精品解析：河南省南阳市邓州市第二高级中学校2024-2025学年高一上学期第二次月考（12月）数学试题

邓州二高2024年秋期高一年级第二次月考 数学试题 命题人：范永惠 审题人：王丽娜 2024.12.21 一．单选题（共8个小题，每小题5分） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集、并集的知识来求得正确答案. 【详解】因为全集，集合，， 所以. 故选：B 2. 某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39．现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第5个零件编号是（ ） 0647 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179 A. 36 B. 16 C. 11 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据随机数表法来求得正确答案. 【详解】由左至右依次读取，编号为：， 所以选出来的第5个零件编号是. 故选：C 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性和零点的存在性定理来求得正确答案. 【详解】因为，函数连续不间断，且在上单调递增， 所以，， 所以， 由零点存在性定理得函数的零点所在的区间为． 故选：D． 4. 若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性，结合二次函数的单调性，建立关于的不等式，可得答案. 【详解】解：令，则 因为函数在区间上单调递增， 所以在上为增函数且函数值恒大于0， 则，故，则的取值范围是． 故选：C． 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、特殊点的函数值来确定正确答案. 【详解】根据题意，， 则有，所以是偶函数， 图象关于轴对称，故排除选项A，D； 因为，所以排除选项B. 故选：C 6. 已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数图象过点求出，可得的解析式，再根据的单调性可得答案. 【详解】已知幂函数经过点，可得，解得， 即，易知在上单调递减． 由于，， 所以可得，综上所述，． 故选：B． 7. 已知实数x，y满足，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将已知不等式变形，利用构造函数法，结合函数的单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】变形为， 设，则在单调递增， 又因为，所以， 当时，成立，ABC选项正确. 当时，无法判断与0的关系，D选项错误. 故选：D 8. 已知函数若方程有三个实数根，且，则下列结论不正确的为（ ） A. B. 的取值范围为 C. a的取值范围为 D. 不等式的解集为 【答案】C 【解析】 【分析】画出的图象，根据与的交点个数对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，，， ， 画出函数的图象，如图示： 对于C，有个不等的实根和有个不同的交点， ，故C错误； 对于A，， ，故A正确， 对于B，，故，故B正确， 对于D，结合图象不等式的解集为，故D正确. 故选：C 【点睛】易错点睛： 分段函数的性质理解错误：对于分段函数的不同区间，需要分开讨论，避免混淆. 忽略函数的单调性：分析方程的根时，必须注意函数在不同区间的单调性. 不等式的边界值误解：解不等式时，可能会忽视边界值的影响，导致错误的解集. 二．多选题（共3个小题，每小题6分） 9. 10件同类产品中，有8件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，与事件“1件正品2件次品”互斥而不对立的事件为（ ） A. 恰有1件次品 B. 至多有1件次品 C. 至少有1件次品 D. 都是正品 【答案】AD 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项判断即可. 【详解】10件同类产品中，有8件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件， 在A中，“恰有1件次品”与事件“1件正品2件次品”互斥而不对立的事件，故A正确； 在B中，“至多有1件次品”与事件“1件正品2件次品”是对立事件，故B错误； 在C中，“至少有1件次品”与事件“1件正品2件次品”能同时发生，不是互斥事件，故C错误； 在D中，“都是正品”与事件“1件正品2件次品”互斥不对立，故D正确. 故选：AD 10. 已知函数，若a＞b＞c，且，则（ ） A. a＞1 B. b＞1 C. 0＜c＜l D. 0＜ac＜1 【答案】ACD 【解析】 【分析】去掉绝对值，化为分段函数，根据函数图象，可判断出及，则可能大于1，也可能大于0小于1，再结合范围得到不等式，求出. 【详解】，定义域为，在上单调递减，在上单调递增，因为a＞b＞c，且，结合函数图象可知，，且，则可能大于1，也可能大于0小于1，故AC正确，B错误；其中，则，故，D正确； 故选：ACD 11. 已知且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. 的最小值为2 B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值为2 【答案】AC 【解析】 【分析】利用基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A，， ，当且仅当时取等号， 则的最小值为2，故A正确； B，， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为，故B错误； C，由，可得，当且仅当时等号成立， ，则的最小值为2， 当且仅当时等号成立，故C正确； D，，当且仅当取等号， 的最大值为2，故D不正确． 故选：AC 【点睛】用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： “一正，二定，三相等” .（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致. 三．填空题（共3个小题，每小题5分） 12. 已知函数（且）的图像恒过定点，则点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数型函数定点的求法求得正确答案. 【详解】令，解得， ， 所以定点. 故答案为： 13. 已知，且，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先化简所求式子，然后利用换元法，结合基本不等式来求得正确答案. 【详解】因为， 所以， 令， 则， 其中，当且仅当，即时，等号成立， 故，此时. 故答案为： 14. 已知的最小值为，则的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式、换元法、指数函数、二次函数等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】当时，，当且仅当，即时，取等号， 当时，设，则， 则在上单调递减， 则当时，取得最小值为， 要使的最小值为，则，得， 即实数的取值范围是. 故答案为：． 【点睛】易错点睛： 忽视基本不等式的应用：在求解最小值时，可能会漏掉基本不等式等号成立的条件，导致最小值计算错误. 二次函数分析错误：在时，可能会对二次函数的分析出现错误，忽略了函数在上是减函数. 四．解答题（共5小题） 15. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的第75百分位数； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差. 【答案】（1） （2）84 （3）总平均数为；总方差为 【解析】 【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1即可求解； （2）由频率分布直方图求第百分位数的计算公式即可求解； （3）利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解. 【小问1详解】 因为每组小矩形的面积之和为1， 所以， 则. 【小问2详解】 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设第75百分位数为m， 由，得，故第75百分位数为84. 【小问3详解】 由图可知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 故这两组成绩的总平均数为， 由样本方差计算总体方差公式可得总方差为： . 16. 已知函数. （1）若，且，求的最小值； （2）若，求关于x的不等式的解集（结果用a表示）. 【答案】（1）； （2）时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为. 【解析】 【分析】（1）由得，然后利用基本不等式中常数代换技巧求解最小值即可. （2）将不等式转化为，按照，，，和分类讨论求解即可. 【小问1详解】 由，得，又， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为； 【小问2详解】 因为，所以，即. 当时，，解得； 当时，解方程得或， 当，即时，，解得或； 当，即时，，解得； 当，即时，，解得或， 当时，，解得， 综上，时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为. 17. 某地政府指导本地建扶贫车间､搭建就业平台，帮助贫困群众实现精准脱贫，实现困难群众就地就近就业.已知扶贫车间生产某种产品的年固定成本为8万元，每生产()万件，该产品需另投入流动成本万元.在年产量不足6万件时，；在年产量不小于6万件时，.每件产品的售价为6元.由于该扶货车间利用了扶贫政策及企业产业链优势，因此该种产品能在当年全部售完. （1）写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式； （2）当年产量为多少时，该扶贫车间的年利润最大？并求出最大年利润. 【答案】（1）；（2）当年产量为9万件时，该扶贫车间的年利润最大，最大年利润为14万元. 【解析】 【分析】（1）根据题意结合分段函数即可求解； （2）结合二次函数在固定区间上的最值以及均值不等式即可求出函数的最值. 【详解】解：（1）每件产品的售价为6元，则万件产品的销售收入为万元. 依题意得，当时，. 当时，. 所以. （2）当时，， 故当时，取得最大值4.5万元. 当时，， 当且仅当，即时，取得最大值14万元. 所以当年产量为9万件时，该扶贫车间的年利润最大，最大年利润为14万元. 18. 已知函数为偶函数． （1）求的值； （2）对任意，存在使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）由偶函数的定义得到，即可求出参数的值； （2）将问题转化为，令，则，求出的最大值为，再将问题转化为在上有解，则可得，再构造函数，求出其最小值即可. 【小问1详解】 因为函数为偶函数，所以． 所以， 即恒成立，所以，则，经检验符合题意； 【小问2详解】 由（1）知，， 因为对任意，存在使得成立， 所以， 设，， ，，令，， 所以根据对勾函数的性质可得，在上单调递增， 即， 所以，在上有解， 即在上有解，即，； 设，， 因为，所以的值域为， 所以，即，所以的取值范围是 19. 已知函数 （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求证：当时，． 【答案】（1） （2）偶函数 （3）当时， ， ， 因为是偶函数，时成立． 【解析】 【分析】（1）根据函数定义域的求法来求得的定义域. （2）由来判断出是偶函数. （3）根据指数型函数值域的求法，结合函数的奇偶性来证得不等式成立. 【小问1详解】 由题意可得：函数的定义域为. 【小问2详解】 函数的定义域为， ， 为偶函数. 【小问3详解】 略 【点睛】易错点睛：忽略分母条件：在求函数的定义域时，容易忽略分母为零的条件，导致定义域错误，奇偶性判断不准确：在判断函数奇偶性时，可能会错误地推导出函数是奇函数而不是偶函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邓州二高2024年秋期高一年级第二次月考 数学试题 命题人：范永惠 审题人：王丽娜 2024.12.21 一．单选题（共8个小题，每小题5分） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39．现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第5个零件编号是（ ） 0647 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179 A. 36 B. 16 C. 11 D. 14 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数x，y满足，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数若方程有三个实数根，且，则下列结论不正确的为（ ） A. B. 的取值范围为 C. a的取值范围为 D. 不等式的解集为 二．多选题（共3个小题，每小题6分） 9. 10件同类产品中，有8件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，与事件“1件正品2件次品”互斥而不对立的事件为（ ） A. 恰有1件次品 B. 至多有1件次品 C. 至少有1件次品 D. 都是正品 10. 已知函数，若a＞b＞c，且，则（ ） A. a＞1 B. b＞1 C. 0＜c＜l D. 0＜ac＜1 11. 已知且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. 的最小值为2 B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值为2 三．填空题（共3个小题，每小题5分） 12. 已知函数（且）的图像恒过定点，则点的坐标是_______． 13. 已知，且，则的最小值为_______． 14. 已知的最小值为，则的取值范围为_______． 四．解答题（共5小题） 15. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的第75百分位数； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差. 16. 已知函数. （1）若，且，求的最小值； （2）若，求关于x的不等式的解集（结果用a表示）. 17. 某地政府指导本地建扶贫车间､搭建就业平台，帮助贫困群众实现精准脱贫，实现困难群众就地就近就业.已知扶贫车间生产某种产品的年固定成本为8万元，每生产()万件，该产品需另投入流动成本万元.在年产量不足6万件时，；在年产量不小于6万件时，.每件产品的售价为6元.由于该扶货车间利用了扶贫政策及企业产业链优势，因此该种产品能在当年全部售完. （1）写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式； （2）当年产量为多少时，该扶贫车间的年利润最大？并求出最大年利润. 18. 已知函数为偶函数． （1）求的值； （2）对任意，存在使得成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数 （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求证：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $