精品解析：江苏南京民办育英外国语学校2026-2027学年九年级上学期阶段性课堂练习一 数学

九年级上学期阶段性课堂练习一数学 （注意：本作业共27题，完成时间120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列关于x的方程中，是一元二次方程的有（ ） A. B. C. D. 2. 已知反比例函数，则下列说法错误的是（ ） A. 它的图象必经过点 B. 当时， C. 当时，随的增大而减小 D. 它的图象位于第二、四象限 3. 如图，正五边形内接于，点是优弧上一点，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列关于的方程中，、、满足和，则方程的根分别为（ ）． A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 5. 某网络平台遭遇黑客袭击导致服务器感染病毒，最初有3台服务器感染病毒，经过两轮传播后共有147台服务器被感染，设每轮传播中平均一台服务器感染x台服务器，则根据题意可列方程为（） A. B. C. D. 6. 综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．列说法正确的是（ ） A. 当液体密度时，浸在液体中的高度 B. 当液体密度时，浸在液体中的高度 C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度 D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7. 已知圆锥的侧面积是，母线长为4，则圆锥的底面圆半径为________. 8. 把长为的线段进行黄金分割，那么较长线段长是_______．（结果保留根号） 9. 已知正比例函数与反比例函数的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为______． 10. 方程的两个根为，则_________． 11. 已知⊙O的半径为3cm，点A在直线l上，且AO=3cm，那么直线l与⊙O的位置关系是_______． 12. 已知反比例函数的图象上两点，．若，则m的取值范围是 _____ 13. 如图，在四边形中，．设，则______（用含的代数式表示）． 14. 若的半径为1，弦，弦，则的度数为__________． 15. 如图，半圆的直径为4，将半圆绕点顺时针旋转得到半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为___________． 16. 如图，是半径为的的弦，将弧沿将翻折后，恰好经过圆心，点是翻折的弧上的一动点；连接并延长交于C，点为的中点，连接，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，以的边为直径画半圆，与，分别交于点D、E，．求证：． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：对于任意非零实数，该方程总有两个实数根； （2）若此方程有两个不等实根，且均为整数，求整数的值． 20. 某箱包厂计划生产一批双肩包，已知双肩包的成本（元/个）由材料成本和加工成本两部分组成．其中材料成本保持不变，加工成本与加工数量（个）成反比例函数关系．经测算，生产1000个双肩包，成本是40元/个；生产2000个双肩包，成本是35元/个． （1）求与的函数表达式； （2）若要把成本控制为32元/个，应生产多少个双肩包？ 21. 玉璧、玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆型器物，据《尔雅•释器》记载：“肉倍好，谓之壁；肉好若一，谓之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示．以考古发现来看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系． （1）若图1中两个大圆的直径相等，求璧与环的“肉”的面积之比； （2）图2为某玉环及其从正面看得到的平面图形．现利用圆规与无刻度的直尺判断该玉环的比例关系是否符合“肉好若一”． 作法：如图3． ①在大圆上任取两点，，连接； ②延长，用圆规与无刻度的直尺，过点作射线的垂线交大圆于点； ③连接，交小圆于，两点，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，以点为圆心，的长为半径作圆（虚线）． 请你完成下面的证明． 证明：由作法②得， ． 弦是大圆的直径（ 　　）（填推理依据）． 由作法③得为的 　　． 作法③得到的圆（虚线）与大圆不重合， 所以该玉环的比例关系 　　“肉好若一”（填：“符合”或“不符合”）． 22. 已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a、b、c是常数，a≠0）的两个实数根分别为x1，x2，用两种方法证明：x1＋x2＝－，x1·x2＝． 23. 如图，在中，，，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接，设运动时间为，的面积为S． （1）用含t的代数式表示______；______． （2）点D运动至何处时，？ （3）点D运动过程中，的最大值是多少？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点． （1）求、的值； （2）已知点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，过点作平行于轴的直线，交函数的图象于点． ①当时，判断线段与的数量关系，并说明理由； ②若，结合函数的图象，直接写出的取值范围． 25. 已知点P为内一点，请用两种方法尺规作图：作弦，，使，且与所夹锐角为，交点为P．（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 26. 小平在学习过程中遇到一个函数，下面是小平对其研究的过程，请补充完整： （1）函数的自变量的取值范围是______； （2）下表是与的几组对应值． 其中的值为______； （3）①根据表格中的数据，在平面直角坐标系中，画出函数图象； ②过点作平行于轴的直线，结合图像解决问题：若直线与函数的图象有三个交点，则的取值范围是______． 27. 在平面直角坐标系中，对于与，若与有且只有两个公共点，其中一个公共点为A，另一个公共点在边上（不与点B，C重合），则称为的“点A关联三角形”． （1）如图1，的半径为1，．设． ①当，说明为的“点A关联三角形”； ②若为的“点A关联三角形”，则a的最小值为________． （2）如图2，的半径为1，，B是y轴负半轴上的一个动点，点C在x轴下方，是等边三角形，且为的“点A关联三角形”．设点C的横坐标为m，求m的取值范围． （3）的半径为r，直线与在第一象限的交点为A．．若平面直角坐标系中存在点B，使得是等腰直角三角形，且为的“点A关联三角形”，直接写出r的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期阶段性课堂练习一数学 （注意：本作业共27题，完成时间120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列关于x的方程中，是一元二次方程的有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，是一元二次方程，符合题意； B、，含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、， 未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； D、，当时，原方程不是一元二次方程，不符合题意． 故选：A． 2. 已知反比例函数，则下列说法错误的是（ ） A. 它的图象必经过点 B. 当时， C. 当时，随的增大而减小 D. 它的图象位于第二、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是根据的正负判断它的图象和性质．根据反比例函数的图象和性质判断选项的正确性． 【详解】、当时，，所以函数经过点故选项正确，不符合题意； 、当时，，且函数的图象在二、四象限，每一个象限内，随的增大增大，所以当时，，故选项正确，不符合题意； 、因为，所以当时，随的增大而增大，选项错误，故项错误，符合题意； 、因为，所以它的图象位于第二、四象限．故项正确，不符合题意； 故选：C． 3. 如图，正五边形内接于，点是优弧上一点，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正五边形的中心角的计算，圆周角定理的应用，连接，求得，结合圆周角定理，计算求得即可． 【详解】解：如图，连接， 正五边形内接于， ， ， 故选：B． 4. 下列关于的方程中，、、满足和，则方程的根分别为（ ）． A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 【答案】C 【解析】 【详解】∵，， ∴，， 故选． 5. 某网络平台遭遇黑客袭击导致服务器感染病毒，最初有3台服务器感染病毒，经过两轮传播后共有147台服务器被感染，设每轮传播中平均一台服务器感染x台服务器，则根据题意可列方程为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 根据病毒传播过程，初始感染台数加上每轮新增感染台数，两轮后总感染台数为147，列方程求解即可． 【详解】解：∵初始感染服务器数为3台， 第一轮传播中，每台感染x台，新增感染数为台，第一轮后总感染数为台， 第二轮传播中，有台服务器，每台感染x台，新增感染数为台， ∴两轮后总感染数为． 故选：A． 6. 综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．列说法正确的是（ ） A. 当液体密度时，浸在液体中的高度 B. 当液体密度时，浸在液体中的高度 C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度 D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数图象先求出函数解析式，再结合图象逐项判断即可得解． 【详解】解：设：浸在液体中的高度关于液体的密度的反比例函数解析式为， 将代入可得， 反比例函数解析式为， 根据反比例函数图象可得： 当液体密度时，浸在液体中的高度， 选项说法错误，不符合题意； 当液体密度时，浸在液体中的高度， 选项说法错误，不符合题意； 根据反比例函数图象可得，浸在液体中的高度随着液体密度变大而变小， 当浸在液体中的高度时，该液体的密度， 选项说法正确，符合题意； 根据反比例函数图象可得， 当液体的密度时，浸在液体中的高度， 选项说法错误 ，不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，解题关键是结合反比例函数图象解题． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7. 已知圆锥的侧面积是，母线长为4，则圆锥的底面圆半径为________. 【答案】3 【解析】 【分析】设圆锥的底面圆半径为r，根据扇形弧长公式计算即可． 【详解】解：设圆锥的底面圆半径为r， 由题意得，×2π×r×4＝12π， 解得，r＝3， 故答案为3． 【点睛】考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 8. 把长为的线段进行黄金分割，那么较长线段长是_______．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值（）叫做黄金比．本题考查了黄金分割．应该识记黄金分割的公式：较长的线段=原线段的． 【详解】解：∵把长度为的线段进行黄金分割， ∴较长的线段 故答案为： 9. 已知正比例函数与反比例函数的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为______． 【答案】(1，-2) 【解析】 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，即反比例函数图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：∵正比例函数y=k1x与反比例函数y=的两个交点关于原点对称， ∴另一个交点的坐标与点(-1，2)关于原点对称， ∴另一个交点的坐标为(1，-2)． 故答案是：(1，-2)． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，熟练掌握反比例函数的对称性是解题的关键． 10. 方程的两个根为，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系得到方程两根之和与两根之积，再代入式子计算即可． 【详解】解：∵方程的两个根为，其中，，. ∴，， ∴． 11. 已知⊙O的半径为3cm，点A在直线l上，且AO=3cm，那么直线l与⊙O的位置关系是_______． 【答案】相交或相切 【解析】 【详解】试题解析：垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于或等于3. 圆心到直线的距离小于3，直线和的位置关系是相交. 圆心到直线的距离等于3，直线和的位置关系是相切. 故答案为相交或相切. 12. 已知反比例函数的图象上两点，．若，则m的取值范围是 _____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质， 根据反比例函数的性质，可以得到关于m的不等式，从而可以求得m的取值范围． 【详解】解∶∵反比例函数的图象上两点，，， ∴， 解得， 故答案为∶ ． 13. 如图，在四边形中，．设，则______（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，分别求出，是解答本题的关键．由等腰三角形的性质可得：，，再根据即可得到结论． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴ ． 故答案为：． 14. 若的半径为1，弦，弦，则的度数为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，解直角三角形，分2种情况，画出图形，利用垂径定理和特殊角的三角函数值进行求解即可． 【详解】解：由题意，分两种情况： ①如图： 作，则：，， ∴， ∴， ∴， ②如图： 同理可得：； 故答案为：或． 15. 如图，半圆的直径为4，将半圆绕点顺时针旋转得到半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握圆的性质以及旋转的性质是解题关键．先求出半圆的面积，由旋转的性质可知，，结合等边对等角的性质，得出，从而求出的面积和，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 半圆的直径为4， 半圆的面积为， 由旋转的性质可知，， ， ， ， 扇形的面积为，， 图中阴影部分的面积半圆的面积扇形的面积 故答案为：． 16. 如图，是半径为的的弦，将弧沿将翻折后，恰好经过圆心，点是翻折的弧上的一动点；连接并延长交于C，点为的中点，连接，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接、，，，作于点，求出，然后在中利用三角形的三边关系可得，从而求的最小值． 【详解】解：如图，连接、，，，作于点， 由翻折可知：， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形，连接， ∵为中点， ∴由三线合一性质可得：， ∵， ∴由垂径定理可得：为中点， 在中，为斜边上的中线， ∴， ∵， ∴当、、三点共线时取等号，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，圆的性质，圆周角定理，特殊角的三角函数，等边三角形的判定与性质，等腰三角形“三线合一”的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，关键是辅助线的作法． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解： ∴或 ∴，． 18. 如图，以的边为直径画半圆，与，分别交于点D、E，．求证：． 【答案】证明：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【解析】 【分析】首先利用等边对等角得到，然后利用弧和圆周角的关系得到，即可得到． 【详解】略 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：对于任意非零实数，该方程总有两个实数根； （2）若此方程有两个不等实根，且均为整数，求整数的值． 【答案】（1）证明： ． 方程总有两个实数根 （2）整数的值为． 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式证明即可； （2）用分解因式法求出一元二次方程的两个根分别为：，，根据方程的两个根均为整数可得，再根据方程有两个不相等的实数根确定的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：方程可化为， 解得：，， 方程两根均为整数， 为整数，即为整数， 整数， 当时，可得：， ， 当时，， ，故舍去， 整数的值为． 20. 某箱包厂计划生产一批双肩包，已知双肩包的成本（元/个）由材料成本和加工成本两部分组成．其中材料成本保持不变，加工成本与加工数量（个）成反比例函数关系．经测算，生产1000个双肩包，成本是40元/个；生产2000个双肩包，成本是35元/个． （1）求与的函数表达式； （2）若要把成本控制为32元/个，应生产多少个双肩包？ 【答案】（1） （2） 5000个 【解析】 【分析】（1）先根据题意设出函数形式，因为材料成本为常数，加工成本与x成反比例，所以可设，其中b为材料成本，k为反比例系数，将已知的两组x、y对应值代入所设函数，得到关于b和k的二元一次方程组，解方程组求出b和k的值，即可得到y与x的函数表达式． （2）把代入已求出的函数表达式，得到关于x的分式方程，解方程即可求出对应的生产数量． 【小问1详解】 解：根据题意，加工成本与x成反比例，材料成本固定， 因此设函数表达式为： ，其中是单个的加工成本，是固定的材料成本． 将和分别代入得方程组： ， 两式相减消去得：，解得， 再代入得． 因此与的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：把代入函数表达式： ， 整理得，解得． 答：应生产个双肩包． 21. 玉璧、玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆型器物，据《尔雅•释器》记载：“肉倍好，谓之壁；肉好若一，谓之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示．以考古发现来看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系． （1）若图1中两个大圆的直径相等，求璧与环的“肉”的面积之比； （2）图2为某玉环及其从正面看得到的平面图形．现利用圆规与无刻度的直尺判断该玉环的比例关系是否符合“肉好若一”． 作法：如图3． ①在大圆上任取两点，，连接； ②延长，用圆规与无刻度的直尺，过点作射线的垂线交大圆于点； ③连接，交小圆于，两点，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，以点为圆心，的长为半径作圆（虚线）． 请你完成下面的证明． 证明：由作法②得， ． 弦是大圆的直径（ 　　）（填推理依据）． 由作法③得为的 　　． 作法③得到的圆（虚线）与大圆不重合， 所以该玉环的比例关系 　　“肉好若一”（填：“符合”或“不符合”）． 【答案】（1） （2）90°的圆周角所对的弦为直径；垂直平分线；不符合 【解析】 【分析】本题考查了求圆的面积；的圆周角所对的弦为直径；垂直平分线； （1）根据圆环面积可进行求解； （2）根据的圆周角所对的弦为直径；垂直平分线完成填空即可求解． 【小问1详解】 解：由图1可知：璧的“肉”的面积为； 环的“肉”的面积为， ∴它们的面积之比为； 故答案为； 【小问2详解】 由作法②得， ． 弦是大圆的直径（的圆周角所对的弦为直径）． 由作法③得为的垂直平分线． 作法③得到的圆（虚线）与大圆不重合， 所以该玉环的比例关系不符合“肉好若一”． 故答案为：的圆周角所对的弦为直径；垂直平分线；不符合． 22. 已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a、b、c是常数，a≠0）的两个实数根分别为x1，x2，用两种方法证明：x1＋x2＝－，x1·x2＝． 【答案】 证法一： 由求根公式可得：x1＝，x2＝， ∴   x1＋x2＝ ＝ ＝－． x1·x2＝· ＝ ＝ ＝． 证法二： 设方程为a(x－x1)(x－x2)＝0， 展开得ax2－a(x1＋x2)x＋ax1x2＝0， ∵ax2＋bx＋c＝0， ∴－a(x1＋x2)＝b，ax1x2＝c． ∵a ≠ 0， ∴x1＋x2＝－， x1·x2＝． 【解析】 【分析】证法一：利用求根公式表示出方程的两个根，进而求出两根之和与两根之积，即可即可得证． 证法二：方程为a(x－x1)(x－x2)＝0，再去括号，比较相同次数的项的系数从而得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系的推导过程，掌握求根公式是解题的关键． 23. 如图，在中，，，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接，设运动时间为，的面积为S． （1）用含t的代数式表示______；______． （2）点D运动至何处时，？ （3）点D运动过程中，的最大值是多少？ 【答案】（1）， （2） （3）． 【解析】 【分析】本题考查动点问题，解题的关键是掌握二次函数的性质，一元二次方程的实际应用等知识，数形结合是解题的关键． （1）根据点D和点E的运动路径和运动速度即可得到答案； （2）求出，由，则，，，可得即可求出； （3）根据直角三角形面积公式列出关于t的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可得到答案． 【小问1详解】 ∵点D从点C开始沿边运动，速度为， ∴， ∵，点E从点B开始沿边运动，速度为， ∴， 故答案为：， 【小问2详解】 解：由题意可知，t的最大值为，即， ∵，， ∴， 由题意可知，，，，， ∴， 解得： ，（舍去）， ∴当时，． 【小问3详解】 由题意可得， ， ∵， ∴当时，的最大值是4， 即点D运动过程中，的最大值是． 24. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点． （1）求、的值； （2）已知点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，过点作平行于轴的直线，交函数的图象于点． ①当时，判断线段与的数量关系，并说明理由； ②若，结合函数的图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1）4，1 （2）①，理由如下： 当时，， 令，代入，， ， ， ， 令代入， ， ， ， ； ②或 【解析】 【分析】（1）将点代入中即可求出的值，然后将的坐标代入反比例函数中即可求出的值． （2）①当时，分别求出、两点的坐标即可求出与的关系； ②由题意可知：的坐标为，由于，从而可知，根据图象可求出的范围． 【小问1详解】 解：将代入， ， ， 将代入， ； 【小问2详解】 解：①略； ②， 点在直线上， 过点作平行于轴的直线，交直线于点，过点作平行于轴的直线，交直线于点， 同①可得， ，， ， ∴， ， ∴， 或． 25. 已知点P为内一点，请用两种方法尺规作图：作弦，，使，且与所夹锐角为，交点为P．（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 【答案】如图，弦，即为所求； 方法一：如图1，连接，分别以点O，P为圆心，为半径画弧，两弧交于点E，F，作直线交于点A，B，作直线交于点C，D，连接，； 方法二：如图2，连接，分别以点O，P为圆心，为半径画弧，两弧交于点G，H，作直线交于点J，以点O为圆心，为半径画弧，分别交，于点M，N，作直线交于点A，B，作直线交于点C，D，连接，． 【解析】 【分析】略 【详解】解：作图略； 如图1，连接，，过点O作于点Q，过点O作于点I， 由作图得， ∴，都是等边三角形 ∴ ∴ ∴，即与所夹锐角为； ∵， ∴， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴，即 同理可得， ∴，即； 如图2，连接，， 同上可得，，是等边三角形 由作图得， ∴ 同理可得， ∴，即与所夹锐角为； 同理可证，． 26. 小平在学习过程中遇到一个函数，下面是小平对其研究的过程，请补充完整： （1）函数的自变量的取值范围是______； （2）下表是与的几组对应值． 其中的值为______； （3）①根据表格中的数据，在平面直角坐标系中，画出函数图象； ②过点作平行于轴的直线，结合图像解决问题：若直线与函数的图象有三个交点，则的取值范围是______． 【答案】（1） （2）4 （3）①函数图象如下图所示： ② 【解析】 【分析】本题主要考查函数图象与性质： （1）由分母不能为零，即可得出自变量的取值范围； （2）把代入则可求出的值； （3）①根据描点，连线画出函数图象；②观察函数图象可知，在直线时即，直线与函数有2个交点，在时，有3个交点，故可得结论 【小问1详解】 解：∵， ∴，即， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，， 故答案为：4； 【小问3详解】 （3）①略； ②观察函数图象可知，在直线时即，直线与函数有2个交点，在时，有3个交点， 故答案为：． 27. 在平面直角坐标系中，对于与，若与有且只有两个公共点，其中一个公共点为A，另一个公共点在边上（不与点B，C重合），则称为的“点A关联三角形”． （1）如图1，的半径为1，．设． ①当，说明为的“点A关联三角形”； ②若为的“点A关联三角形”，则a的最小值为________． （2）如图2，的半径为1，，B是y轴负半轴上的一个动点，点C在x轴下方，是等边三角形，且为的“点A关联三角形”．设点C的横坐标为m，求m的取值范围． （3）的半径为r，直线与在第一象限的交点为A．．若平面直角坐标系中存在点B，使得是等腰直角三角形，且为的“点A关联三角形”，直接写出r的取值范围． 【答案】（1） ①如图， ∵， ∴， ∴， 又∵的半径为1， ∴点在上， ∵交于点， ∴为的“点A关联三角形”； ② （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）①利用勾股定理求出，推出点在上，由图可知交于点，再根据“点A关联三角形”的定义即可说明；②当点A在y轴右侧时，先过点C作的切线，连接，可知，和，过点A作轴于H，可求得，再由对称性可得点A的横坐标取值范围为，即可求解； （2）由题意可得线段和除点A外不与有交点，当与相切时，结合题意可得点C的横坐标为1，当时，线段除点A外不与有交点；当点B恰好在上，即点B在处，记作点，结合为等边三角形，求得，过点作轴于G，进一步求得，在上取一点M，连接，使得，可求得，，则，在中利用勾股定理可求得，则有，即可得到m的取值范围； （3）分三种情况讨论：①当与有交点，直到点落在上时；②当与相切时；③当与相交时，且点在内，分别求出三种情况的临界的值，再结合图象动态分析即可得出r的取值范围． 【小问1详解】 解：①略 ②过点C作的切线，连接， 当点A在y轴右侧时，则，， ∴， 过点A作轴于H， 则， ∴， ∴， 当点A在y轴左侧时，由对称性得， ∴， ∴a的最小值为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图2， ∵为的“点A关联三角形”， ∴线段和除点A外不与有交点， 当与相切时， ∴轴，此时，点A的横坐标为1， 则点C的横坐标为1，即， ∴时，线段除点A外不与有交点； 当点B恰好在上，即点B在处，记作点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 在中，， ∴， 过点作轴于G， ∴，， ∴， 在上取一点M，连接，使得， ∴， 在中，则，， ∴， 在中，根据勾股定理得， ， ∴， ∴， ∴时，线段除点A外不与有交点； ∴综上所述，m的取值范围为； 【小问3详解】 解：∵为的“点A关联三角形”， ∴分如下情况讨论： ①当与有交点，直到点落在上时， ∵直线与在第一象限的交点为A， ∴， 过点作轴的平行线，交轴于点，过点作，交延长线于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，即， 解得，此时不满足题意， ∴； ②当与相切时，如图， 由图可知，点与点重合， ∵， ∴， ∴， 当时，与有两个交点，不符合题意， ∴； ③当与相交时，且点在内，即， 过点作轴的平行线，交轴于点，过点作，交延长线于点， 同理可证， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴点在外， ∴与必有一个交点，符合题意， ∴； ∴综上所述，r的取值范围为或． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了直线与圆的位置关系、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30度直角三角形、等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，综合运用这些知识点和分类讨论思想是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合和辅助线构造能力，适合有能力解决压轴题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $