精品解析：湖北武汉外国语学校2026-2027学年高一上学期10月阶段性诊断考试数学试卷

武汉外国语学校2026-2027学年度上学期10月阶段性诊断考试 高一数学试卷 考试时间：2026年10月9日 考试时长：120分钟 试卷满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集运算即可求解. 【详解】由， 则， 故选：B 2. 已知集合，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵，由元素与集合关系可知， ，，A正确，B错误， 由集合与集合关系可知，， 不包含于集合，故C，D都错误. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， 所以，， 故ACD错误，B正确. 4. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分析可得原题意等价于对任意的，不等式恒成立，结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，且，整理得， 所以原题意等价于对任意的，不等式恒成立， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以. 故选：A. 5. 已知，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由基本不等式可得，代入结合一元二次不等式解法计算求解即可. 【详解】当时，，当且仅当时等号成立， 所以， 因为，所以，即， 令，得，解得或（舍去）， 所以的最小值为，当且仅当时等号成立. 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先根据分式不等式的解法，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得，解得， 所以“”是“”的充要条件. 7. 已知实数，满足，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过待定系数法将目标式表示为已知两个代数式的组合，再利用不等式性质求解即可.  【详解】设，，则 ， 所以 ，解得，， 因此. 又，，则， 所以 ，即， 故的取值范围是. 8. 已知正数a，b，c满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知约束条件取等号消去c，将三元问题转化为二元，再通过换元法结合基本不等式求最小值． 【详解】已知正数a，b，c满足，即， 要使取最小值，则需分母尽可能大，故取， 此时， 令，则， 则， 当且仅当，即时等号成立． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. ，“恒成立”是“”的充分不必要条件 D. 若，则的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A,B，利用不等式的性质可以判断； 对于C，利用基本不等式及不等式恒成立与最值的关系，再结合充要条件即可判断； 对于D，利用基本不等式及“1”的巧用可以判断. 【详解】对于A，因为，所以， 所以，即，故A正确； 对于B，因为，所以， 所以，即.故B 不正确； 对于C，，恒成立等价于， 因为，所以，所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以当时，取得最小值为，即. 所以，“恒成立”是“”的充要条件，故C不正确. 对于D,因为，， =， 当且仅当即时，等号成立， 所以当时，取得最小值为，故D正确. 故选：AD. 10. 已知不等式，下列说法正确的是（ ） A. 若，则不等式的解集为 B. 若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C. 若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D. 若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集求解、二次函数的性质、一元二次方程的根等知识逐项计算即可. 【详解】对于A，时，不等式为， 化简得，令， 解得，即或， 所以不等式的解集为，所以A正确； 对于B，当时，不等式变为，恒成立，所以也符合，B错误； 对于C，令，因为不等式对恒成立， 且是关于的一次函数，所以只需满足且即可. 由恒成立，由，解得，C正确； 对于D，若恰有一个整数使得不等式成立，则，又因为， 所以使不等式成立的整数. 设对应的两个根为，则. 所以，解得，D正确. 故选：ACD. 11. 我们约定：在平面直角坐标系中，当点的坐标满足时，称点为“靓点”．请你根据该约定，判断下列说法正确的是（ ） A. 若点为“靓点”，则点也为“靓点” B. 若点为“靓点”，则的最小值为 C. 当时，关于x的函数（k，m为常数，且k不为）的图象上总存在两个不同的“靓点” D. 已知关于x的二次函数（a为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”：，，且满足，则a的值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】将代入靓点变形式，判断选项A；由于缺少正数限制，可取负数，此时无最小值，从而判断选项B；联立直线与靓点方程，证明判别式恒大于0，总有两个不同实根对应靓点，从而判断选项C；联立抛物线与靓点方程，因式分解结合韦达定理与平方和条件求a并检验根的个数，判断选项D． 【详解】由“靓点”定义，等价于，是中心在的等轴双曲线， 若点是“靓点”，则，代入点， ，满足靓点定义， 因此Q也是靓点，A正确； 由基本不等式，若，则 ，最小值为4， 当时，可以趋向负无穷，无最小值，故B错误； 联立与得，， ， 视为关于的二次函数，则其判别式， 故对任意恒成立，方程总有2个不同实根，且代入方程得， 两根均不为1，对应两个不同靓点，故C正确； 靓点满足，联立二次函数，整理得 ， 因式分解得，即一个根为，另外两根为二次方程的根， 由条件，结合点代入两边抵消，得， 由韦达定理， 则， ， 故， 化简得，有三个不同交点， 故，解得或， 故（舍去），，故D正确． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知全集，集合，则的真子集个数为______． 【答案】 15 【解析】 【详解】依题意，全集，而集合，则， 所以有4个元素，其真子集个数为. 13. 已知对所有正实数，都成立，则实数的最小值为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】利用基本不等式求的最大值，进而得出实数的最小值． 【详解】不等式对所有正实数，都成立， 对所有正实数，都成立， ，当且仅当时等号成立， ，故实数的最小值为9． 14. 设有限集所含元素的个数用表示，并规定，已知集合，满足，，若，，则满足条件的所有不同集合的个数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】对集合中的元素个数进行分类讨论，确定集合中的元素，结合列举法可得出集合的个数． 【详解】①当中个元素，中个元素，则，，此时，共种； ②当中个元素，中个元素，则，，所以，， 所以或或或，共种； ③当中个元素，中个元素，则，，此时没有符合题意的集合； ④当中个元素时，中个元素，则，，所以，， 所以或或或，共种； ⑤当中个元素时，中个元素，则，，所以，， 所以共种； 综上所述，满足条件的所有不同集合的个数为． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）或. 【解析】 【分析】（1）利用交集的定义直接求解. （2）利用交集的结果，列式求解. （3）利用并集的结果，结合集合的包含关系列式求解. 【小问1详解】 当时，，或， 所以. 【小问2详解】 当时，则，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 由，得，则或，解得或， 所以实数的取值范围是或. 16. （1）已知有两个不等的负根，无实根，若、一真一假，求的取值范围． （2）已知，，若q是p的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或；（2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系求解参数的范围，再结合两命题一真一假，即可求参数的取值范围； （2）利用必要不充分条件转化为两集合的真子集关系，即可求参数的范围. 【详解】（1）设为的两个不等的负根，则， 解得，记集合， 而方程无实根，则， 解之得，记集合， 若p真q假，则， 若p假q真，则， 综上若、一真一假，则{或} ； （2）由，，且q是p的必要不充分条件， 则满足集合是集合的真子集， 即，解得，显然等号不能同时取到，即满足真子集， 故实数的取值范围为. 17. 某公司的商品原来每件售价为元，年销售万件. （1）据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元? （2）为了扩大该商品的影响力，提高销售量，公司决定对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到每件元. 公司拟投入万元作为技术革新，投入万元作为设备升级，投入万元作为广告宣传.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和? 并求出此时商品的每件定价. 【答案】（1）元 （2）万件，元 【解析】 【分析】（1）由题意列出一元二次不等式，结合一元二次不等式解法进行求解即可； （2）利用基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 设每件定价为元，由题意可， 整理可得，解得， 要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元； 【小问2详解】 依题意，当时， 有解， 等价于当时，有解， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，则， 所以，当该商品明年的销售量至少应达到万件时， 才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为元 18. 定义为个实数，，…，中的最小数，为个实数，，…，中的最大数． （1）设，都是正实数，且，求； （2）解不等式：； （3）设，都是正实数，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由基本不等式即可求解； （2）分段讨论得出，然后解不等式即可； （3）设出后由基本不等式进行求解. 【小问1详解】 由题意得，即，当且仅当时等号成立， 故； 【小问2详解】 令，得， 当时，当时， 而即恒成立， 故， 可化为或或， 解得，故原不等式的解集为； 【小问3详解】 设，由题意得， 则， 当且仅当即时等号同时成立， 故的最小值为． 19. 高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，． （1）求的解集； （2）设方程的解集为，集合，若，求的取值范围； （3）若的解集为，求的范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由表示不超过实数的最大整数可得的范围； （2）根据高斯函数的定义求得集合，从而得出集合的可能情形，根据集合的情形求解； （3）不等式可化为，分，，三类讨论解集情况可得． 【小问1详解】 由题意得，且， 由，即，所以， 故的解集为； 【小问2详解】 ，则，，即， 令，，， 当时，，此时，成立； 当时，，此时， 又，则，解得； 当时，，此时， 又，则，解得， 综上所述，，即； 【小问3详解】 不等式，即， 由方程可得或. ①若，不等式为，即，所以，显然不符合题意； ②若，，由，解得， 因为不等式的解集为， 所以，解得， ③若，， 由，解得， 因为不等式解集为 所以，解得， 综上所述，或 故的范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉外国语学校2026-2027学年度上学期10月阶段性诊断考试 高一数学试卷 考试时间：2026年10月9日 考试时长：120分钟 试卷满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知实数，满足，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正数a，b，c满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. ，“恒成立”是“”的充分不必要条件 D. 若，则的最小值为 10. 已知不等式，下列说法正确的是（ ） A. 若，则不等式的解集为 B. 若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C. 若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D. 若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 11. 我们约定：在平面直角坐标系中，当点的坐标满足时，称点为“靓点”．请你根据该约定，判断下列说法正确的是（ ） A. 若点为“靓点”，则点也为“靓点” B. 若点为“靓点”，则的最小值为 C. 当时，关于x的函数（k，m为常数，且k不为）的图象上总存在两个不同的“靓点” D. 已知关于x的二次函数（a为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”：，，且满足，则a的值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知全集，集合，则的真子集个数为______． 13. 已知对所有正实数，都成立，则实数的最小值为_____． 14. 设有限集所含元素的个数用表示，并规定，已知集合，满足，，若，，则满足条件的所有不同集合的个数为_______． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围． 16. （1）已知有两个不等的负根，无实根，若、一真一假，求的取值范围． （2）已知，，若q是p的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17. 某公司的商品原来每件售价为元，年销售万件. （1）据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元? （2）为了扩大该商品的影响力，提高销售量，公司决定对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到每件元. 公司拟投入万元作为技术革新，投入万元作为设备升级，投入万元作为广告宣传.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和? 并求出此时商品的每件定价. 18. 定义为个实数，，…，中的最小数，为个实数，，…，中的最大数． （1）设，都是正实数，且，求； （2）解不等式：； （3）设，都是正实数，求的最小值． 19. 高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，． （1）求的解集； （2）设方程的解集为，集合，若，求的取值范围； （3）若的解集为，求的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $