精品解析：江苏省苏州市姑苏区草桥中学2025-2026学年八年级上学期数学12月月考试卷

初二数学 一、选择题（共8小题，每小题2分，共16分．） 1. 以下是2024年巴黎奥运会体有项目图标，其中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. 2，3，4 C. 7，24，25 D. 9，37，38 4. 根据分式的基本性质，分式变形可得到下列结果中的（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，交于点，则的长是（ ） A. 3 B. C. 4 D. 6. 若，那么的值为（） A. 1 B. C. 1或 D. ﹣1 7. 若m为实数，在“□m”的“□”中添上一种运算符号（在“”“”“”“”中选择）后，其运算的结果为有理数，则m的值不可能是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，若AC=3，AB=5，则CE的长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共8小题，每小题2分，共16分．） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 10. 直角三角形两直角边长分别为和，则斜边上的中线长为___________． 11. 比较大小：2___________．（填“>”、“<”或“=”） 12. 分解因式：______． 13. 如图，折叠矩形的一边，使点D落在边的点F处，折痕为，已知，，则的长为_________． 14. 已知，且，则的值是_______． 15. 如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，E是格点，则∠ABD＋∠CBE的度数为_____________． 16. 临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为____________． 三．解答题（共8小题，共68分） 17. 计算： （1） （2） 18. 先化简，再求值：，其中a的值为． 19. 解方程：． 20. 2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费． 21. 如图，在中，的垂直平分线交于点，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 22. 某校为加强学生劳动教育，将劳动基地按班级进行分配，如图是八年级（2）班的劳动实践基地的示意图形状，经过班级同学共同努力，测得，，，，．求劳动实践基地的面积． 23. 如图1，荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度？ 24. 有些代数问题，我们可以采用构造几何图形的方法研究，借助直观、形象的几何模型，加深认识和理解，从中感悟“数形结合”的思想方法，感悟代数和几何内在的一致性．如图1是由两个边长分别为m，n的小正方形和两个全等的小长方形拼成的大正方形，则根据大正方形的面积可以验证公式：． （1）图2是由四个全等的直角三角形（边长分别为a，b，c，且）和一个小正方形拼成的大正方形，利用图1验证公式的方法求出a、b、c满足的等量关系式； （2）如图2，在（1）的条件下，若，，求阴影部分的面积； （3）如图3，以（2）中的a，b，c为边长作三个正方形，并将以a，b为边长的两个小正方形放置于以c为边长的大正方形内，若阴影部分的面积为1，求四边形的面积． 25. 我们已经学习了二次根式和完全平方公式，请阅读下面材料： 当时： 又 当且仅当时，． 请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为______，此时______； （2）若，求y的最小值． 26. 在长方形中，． （1）如图1，P为边上一点，将沿直线翻折至的位置，其中点是点的对称点，当点落在边上时，求的长． （2）如图2，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折得，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长： （3）如图3，点是射线上的一个动点，将沿翻折，其中点的对称点为，当三点在同一直线上时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学 一、选择题（共8小题，每小题2分，共16分．） 1. 以下是2024年巴黎奥运会体有项目图标，其中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A.选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B. 选项中的图案是轴对称图形，故此选项符合题意； C. 选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D. 选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把每个二次根式进行化简，化成最简二次根式，后比较被开方数即可． 【详解】A．与的被开方数不相同，故不是同类二次根式； B．，与不是同类二次根式； C．，与被开方数相同，故是同类二次根式； D．与被开方数不同，故不是同类二次根式． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式，熟练掌握根式化简的基本方法，灵活运用同类二次根式的定义判断解题是求解的关键． 3. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. 2，3，4 C. 7，24，25 D. 9，37，38 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用勾股定理逆定理判定直角三角形，直接利用勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项不正确，不符合题意； C、，故该选项正确，符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 4. 根据分式的基本性质，分式变形可得到下列结果中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，能正确根据分式的性质进行变形是解此题的关键．根据分式的基本性质逐个判断即可． 【详解】解：， 故选：B． 5. 如图，在中，交于点，则的长是（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查含直角三角形的性质及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握含直角三角形的性质及等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 先证明，，再证明，得，，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴； 故选A． 6. 若，那么的值为（） A. 1 B. C. 1或 D. ﹣1 【答案】A 【解析】 【分析】根据，进而化简求出即可． 【详解】∵， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，正确记忆公式是解题关键． 7. 若m为实数，在“□m”的“□”中添上一种运算符号（在“”“”“”“”中选择）后，其运算的结果为有理数，则m的值不可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，分母有理化，依据题意对每个选项进行逐一判断是解题的关键． 依据题意对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：如果“□”中添上的是“”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项D中的代数式，因此选项D不符合题意； 如果“□”中添上的是“”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项A、B中的代数式，因此选项A、选项B不符合题意； 如果“□”中添上的是“”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项D、B中的代数式，因此选项B、选项D不符合题意； 如果“□”中添上的是“”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项A中的代数式，因此选项A不符合题意； 综上所述，m的值不可能是选项C中的代数式， 故选：C． 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，若AC=3，AB=5，则CE的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解法一：过点F作FG⊥AB于点G，根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案． 解法二：过点E作EG⊥AC于G，先在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC=4，再根据三角形面积求得CD=，在Rt△ADC中，由勾股定理，求得AD=，然后证△AGE≌△ADE(AAS)，得出AG=AD=，EG=ED，从而得CG=AC-AG=3-=，CE=CD-DE=CD-EG，设CE=x，则EG=-x，在Rt△CGE中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：解法一：过点F作FG⊥AB于点G， ∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠CDA=90°， ∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF=∠FAD， ∴∠CFA=∠AED=∠CEF， ∴CE=CF， ∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°， ∴FC=FG， ∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°， ∴△BFG∽△BAC， ∴， ∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°， ∴BC=4， ∴， ∵FC=FG， ∴， 解得：FC=，即CE的长为． 故选：A． 解法二：过点E作EG⊥AC于G，如图， 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 ， ∵CD⊥AB， ∴， ∴， ∴CD=， 在Rt△ADC中，由勾股定理，得 ， ∵AF平分∠BAC， ∴∠GAF=∠DAF， ∵EG⊥AC，CD⊥AB， ∴∠AGE=∠ADE=90°， ∵AE=AE， ∴△AGE≌△ADE(AAS)， ∴AG=AD=，EG=ED， ∴CG=AC-AG=3-=，CE=CD-DE=CD-EG， 设CE=x，则EG=-x， 在Rt△CGE中，由勾股定理，得 ，即， 解得：x=，即CE的长为． 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 二、填空题（共8小题，每小题2分，共16分．） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 10. 直角三角形两直角边长分别为和，则斜边上的中线长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，先根据勾股定理算出斜边为，再结合斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵直角三角形两直角边长分别为和， ∴ ∴斜边为， ∴斜边上的中线长为， 故答案为：． 11. 比较大小：2___________．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数大小的比较， 熟练掌握比较方法是解题关键． 利用作差法得出，然后通过比较和的大小来判断的正负，进而比较原数的大小． 【详解】解：， ∵，，且 ， ∴． ∴， ∴， 故答案为：． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 如图，折叠矩形的一边，使点D落在边的点F处，折痕为，已知，，则的长为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，根据折叠的性质，勾股定理求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵折叠长方形， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故答案为：． 14. 已知，且，则的值是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了整体代入和分式化简求值，熟练掌握整体代入是解题的关键． 先根据得出，然后代入化简求值即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：2． 15. 如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，E是格点，则∠ABD＋∠CBE的度数为_____________． 【答案】45° 【解析】 【分析】取网格点M、N、F，连接AM、AN、BM、MF、BN，根据网格线可得到∠ABD+∠CBE=∠MAB，再根据勾股定理的逆定理证明△ABM是直角三角形，且AM=BM，即可得解． 【详解】取网格点M、N、F，连接AM、AN、BM、MF、BN，如图， 根据网格线可知NB=1=MF，AN=3，AF=2， 由网格图可知∠CBE=∠FAM，∠ABD=∠NAB， 则∠ABD+∠CBE=∠MAB， 在Rt△ANB中，有， 同理可求得：， ∵， ∴△ABM是直角三角形，且AM=BM， ∴∠MAB=45°， 即：∠ABD+∠CBE=45°， 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了勾股定理即勾股定理的逆定理、等腰直角三角形等知识，求得∠ABD+∠CBE=∠MAB是解答本题的关键． 16. 临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为____________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用——最短距离问题，解题的关键是能够将圆柱体的侧面展开，并分析出每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形． 根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形， 如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， ∵底面周长约为6米，柱身高约16米， ∴，， 在中 ， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米． 故答案为：20． 三．解答题（共8小题，共68分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】题目主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先将二次根式化简，然后计算加减法即可； （2）根据平方差公式及完全平方公式、二次根式的乘法运算计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式． 18. 先化简，再求值：，其中a的值为． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．根据分式的运算法则进行计算，再将代入即可求出． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 19. 解方程：． 【答案】无解 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解法，掌握解分式方程的步骤和方法是正确解答的关键，解分式方程时一定注意检验． 根据分式方程的解法求解即可，注意不要忘记检验． 【详解】解：， ， ， ， ， 经检验，是原方程的增根， 所以原方程无解． 20. 2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费． 【答案】这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元． 【解析】 【分析】设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，则燃油车平均每公里的充电费为(x+0.6)元，根据“电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍”列分式方程，解方程即可求解． 【详解】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元． 根据题意，得． 解，得． 经检验，是原方程的根． 答：这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元． 【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 21. 如图，在中，的垂直平分线交于点，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，垂直平分线的性质，等边对等角，角的和差，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质得出，确定，然后结合图形求解即可； （2）设，则，直接根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：垂直平分， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 设，则， 在中，， 在中，， ， ， ． 22. 某校为加强学生劳动教育，将劳动基地按班级进行分配，如图是八年级（2）班的劳动实践基地的示意图形状，经过班级同学共同努力，测得，，，，．求劳动实践基地的面积． 【答案】劳动实践基地的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用；由勾股定理求得，可得，由勾股定理的逆定理得是直角三角形，求出四边形的面积即可． 【详解】解：连接AC， 在中，由勾股定理得： ， ，， ， ， ， ， ， 答：劳动实践基地的面积为． 23. 如图1，荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度？ 【答案】 【解析】 【分析】设秋千的绳索长为，则，在中，由勾股定理，即可求解． 【详解】解：设秋千的绳索长为，则， 在中，， ∴， 解得：， 答：绳索的长度是． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 24. 有些代数问题，我们可以采用构造几何图形的方法研究，借助直观、形象的几何模型，加深认识和理解，从中感悟“数形结合”的思想方法，感悟代数和几何内在的一致性．如图1是由两个边长分别为m，n的小正方形和两个全等的小长方形拼成的大正方形，则根据大正方形的面积可以验证公式：． （1）图2是由四个全等的直角三角形（边长分别为a，b，c，且）和一个小正方形拼成的大正方形，利用图1验证公式的方法求出a、b、c满足的等量关系式； （2）如图2，在（1）的条件下，若，，求阴影部分的面积； （3）如图3，以（2）中的a，b，c为边长作三个正方形，并将以a，b为边长的两个小正方形放置于以c为边长的大正方形内，若阴影部分的面积为1，求四边形的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用： （1）大正方形的面积用两种方法表示出来，即可得出答案； （2）根据完全平方公式变形得出，再求出面积即可； （3）四边形的面积为，再求解即可． 【小问1详解】 解：大正方形的面积为：， 大正方形是由中间的小正方形和4个全等的三角形组成，面积为：， 所以； 【小问2详解】 解： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：； 【小问3详解】 解： ∵， ∴四边形的面积为． 25. 我们已经学习了二次根式和完全平方公式，请阅读下面材料： 当时： 又 当且仅当时，． 请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为______，此时______； （2）若，求y的最小值． 【答案】（1）4， （2）y的最小值为 【解析】 【分析】本题考查了二次根式和完全平方公式的应用，读懂题意，能熟练仿照示例是解题的关键． （1）根据示例，得到，即可求出x的值，得到最小值； （2）仿照示例，，得到最小值． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 当且仅当时，， 解得， ∴当时，的最小值为4，此时， 故答案为：4，； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，的最小值为， ∴y的最小值为． 26. 在长方形中，． （1）如图1，P为边上一点，将沿直线翻折至的位置，其中点是点的对称点，当点落在边上时，求的长． （2）如图2，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折得，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长： （3）如图3，点是射线上的一个动点，将沿翻折，其中点的对称点为，当三点在同一直线上时，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）或 （3）2或8 【解析】 【分析】（1）由翻折可得，再利用勾股定理解答即可； （2）分和两种情况，分别画出图形，利用翻折的性质和勾股定理求解即可； （3）分点M在线段上和点M在的延长线上两种情况，分别画出图形，利用翻折的性质和勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图1∶四边形是矩形， ， 由翻折变换的性质可知∶， ， ， 设，则 在中，，解得：． 【小问2详解】 解：如图2-1中，当，过点作于点． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴； 如图中，当时， ∵， ∴， 设，则， 在中， ∵， ∴，解得：， ∴． 综上所述，的长为或． 【小问3详解】 解：如图中，当点在线段上时， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ． 如图3-2中，当点在的延长线上时，同法可证， ， ， ． 综上所述，满足条件的的长为2或8． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、翻折的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $