5.3.2 （课时1）函数的极值与最大(小)值 同步练（能力提升）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.3.2 函数的极值与最大(小)值 课时1 1.已知函数，则( ) A.极大值为，无极小值 B.极小值为，无极大值 C.极大值为，无极小值 D.极小值为，无极大值 2.函数的极小值点是( ) A. B. C. D. 3.函数的零点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 4.已知函数，当时，有极大值，则( ) A.2 B.1 C.0 D. 5.函数的导函数为，若，则函数的极大值为( ) A. B.0 C.1 D.2 6.已知函数的两个极值点分别为和2，则的值为( ) A.-2 B.0 C.2 D.4 7.已知函数在上恰有一个极值点，则m的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.若函数满足，且，则的极大值是( ) A. B. C. D.e 9.（多选）已知函数的导函数为，若存在使得，则称是的一个“新驻点”.下列函数中，具有“新驻点”的是( ) A. B. C. D. 10.（多选）已知函数，则下列说法正确的是( ) A.在上是减函数 B.的单调递增区间为和 C.恰有一个零点 D.的极大值大于极小值 11.（多选）已知函数，导函数的极值点是函数的零点，则下列说法正确的是( ) A.有且只有一个极值点 B.有且只有一个零点 C.若，则 D.过坐标原点仅有一条直线与曲线相切 12.已知是定义域为R的偶函数，当时，.那么函数的极值点的个数是__________. 13.若函数在上有极值，则实数a的取值范围是__________. 14.若函数的极值点为，则的值为__________. 15.已知函数，其导函数为. （1）讨论的单调性； （2）求的极值点个数； （3）求所有极值点的乘积. 答案以及解析 1.答案：A 解析：，令，解得，，，单调递增；，，单调递减，因此，在处取得极大值，极大值为，无极小值. 2.答案：C 解析：对函数求导，得.令，则或.若，则或；若，则.所以函数在，上单调递增，在上单调递减.所以函数的极小值点是. 3.答案：C 解析：函数，，当，，单调递减；当，，单调递增；，；，所以，；，，所以函数的零点个数为2. 4.答案：B 解析：由题意得，因为时，有极大值，所以解得，，经检验，当，时，，故当，，在上单调递减，当，，在上单调递增，故在时有极大值，符合题意，所以成立. 5.答案：C 解析：因为，所以当或时，，当时，，所以在，上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，又（c为常数）且，所以，解得，所以，则，即函数的极大值为1. 6.答案：B 解析：由可知 ，∵函数的两个极值点分别为和2，和2是的零点，故和2是的两个实数根，，，，.，故选B. 7.答案：B 解析：由题意可知的定义域为R，则，又因为，令，解得；令，解得.可知函数在内单调递减，在内单调递增，则有且仅有一个极值点，若函数在上恰有一个极值点，则，解得，所以m的取值范围是. 8.答案：B 解析：因为函数满足，，所以令，则，故.因为，所以.故，则.所以.故. 则，，当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减，故的极大值为.故选B. 9.答案：ABC 解析：根据“新驻点”的定义，判断函数是否具有“新驻点”即判断方程是否有解. 对于A，，令，可得，，故有新驻点. 对于B，，令，解得或，故有新驻点. 对于C，，令. 设，，则，所以在上单调递增. 又，，所以存在，使得，所以函数有新驻点. 对于D，，令，显然无解，所以无新驻点.故选ABC. 10.答案：BC 解析：由题意知的定义域为，.令，解得或.所以当或时，，此时在和上单调递减，当或时，，所以的单调递增区间为和，故A错误，B正确；因为当时，且在上单调递增，在上单调递减，所以在上恰有一个零点；当时，且在上单调递减，在上单调递增，所以在上无零点， 综上，恰有一个零点，故C正确；在处取得极大值为，在处取得极小值为，即的极小值大于极大值，即D错误. 11.答案：BC 解析：由得，令，则，令，解得，所以是函数的极小值点.又的极值点是函数的零点，所以，解得.此时. 对于A，且等号不恒成立，所以函数为R上的增函数，则没有极值点，故A错误； 对于B，由A知，函数为R上的增函数，且，即有且只有一个零点，故B正确； 对于C，，则，因为函数为R上的增函数，所以由，即可得，即，故C正确； 对于D，不妨设切点为，由，可得切线斜率为，则切线方程为，由切线过原点，得，整理得，解得或，即过坐标原点有两条直线与曲线相切，故D错误.故选BC. 12.答案：3 解析：当时，，当时，，当且仅当时取等号，当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减，又函数是偶函数，于是在上单调递减，在上单调递增，因此在和处取得极大值，在处取得极小值，所以函数的极值点的个数是3. 13.答案： 解析：因为，，函数在上有极值，则在上有解，即.当时，，则，则.当时，，，不能说明函数在上有极值，所以；当时，，，不能说明函数在上有极值，所以.故答案为. 14.答案：1 解析：因为，所以. 由，知. 令，，则，故函数在上单调递增. 又，，所以存在，使. 所以当时，，从而； 当时，，从而. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数有极大值点， 所以. 15.答案：（1）在，上单调递增 （2）在其定义域上存在两个极值点 （3）1 解析：（1）的定义域为， 当时，， 由，所以可得， 当时，，则， 综上可得，， 令，则恒成立， 所以在，上单调递增. （2）因为，， 所以，使， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以在上有一个极小值点. 因为，， 所以，使， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以在上有一个极小值点， 所以在其定义域上存在两个极值点. （3）由（2）知，是函数的零点， 所以， 所以， 所以. 因为，所以，且在，上各存在一个零点，， 所以，即， 所以所有极值点的乘积为1. 学科网（北京）股份有限公司 $