精品解析：浙江省东阳市外国语学校2026-2027学年高一上学期第一次阶段检测数学试卷

高一数学第一次阶段检测卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由全集，且，则， 又，解得，则， 所以． 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用分式不等式以及充分不必要条件的集合表示，可得答案. 【详解】由，可得或， 又集合是集合或的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 3. 已知命题p：，，则（ ） A. 命题p的否定为，，且p是真命题 B. 命题p的否定为，，且p是真命题 C. 命题p的否定为，，且p是假命题 D. 命题p的否定为，，p是假命题 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在性量词命题的否定，结合分式不等式的解法即可下结论. 【详解】，则. 由，得，即，解得， 所以命题为假命题. 故选：C 4. 已知实数满足，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，，， 又，，， . 5. 已知，且，则的最小值为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对公式进行变形，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】已知，且， 等式两边同时加得：， 因式分解得： 由基本不等式得：， 当且仅当，即时取等， 故. 6. 已知关于的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系得到，，从而将不等式转化为，进而解一元二次不等式即可得到答案． 【详解】由不等式的解集为， 则，且，解得， 将关于x的不等式转化为， 即关于x的不等式为，所以其解集为． 7. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合抽象函数与复合函数的定义域求解. 【详解】函数的定义域为，则，所以函数的定义域为， 由，解得，从而函数的定义域为， 又有，得， 综上得到函数的定义域为. 8. 已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别讨论分段函数单调递减，再考虑衔接点然后合并区间. 【详解】在时，要求递减，； 在时，要求递减，对称轴，要保证区间在对称轴右侧，则； 再考虑衔接点，. 结合三个条件，可得. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） 9. 已知集合，若，则实数的值可以是（） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先将条件转化为集合关系，再求解一元二次方程得到集合的元素，分情况讨论满足时实数的取值， 【详解】由，根据集合运算的性质可得： ，解得或， 因此集合中一定包含元素，分两类讨论： 当为单元素集合时，方程有两个相等的实数根，即，解得， 此时，满足，符合题意， 当有两个不同元素时，即，此时， 由，可得，解得， 此时，满足，符合题意； 综上，实数的值为或. 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在上单调递减 C. 在上单调递增 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】求得函数的定义域可判断A；当时，，判断单调性可判断B；当时，，判断单调性可判断C；代入计算可判断D. 【详解】对于A，的定义域为，故A正确. 对于B，当时，， 因为在上单调递减，所以在上单调递增， 所以在上单调递增， 即在上单调递增，故B错误； 对于C，当时，， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 所以在上单调递增， 即在上单调递增，故C正确. 对于D，，故D正确. 故选：ACD 11. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，B，C，利用基本不等式及其变形计算即可；对于D，利用代入后根据二次函数判断. 【详解】已知且. 对于A，由基本不等式，代入得​， 两边平方后整理得​， 当且仅当时取等号，该不等式成立，故A正确； 对于B，利用恒等式， 结合A中​，可得​， 因此​， 当且仅当​时取等号，该不等式成立，故B正确； 对于C，因为，所以， 所以 ， 当且仅当​时取等号，该选项C中不等式不成立，故C错误； 对于D，因为，所以， 所以， 因为，且，所以， 所以，所以， 所以成立，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 对于集合、，定义且．已知，，则______． 【答案】 【解析】 【详解】对于集合、，定义且， 因为，，所以， 故. 13. 已知，且，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，将原式化为，再由基本不等式，即可得到结果. 【详解】因为，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 14. 若对任意，在，则函数在上的最大值M与最小值m的和______． 【答案】8 【解析】 【分析】先根据得到是奇函数，进而可判断也是奇函数，进而可得. 【详解】在中，令得，即， 令得，即，是奇函数， 令，则， 故是奇函数， 所以在对称区间上， 当时，，. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 解关于x的不等式. 【答案】当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】根据含参一元二次不等式的解法，分类讨论最高项系数以及根的大小即可得答案. 【详解】①当时，原不等式即为，解得； ②当时，原不等式化为，解得或； ③当时，原不等式化为， 若，即，不等式无解, 若，即时，解得, 若，即时，解得. 综上可知，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 16. 已知集合 ． （1）当时，求和； （2）若，求实数m的取值范围． （3）若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1）， （2）​ （3）​ 【解析】 【分析】（1）先解一元二次不等式得到集合，再在时表示集合，利用交、并、补运算求出所求集合． （2）先讨论集合为空的情形；当非空时，利用区间包含关系比较两个端点，确定参数范围． （3）把“充分不必要条件”转化为真子集关系⫋，结合（2）的结论并排除的情形． 【小问1详解】 由，且二次函数图象开口向上，得，所以． 当时，，因此． 全集为，故，从而． 【小问2详解】 当，即时，，必有． 当，即时，． 要使，需且只需且，即． 与合并得． 综上，实数的取值范围为． 【小问3详解】 “”是“”的充分不必要条件，等价于⫋，即且． 由（2）知，当且仅当． 当时，，不满足真子集关系． 当时，若，则不含，所以； 若，则，同样有． 因此，实数的取值范围为． 17. 某工厂拟建造一个长方体无盖蓄水池，要求容积为，深为．已知池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元． （1）设池底的一边长为，试写出总造价（元）关于的函数关系式，并指出其定义域； （2）当池底的两边长各为多少米时，总造价最低？最低总造价是多少元？ 【答案】（1），定义域为． （2）池底两边长均为时总造价最低，最低总造价为元． 【解析】 【小问1详解】 池底面积为，则池底另一边长为． 由于池底边长为正，所以． 池底造价为元． 池壁面积为． 池壁造价为元． 所以总造价为，定义域为． 【小问2详解】 由，有且． 由基本不等式得． 当且仅当，即时取等号，即当时等号成立， 此时池底另一边长为，且总造价的最小值为元． 18. 已知是定义在上的奇函数，当时，． （1）求在上的解析式； （2）求在区间上的值域，并指出取得最大值与最小值时x的值； （3）解关于t的不等式． 【答案】（1） （2），最大值为8，此时，最小值为，此时 （3） 【解析】 【分析】（1）由是定义在上的奇函数得到，设，则，利用已知求出，利用奇函数得到，用分段函数表示. （2）按（1）的解析式分段求值域，取并集． （3）先由（1）的解析式得出单调性，利用单调性和奇偶性求解. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，所以． 当时，，则， 又，则， 则 . 【小问2详解】 ①当时，， 图象开口向下、对称轴为，故在上单调递增，此时； ②当时，， 图象开口向上、对称轴为，故在上单调递增，此时． 取并集得在上的值域为． 故的最大值为8，此时，最小值为，此时． 【小问3详解】 当时在上递增； 当时在上递增； 又时时， 故时恒有，则在R上单调递增， 由得， 由是奇函数，得，于是． 由单调性得，即，解得． 则原不等式的解集为（或写成）． 19. 已知函数的定义域为，且对任意，都有；并且当时，． （1）求的值，判断在上的单调性，并用定义加以证明； （2）若，求方程的解． （3）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）在中令， 得，解得. 判断：在上单调递增． 证明：任取，则．在中取， 得，于是． 因为，由已知“时”得，所以． 故在上单调递增． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在中令，计算得解；利用定义法结合已知条件求解； （2）由及求出，利用已知求出，利用单调性得到的等式，计算得解； （3）由在上单调递增得到，解出对任意恒成立，令．利用基本不等式求出a的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由及，． 又， 因为的定义域为，所以且，即． 于是原方程化为． 由（1）知在上严格单调递增， 故是一一对应（不同自变量对应不同函数值）， 从而，即，解得或． 由知舍去，故原方程的解为． 【小问3详解】 由（1）知在上单调递增， 所以 （此时，定义域条件自动满足）， 于是原题等价于对任意恒成立， 即对任意恒成立， 因为，所以对任意恒成立． 令． 由基本不等式，当且仅当时取等号，且， 故在上的最小值为． 所以，即实数a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学第一次阶段检测卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知命题p：，，则（ ） A. 命题p的否定为，，且p是真命题 B. 命题p的否定为，，且p是真命题 C. 命题p的否定为，，且p是假命题 D. 命题p的否定为，，p是假命题 4. 已知实数满足，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，则的最小值为（） A. B. C. D. 6. 已知关于的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 7. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） 9. 已知集合，若，则实数的值可以是（） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在上单调递减 C. 在上单调递增 D. 11. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 对于集合、，定义且．已知，，则______． 13. 已知，且，则的最小值为__________. 14. 若对任意，在，则函数在上的最大值M与最小值m的和______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 解关于x的不等式. 16. 已知集合 ． （1）当时，求和； （2）若，求实数m的取值范围． （3）若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 17. 某工厂拟建造一个长方体无盖蓄水池，要求容积为，深为．已知池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元． （1）设池底的一边长为，试写出总造价（元）关于的函数关系式，并指出其定义域； （2）当池底的两边长各为多少米时，总造价最低？最低总造价是多少元？ 18. 已知是定义在上的奇函数，当时，． （1）求在上的解析式； （2）求在区间上的值域，并指出取得最大值与最小值时x的值； （3）解关于t的不等式． 19. 已知函数的定义域为，且对任意，都有；并且当时，． （1）求的值，判断在上的单调性，并用定义加以证明； （2）若，求方程的解． （3）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $