精品解析：江苏苏州市姑苏区景范中学 2026-2027学年八年级上学期因式分解章节单元测

因式分解解谜大冒险 一、迷雾甄别-选择闯关 1. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、等式左边不是多项式，不是因式分解，不符合题意； B、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、是多项式乘法，不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 2. 多项式的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了公因式的概念，解题关键是找出多项式各项中都含有的公因式． 通过提取多项式中各项的公共因子，确定公因式．公因式是指多项式中各项都含有的因式． 【详解】∵ ， ， ∴ 公因式为 ． 故选B． 3. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式是解决问题的关键． 根据平方差公式逐项验证即可得到答案． 【详解】解：平方差公式为 = ； 选项A： = ，符合公式，可分解； 选项B： = ，非平方差形式； 选项C：，为平方和，不符合题意； 选项D：，为完全平方，不符合题意； 故选：A 4. 下列多项式中不可以用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式因式分解，完全平方公式的形式为，通过检查各选项是否符合此形式即可判断． 【详解】解：选项A：∵，∴符合完全平方公式，可分解为； 选项B：∵，∴符合完全平方公式，可分解为 ； 选项C：∵，∴符合完全平方公式，可分解为 ； 选项D：∵在多项式中，首项为，末项为，而其两倍积为，不等于中间项，∴不符合完全平方公式，不可用完全平方公式分解． 故选：D． 5. 已知，，则代数式的值为（ ） A. 30 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，求代数式的值；将代数式通过因式分解后，整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵ ， 又∵, ， ∴ 原式． 6. 对于实数，，定义新运算“”，规定：．将多项式因式分解的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了新运算法则，因式分解，理解题意是解决本题的关键． 根据新运算定义，先计算得到多项式，然后进行因式分解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：D． 7. 小明是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息：，，，，，，分别对应“信”，“爱”，“我”，“立”，“最”，“美”六个字，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我最爱美 B. 我爱立信 C. 最爱立信 D. 最美立信 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用（提取公因式法、平方差公式），先提取公因式，再用平方差公式分解因式，得到，结合给定的对应关系，即可得出密码信息． 【详解】解： ∵，，，，分别对应“信”，“爱”，“我”，“立”， ∴密码是由“信”，“爱”，“我”，“立”这四个汉字组成的， ∴四个选项中只有B选项符合题意， 故选：B． 8. 已知可以被10至20之间的两个整数整除，这两个整数是（ ） A. 13，14 B. 15，16 C. 16，17 D. 15，17 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，通过平方差公式因式分解，得到其因子，从中找出在10至20之间的整数即可． 【详解】解： ∴ 这两个整数是15和17。 故选D 二、碎片拼接-填空试炼 9. 用提公因式法分解因式： __________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，找到公因式是关键；通过识别多项式中各项的公因式，运用提公因式法进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 11. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】将所求多项式因式分解，整理为含的形式，再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：先对多项式因式分解：， ∵， ∴代入得：． 12. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】将原式分组，把含的二次项分为一组，先用完全平方公式变形，再用平方差公式分解因式． 【详解】解： ． 13. 如图，在综合实践课上，嘉淇用9张类正方形卡片，4张类正方形卡片和12张类长方形卡片，拼成了一个大正方形，则拼成的大正方形的边长是___________（用含的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，拼成的大正方形面积等于9张类正方形卡片，4张类正方形卡片和12张类长方形卡片的面积之和，因此求出9张类正方形卡片，4张类正方形卡片和12张类长方形卡片的面积之和，再利用完全平方公式把面积的表达式分解因式即可得到答案． 【详解】解：， ∴拼成的大正方形的边长为， 故答案为：． 14. 已知整式可以因式分解为，则的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是多项式因式分解与整式乘法的互逆关系，解题关键是利用整式乘法展开因式分解式，再通过对应项系数相等列方程求解． 通过展开因式分解形式，比较同类项系数，建立方程求解即可． 【详解】展开 ，与原式 比较系数， 得 ，解得 ． 故答案为 4 15. 若实数x满足，则代数式的值为___________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，根据题意可得，把所求式子可变形为，代入得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：7． 16. 在对整式进行因式分解时，甲乙两位同学均出现了失误．甲同学看错了一次项系数，得到的分解结果为，乙同学看错了常数项，得到的结果为，那么整式正确的因式分解结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是整式的乘法和因式分解，掌握多项式乘多项式法则、因式分解的方法是解决此题的关键．甲同学看错一次项系数但常数项正确，故由甲的结果得；乙同学看错常数项但一次项系数正确，故由乙的结果得；因此原整式为，因式分解得结果． 【详解】解∶ ∵，甲看错一次项系数但常数项正确 ∴， ∵，乙看错常数项但一次项系数正确， ∴， ∴原整式为， ∵ ∴整式，即正确的因式分解结果是， 故答案为∶ ． 17. 已知，，，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式因式分解．先求出的值，再利用恒等式进行计算． 【详解】解：已知， 则， ， ， 根据恒等式，将上述值代入可得： ． 故答案为：． 18. 若，则的和为______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先分组，再提取公因式，最后代入即可． 【详解】解： ． 故答案为：0 ． 三、终极解密·解答攻坚 19. 对下列式子进行因式分解． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：； 【小问4详解】 解：． 20. 利用因式分解进行简便计算： （1）． （2）． 【答案】（1）90000 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用因式分解进行简便运算，涉及完全平方公式和提取公因式法： （1）利用完全平方公式计算即可； （2）提出公因式，即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. 已知为正整数，求证：是4的倍数． 【答案】 证明： ∵ 为正整数， ∴ 为正整数， ∴ 是4的倍数， 即是4的倍数 【解析】 【分析】将因式分解为，结合为正整数即可证明． 【详解】略 22. 阅读材料，并解答问题． 例题：求多项式的最小值． 解：， ，， ∴多项式的最小值是4． （1）请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是______； 当取最小值4时，______，______． （2）求多项式的最小值． 【答案】（1）完全平方公式，， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式以及完全平方数的非负性是解题的关键． （1）观察例题分解过程，确定用到的公式，再根据完全平方数的非负性求出、的值； （2）通过配方法将多项式转化为含有完全平方的形式，再根据完全平方数的非负性求最小值． 【小问1详解】 解：过程中使用了完全平方公式． ， 当，时，式子取到最小值， 此时，，，； 【小问2详解】 解： ， ，， ， ∴当且仅当时，有最小值． 23. 仔细阅读下面例题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，， 则 所以，，解得：，． 另一个因式为，m的值为6． 依照以上方法解答下列问题： （1）若二次三项式可分解为，则_______ （2）若二次三项式可分解为，则_______． （3）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】（1）4 （2）1 （3）另一个因式为，k的值为 【解析】 【分析】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式． （1）将展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值； （2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值； （3）设另一个因式为，得，可知，，继而求出n和k的值及另一个因式． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得：． 故答案为：4； 【小问2详解】 解：∵， ∴． 故答案为：1； 【小问3详解】 解：设另一个因式为，得， 则， ∴，， 解得，， ∴另一个因式为，k的值为． 24. 在学习整式的乘法时，我们发现通过用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以写出一个恒等式． （1）如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），则用两种不同方法表示余下的部分的面积，可得到关于，的恒等式为__________； 应用：如图3，将个同心圆由小到大套在一起，并从外向里相间画阴影，若最外面的圆的半径为，向里依次为，，…，，求所有阴影部分的面积和．（结果保留） （2）如图4，将两个边长分别为，的正方形和两个长为宽为的长方形拼成正方形，则用两种不同方法表示正方形的面积，所得到的关于，的恒等式为___________________． 应用：如图5，点为线段上一点，点、点分别为和的中点，分别以点为圆心、为直径向上作半圆，其面积记为，以点为圆心、为直径向下作半圆，其面积记为，点为半圆上点正上方一点，分别连接，．若，，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】（1）；应用：（2）；应用： 【解析】 【分析】本题考查面积法推导乘法公式，乘法公式的应用，圆的面积公式，通过“面积相等”建立代数恒等式是解题关键． （1）恒等式：用面积法表示剪后图形的两种面积，可得平方差公式；阴影面积：将阴影部分面积拆为平方差形式，然后逆用公式，简化为整数之和，求和即可； （2）恒等式：用面积法表示“拼成的大正方形”的两种面积，可得完全平方和公式；阴影面积：先设为，则，用半圆面积列方程，然后用完全平方变形求出，整体代入计算阴影面积即可． 【详解】（1）解：边长为的正方形减去边长为的正方形， 则剩余部分的面积为， 正方形剩余部分拼成长方形的面积为， 故； 应用：根据题意可知阴影部分的面积为 ， 故所有阴影部分的面积为． 答：；应用：． （2）解：据图可知，正方形的边长为，则面积为， 构成正方形的有两个正方形，面积分别为，；两个全等长方形，面积为， 根据两种方式表示的面积相等，可得； 应用：设，则， 则，， ， ， 化简得， 根据完全平方公式展开， 将代入，可得，即， 点为半圆上点正上方一点， ， ． 故阴影部分面积为． 答：；应用：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 因式分解解谜大冒险 一、迷雾甄别-选择闯关 1. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 多项式的公因式是（ ） A. B. C. D. 3. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列多项式中不可以用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则代数式的值为（ ） A. 30 B. C. D. 6. 对于实数，，定义新运算“”，规定：．将多项式因式分解的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 小明是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息：，，，，，，分别对应“信”，“爱”，“我”，“立”，“最”，“美”六个字，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我最爱美 B. 我爱立信 C. 最爱立信 D. 最美立信 8. 已知可以被10至20之间的两个整数整除，这两个整数是（ ） A. 13，14 B. 15，16 C. 16，17 D. 15，17 二、碎片拼接-填空试炼 9. 用提公因式法分解因式： __________ 10. 因式分解：___________． 11. 已知，则___________． 12. 分解因式：___________． 13. 如图，在综合实践课上，嘉淇用9张类正方形卡片，4张类正方形卡片和12张类长方形卡片，拼成了一个大正方形，则拼成的大正方形的边长是___________（用含的式子表示）． 14. 已知整式可以因式分解为，则的值为________． 15. 若实数x满足，则代数式的值为___________． 16. 在对整式进行因式分解时，甲乙两位同学均出现了失误．甲同学看错了一次项系数，得到的分解结果为，乙同学看错了常数项，得到的结果为，那么整式正确的因式分解结果是________． 17. 已知，，，则代数式的值为______． 18. 若，则的和为______． 三、终极解密·解答攻坚 19. 对下列式子进行因式分解． （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 利用因式分解进行简便计算： （1）． （2）． 21. 已知为正整数，求证：是4的倍数． 22. 阅读材料，并解答问题． 例题：求多项式的最小值． 解：， ，， ∴多项式的最小值是4． （1）请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是______； 当取最小值4时，______，______． （2）求多项式的最小值． 23. 仔细阅读下面例题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，， 则 所以，，解得：，． 另一个因式为，m的值为6． 依照以上方法解答下列问题： （1）若二次三项式可分解为，则_______ （2）若二次三项式可分解为，则_______． （3）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 24. 在学习整式的乘法时，我们发现通过用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以写出一个恒等式． （1）如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），则用两种不同方法表示余下的部分的面积，可得到关于，的恒等式为__________； 应用：如图3，将个同心圆由小到大套在一起，并从外向里相间画阴影，若最外面的圆的半径为，向里依次为，，…，，求所有阴影部分的面积和．（结果保留） （2）如图4，将两个边长分别为，的正方形和两个长为宽为的长方形拼成正方形，则用两种不同方法表示正方形的面积，所得到的关于，的恒等式为___________________． 应用：如图5，点为线段上一点，点、点分别为和的中点，分别以点为圆心、为直径向上作半圆，其面积记为，以点为圆心、为直径向下作半圆，其面积记为，点为半圆上点正上方一点，分别连接，．若，，则图中阴影部分的面积为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $