精品解析：山东省滨州市惠民县第一中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷

2025级高二上学期第一次月考数学试卷 一、单选题（8个小题，每题5分，共40分） 1. 直线 的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先由直线方程求出直线的斜率，从而可求出其倾斜角 【详解】解：设直线的倾斜角为， 由直线得其斜率为， 所以， 因为，所以， 故选：B 【点睛】此题考查由直线方程求直线的倾斜角，属于基础题 2. 设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到，根据三点共线得到，再利用向量相等的条件求解参数即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的实数使得， 所以，解得， 所以. 故选：C. 3. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化方程为，结合两平行线间的距离公式，即可求解. 【详解】由直线，可得， 则直线和的距离为. 故选：B. 4. 已知向量，，且，那么（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标运算求得，然后利用空间向量模的坐标运算求解即可. 【详解】由向量，，且， 得，则，则. 故选：C 5. 若直线和直线平行，则的值为（   ） A. 1 B. C. 1或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两直线平行，根据平行的判定求的值即可. 【详解】直线和直线平行， ，解得或，经检验时两条直线重合舍去， 所以． 6. 在正三棱锥中，，点分别是棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，得到，，结合向量的数量积的运算公式化，即可求解. 【详解】如图所示，在正三棱锥中，， 可得， 因为点分别是棱的中点， 可得，， 所以 ． 故选：D． 7. 已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线的方程得直线所过定点坐标，求k的临界值，得k的取值范围. 【详解】 直线l：经过定点，，． 又直线l：与线段相交，所以或， 故选：C． 8. 若，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】，几何意义是点到原点的距离的平方. 【详解】，化为标准方程为， 所以点在以为圆心，为半径的圆上. 的几何意义是点到原点的距离的平方， 在平面直角坐标系中画出草图，分析可知， 当三点共线且在中间时， 距离取最小值为， 所以的最小值为. 二、多选题（3个小题，每题6分，部分答对得部分分，共18分） 9. 下列命题中，错误的是（ ） A. 平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B. 经过点且斜率为2的直线方程为 C. 直线的斜率为0 D. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线的斜率与倾斜角的定义判断AC，利用点斜式直线方程求解判断B，求出直线与坐标轴的交点坐标，进而计算三角形面积求解判断D. 【详解】对于A，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为，斜率不存在，故A错误； 对于B，过点且斜率为2的直线的方程为，即，故B正确； 对于C，直线的斜率不存在，故C错误； 对于D，对于直线，令，则，令，则， 所以直线在轴上的截距为2，在轴上的截距为， 所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为，故D正确. 故选：AC. 10. 如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 两条异面直线和所成的角为 B. 直线与平面所成的角等于 C. 点到面的距离为 D. 四面体的体积是 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立适当空间直角坐标系后借助空间向量逐项计算与判断即可得. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系， 对A：、、、， 则、，故， 故，即异面直线和所成的角为，故A错误； 对B：，由轴平面，故平面法向量可为， 则，故直线与平面所成的角为，故B正确； 对C：，，， 设平面的法向量为，则有， 令，则，故，故C正确； 对D：易得四面体为正四面体， 则，故D正确. 故选：BCD. 11. 设有一组圆，下列命题正确的是（　　） A. 不论k如何变化，圆心始终在一条直线上 B. 所有圆均不经过点 C. 经过点的圆有且只有一个 D. 所有圆的面积均为4 【答案】AB 【解析】 【分析】对于AD：由题意可知：圆，的圆心，半径，进而分析判断；对于CD：分别将点，代入方程，通过解的个数分析判断. 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径. 对于选项A：不论k如何变化，圆心始终在直线上，故A正确； 对于选项B：令，整理得， 因为，可知方程无解， 所以所有圆均不经过点，故B正确； 对于选项C：令，整理得， 因为，可知方程有两个不同的解， 所以经过点的圆有且只有两个，故C错误； 对于选项D：因为半径，所以所有圆的面积均为，故D错误； 故答案为：AB. 三、填空题（3个小题，每题5分） 12. 设，若圆的半径为2，则的值为________； 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆的半径列式求解. 【详解】圆的半径， 依题意，解得，经验证，符合题意， 所以的值为. 故答案为： 13. 已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为_____________. 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为，把已知点坐标代入即可求出的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为，把已知点的坐标代入即可求出的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程． 【详解】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为， 把代入所设的方程得：，则所求直线的方程为即； ②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为， 把代入所求的方程得：，则所求直线的方程为即． 综上，所求直线的方程为：或． 故答案为：或 【点睛】此题考查学生会根据条件设出直线的截距式方程和点斜式方程，考查了分类讨论的数学思想，属于基础题． 14. 如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长______. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量加法法则将表示为，通过两边平方结合向量数量积的定义及运算律求解. 【详解】因为，，所以，， 又因为二面角为，，，且，， 所以向量与的夹角为，则向量与的夹角为. 由向量加法法则可得， 所以， 即. 四、解答题（5个题，共77分） 15. 已知向量，. （1）计算； （2）若，求实数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的坐标运算及模长公式即可求解； （2）由向量垂直的坐标表示，列出等式求解即可. 【小问1详解】 因为向量， 则，所以； 【小问2详解】 因为向量，， 则，， 因为， 则，解得. 16. 已知的三个顶点分别为．求： （1）BC边所在的直线方程． （2）的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由点斜式得直线方程； （2）求出线段BC的长及点A到直线BC的距离，进而求出的面积. 【小问1详解】 直线BC的斜率，由点斜式直线方程为， 即. 【小问2详解】 因为， 点A到直线的距离， 所以. 17. 如图，在平行六面体中，为中点， ， ，设，，，以为空间的一个基底． （1）用基底表示向量，并求出线段的长度； （2）直线与平面 交于点求的值 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量加法的三角形法则，将 分解为基底向量的线性组合；根据向量的模结合数量积定义可计算长度. （2）设，利用点在平面 上，根据共面向量定理，利用 且 的条件，建立方程组求解 . 【小问1详解】 由题意， ， 因为 为 的中点， 所以 . 所以 . 因为 ，且 － ， 所以 ， 所以 ，即线段的长度为. 【小问2详解】 设 ， 因为点在平面 上， 所以关于基底 的系数之和为1， 即 ，解得 . 所以 . 18. 的三个顶点分别是、、． （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求过点、，且圆心在直线上的圆的标准方程； （3）求的外接圆方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出直线的斜率，再利用点斜式求出方程即可； （2）根据直线的斜率，求出的中垂线斜率，结合的中点，得到的中垂线方程，其与直线的交点即为圆心，即为半径，根据圆心半径写出圆的标准方程即可. （3）由（2）得圆心的坐标，结合的距离等于半径，判断得到的外接圆方程. 【小问1详解】 边的中点．中线过与，斜率， 故：，即． 【小问2详解】 的中点为，的斜率为，故的垂直平分线方程为． 圆心在直线上，联立 解得．半径，故圆的标准方程为． 【小问3详解】 由（2）得圆心，又， ，， 故三点均在圆上，所以的外接圆就是圆，方程为． 19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，边长是，侧棱底面，，是的中点，作交于点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的大小. 【答案】（1）证明：连接，设，连接， 则为中点， 又是的中点， ， 又平面，平面， 平面； （2）证明：底面，底面， ， 又是正方形， ， 又，平面，且， 平面， 平面， ， ， ， ，平面，， 平面， 平面， ， ，且，，平面， 平面； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，利用中位线可证线线平行，进而可证线面平行； （2）根据线面垂直及正方形可证平面，即，再由，可得证； （3）建立空间直角坐标系，利用坐标法可得平面的法向量，进而可得面面角. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 由（2）得平面，则平面， 所以可以点为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 即，，， 设平面的法向量， 则，令，则， 设平面的法向量， 则，令，则， 所以， 即平面与平面夹角余弦值为， 所以平面与平面夹角为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高二上学期第一次月考数学试卷 一、单选题（8个小题，每题5分，共40分） 1. 直线 的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，且，那么（ ） A. B. C. D. 5 5. 若直线和直线平行，则的值为（   ） A. 1 B. C. 1或 D. 6. 在正三棱锥中，，点分别是棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 8. 若，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（3个小题，每题6分，部分答对得部分分，共18分） 9. 下列命题中，错误的是（ ） A. 平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B. 经过点且斜率为2的直线方程为 C. 直线的斜率为0 D. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 10. 如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 两条异面直线和所成的角为 B. 直线与平面所成的角等于 C. 点到面的距离为 D. 四面体的体积是 11. 设有一组圆，下列命题正确的是（　　） A. 不论k如何变化，圆心始终在一条直线上 B. 所有圆均不经过点 C. 经过点的圆有且只有一个 D. 所有圆的面积均为4 三、填空题（3个小题，每题5分） 12. 设，若圆的半径为2，则的值为________； 13. 已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为_____________. 14. 如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长______. 四、解答题（5个题，共77分） 15. 已知向量，. （1）计算； （2）若，求实数. 16. 已知的三个顶点分别为．求： （1）BC边所在的直线方程． （2）的面积． 17. 如图，在平行六面体中，为中点， ， ，设，，，以为空间的一个基底． （1）用基底表示向量，并求出线段的长度； （2）直线与平面 交于点求的值 18. 的三个顶点分别是、、． （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求过点、，且圆心在直线上的圆的标准方程； （3）求的外接圆方程． 19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，边长是，侧棱底面，，是的中点，作交于点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $