精品解析：四川省南充高级中学2026-2027学年第二次诊断考试数学试题

南充高中高2024级第二次诊断考试（南充一诊模拟考试） 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 命审题：南充高中高2024级高考中心命题组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确答案的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 复数在复平面内对应的点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数的除法化简复数，再根据复数几何意义可得. 【详解】因为复数，由复数的除法得， 所以复数在复平面对应的点为，该点在第一象限. 2. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解分式不等式化简，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，即，解得或，即或， 所以由推不出，故充分性不成立； 由推得出，故必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B 3. 下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】选项A：，不是偶函数，A错误. 选项B：函数是余弦函数，在区间不单调，B错误. 选项C：函数的定义域为，且， 函数为偶函数. 又，当时，，，， 则，函数在区间上单调递增，C正确. 选项D：函数的定义域为，函数不是偶函数，D错误. 4. 已知双曲线的离心率为2，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意，再根据，即可得到，从而求出渐近线方程； 【详解】解：因为双曲线的离心率为2，即，又，所以，所以，所以，所以双曲线C的渐近线方程为； 故选：A 5. 已知函数，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将问题转化为、、与的交点，数形结合即可判断. 【详解】函数，，的零点， 转化为，，与的图象的交点的横坐标，因为零点分别为， 在坐标系中画出，，与的图象如图： 可知，，，则． 6. 在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要的时间，其中为常数．在此条件下，训练个单位的数据量所需要的时间是训练个单位的数据量所需要的时间的（ ） A. 倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍 【答案】C 【解析】 【详解】设训练个单位数据的时间为​，训练个单位数据的时间为​， 由已知，得. 根据对数运算性质，可得：. 由题意，，因此时间之比为：，  即前者所需时间是后者的3倍. 7. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则边上的高为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先根据余弦定理求出c，再根据等面积法求出高即可. 【详解】由余弦定理可得，所以， 且的面积为， 设边上的高为h，则的面积为，即，. 8. 若函数，有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将条件转化为有两个实根，再构造函数，求导，判断的单调性，从而转化为函数与有两个交点，再构造函数，求导，判断的单调性，得到及的大致图象，进而数形结合即可得到的取值范围． 【详解】要使函数有两个零点， 即只需有两个实根， 即只需有两个实根， 设，则，所以在上单调递增， 又，则， 即只需有两个实根， 即只需函数与有两个交点， 令，（），则， 当时，；当时，， 则在上单调递增；则在上单调递减，所以， 又时，；时，， 所以函数与的大致图象如下： 数形结合，所以要使函数与有两个交点， 只需，解得，所以的取值范围是． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分、部分选对的得部分分，有选错的得0分．请把正确答案的选项填涂在答题卡相应的位置上． 9. 若，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 数据，，，，，的第30百分位数是5 D. 若，随机变量，且，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用赋值法判断A，B；求出，，，，，的值，再按从小到大的顺序排列，求出第30百分位数，判断C；由正态分布的性质判断D. 【详解】对于A，令，则有，故A正确； 对于B，令，则有， 所以，① 令，则有， 所以，② 由①②可得，，故B正确； 对于C，由二项式定理可得，，，， ，所以数据，，，，，， 即为，，，，，， 从小到大排列为：1，1，5，5，10，10共6个数， 又因为，所以此组数据的第30百分位数是1，故C错误； 对于D，因为， 所以，即，所以， 又因为，故D错误. 10. 设函数，的零点为，极值点为，则（ ） A. B. C. D. 是的极小值点 【答案】AD 【解析】 【分析】由是函数的零点可得，可判断A；由是的极值点，可得，进而可判断是的极小值点，可判断D；再由两角差的正切公式可得C错误；由余弦函数的单调性可判断B错误. 【详解】因为是在的零点，所以， ，由，所以，因此， 解得，A正确； 对求导，得， 因为是的极值点，所以，得， 即，且，，因此. 因为函数在上单调递减，所以函数在单调递增， 当，，，单调递减； 当，，，单调递增. 因此是函数的极小值点，D正确； 又由，，所以，，且， 因为函数在上单调递减，所以，B错误； 由，，且， 所以，，， ，C错误. 11. 已知点是抛物线∶的焦点，、是经过点的弦且，直线的斜率为，且，，两点在轴上方，则（ ） A. 抛物线的焦点到准线的距离为2 B. C. 为一个定值 D. 若，则直线的斜率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设点，点的坐标分别为，，联立方程组，结合韦达定理得到，值，然后再逐一判断. 【详解】由抛物线的方程为，，抛物线的焦点到准线的距离为，A正确. 如图所示； 由题知点的坐标为，点的坐标为，直线的方程为. 设点，点的坐标分别为，，联立方程组， ，由韦达定理得，. . ，B错误. 由过焦点的弦长公式得. ，直线的斜率为，同理推出. ，C正确. ，，， ，，由 ，直线的斜率为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，均为单位向量，若，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】由得，可得，再利用求解. 【详解】因为，所以，即， 又因为，均为单位向量，所以，则， 所以. 13. 已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据幂函数的定义与单调性求出参数的值，进而根据“1”的妙用，及基本不等式即可求解． 【详解】由是幂函数，且在上单调递减， 则，即，解得， 则，即，又，， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 14. 已知正三棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，且，则该正三棱锥体积的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设正三棱锥底面正三角形的边长为，可得其高与、的关系，由题意可得外接球半径，从而可得、与关系，利用体积公式可得，采用换元法和导数求解即可. 【详解】设正三棱锥底面正三角形的边长为， 由正弦定理可得此三角形的外接圆半径， 所以正三棱锥的高， 又因为此正三棱锥的外接球表面积为， 所以外接球的半径， 如图所示： 因为三角形是直角三角形， 所以， 整理得， 所以， 所以， 整理得，， 由，得， 又因为正三棱锥的体积 ， 令，因为，所以， 令， 则， 因为，所以， 所以在上单调递增， 所以， 即该正三棱锥体积的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在正方体中，分别为的中点． （1）若在线段上存在一点，使平面，试确定点的位置并证明； （2）求平面与平面夹角的正切值． 【答案】（1） 点在的中点位置，证明如下， 取中点，设为点，连接， 因为为的中点，所以且， 又为中点，所以且， 所以且， 所以，四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，利用中位线证与平行且相等得到平行四边形，证，用线面平行判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，选取平面的法向量，通过向量夹角公式求二面角的正切． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 所以，即， 令，， 在正方体中，平面， 所以可以作为平面的一个法向量， 则，， 所以， 得平面与平面夹角的正切值为． 16. 2026年9月19日南充市城市足球联赛（简称“充超”）火热开赛，赛场外同步开展特色好物展销活动，某特色产品商统计了其中5场比赛的观赛人数与产品单日销售额．设为单场观赛人数（单位：百人），为特色产品单日销售额（单位：百元），得到了如下数据： 6 7 8 9 10 3 5 6 7 9 （1）由数据可知与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测单场观赛人数为13百人时特色产品单日销售额； （2）若观赛人数不低于8百人的场次称为“热门场次”，从这5场比赛中随机选出2场，记其中热门场次的数量为，求的分布列和数学期望． 参考公式：，． 【答案】（1），13百元 （2） 0 1 2 ． 【解析】 【分析】(1)先计算样本的均值，再通过离均差计算回归方程的斜率与截距，得到线性回归方程后代入目标人数即可完成销售额预测； (2)先筛选出热门场次总数，确定随机变量的分布类型，通过组合数计算各取值概率得到分布列，再按期望定义计算最终结果. 【小问1详解】 由数据可得，，， 则， ， 所以，， 因此，y关于x的线性回归方程为：， 当时，(百元)， 因此，预测单场观赛人数为13百人时特色产品单日销售额约为13百元. 【小问2详解】 由题意可知，“热门场次”共有3场，即的可能取值为0，1，2， ，，， 故的分布列为 0 1 2 ． 17. 设等差数列的公差为，点在函数的图象上（） （1）证明：数列是等比数列； （2）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和． 【答案】（1）由已知，， 当时，（非零常数）， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列； （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列定义，求出为常数，证明是等比数列； （2）求指数函数导数写出切线方程，利用横截距求出，得到等差数列通项，再对使用错位相减法求前项和． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，得， 所以在处的切线为， 令，得， 解得，所以， 因为是等差数列，，所以， 所以，， 所以， 所以①， ②， ①②，得， 即， 整理，化简得． 18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的上顶点为，左焦点为，焦距为的面积为6，点为椭圆上一点，圆的面积为. （1）求椭圆的离心率； （2）过原点作圆的两条切线OM，ON分别交椭圆于M，N. （i）若直线OM，ON的斜率都存在，分别记为，求的值； （ii）求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）18 【解析】 【分析】（1）由焦距得，由面积得，，即可求出离心率. （2）（i）直线与圆相切，由距离公式得关于的方程，结合椭圆方程，韦达定理得. （ii）由得，代入椭圆化简得，用基本不等式得最大值. 【小问1详解】 依题意得， ，. 【小问2详解】 （i）依题意得圆，椭圆，点为椭圆上一点， ，. 直线，与圆相切，，. 平方整理，得为方程的两根， . （ii）设，由（i）知，所以， ，， 整理得， ， 由基本不等式，得，当且仅当时等号成立. 的最大值为18. 19. 已知函数，，． （1）求函数的最值； （2）讨论函数在上极值点的个数； （3）设函数，若在定义域内有三个不同的极值点，，，且满足，求实数a的取值范围． 【答案】（1）最小值为，无最大值 （2）当或时，无极值点； 当时，有2个极值点． （3） 【解析】 【分析】（1）对求导找到临界点，通过导数符号判断单调性，进而求得最小值，结合定义域端点趋势判断无最大值； （2）将极值点个数转化为导函数的变号零点个数，分离参数得到，通过研究函数的单调性与值域，分类讨论的范围得到零点个数； （3）先化简并求导，将极值点问题转化为方程根的问题，结合的图像得到三个极值点的条件，再利用根的关系将化简为关于的函数，通过单调性解不等式得到的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为，． 令，即，解得． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因此在处取得极小值（也是最小值），此时． 无最大值． 所以函数的最小值为，无最大值． 【小问2详解】 由题意知，讨论在上变号零点个数 对，求导可得． 讨论在上的解的个数，即在上的解的个数． 令，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在处取得最大值，此时． 且当时，；时，． 当时，在上无解，此时在上无极值点； 当时，在上有2个解，此时在上有2个极值点； 当时，在上有1个解， 但在上为非负数，仅在处取0，故此时在上无极值点； 当时，在上无解，此时在上无极值点； 综上，当或时，无极值点； 当时，有2个极值点． 【小问3详解】 ，其定义域为， 则，． 令，解得或． 设，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在处取得最大值，此时， 且当时，；当时，． 因此的大致图象如图所示， 因为在定义域内有三个不同的极值点，，，且为的一个根， 所以与有两个不同的交点（且不等于1），所以， 即在上有两个不同的正根，分别位于和，且不等于1． 不妨设，则， 所以，即，，也即，， 所以 ． 令，则 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以， 又，所以， 所以在上单调递增． 因为 因此当时，， 即当时，恒成立， 所以实数a的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南充高中高2024级第二次诊断考试（南充一诊模拟考试） 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 命审题：南充高中高2024级高考中心命题组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确答案的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 复数在复平面内对应的点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线的离心率为2，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 6. 在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要的时间，其中为常数．在此条件下，训练个单位的数据量所需要的时间是训练个单位的数据量所需要的时间的（ ） A. 倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍 7. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则边上的高为（ ） A. B. C. D. 2 8. 若函数，有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分、部分选对的得部分分，有选错的得0分．请把正确答案的选项填涂在答题卡相应的位置上． 9. 若，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 数据，，，，，的第30百分位数是5 D. 若，随机变量，且，则 10. 设函数，的零点为，极值点为，则（ ） A. B. C. D. 是的极小值点 11. 已知点是抛物线∶的焦点，、是经过点的弦且，直线的斜率为，且，，两点在轴上方，则（ ） A. 抛物线的焦点到准线的距离为2 B. C. 为一个定值 D. 若，则直线的斜率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，均为单位向量，若，则__________． 13. 已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为__________． 14. 已知正三棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，且，则该正三棱锥体积的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在正方体中，分别为的中点． （1）若在线段上存在一点，使平面，试确定点的位置并证明； （2）求平面与平面夹角的正切值． 16. 2026年9月19日南充市城市足球联赛（简称“充超”）火热开赛，赛场外同步开展特色好物展销活动，某特色产品商统计了其中5场比赛的观赛人数与产品单日销售额．设为单场观赛人数（单位：百人），为特色产品单日销售额（单位：百元），得到了如下数据： 6 7 8 9 10 3 5 6 7 9 （1）由数据可知与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测单场观赛人数为13百人时特色产品单日销售额； （2）若观赛人数不低于8百人的场次称为“热门场次”，从这5场比赛中随机选出2场，记其中热门场次的数量为，求的分布列和数学期望． 参考公式：，． 17. 设等差数列的公差为，点在函数的图象上（） （1）证明：数列是等比数列； （2）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和． 18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的上顶点为，左焦点为，焦距为的面积为6，点为椭圆上一点，圆的面积为. （1）求椭圆的离心率； （2）过原点作圆的两条切线OM，ON分别交椭圆于M，N. （i）若直线OM，ON的斜率都存在，分别记为，求的值； （ii）求的最大值. 19. 已知函数，，． （1）求函数的最值； （2）讨论函数在上极值点的个数； （3）设函数，若在定义域内有三个不同的极值点，，，且满足，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $