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数与轴的交点坐标，交点的横坐标即为方程的两个根； （2）由图象可知二次函数在轴上方图象的自变量取值范围，即可得到不等式的解集； （3）根据题意将方程只有一个实数根，转化为二次函数与直线只有一个交点，结合图象可知抛物线的顶点坐标，即可求得值； （4）由方程有两个不相等的实数根可知，二次函数与直线有两个交点，再利用顶点坐标，即可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：由图象可知，二次函数与轴的交点坐标为和，即方程的两个根为，； 【小问2详解】 解：由图象可知，二次函数在轴上方图象的自变量取值范围是， 即不等式的解集为； 【小问3详解】 解：∵方程只有一个交点， ∴二次函数与直线只有一个交点， 由图象可知，抛物线的顶点坐标为， 则， 即方程只有一个交点，的值为2； 【小问4详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴方程有两个不相等的实数根， 即二次函数与直线有两个交点， 由图象可知，抛物线的顶点坐标为， 则， ∴， 即方程有两个不相等的实数根，的取值范围为． 23. 数学活动探究 【主题】三角点阵前n行的点数计算 【素材】如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第n行有n个点，……，如果要用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，容易发现，前n行的点数总和是，于是得到． 这就是说，三角点阵中前n行的点数总和是． 【实践探索】请你根据上述材料回答下列问题： （1）三角点阵中前n行的点数和能是吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 【拓展探索】 （2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2，4，6，…，，…，请探究出前n行的点数总和满足的规律． （3）在（2）的条件下，这个三角点阵中前n行的点数和能是吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 【答案】（1）能，；（2）；（3）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程在数字规律题中的应用，旨在考查学生的抽象概括能力． （1）令，即可求解； （2）根据即可求解； （3）令，即可求解． 【详解】解：（1）令，解得：（舍）， ∴； （2）前n行的点数总和为： （3）令， 解得：（负值舍去）， ∵为正整数， ∴这个三角点阵中前n行的点数和不能是． 24. 如图1，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图2，若是线段上一动点，过作轴的平行线交抛物线于点，交于点，设点的横坐标为，的面积为S．求S关于的函数关系式；当取何值时，S有最大值，求出S的最大值； （3）若是轴上一个动点，过作直线交抛物线于点，随着点的运动，在轴上是否存在这样的点，使以，M，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），当时，S有最大值，最大值为 （3）存在，点的坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可． （2）求出直线的函数解析式，用含t的式子表示出点H、N的坐标，得出，再根据求出S关于t的函数关系式，最后根据二次函数的性质解答即可； （3）求出点B坐标，得到的长，再分、M在点A的左侧且，和当M点在点A的右侧，时三种情况，画出图形解答即可求解． 【小问1详解】 解：将和代入得 , 解得, ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的函数解析式为，把和代入得 ， 解得， ∴直线的函数解析式为， ∵点的横坐标为，轴，交于点， ∴，, ∴， ∴, ∵, ∴当时，S有最大值，最大值为; 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 把代入得， 解得，， ∴， ∴， 如图，当时，四边形为平行四边形， ∴， 把代入得， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点M在点A的左侧，时，四边形是平行四边形， 过点Q作轴于D，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴点Q的纵坐标为， 把代入得， 解得，（不符合，舍去）， ∴点M的横坐标为， ∴； 如图，当M点在点A的右侧，时，四边形是平行四边形， 过点Q作轴于E，则， 同理可得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下期第一学月初三年级数学巩固练习 （时间：120分钟 总分值：150分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 3. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. （是常数） B. C. D. 4. 已知二次函数图象上三点，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 6. 等腰三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是（    ） A. 7 B. 10 C. 8 D. 10或8 7. 在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A. B. C. D. 8. 若关于的一元二次方程的两个根分别为和，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 把一根长为的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则与之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是，且过点，如下结论：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤；其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3 个 D. 4个 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11. 二次函数经过，则的值为______． 12. 已知二次函数的图象开口向上，则m的值是______． 13. 二次函数的部分图象如图所示，当时，x的取值范围是____________． 14. 当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝_____． 15. 如图，在中，，，．点P从A出发沿以的速度向B移动，点Q从B出发沿以的速度向C移动．若两点同时出发，则当的面积为时，运动时间______秒． 三、解答题（共9小题，共90分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知（k为常数）是二次函数，且当时，y随x的增大而增大． （1）求k的值； （2）试判断点是否在该二次函数的图象上． 18. 已知抛物线，现将该函数图象向右平移2个单位，向上平移5个单位得到抛物线． （1）求抛物线的解析式． （2）当时，求抛物线的最大值和最小值． 19. 某商店的一种服装，每件成本为50元．经市场调研，售价为60元时，可销售200件，售价每提高1元，销售量将减少10件．那么，该服装每件售价是多少元时，商店销售这批服装获利能达到2240元？ 20. 如图，已知抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点，其顶点为，对称轴为直线． （1）求顶点的坐标及抛物线的函数表达式； （2）求的面积． 21. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 22. 二次函数的图像如图所示，根据图像填空： （1）方程的两个根为________； （2）不等式的解集为________； （3）若方程只有一个实数根，求的值________； （4）若方程有两个不相等的实数根，的取值范围为________． 23. 数学活动探究 【主题】三角点阵前n行的点数计算 【素材】如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第n行有n个点，……，如果要用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，容易发现，前n行的点数总和是，于是得到． 这就是说，三角点阵中前n行的点数总和是． 【实践探索】请你根据上述材料回答下列问题： （1）三角点阵中前n行的点数和能是吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 【拓展探索】 （2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2，4，6，…，，…，请探究出前n行的点数总和满足的规律． （3）在（2）的条件下，这个三角点阵中前n行的点数和能是吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 24. 如图1，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图2，若是线段上一动点，过作轴的平行线交抛物线于点，交于点，设点的横坐标为，的面积为S．求S关于的函数关系式；当取何值时，S有最大值，求出S的最大值； （3）若是轴上一个动点，过作直线交抛物线于点，随着点的运动，在轴上是否存在这样的点，使以，M，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $