精品解析：山东省泰安第一中学青年路校区2026-2027学年高二上学期10月份诊断性测试数学试题

泰安一中青年路校区高二上学期10月份诊断性测试 数学试题 2026.10 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过两点和的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两点确定直线斜率，再利用正切值求倾斜角即可. 【详解】经过两点和的直线斜率为， 所以该直线的倾斜角为， 故答案为：C 2. 如图，在平行六面体中，设，，，是的中点，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】在平行六面体中， 根据向量加法的三角形法则，可得：. 因为点 是 的中点，所以. 在平行四边形 中，由向量加法的平行四边形法则可知：. 又因为在平行六面体中，，， 所以. 从而 . 又因为， 所以. 3. 如果，那么直线不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】将直线的一般式方程转化为斜截式方程即可. 【详解】由可得，, 所以直线的斜率纵截距， 所以直线经过一、二、四象限， 故选:C. 4. 在空间直角坐标系中，已知点，，若点P与点A关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称性求出点，结合空间中的两点间的距离公式求解即可. 【详解】点P与点A关于平面对称，则，所以； 故选：A 5. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行的性质，结合充分性、必要性进行判断即可. 【详解】直线与直线平行， 所以且，解得或 ， 所以“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 6. 一束光线从点出发，经直线反射后又经过点，则光线从点A到点B走过的路程为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出点A关于直线的对称点C坐标，根据反射的性质，结合两点间距离公式，即可得答案. 【详解】可设光线与直线交于点P， 由题意可得，点关于直线的对称点C在反射光线上， 设点，则，解得，即， 故光线从点A到点B所经过的路程是. 故选：B 7. 已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据弦长公式判断最值并求解. 【详解】直线，即，所以直线恒过点， 圆，即，圆心为，半径， 当最小时，点到直线的距离应最大， 即时，最小，此时，． 故选：C． 8. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求平面的法向量与直线l的方向向量，利用空间向量求线面夹角. 【详解】因为平面的方程为， 所以平面的法向量可取， 同理平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 设直线的方向向量， 则，令，则， 则直线l与平面所成角的正弦值为 . 故选：A 二､多项选择题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 过点且倾斜角为90°的直线方程为 B. 直线在轴的截距是2 C. 直线的方向向量可以是 D. 过点且在轴，轴截距相等的直线方程为 【答案】AC 【解析】 【详解】对A，过点且倾斜角为的直线方程为，即，A正确； 对B，对直线方程，令，可得，则在轴的截距为，B错误； 对C，直线的斜率为，所以该直线的方向向量可以是 ，C正确； 对D，过点且在x轴、y轴上截距相等且等于0时，直线方程为； 过点且在x轴、y轴上截距相等且不等于0时，设方程为， 则，解得，所以直线方程为，D错误； 10. 在平面直角坐标系中，圆与轴切于点，圆心在直线上，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的方程为 B. 若为圆上的动点，则的最大值为 C. 当圆上恰有三个不同的点到直线的距离为时， D. 若，则在圆上不存在点，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】确定圆心和半径，可得圆的方程，可判断A的真假；设，利用圆心到直线的距离不大于圆的半径，可求的取值范围，判断B的真假；利用圆心到直线的距离等于1，可求的值，判断C的真假；过点作圆的切线，根据两切线的夹角，可得的最大值，即可判断D的真假. 【详解】因为圆与轴切于点，所以圆心在轴上， 又直线与轴的交点为， 所以圆心到的距离为，是圆的半径. 对A，可得圆的标准方程为：，故A正确； 对B，设，即， 因为直线与圆有公共点，所以， 所以的最大值为，故B正确； 对C，当圆上恰有三个不同的点到直线的距离为时，圆心到直线的距离为. 所以或，故C错误； 对D，过点作圆的切线，可知切线必存在斜率. 设切线方程为，即， 由或，所以两切线的倾斜角分别为和， 所以两切线的夹角为. 所以. 因为，所以在圆上不存在点，使得.故D正确. 11. 在长方体中，，，为的中点.动点P满足，，，则下列说法中正确的是（ ） A. 点P在平面内 B. 当时，点P轨迹的长为 C. 当，，三点共线时，3x+y=1 D. 当，，三点共线时，的最小值是8 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，利用及共面向量基本定理即可判断；对B，取的中点，即可得出，计算长度即可；对C，由向量共线的性质得解；对D，利用基底表示，运算得解. 【详解】对于A，由， 所以， 所以共面，即故点在平面内，故A正确； 对于B，取的中点，连接，则， 又， 所以，则四边形为平行四边形， 当时，，， 可知此时点的轨迹为线段（A点除外）， 其长度为， 故B正确； 对于C，由及三点共线，故，故C错误； 对于D， 由分析C选项可知，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，取等号，故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 与直线平行且距离为的直线方程是__________. 【答案】或 【解析】 【详解】因为所求直线与直线平行，所以可设所求直线方程为， 根据平行线间的距离公式，可得，解得或. 所以所求直线方程为或. 13. 若空间向量，，共面，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据共面向量公式，利用待定系数法，即可求解. 【详解】由条件可知，， 即， 即，解得：. 故答案为： 14. 如图①，在中，，，D，E分别为AC，AB的中点，将沿DE折起到的位置，使，如图②.若F是的中点，则四面体FCDE外接球的体积是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】依题意可得平面，建立如图所示空间直角坐标系，由已知可得的外接圆的圆心在的中点，设外接球的球心为半径为，则即可得到方程，求出，即可求出外接球的半径，最后根据体积公式计算可得； 【详解】 依题意平面， 所以平面， 又， 如图建立空间直角坐标系， 则， 依题意为直角三角形， 所以的外接圆的圆心在的中点， 设外接球的球心为半径为R, 则即 解得, 所以 所以外接球的体积 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，，且，． （1）求，，的值； （2）求向量与所成夹角的余弦值． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【小问1详解】 ∵，∴，∴，， 又∵，∴，∴； 【小问2详解】 ∵，，， ∴，， ∴， ，， ∴， 因此向量与所成夹角的余弦值为． 16. 已知的顶点边上的高所在的直线方程为. （1）求直线的方程； （2）在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答. ①角的平分线所在直线方程为； ②边上的中线所在的直线方程为. 若__________.求直线的方程. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据直线垂直，求得斜率，利用点斜式方程，可得答案. （2）联立直线方程，求得点的坐标，选择条件①，②分别利用角平分线的对称或中线的对称，求解即得答案. 【小问1详解】 由边上的高所在的直线方程为，得直线的斜率，而的顶点， 所以直线的方程为：，即. 【小问2详解】 选①，角的平分线所在直线方程为，令该直线与边交于点， 由，解得，即点A坐标为， 设点B关于的对称点为， 则，解得，即坐标为， 显然点在直线上，则直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 选②，边上的中线所在的直线方程为， 由，解得，即点A坐标为， 设点，则的中点在直线上，即， 整理得，又点在直线上，即， 由，解得，即点，直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 17. 如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． （1）若分别为的中点，求证：平面PAB； （2）若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】（1） 取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN， 与为等腰直角三角形且， 不妨设，.. E、F分别为BC、PD的中点， ，且. ，， ，∴四边形FGMN为平行四边形， ， 平面PAB，平面PAB，平面PAB； （2） 【解析】 【分析】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，只需证明即可； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线AB的方向向量与面PCD的法向量，根据向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面ABCD，以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面PCD的一个法向量为， ，， 取，，. 设AB与平面PCD所成角为， 则， 即AB与平面PCD所成角的正弦值为. 18. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 【答案】（1）[方法一]：几何法 因为，所以． 又因为，，所以平面．又因为，构造正方体，如图所示， 过E作的平行线分别与交于其中点，连接， 因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点， 易证，则． 又因为，所以． 又因为，所以平面． 又因为平面，所以． [方法二] 【最优解】：向量法 因为三棱柱是直三棱柱，底面， ，，，又，平面．所以两两垂直． 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图． ，． 由题设（）． 因为， 所以，所以． [方法三]：因为，，所以，故，，所以，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直； （2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案； 【详解】（1）略 （2）[方法一]【最优解】：向量法 设平面的法向量为， 因为， 所以，即． 令，则 因为平面的法向量为， 设平面与平面的二面角的平面角为， 则． 当时，取最小值为， 此时取最大值为． 所以，此时． [方法二] ：几何法 如图所示，延长交的延长线于点S，联结交于点T，则平面平面． 作，垂足为H，因为平面，联结，则为平面与平面所成二面角的平面角． 设，过作交于点G． 由得． 又，即，所以． 又，即，所以． 所以． 则， 所以，当时，． [方法三]：投影法 如图，联结， 在平面的投影为，记面与面所成的二面角的平面角为，则． 设，在中，． 在中，，过D作的平行线交于点Q． 在中，． 在中，由余弦定理得，，， ，， 当，即，面与面所成的二面角的正弦值最小，最小值为． 【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维. 第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面与面所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面在面上的投影三角形的面积与面积之比即为面与面所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维． 19. 已知直线与圆相交于两点，且. （1）若直线过点，求直线的方程； （2）①若线段的中点为点，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点，若点的坐标为，直线的斜率分别为，求证：为定值. 【答案】（1）或. （2）①； ②因为过点作直线与曲线交于两点，所以直线的斜率必存在， 设直线的方程为，即，点 联立方程，消去可得， 则，解得， 由韦达定理可得， 则 ， 所以为定值. 【解析】 【分析】（1）根据题意可知圆心到直线的距离，分析讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解； （2）①由是线段的中点，可得，即，进而可得的轨迹方程；②设直线的方程为，设，将直线方程与圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式和韦达定理可计算出的值，即可证得结论成立. 【小问1详解】 由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，即直线，满足题意； 若直线的斜率存在，设直线，即， 则，解得， 所以直线； 综上所述：直线的方程为或. 【小问2详解】 ①若线段的中点为，由可得，即， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 所以点的轨迹方程； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泰安一中青年路校区高二上学期10月份诊断性测试 数学试题 2026.10 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过两点和的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在平行六面体中，设，，，是的中点，则（ ）. A. B. C. D. 3. 如果，那么直线不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 在空间直角坐标系中，已知点，，若点P与点A关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 6 5. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分必要条件 6. 一束光线从点出发，经直线反射后又经过点，则光线从点A到点B走过的路程为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 7. 已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 8. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 过点且倾斜角为90°的直线方程为 B. 直线在轴的截距是2 C. 直线的方向向量可以是 D. 过点且在轴，轴截距相等的直线方程为 10. 在平面直角坐标系中，圆与轴切于点，圆心在直线上，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的方程为 B. 若为圆上的动点，则的最大值为 C. 当圆上恰有三个不同的点到直线的距离为时， D. 若，则在圆上不存在点，使得 11. 在长方体中，，，为的中点.动点P满足，，，则下列说法中正确的是（ ） A. 点P在平面内 B. 当时，点P轨迹的长为 C. 当，，三点共线时，3x+y=1 D. 当，，三点共线时，的最小值是8 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 与直线平行且距离为的直线方程是__________. 13. 若空间向量，，共面，则__________ 14. 如图①，在中，，，D，E分别为AC，AB的中点，将沿DE折起到的位置，使，如图②.若F是的中点，则四面体FCDE外接球的体积是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，，且，． （1）求，，的值； （2）求向量与所成夹角的余弦值． 16. 已知的顶点边上的高所在的直线方程为. （1）求直线的方程； （2）在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答. ①角的平分线所在直线方程为； ②边上的中线所在的直线方程为. 若__________.求直线的方程. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 17. 如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． （1）若分别为的中点，求证：平面PAB； （2）若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 18. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 19. 已知直线与圆相交于两点，且. （1）若直线过点，求直线的方程； （2）①若线段的中点为点，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点，若点的坐标为，直线的斜率分别为，求证：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $