5.3.2 函数的极值与最大(小)值 课时1(创新拔高)课时练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.3.2 函数的极值与最大(小)值 课时1 1.已知是奇函数且是R上的单调函数，若方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 2.给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心.若函数，则 ( ) A.8082 B. C.8084 D. 3.已知函数，是函数的极值点，下列结论中正确的是( ) A. B. C. D. 4.已知函数所有极小值点从小到大排列成数列，则( ) A. B. C. D. 5.若函数的极大值点与其一个零点重合，则( ) A.0 B.1 C.2 D.3 6.已知函数有两个极值点，则t的取值范围为( ) A. B. C. D. 7.（多选）已知函数，则下列说法正确的是( ) A.若，则的最大值为 B.若，则有极大值，无极小值 C.若，则有极小值 D.若有两个极值点分别是，，则 8.（多选）已知函数，其中结论正确的有( ) A.函数在上单调递减 B.函数在上有一个极大值点 C.当时，函数恒成立 D.当时，函数有一个零点 9.若函数在上有且仅有一个极值点，则实数m的取值范围是__________. 10.若函数存在两个极值点，，则的取值范围是______________. 11.若函数且存在极大值点，则实数a的取值范围是_____________. 12.已知函数，. （1）讨论函数的单调性. （2）当函数的极小值为0时. （i）若在上恒成立，求m的取值范围. （ii）若在上恒成立，证明：. 答案以及解析 1.答案：C 解析：因为是奇函数且是R上的单调函数，所以，则，所以问题等价于方程在R上有三个不同的实数解，即函数的图象与直线有三个不同的交点.由，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以的极大值为，极小值为，所以实数的取值范围为.故选C. 2.答案：A 解析：由题意得，，.令，解得. 又，所以函数的图象的对称中心为，则， 故 .故选A. 3.答案：D 解析：因为函数，所以单调递增，，选项A：计算，而在时趋向，故，A错. 选项B：因为，得，B错. 选项C：计算，C错. 选项D：计算，函数，， 所以，得，D正确. 4.答案：D 解析：因为，所以，由，得，则，由，得，则，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以函数的极小值点为. 将函数所有极小值点从小到大排列成数列， 则，，，易知数列为等差数列，且数列的公差，则，，故选D. 5.答案：B 解析：依题意，函数的零点为a，1，3，求导得，当a为极大值点时，，解得或；当1为极大值点时，，解得；当3为极大值点时，，解得，若，，当或时，；当时，，则1为极大值点，符合题意，若，，当或时，；当时，，则3为极小值点，不符合题意，所以. 6.答案：D 解析：由题意得，函数的定义域为， . 令0，解得或. 又不满足等式，可得，其中且. 令，其中0且，则. 当时，且，此时函数单调递减； 当时，且，此时函数单调递减； 当时，且，此时函数单调递增. 所以函数的极小值为，函数的图象如图. ①当时，设直线与函数的图象的交点的横坐标为，则. 当时，，，，此时，单调递增； 当时，，，，此时，单调递减； 当时，，，，此时，单调递增； 当时，，，，此时，单调递增. 故当时，函数有两个极值点，符合题意. ②当时，方程在上的根为. 当时，，，，此时，单调递增； 当时，，，，此时，单调递增； 当时，，，，此时，单调递增. 故当时，函数无极值点，不符合题意. ③当时，设直线与函数的图象的交点的横坐标为，则. 当时，，，，此时，单调递增； 当时，，，，此时，单调递减； 当时，，，，此时，单调递增； 当时，，，，此时，单调递增. 故当时，函数有两个极值点，符合题意. ④当时，直线与函数的图象无交点. 当时，，，，此时，单调递减； 当时，，，，此时，单调递增； 当时，，，，此时，单调递增. 故当时，函数只有一个极值点，不符合题意. ⑤当时，直线与函数的图象的交点的横坐标为3. 当时，，，，此时，单调递减； 当时，，，，此时，单调递增； 当时，，，，此时，单调递增. 故当时，函数只有一个极值点，不符合题意. ⑥当时，直线与函数的图象有两个交点， 设这两个交点的横坐标分别为，，且，则. 当时，，，，此时，单调递减； 当时，，，，此时，单调递增； 当时，，，，此时，单调递增； 当时，，，，此时，单调递减； 当时，，，，此时，单调递增. 故当时，函数有三个极值点，不符合题意. 综上所述，实数t的取值范围是.故选D. 7.答案：ABD 解析：，对于选项A，当时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，即有最大值.所以A正确.对于选项B，当时，对于，，此时方程有两个不等实根分别为和.又因为，所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减.所以在处取得极大值，无极小值.所以B正确.对于选项C，当时，若，则，此时恒成立，在上单调递增，无极值.所以C错误.对于选项D，由有两个极值点知且，即，此时两根满足又，，所以 .令，，则，所以在上单调递减.所以，即，则成立.所以D正确.综上，故选ABD. 8.答案：ACD 解析：由题意可知，函数对于A，当时，，故.令，则.当时，；当时，.故在上单调递增，在上单调递减.所以当时，有，故，所以在上单调递减，故A正确；对于B，当时，，则，令，则对有，所以在上单调递增，而，，所以存在，使得.结合单调递增知，对有，对有.故在上单调递减，在上单调递增.从而在上仅有唯一的极值点，且为极小值点，故B错误；对于C，当时，由的单调性知.因为，所以，故对有，故C正确；对于D，由上可知在上单调递减，而，，故在上有一个零点，所以在内有一个零点.故在上的零点是唯一的，故D正确. 9.答案： 解析：已知，其定义域为.对求导可得.函数在上有且仅有一个极值点，等价于在上有且仅有一个变号根，即在上有且仅有一个变号根.令，则在上有且仅有一个变号根等价于.则，即，可得不等式的解集为.当时，，的根为和，其中在内，满足有且仅有一个极值点的条件.当时，，的根为和，和不在内，不满足有且仅有一个极值点的条件.综上，实数m的取值范围是. 10.答案： 解析：由题意知的定义域为R，， 因为有两个极值点，，所以，为的两根， 所以，又，所以， 由根与系数的关系得，， 所以 . 令，则， 所以当时，恒成立，所以在上单调递减， 所以，则的取值范围为. 11.答案： 解析：令，得. 令，则，. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 当时，，又在上单调递增，且当时，， 当时，，故由，可得， 即，且，即有实数根. 令，则，当e时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以当时，取得最大值， 又当时，，当时，，所以若存在极大值点， 则，即符合题意. 当时，若，则，若，则，此时必存在一个零点， 且这个零点的左边导函数值为正数，右边导函数值为负数，该零点即为极大值点，故符合. 综上，实数a的取值范围是. 12.答案：（1）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增 （2）（i） （ii）证明见解析 解析：（1）函数的定义域为，. 当时，，故，则函数在上单调递增； 当时，令，解得，则函数在上单调递减， 令，解得，则函数在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）（i）由（1）知，当时函数存在极小值，且极小值点为， 所以. 令（其中），则， 即.（*） 令，则. 当时，；当时，. 所以在处取得最小值，且，故方程（*）只有唯一解为，即. 所以. 因为，所以， 即，即. 令，，则. 设，，则. 易知在上单调递减，且，， 所以存在唯一零点，使得. 所以在上单调递增，在上单调递减. 又因为，， 所以在上恒成立. 所以在上单调递增. 所以. 所以m的取值范围是. （ii）证明：由（2）（i）知，，， 则由得在上恒成立. 令，， 所以. 因为，所以要使在上恒成立， 则，解得. 当时，由（2）（i）知在上恒成立. 又因为当时，，所以. 所以，即在上单调递增. 所以. 综上，. 学科网（北京）股份有限公司 $