精品解析：四川省德阳市2025-2026学年高三第二次诊断考试数学试卷

德阳市高中2023级第二次诊断考试 数学试卷 说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回． 2．本试卷满分150分，120分钟完卷． 第Ⅰ卷（选择题 58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知集合， 因为，所以. 2. 当时，复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】由整理可得， 可知复数在复平面内对应的点为， 因为，则，， 所以复数在复平面内对应的点位于第二象限. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 0或 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示列出等式求解即可. 【详解】由平面向量平行的坐标充要条件可得：， 整理为：，解得或. 4. 若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由题意知圆心到两直线的距离相等，得到等量关系求解即可. 【详解】由题意直线平行，且与圆的四个交点构成矩形，则可知圆心到两直线的距离相等， 圆的圆心为， 圆心到直线的距离为：， 圆心到直线的距离为：， ， 又，. 5. 若，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件关系求出，根据平方差公式，平方关系结合齐次化方法可得，由此可求出. 【详解】因为，所以 ， 故  因为， 又， 所以. 6. 某知识过关题库中有三种难度的题目数分别为，其中小明完成型题目的正确率分别为，小明从该题库中任选一道题完成，做对的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设小明选道类试题为事件， 小明选道类试题为事件，小明选道类试题为事件， 设小明答对试题为事件，则， ，， ，，， 故，故C正确. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将，变形为，令，再用导数法证明其单调性即可. 【详解】根据题意，可知，，， ∵， ∴， 令，，则， ∵， 令， ∵， ∴， 即对于任意的，恒有， ∴在上单调递增， ∴. 8. 过点作曲线的两条切线，记两切点分别为，若两条切线斜率之积为1，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义表示出切线方程，联立切线方程，求出、，再由两条切线的斜率之积为得到，即可用的式子表示、，代入化简可得，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，， 所以，则，， 依题意得两条切线的方程分别为，， 联立两条切线的方程， 解得， 则， 因为两条切线的斜率之积为，所以，解得， 可得， ， 则 ， 令，则可化为， 而，当且仅当，即时取得最小值， 因为，且，所以，即不成立， 则的取值范围是，故D正确. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有几项是符合题目要求的． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则向量与的夹角为钝角 B. 若，则向量在向量方向上的投影向量为 C. 两个非零向量，若，则与共线且反向 D. 若为的外心，，则为的垂心 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A：因为，即，所以向量与的夹角为钝角或平角，A错误； 对于B：若，则，所以向量在向量方向上的投影向量为，B正确； 对于C：将两边平方，化简得，所以，结合向量夹角的范围得夹角为，C正确； 对于D：因为为的外心，，则， 所以， 所以，同理可得，故为的垂心，D正确. 10. 设函数，且记，则（ ） A. 数列的首项为1 B. 数列的前10项和为512 C. 数列的前10项和为 D. 数列的前10项和为0 【答案】BD 【解析】 【详解】由题意知，是常数项，是的系数，是的系数，即当时，数列的第项是展开式中的系数. 令，则，故A错； 数列的前10项和等于，即展开式中所有项的系数之和， 令，则，故B正确； 数列的前10项和等于， 令，则，而， 则数列的前10项和为，故C错误； 数列的前10项和等于， 令，则， 因为，故D正确. 11. 已知关于x的方程：有两个根，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A通过分析函数与的图象交点情况确定；选项B利用函数的图象来判断；选项C根据满足的方程变形求解；选项D分析满足的方程，结合构造函数，利用函数单调性判断. 【详解】因为方程有两个根， 所以， 又，， 所以函数与函数图象在上有两个交点， 而，由此可作出的大致图象； 如图所示，所以，选项A正确； 根据图象可知当m逐渐增大时，，而将会大于1，此时， 可得不成立，选项B不正确； 因为，则， 所以， 则， 因为，，所以，选项C正确； 因为，则， 所以， 则， 两边取对数得. 因为， 令， 令， ，， 因为，，单调递增， 即得，即， 所以，即，选项D正确. 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知随机变量X服从正态分布，若，则______ 【答案】2 【解析】 【详解】由，则， 结合正态分布的对称性知， 所以，则 13. 已知点是抛物线上一点，则点到直线的最短距离是______ 【答案】 【解析】 【分析】设出点坐标，利用点到直线的距离公式来求得正确答案. 【详解】设，则到直线的距离为： ， 所以当时，距离取得最小值为. 故答案为： 14. 被称为欧拉公式.我们运用欧拉公式，可以推导出倍角公式.如：.类比方法，我们可以得到＝______（用含有的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知可推得，根据二项式定理展开，结合复数相等的条件以及，整理即可得出答案. 【详解】由题意可知，. 根据二项式定理展开可得， . 根据复数相等的条件可知，. 因为， 所以. 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积． （1）求角B的大小； （2）若时，求△ABC面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式、余弦定理求解即得. （2）由（1）中信息，结合基本不等式求出的最大值即可得解. 【小问1详解】 在中，，而，即， ，由余弦定理得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，，而，于是， 即，当且仅当时取等号， 因此的面积， 所以当时，面积取得最大值. 16. 如图，在平行六面体 中，E在线段 上，且 F，G分别为线段，的中点，且底面 为正方形. （1）求证:平面 平面 （2）若与底面不垂直，直线 与平面所成角为 且 求点 A 到平面 的距离. 【答案】（1） 因为，为中点， 所以，，即， 因为是正方形，所以， 因为分别是的中点，所以，所以， 又，平面， 平面，又平面， 平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，先证明平面，再根据面面垂直的判定证明； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，过作与平面垂直的直线为轴，以的方向为轴的正方向，建立如图空间直角坐标系， 则，设， 则，，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以，又，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 解得或（舍），， 所以点到平面的距离为，则点到平面的距离为. 17. 东湖山公园位于四川省德阳市，是一处集山水园林为一体的生态公园．公园总面积超过80公顷，六分为山，四分为水，山水相抱，岸势蜿蜒，景色迷人．公园内设有小桥流水、亭榭楼坊、热带沙滩、体育中心、雕塑、栈道等景观，以及丹井流霞、竹林夜雨、曲桥风荷、静心园、樱花岛等景点，使游人感到典雅、古朴、和谐自然．她以其独特的自然风光和丰富的文化内涵，成为了德阳市民和游客喜爱的休闲胜地．出入东湖山公园有三道门供游客自由选择，分别是东门、西门、南门，若每位游客选择东门入园的概率是，游客之间选择意愿相互独立． （1）从游客中随机选取3人，记3人中选择东门入园的人数为X，求X的分布列、均值和方差； （2）东湖山公园管理处计划在2026年中秋节当天，在月上东山处设立一个中秋节人气值显示屏，初始值为0，从东门进入一名游客，增加人气值2点，其它门进入一名游客，增加人气值1点，记当日人气值显示屏上曾经出现数值n的概率为（不考虑人流量有限的限制）． ①求，； ②求． 【答案】（1） X 0 1 2 3 P ， （2）①；；② 【解析】 【分析】（1）分析可知，结合二项分布求X的分布列、均值和方差； （2）①分析人气值1点或2点所对应的可能性情况，结合独立事件概率的乘法公式运算求解；②分析可得，利用构造法和累加法，结合等比数列求. 【小问1详解】 由题意可知：， 则，， ，， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以X的均值，且方差. 【小问2详解】 ①因为每位游客选择东门入园的概率是，则选择其他门入园的概率是， 若人气值为1点，则仅有1人入园且选择其他门入园，所以； 若人气值为2点，则仅有1人且选择东门入园，或仅有2人入园且均选择其他门入园， 所以； ②若人气值为点，可知在人气值为点的前提下仅有1人且选择东门入园，或在人气值为点的前提下仅有1人且选择其他门入园， 则，可得， 且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则， 当时，则 ， 且符合上式，所以. 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆C：的左、右顶点分别为，F为椭圆C的右焦点，P为椭圆C上不同于A、B的动点，若，直线PF与椭圆C的另一个交点为Q． （1）求椭圆C的标准方程； （2）求面积的最大值； （3）若P在x轴的上方，设直线AP、BQ的斜率分别为，是否存在常数，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由椭圆的左右顶点可知的值，设，则，分别表示出再根据即可求出，则可得椭圆标准方程； （2）设直线方程为，将直线和椭圆方程联立可得，由韦达定理可得的值，求出，再由点到直线距离公式求出左顶点到直线距离，由面积公式可得到面积，再根据换元法即可求出最大值； （3）假设存在使得，分别表示出，再根据，代入到，由（2）韦达定理可知的值，代入到上式，再根据对任意的都成立，可求出值. 【小问1详解】 由椭圆的左右顶点可知， 设，则， 化简可得，则， ， 所以，则椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 由（1）可知椭圆的右焦点坐标为，设直线方程为， ，将直线和椭圆方程联立， 代入可得， 由韦达定理可知， 则， 而， 代入可得， 根据点到直线距离公式， 所以， 令则，所以， 函数在上单调递增， 所以即时，， 此时的面积最大，最大值为； 【小问3详解】 假设存在使得，分别求出， 因为在直线上， 所以， 故， 化简可得， 由（2）知， 则，所以可得， 整理化简可得， 要对任意的都成立，需系数满足， 解得，故存在，使得. 19. 已知，函数（），记为的从小到大的第（）个零点． （1）当时，求； （2）若 证明：（i）数列是等比数列； （ii）若，则对一切恒成立． 【答案】（1） （2） （i）由，得，则，其中， ，所以， ，又， 因此，所以数列是等比数列； （ii）欲证，即证， ，且， 则只需证，又， 则只需证，即证， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此，于是当时，成立； 当时，，，又，则， 于是，即， 则当时，，即成立； 当时，，，，成立， 所以当，则对一切，恒成立. 【解析】 【分析】（1）将函数化简，再根据正弦函数的零点求解； （2）（i）根据的零点求出的表达式，最后根据等比数列的定义证明；（ii）由（i）的信息，借助分析法证明，构造函数，利用导数求出最小值，转化证即可. 【小问1详解】 当时，， 令，则，解得， 因为为的从小到大的第（）个零点，所以； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德阳市高中2023级第二次诊断考试 数学试卷 说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回． 2．本试卷满分150分，120分钟完卷． 第Ⅰ卷（选择题 58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 当时，复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 0或 B. 0 C. D. 4. 若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 5. 若，则＝（ ） A. B. C. D. 6. 某知识过关题库中有三种难度的题目数分别为，其中小明完成型题目的正确率分别为，小明从该题库中任选一道题完成，做对的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 过点作曲线的两条切线，记两切点分别为，若两条切线斜率之积为1，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有几项是符合题目要求的． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则向量与的夹角为钝角 B. 若，则向量在向量方向上的投影向量为 C. 两个非零向量，若，则与共线且反向 D. 若为的外心，，则为的垂心 10. 设函数，且记，则（ ） A. 数列的首项为1 B. 数列的前10项和为512 C. 数列的前10项和为 D. 数列的前10项和为0 11. 已知关于x的方程：有两个根，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知随机变量X服从正态分布，若，则______ 13. 已知点是抛物线上一点，则点到直线的最短距离是______ 14. 被称为欧拉公式.我们运用欧拉公式，可以推导出倍角公式.如：.类比方法，我们可以得到＝______（用含有的式子表示）． 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积． （1）求角B的大小； （2）若时，求△ABC面积的最大值． 16. 如图，在平行六面体 中，E在线段 上，且 F，G分别为线段，的中点，且底面 为正方形. （1）求证:平面 平面 （2）若与底面不垂直，直线 与平面所成角为 且 求点 A 到平面 的距离. 17. 东湖山公园位于四川省德阳市，是一处集山水园林为一体的生态公园．公园总面积超过80公顷，六分为山，四分为水，山水相抱，岸势蜿蜒，景色迷人．公园内设有小桥流水、亭榭楼坊、热带沙滩、体育中心、雕塑、栈道等景观，以及丹井流霞、竹林夜雨、曲桥风荷、静心园、樱花岛等景点，使游人感到典雅、古朴、和谐自然．她以其独特的自然风光和丰富的文化内涵，成为了德阳市民和游客喜爱的休闲胜地．出入东湖山公园有三道门供游客自由选择，分别是东门、西门、南门，若每位游客选择东门入园的概率是，游客之间选择意愿相互独立． （1）从游客中随机选取3人，记3人中选择东门入园的人数为X，求X的分布列、均值和方差； （2）东湖山公园管理处计划在2026年中秋节当天，在月上东山处设立一个中秋节人气值显示屏，初始值为0，从东门进入一名游客，增加人气值2点，其它门进入一名游客，增加人气值1点，记当日人气值显示屏上曾经出现数值n的概率为（不考虑人流量有限的限制）． ①求，； ②求． 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆C：的左、右顶点分别为，F为椭圆C的右焦点，P为椭圆C上不同于A、B的动点，若，直线PF与椭圆C的另一个交点为Q． （1）求椭圆C的标准方程； （2）求面积的最大值； （3）若P在x轴的上方，设直线AP、BQ的斜率分别为，是否存在常数，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知，函数（），记为的从小到大的第（）个零点． （1）当时，求； （2）若 证明：（i）数列是等比数列； （ii）若，则对一切恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $