5.3.2第2课时函数的极值与最大(小)值课时练习 -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.3.2　函数的极值与最大(小)值 第2课时　函数的最大(小)值 一、基础落实 1.函数f(x)=x-sin x在区间[0,]内的最大值是(　　) A. B. C.-1 D.0 2.当x=2时,函数f(x)=x3+bx2-12x取得极值,则f(x)在区间[-4,4]上的最大值为(　　) A.8 B.12 C.16 D.32 3.函数f(x)=cos x+(x+1)sin x+1在区间[0,2π]上的最小值、最大值分别为(　　) A.- B.- C.-+2 D.-+2 4.已知函数f(x)=-f'(1)x-4ln x,则下列选项正确的是(　　) A.f(x)的最小值为4-4ln 2 B.f(x)的最小值为2-4ln 2 C.f(x)的最大值为2-4ln 2 D.f(x)无最小值 5.已知函数f(x)=x3-3x,x∈(a,a+4)存在最小值,则实数a的取值范围为(　　) A.[-2,1) B.(-2,1) C.[-3,1) D.(-3,1) 6.已知函数f(x)=+x2-2x-a,若f(x)≥0在区间(0,+∞)上恒成立,则实数a的取值范围是(　　) A.(e,+∞) B.[e-1,+∞) C.(-∞,e-1] D.(-∞,0] 7.(多选题)已知函数f(x)=ex-2x+1,则下列说法正确的是(　　) A.f(x)有极大值2ln 2 B.f(x)有极小值3-2ln 2 C.f(x)无最大值 D.f(x)在区间(ln 2,+∞)上单调递增 8.函数f(x)=ex-x+1在区间[-1,1]上的最大值是　　　　　.  9.当x=　　　　　时,函数f(x)=e-xsin x在区间[0,2π]上取最小值.  10.已知函数f(x)=x3-2x2-mx,且f'(1)=-8. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)求函数f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值. 二、素能提升 11.已知函数f(x)=4ln x-|4x-1|,则f(x)的最大值为(　　) A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 12.已知函数f(x)=(ax+b)ex在x=处取得最值2,则函数f(x)图象在点(0,f(0))处的切线方程为(　　) A.x+y+3=0 B.x-y+3=0 C.2x+y+3=0 D.2x-y+3=0 13.(多选题)对于函数f(x)=,下列说法正确的有(　　) A.f(x)的单调递增区间为(e,+∞) B.f(x)在x=e处取得最大值 C.f(x)有两个不同零点 D.f(2)<f(π)<f(3) 14.函数f(x)=+x-ln x的最小值为　　　　　.  15.已知函数f(x)=2ex-ex. (1)求函数f(x)的极值; (2)求证:f(x)≥e(ln x+1). 16.已知函数f(x)=x3-3ln x. (1)求f(x)的最小值; (2)设g(x)=x3+-3,证明:f(x)≤g(x). 参考答案 一、基础落实 1.D 解析 由题意,得函数f(x)的定义域为R,f'(x)=-cos x,令f'(x)>0,即cos x<,∴<x≤,令f'(x)<0,解得0≤x<,函数f(x)在区间(]内单调递增,在区间[0,内单调递减,而f(0)=0,f(]=-1<0,∴f(x)max=0.故选D. 2.C 解析 由题意得,f'(x)=3x2+2bx-12,由于f(x)在x=2处取极值,所以f'(2)=12+4b-12=0,解得b=0,经检验,b=0满足题意,则f'(x)=3x2-12.令f'(x)>0,解得x>2,或x<-2;令f'(x)<0,解得-2<x<2,所以f(x)在区间[-4,-2)和(2,4]上单调递增,在区间(-2,2)上单调递减,且f(-2)=-8+24=16,f(4)=64-48=16,所以f(x)在区间[-4,4]上的最大值为16,故选C. 3.D 解析 函数f(x)的导数f'(x)=-sin x+sin x+(x+1)cos x=(x+1)cos x,x∈[0,2π]. 令f'(x)=0,解得x=,或x=.当x∈[0,)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈()时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(,2π]时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.故当x=时,函数f(x)有极大值f()=+2;当x=时,函数f(x)有极小值f()=-. 又因为f(0)=2,f(2π)=2,所以函数f(x)在区间[0,2π]上的最小值为-,最大值为+2,故选D. 4.A 解析 因为f(x)=-f'(1)x-4ln x,所以f'(x)=-f'(1)-,则f'(1)=-f'(1)-4,解得f'(1)=-2,则f'(x)=2-(x>0). 当x∈(0,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.故f(x)的最小值为f(2)=4-4ln 2,无最大值,故选A. 5.A 解析 由题意得,f'(x)=3x2-3,令f'(x)=3x2-3=0,解得x=1,或x=-1,且当x<-1时,f'(x)>0;当-1<x<1时,f'(x)<0,当x>1时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(-∞,-1)上单调递增,在区间(-1,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,又f(-1)=(-1)3-3×(-1)=2,f(1)=1-3×1=-2,令f(x)=x3-3x=-2时,解得x=-2,或x=1,所以其图象如下. 由图可知,x∈(a,a+4)时f(x)存在最小值,所以-2≤a<1<a+4,解得-2≤a<1,即实数a的取值范围为[-2,1),故选A. 6.C 解析 由题意得,f'(x)=(x-1)(+2),当0<x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,依题意f(x)min=f(1)=e-1-a≥0,因此a≤e-1.故选C. 7.BCD 解析 由题意得,f'(x)=ex-2,当f'(x)=0时x=ln 2,当x∈(-∞,ln 2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(ln 2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以当x=ln 2时,f(x)取得极小值,无极大值,也无最大值,并且f(x)极小值=f(ln 2)=3-2ln 2,所以B,C,D正确,A错误,故选BCD. 8.e 解析 由题意得,f'(x)=ex-1,令f'(x)<0,解得-1≤x<0,令f'(x)>0,解得0<x≤1,故f(x)在区间[-1,0)上单调递减,在区间(0,1]上单调递增,所以f(x)max=max{f(-1),f(1)}=max=e. 9. 解析 由题意得,f'(x)=e-x(-sin x+cos x)=-e-xsin(x-),因为x∈[0,2π],所以-≤x-,由f'(x)>0可得sin(x-)<0,解得-<x-<0,或π<x-,即0<x<,或<x<2π,同理由f'(x)<0可得sin(x-)>0,解得<x<,故函数f(x)在区间(0,)和(,2π)上单调递增,在区间()上单调递减,所以函数的极小值点为,又f(0)=0,f()=sin=-<0,所以当x=时,f(x)有最小值. 10.解 (1)由题意,得函数f(x)的定义域为R,f'(x)=x2-4x-m, 所以f'(1)=1-4-m=-8,解得m=5, 则f'(x)=x2-4x-5=(x-5)(x+1), 令f'(x)<0,则-1<x<5,令f'(x)>0,则x<-1或x>5, 因此函数f(x)的单调递减区间为(-1,5),单调递增区间为(-∞,-1)和(5,+∞). (2)由(1)可知函数在区间[-3,-1]内单调递增,在区间[-1,3]内单调递减, 所以f(x)≤f(-1)=--2+5=, 又f(-3)=×(-3)3-2×(-3)2-5×(-3)=-12,f(3)=×33-2×32-5×3=-24, 故函数f(x)在区间[-3,3]内的最大值为f(-1)=,最小值为f(3)=-24. 二、素能提升 11.B 解析 当0<x<时,f(x)=4ln x-|4x-1|=4ln x+4x-1,所以f(x)在区间(0,)上单调递增;当x≥时,f(x)=4ln x-|4x-1|=4ln x-4x+1,所以f'(x)=-4=,当<x<1时,f'(x)>0,当x>1时,f'(x)<0,所以f(x)在区间(,1)内单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,综上,f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,所以f(x)max=f(1)=-3,故选B. 12.B 解析 由题意得,f'(x)=(ax+b+a)ex,当a=0,b≠0时,f(x)=bex在其定义域上单调,无最值,不符合题设;当a=b=0时,f(x)=0,不符合题设;所以a≠0,则有y=ax+b+a为单调函数,函数值有正有负,要使函数f(x)在x=处取得最值2,只需所以经检验满足题设,故f(x)=(3-2x)ex,f'(x)=(1-2x)ex,所以f(0)=3,f'(0)=1,故点(0,f(0))处的切线方程为y-3=x-0,即x-y+3=0,故选B. 13.BD 解析 f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)=,令f'(x)=0,解得x=e,所以f(x)在区间(0,e)上f'(x)>0,f(x)单调递增,在区间(e,+∞)上f'(x)<0,f(x)单调递减,A选项错误;f(x)在x=e处取得最大值f(e)=,B选项正确;f(x)在区间(0,e)上单调递增,当x>e时,f(x)>0,所以f(x)没有两个零点,C选项错误;f(x)在区间(e,+∞)上单调递减,所以f(π)<f(3),f(2)==ln ,f(3)==ln ,()6=23=8,()6=32=9,所以,ln <ln ,所以f(2)<f(3),f(2)==f(4),所以f(π)>f(4)=f(2),所以f(2)<f(π)<f(3),D选项正确,故选BD. 14.e+1 解析 函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=+1-(ex+x),令f'(x)=0,解得x=1. 因为x>0,所以ex+x>0,当x∈(0,1)时,f'(x)<0,即f(x)在区间(0,1)上单调递减,当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,即f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值即最小值,故f(x)的最小值为f(x)min=f(1)=e+1. 15.(1)解 ∵f(x)=2ex-ex,∴f'(x)=2ex-e. 令f'(x)=0,解得x=ln=1-ln 2, 当x∈(-∞,1-ln 2)时,f'(x)<0, 当x∈(1-ln 2,+∞)时,f'(x)>0, ∴f(x)的单调递减区间为(-∞,1-ln 2),单调递增区间为(1-ln 2,+∞), ∴f(x)有极小值且为f(1-ln 2)=eln 2,无极大值. (2)证明 设函数h(x)=f(x)-e(ln x+1)=2ex-ex-e(ln x+1),则h'(x)=2ex-e-,x>0. 因为函数y=ex在区间(0,+∞)上单调递增,函数y=-在区间(0,+∞)上单调递增,可得h'(x)在区间(0,+∞)上单调递增,且h'(1)=0, 当x∈(0,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减, 当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增, 所以h(x)min=h(1)=0, 故2ex-ex-e(ln x+1)≥0, 即f(x)≥e(ln x+1)得证. 16.(1)解 由题意,得函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=3x2-. 令f'(x)<0,得0<x<1;令f'(x)>0,得x>1. 所以f(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增, 所以f(x)的最小值为f(1)=1-3ln 1=1. (2)证明 由题意,得f(x)=x3-3ln x,g(x)=x3+-3,要证f(x)≤g(x), 即证x3-3ln x≤x3+-3,即ln x+-1≥0. 令h(x)=ln x+-1,则h'(x)=, 令h'(x)<0,得0<x<1;令h'(x)>0,得x>1, 所以h(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增, 则h(x)≥h(1)=ln 1+1-1=0,即ln x+-1≥0恒成立,所以f(x)≤g(x). 学科网（北京）股份有限公司 $