山东省新泰市第一中学2026-2027学年高二上学期第一次阶段性考试数学试题

新泰一中2025级高二上学期第一次阶段性考试 数学试题 时间：120分钟 分值：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求） 1．若直线的方向向量为，且经过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（    ）    A． B． C． D． 3．已知，若四点共面，则（   ） A． B．2 C．4 D．5 4．已知直线与直线相互平行，则实数的值是（   ） A． B．1或 C． D．6 5．已知点，，若直线与线段AB相交，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．给出以下命题，其中正确的是（   ） A．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与平行 B．直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C．已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为 D．平面的法向量分别为，则 7．在一直角坐标系中，已知，现沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离为 A． B． C． D．2 8．下列四个说法中，正确说法的个数是（    ） ①经过定点的直线，都可以用方程来表示： ②经过任意两个不同点的直线都可以用方程来表示； ③在轴、轴上的截距分别为的直线方程都可以用表示； ④经过点的直线，都可以用方程来表示． A．个 B．个 C．个 D．个 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上，全对得6分，漏选得部分分，错选不得分） 9．如图，已知正方体的棱长为2，O为正方体的中心，点满足，则（   ）    A．平面 B．平面 C．在上的投影向量为 D．二面角的余弦值为 10．已知正方体的棱长为1，动点P满足（，，），下列说法正确的是（       ） A．当时， B．当，，时，则P到平面的距离的最小值是 C．当，时，的最小值为 D．当，且时，则P的轨迹总长度为 11．已知直线过定点，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．若直线不经过第四象限，则的取值范围为 C．若直线在轴上的截距为－3，则 D．若直线分别交x，y轴正半轴于A，B，则当取得最小值时，直线的方程为 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，答案填在答题纸的横线上） 12．已知向量，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是 ． 13．设直线l的斜率为k，且，则直线的倾斜角的取值范围是 . 14．在四面体ABCD中，，，，M，N分别为棱AB，CD所在直线的点，则线段长度的最小值为 ． 四、解答题（本大题5小题，共77分，解答应写出文字说明，演算步骤） 15．（13分）已知空间中三点，设 (1)已知，求的值； (2)若，且，求的坐标. 16．（15分）求满足下列条件的直线方程； (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程； (3)过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 17．（15分）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 18．（17分）已知直线 (1)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (2)判断直线与直线的位置关系 (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 19．（17分）如图，在等腰梯形中，，，，为边上靠近点的三等分点，现将三角形沿翻折，得到四棱锥，使得平面平面，为棱的中点.    (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《新泰一中2025级高二上学期第一次阶段性考试数学试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A A B C D B AD ACD 题号 11 答案 ACD     10．ACD【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则 因为，∴ 对于A，当时，，此时,，，得，， 所以直线与平面垂直，故A正确； 对于B，由选项A知，向量也是平面的一个法向量，当，，时，，，则点到平面的距离，所以P到平面的距离的最小值是，故B不正确； 对于C，当，时，，， 故， 故 令，则 如图所示，， 显然当三点共线时，取得最小值， 最小值为，当且仅当，即时，等号成立，此时 则的最小值为，故C正确； 对于D，当时，可得四点共面，所以点的轨迹在内（包括边界），设点在平面内的投影为点， 因为，所以点是的中心， ，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离， 若，则， 即点落在以为圆心，为半径的圆上， 点到三边的距离为，       此时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分，其轨迹长度为，故D正确. 故选：ACD. 11．ACD 【分析】直线方程整理得，然后求定点即可判断A；由直线不经过第四象限，则斜率和在轴上的截距都大于等于零，列出不等式求解即可判断B；由截距可求得得到C；设，利用三点共线可得，再表示出，根据基本不等式即可求得最小值，根据取最值的条件即可求出直线方程判断D. 【详解】对于A，直线，即， 令，解得，故直线过定点，故A正确； 对于B，直线，即， 直线不经过第四象限，，解得， 故的取值范围是，故B错误； 对于C，易知时，直线在轴上的截距存在， 依题意，令，得直线在轴上的截距为，解得． 对于D，设三点共线， ，整理得 ， 当且仅当，即时等号成立， 当取得最小值时，直线的方程为，即． 故选：ACD. 12． 13． 14．3【详解】如图，将四面体放入长方体中，分别为矩形的中心， 设，，， 则，，， 得，，． 由图易知直线与异面，则线段长度的最小值即为求两异面直线距离， 即长方体的二平行平面间的距离. 故答案为：3 15．(1) (2)或 【详解】（1）因为，， 所以，， 又，所以，得到. （2）因为，又，所以，解得或， 所以的坐标为或. 16．(1) (2) (3)或 【详解】（1）设与直线平行的直线方程为， 由于过点，代入， 解得，可得， 所以所求的方程为； （2）设与直线垂直的直线方程为； 由于过点，代入，解得， 可得， 所以所求的直线方程为； （3）当直线过原点时，设直线方程为， 代入点，，可得， 当直线不过原点时，设直线方程为， 代入点，，可得， 综上，所求直线方程为或. 17．【详解】（1）证明：连接，    因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，则， 因为在直三棱柱中，，所以四边形为正方形， 所以， 因为，、平面，所以平面， 又平面，则． （2）因为直三棱柱中，， 所以，，两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量为，则， 令可得． 设与平面所成角为， 所以， 即与平面成角的正弦值为， 所以与平面成角的余弦值为． 18．(1)； (2)当时，两直线平行，当时，两直线相交； (3)4， 【分析】（1）根据直线不经过第四象限，得到不等式，求出； （2）先根据平行的条件得到方程，求出，验证后得到两直线平行；当时，两直线相交； （3）根据题意得到不等式，求出，表达出，由基本不等式求出最值，并求出直线方程. 【详解】（1）由直线不经过第四象限，又， 则，解得； （2）令，解得，此时直线，显然与平行； 当时，两直线相交， 综上，当时，两直线平行，当时，两直线相交； （3）直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面为， 由直线的方程可得与坐标轴的交点，， 则，解得：． ， 当且仅当，即时取等号． 的最小值为4，及此时直线的方程为：． 19．【详解】（1）取的中点N， 连接， 如图所示：   为棱的中点， 四边形ABMN是平行四边形， 又平面， 平面， 平面. （2）由在等腰梯形中，，，为边上靠近点的三等分点，可得， 也即 又平面平面，交线为,平面， 所以平面， 又平面ABCD， 又 以点D为坐标原点，    所在直线分别为轴建立直角坐标系，, 如图，则 为棱的中点， （i） 设平面的一个法向量为 则 令 则 平面的一个法向量为 所以二面角的正弦值为. （3）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是， 设 则 由（i）知平面的一个法向量为 点Q到平面的距离是 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $