精品解析：河南南阳市邓州市第一高级中学校2025-2026学年高一上学期第一次学情调研数学试题

2025-2026学年高一上学期第一次学情调研 数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求． 1. 下列关系中①，②.③，④.正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据常用数集的概念进行判断即可. 【详解】对于①，是有理数，但不是整数，故①错误； 对于②，是无理数，不是有理数，故②正确； 对于③，0是自然数，所以不成立，故③错误； 对于④，是无理数，也是实数，故④正确； 故正确的个数为2. 故选：B. 2. 集合，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，则可以取，由， 得，解得，所以. 3. 已知集合，，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合相等及集合中元素的互异性，即可求出的值，从而作出判断. 【详解】由可知两集合元素全部相等，则有或， 又由集合中元素的互异性，可知， 所以，所以． 4. 已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用充分不必要条件求参数，得到，即可求解. 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，所以. 故选：D. 5. 若，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的性质求解最值即可得解. 【详解】令， 当时，， 故，，只需，故， 故选：A 6. 已知则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以， 所以， 因为，所以，当且仅当时取得等号， 所以的最小值是. 7. 已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知当时，函数取得最小值2，而，再结合二次函数图象的对称性可求出的取值范围. 【详解】因为， 所以当时，函数取得最小值2， 因为，而函数在闭区间上有最大值3，最小值2， 所以，即的取值范围是. 8. 若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的解集为，利用根与系数的关系求解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以， ， 因为，所以，解得或1（舍去）. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AB，利用不等式的性质分析判断即可，对于CD，利用作差法分析判断 【详解】A 因为，，所以，， 若，则，所以，即故A正确； B.若，则，所以，即，故B正确； C.若，则，所以，即，故C不正确； D.因为，，所以，又，则， 所以，即故D正确． 故选：ABD． 10. 以下四个命题中，是真命题的是（ ） A. B. “”是“”的必要不充分条件 C. 若命题，则的否定为： D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用全称量词命题的真假来判断A，由真子集关系来判断充要关系可推断B，利用命题的否定可判断C，利用不等式的性质可判断D． 【详解】对于选项A：，故A选项为真命题； 对于选项B：因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件，故B选项为真命题； 对于C：命题，则的否定为：，故C选项为假命题 对于选项D：若，则，故D选项为假命题． 故选：AB. 11. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A，因为不等式的解集为， 所以方程的两根为和2，且，故A正确； 对于B，由韦达定理得，解得， 所以，故B正确； 对于C，由，得，因为，所以，故C错误； 对于D，由，得，因为，所以， 即，解得或， 所以不等式的解集为或.故D错误. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设正数，满足，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用“乘1”法结合基本不等式即可解得. 【详解】由，可得, 因,，故,, 则， 其中， 当且仅当即时取等号， 结合，解得，， 故的最小值为． 故答案为：． 13. 若函数的定义域为，则函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抽象函数定义域和分母不为0得到不等式组，解出即可. 【详解】由，解得，故的定义域为． 故答案为：. 14. 已知函数是上的减函数，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数和直线的单调性，结合分割点处函数值之间的关系，列出不等式，求解即可. 【详解】依题意得，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式，得到，，根据并集概念求出答案； （2）先得到，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 解不等式得，所以， 当时，，所以. 【小问2详解】 因为“”是“”的必要不充分条件，所以. 当时，，解得，此时 成立. 当时，由得， 解得， 综上，实数的取值范围是. 16. 已知函数的图象如图所示，其中y轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段． （1）写出函数的解析式、定义域和值域； （2）求，的值． 【答案】（1），定义域为，值域为； （2），. 【解析】 【分析】（1）根据图象结合待定系数法计算解析式，定义域和值域即可； （2）直接根据（1）的结论计算即可. 【小问1详解】 根据题意及图象可知：当时，可设线段解析式为， 将点代入解析式可得，即； 当时，图象为抛物线一部分，可设解析式为， 由图象可知其顶点为且过点，所以， 即， 则， 结合图象，所以的定义域为，值域为； 【小问2详解】 由上可知，， 即，. 17. （1）用单调性定义证明函数在区间上是减函数； （2）已知函数（）在区间上是增函数，求实数的取值范围． 【答案】（1）任取，，且＜， 则 ， ，，，， ，即，在区间上是减函数； （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性的定义，直接按步骤证明即可； （2）对二次项系数进行分类讨论，根据各自函数的性质，分别求出函数在区间上是增函数时的的取值，从而得出的取值范围. 【详解】（1）略 （2）①当时，函数为，因为，所以一次函数在上是增函数； ②当时，二次函数开口向上，其对称轴是， 在上是增函数，，即，； ③当时，二次函数开口向下，显然无法满足在上是增函数，不合题意， 综上所述，实数的取值范围是. 18. 随着环保意识的增强，电动汽车成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段（汽车行驶速度不低于40km/h）测试发现：汽车每小时耗电量P（单位：kW·h）与速度v（单位：km/h）的关系满足；相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从A地经高速公路（最低限速40km/h，最高限速120km/h）匀速行驶到距离为500km的B地，出发前汽车电池存量为75kW·h，汽车到达B地后至少要保留5kW·h的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与路程都忽略不计）. （1）判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由； （2）若以该电动汽车的现存电量一定可以到达A地与B地间的服务区，服务区充电桩的功率为15kW（充电量＝充电功率×时间），求到达B地的最少用时（行驶时间与充电时间总和）. 【答案】（1）不能；理由：由题意该车匀速行驶，则可得时间为， 所需总电量为， 因为kW·h， 当且仅当km/h时取等号， 因为出发前汽车电池存量为kW·h，所以不能到达地. （2） 【解析】 【分析】（1）由题可得出所需总电量为，再结合基本不等式即可求解； 设行驶时间为，充电时间为，总时间，结合题意可得，再利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 设行驶时间为，充电时间为，总时间， 则可得，即，则， 所以， 当且仅当时取等号， 所以最少时间为. 19. 已知函数. （1）若的解集为，求实数的值； （2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数取值范围； （3），解关于的不等式. 【答案】（1），； （2） （3） 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【解析】 【分析】（1）由题意可知3是方程的一个根，计算即可得，再解出的另一根即可得解； （2）由题意可得对任意恒成立，从而只需借助基本不等式求出在时的最小值即可得； （3）由题意可得，再分、、、与进行讨论即可得. 【小问1详解】 由的解集为，可得3是方程的一个实数根， 因此，解得； 所以的另一实数根为1，可得； 即实数的值为，； 【小问2详解】 由可得，即； 又因为，可得恒成立； 易知当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，此时取得最小值， 所以； 【小问3详解】 不等式即为； 整理可得； 当时，不等式为，易知其解集为； 当时，不等式可分解为，其方程对应的两根分别为； 若，不等式等价为，此时不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 综上可知，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一上学期第一次学情调研 数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求． 1. 下列关系中①，②.③，④.正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 集合，，那么（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 8. 若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 以下四个命题中，是真命题的是（ ） A. B. “”是“”的必要不充分条件 C. 若命题，则的否定为： D. 若，则 11. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设正数，满足，则的最小值为______． 13. 若函数的定义域为，则函数的定义域为______． 14. 已知函数是上的减函数，则的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 已知函数的图象如图所示，其中y轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段． （1）写出函数的解析式、定义域和值域； （2）求，的值． 17. （1）用单调性定义证明函数在区间上是减函数； （2）已知函数（）在区间上是增函数，求实数的取值范围． 18. 随着环保意识的增强，电动汽车成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段（汽车行驶速度不低于40km/h）测试发现：汽车每小时耗电量P（单位：kW·h）与速度v（单位：km/h）的关系满足；相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从A地经高速公路（最低限速40km/h，最高限速120km/h）匀速行驶到距离为500km的B地，出发前汽车电池存量为75kW·h，汽车到达B地后至少要保留5kW·h的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与路程都忽略不计）. （1）判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由； （2）若以该电动汽车的现存电量一定可以到达A地与B地间的服务区，服务区充电桩的功率为15kW（充电量＝充电功率×时间），求到达B地的最少用时（行驶时间与充电时间总和）. 19. 已知函数. （1）若的解集为，求实数的值； （2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数取值范围； （3），解关于的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $