精品解析：四川省南充高级中学2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试题

南充高中高2024级高三第一次月考 数学试题 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 设集合，是2的倍数，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，其中均是的倍数，则. 2. 已知若（1-ai ）( 3+2i )为纯虚数，则a的值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算法则化简可得，根据纯虚数的概念可得结果. 【详解】由题可知原式为，该复数为纯虚数， 所以. 故选：A 【点睛】本题考查复数的运算和复数的分类，属基础题. 3. 已知平面向量，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由向量共线的坐标表示，以及充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】因为平面向量，若，则，所以，因此；即“”是“”的充分条件 若，则，解得或；所以“”不是“”的必要条件； 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：D 【点睛】本题主要考查命题的充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念，以及向量共线的坐标表示即可，属于常考题型. 4. 若，则的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】由题设，则，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 5. 若命题“，都有”为假命题，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否命题为真，即方程有解的条件求实数m的范围即可． 【详解】解：由题意得，使得， 当，符合题意； 当，只要即可， 解得， 综上：． 故选：C． 6. 已知函数，满足对任意的都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得在上单调递减，结合指数函数单调性计算即可得解. 【详解】由对任意的都有成立， 故在上单调递减， 则，解得， 即实数的取值范围为. 7. 已知，则的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指对数函数性质判断的大小即可. 【详解】由， 所以. 故选：B 8. 已知函数是定义在上的函数，且函数的图象关于点对称，对于任意的，总有成立，当时，．函数，对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数构成的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意求出函数的对称性和周期性，进而求出函数的值域，接着将题设中的恒成立和存在性问题转换成成立和求函数的最值问题即可由二次函数性质求解. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 又函数的图象是由函数的图象向右平移一个单位得到的， 所以函数图象关于点对称，且， 对于任意的总有成立，则， 即函数是周期为4的周期函数， 当时，则函数在上的值域为， 则函数在上的值域为， 即函数在上的值域为，且由函数对称性可得， 所以任意存在，使得成立存在，使得， 函数， 则当时，显然存在，使得， 当时，， 则存在，使得，解得. 综上满足条件的实数构成的集合为. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，则下列命题中是真命题的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】CD 【解析】 【分析】举反例可判断AB，利用不等式的性质可判断CD. 【详解】取，，，满足选项A，B中的前提条件． 对于选项A，有，故A是假命题； 对于选项B，有，故B是假命题； 对于选项C，∵，∴，由不等式的性质4知C是真命题； 对于选项D，， 同乘以，得， 又，∴，故D是真命题． 故选：CD. 10. 下列说法，正确的有（ ） A. 已知是一次函数，若，则的解析式为或 B. 函数的值域是 C. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 函数的单调递减区间是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.求复合一次函数解析式，采用待定系数法，对比等式两边系数列方程组求解；B.对数函数的值域由真数的取值范围决定，当真数可取全体正实数时，对数值域为； C.抽象函数定义域抓住：括号内整体的取值范围不变；D.复合对数函数单调区间，优先求定义域，再利用 “同增异减”，结合二次函数单调性判断. 【详解】 选项A：设一次函数，则， 与对应系数相等，得，解得或，即或，A正确； 选项B：函数定义域满足，解得或，令， 则的取值范围是，在时值域为，不是，B错误； 选项C：的定义域为，即，得，即的定义域为， 对，需满足，，故的定义域为，C正确； 选项D：函数定义域满足，解得或，令，则是增函数， 根据复合函数“同增异减”，则需找的单调减区间，因为图象开口向上，对称轴为， 结合定义域，则在单调递减，所以函数的单调递减区间是，D正确. 11. 设函数，，则（ ） A. 若，则的值域为 B. 若函数存在极小值点，则 C. 若对任意实数，都有，则实数的取值范围为 D. 若函数存在零点，且满足，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：求导，利用导数判断 的单调性和值域；对于B：分析可知函数 在 内的极小值点为 ，结合题意即可得结果；对于C：分析可知 的最小值为 ，可得 ，即可得结果；对于D：分析可知原题意等价于  在 内有解，结合导数分析函数单调性和最值即可. 【详解】选项A：若 ，则 ，， 因为 ，可知函数 在 内单调递增， 且 ，，即 ，所以函数 的值域为 ，故 A 正确； 选项B：对于函数 ，，则 ， 令 ，解得 ；令 ，解得 ， 可知函数 在 内单调递减，在  内单调递增， 可知函数 在 内的极小值点为 . 若函数 在 内存在极小值点，则 ​，解得 ，故 B 正确； 选项C：若 ​，由选项B可知：函数 在 内单调递减， 在 内单调递增， 则 的最小值为 ，若 ，则 ，即 ， 又因为 ​，即 ，可得 ​，故 C 错误； 选项D： 令 ，则 ，即 ， 因为 ，即 ，且 ， 则 ，可得 ，原题等价于  在 内有解， 令 ，，则 ， 可知 在  内单调递增，则 ； 令 ​，，则 ， 可知 在 内单调递增，则 ​​； 可得 ，所以实数 的取值范围为 ，故 D 正确. 【点睛】含参函数最值求参数范围，需结合定义域和极值点位置；不等式有解或恒成立转化为函数值域. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为________ 【答案】 【解析】 【分析】先根据不等式的解集与一元二次方程根的关系，求得的值，再结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由不等式的解集为，即是方程的两个实数根， 所以，可得， 则不等式，即为，即， 化简得，解得或， 即不等式的解集为. 13. 已知为等差数列，，，则______． 【答案】 【解析】 【详解】在等差数列中，由，得，解得 由，得，解得，公差， 所以. 14. 已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】本题为含参数不等式恒成立问题，通过对函数符号的分析，从而得到的等量关系，再利用均值不等式求出最小值． 【详解】若，当时，，，而， 乘积为负，不满足恒成立，故； 当时，乘积，解得， 则时，，故，不等式恒成立等价于， 对恒成立．由于二次函数开口向上，判别式， 故有两个实根，且根的乘积为，即一正一负．设正根为，则： 当时，；当时，． 当时，；当时，． 要使恒成立，需要二次函数的正根； 将代入，得，解得； 将代入，得； 由均值不等式，当且仅当时，即时等号成立； 又因为，满足，所以的最小值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. （1）若，求的值； （2）若的面积，求b，c的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系得到，由正弦定理得到； （2）结合（1）中的，利用三角形面积公式得到，由余弦定理求出. 【小问1详解】 因为，所以， 在中，由正弦定理得， 即，所以； 【小问2详解】 由（1）得， 因为，即，解得， 由余弦定理得，所以， 综上，. 16. 某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查200人的购买情况，得到如下列表： 新能源汽车款 新能源汽车款 总计 男性 100 20 女性 50 30 80 总计 50 200 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？ （2）假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立；若从购买者中随机抽取4人，设被抽取的4人中购买了B款车的人数为，求：的数学期望与方差． 附：． 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）可以认为选购车的款式与性别有关 （2）， 【解析】 【分析】（1）先提出零假设，然后计算，与临界值比较后确定结论； （2）先判断服从二项分布，再利用二项分布的期望和方差公式求解即可. 【小问1详解】 ， ； 零假设：选购新能源汽车的款式与性别无关联， 根据列联表中的数据，可得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 可以认为选购车的款式与性别有关，此推断犯错误的概率不大于； 【小问2详解】 随机抽取1人购买B款车的概率为：， 依题意，， 因此，，. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，，点为线段的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正切值． 【答案】（1）证明：因为平面平面，交线为，平面且， 所以平面．又平面，所以. 因为为等边三角形，且为的中点，所以， 因为，且，平面，，， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先由面面垂直可得平面，进而可得，再由等边三角形的性质得，再由线面垂直的判定定理可得； （2）根据条件建立空间直角坐标系，用向量法求线面角的正弦值，再由同角三角函数关系式可得线面角的正切值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，，由等边三角形性质知， 因为平面平面，由面面垂直性质可得平面． 因为且， 所以四边形为平行四边形，得，即． 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图： 则各点坐标为：，，，，． 因为为的中点，所以，，，． 设平面的法向量为， 由，得，，取，则. 所以平面的法向量. 设直线与平面所成角为，且， 则， 即，且，由同角三角函数关系式得. 因此直线与平面所成角的正切值为． 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且，点，是椭圆上关于坐标原点对称的两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若点在第一象限，轴于点，直线交椭圆于点（不同于点），证明：； （3）已知点在椭圆上，直线与圆相切，连接，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】（1）； （2）证明：由题可设，则， 所以直线的方程为， 联立， 则、，即， 所以，又， 所以； 所以； （3）为定值，定值为.理由如下： 当直线斜率不存在时，，则， 所以，故， 当直线斜率存在时，设， 则，即， 联立， 设，则即，且， 所以 ， ， 由题意，， 所以. 综上，是定值，定值为1. 【解析】 【分析】（1）设，代点并结合数量积的运算建立关于的方程组即可计算求解； （2）设，联立直线的方程与椭圆方程求出点M，再由数量积运算求出即可得证； （3）先分析计算直线斜率不存在时的值，接着分析直线斜率存在时情况，此时设，依据直线与圆相切和点到直线距离公式计算得到等量关系，再联立直线和椭圆方程，利用韦达定理、弦长公式和两点间距离公式依次计算和即可得到，进而得解. 【小问1详解】 设， 则由题， 所以椭圆C标准方程； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求实数，； （2）当时，证明在上有唯一零点； （3）对，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）证明：由（1）知， 当时，可得，则，可得 令，可得， 令，可得， 当时，，单调递减，且此时 当时，，单调递增，且此时， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故，所以恒成立，所以在上单调递增， 又因为，所以，使得， 综上可得，在上有唯一的零点. （3） 【解析】 【分析】（1）求得，根据题意，列出方程，即可求解； （2）当时，得到，利用导数求得恒成立，得到在上单调递增，结合零点存在性定理，即可得证； （3）由，求得，转化为，令，设，即证，结合二次函数的性质，得到在上单调递增，得到，再令，利用导数求得的单调性，得到，得到，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数，可得， 因为曲线在点处的切线方程为， 可得， 又因为切点在切线上，可得， 所以，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意知：，即，解得， 即为题设中不等式恒成立的必要条件， 下面证明：也是充分条件， 当时，欲证：对，恒成立， 即证：，即证：， 即证：， 令，设，即证， 对于二次函数，其对称轴为， 令， 可得 令，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，所以，即， 所以在上单调递减， 所以， 即对于二次函数，其对称轴， 又因为，所以二次函数在上单调递增， 故， 令，可得， 令，可得， 设，则， 令，即，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，即，即， 所以， 对于，可得， 当时，，单调递增， 所以， 所以，即在上单调递增，且， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，所以，得证， 即当时，对，恒成立， 综上可得，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南充高中高2024级高三第一次月考 数学试题 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 设集合，是2的倍数，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知若（1-ai ）( 3+2i )为纯虚数，则a的值为 （ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件 4. 若，则的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 若命题“，都有”为假命题，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，满足对任意的都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的函数，且函数的图象关于点对称，对于任意的，总有成立，当时，．函数，对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数构成的集合为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，则下列命题中是真命题的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 10. 下列说法，正确的有（ ） A. 已知是一次函数，若，则的解析式为或 B. 函数的值域是 C. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 函数的单调递减区间是 11. 设函数，，则（ ） A. 若，则的值域为 B. 若函数存在极小值点，则 C. 若对任意实数，都有，则实数的取值范围为 D. 若函数存在零点，且满足，则实数的取值范围为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为________ 13. 已知为等差数列，，，则______． 14. 已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. （1）若，求的值； （2）若的面积，求b，c的值. 16. 某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查200人的购买情况，得到如下列表： 新能源汽车款 新能源汽车款 总计 男性 100 20 女性 50 30 80 总计 50 200 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？ （2）假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立；若从购买者中随机抽取4人，设被抽取的4人中购买了B款车的人数为，求：的数学期望与方差． 附：． 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，，点为线段的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正切值． 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且，点，是椭圆上关于坐标原点对称的两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若点在第一象限，轴于点，直线交椭圆于点（不同于点），证明：； （3）已知点在椭圆上，直线与圆相切，连接，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 19. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求实数，； （2）当时，证明在上有唯一零点； （3）对，恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $