精品解析：山东济南稼轩学校2026-2027学年上学期八年级10月学情自测数学试题

济南稼轩学校八年级月考数学试题 总分150分 时间120分钟 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 2的算术平方根是（　　） A. B. C. D. 2 2. 信息小组通过编程设计个机器人的队形，某一时刻各机器人的位置如图所示．在图中建立平面直角坐标系，若机器人，的坐标分别为，，则机器人的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（       ） A. B. C. D. 4. 的三条边长分别为a、b、c，三个内角分别为、、，则满足下列条件的是直角三角形的是（ ）． A. B. ，， C. ，， D. ，， 5. 已知，，是直线（为常数），则、、的大小关系是( ) A. B. C. D. 6. 《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”题目大意为：现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？设客人有人，盘子有个，根据题意，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 实数a、b、c满足且，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一次函数（k，b为常数，）与图象的交点坐标是，则关于x，y的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知点A的横坐标为，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接，现将沿折叠，点B落在第一象限的处，边所在直线交y轴于点C，交x轴于点D，若C的坐标为，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个点，按图中“→”所示方向依次排列，即点→→→→，…按照此规律排列下去，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11. 若整数满足，则的值是__________． 12. 若点在轴上，则的值为________． 13. 已知方程组，则_________． 14. 我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，已知正方形和正方形，A，B，E三点在一条直线上，现将其裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形，若正方形和正方形的面积之和为220，阴影部分的面积为130，则的长为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于、两点，直线与两坐标轴交于、两点，且两直线相交于点．点是线段上一点（不含端点），连接并延长至，使，连接．若直线与的边有两个交点，则的取值范围是________． 三、解答题（共9小题，共90分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 解方程组： （1） （2） 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形； （2）的面积为________； （3）直线过点且平行于轴，请直接写出点关于直线的对称点的坐标________； （4）点在轴上，若，则点的坐标为________ 19. 如图，公园有一块三角形空地，过点A修垂直于的小路，过点D修垂直于的小路（小路宽度忽略不计），经测量，米，米，米． （1）求小路的长； （2）求小路的长． 20. 阅读与思考 【阅读材料】在解二元一次方程组时，我们常常会采用一种“整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解． 例如：解方程组 解：方程②变形得：，即③． 把方程①代入③得：，解得： 把代入方程①得：，解得： 所以方程组的解为 （1）请用“整体代入消元”的方法解方程组； （2）已知x、y满足方程组，则________． 21. 学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个奖品和2个奖品共需120元；购买5个奖品和4个B奖品共需210元． （1）求，两种奖品的单价； （2）学校准备购买，两种奖品共30个，且奖品的数量不少于10个，请用学过的函数知识说明怎样购买最省钱？按此方案购买奖品共需多少钱？ 22. 2026年3月，宁波国际马拉松赛事圆满落幕．某补给车队从赛道起点出发，前往位于赛道半程的补给站运送物资．在补给车队出发后，志愿者小宁发现遗漏了一批物资，立即开车补送物资．小宁追上车队放下物资后按原速度返回，补给车队则保持原速前往补给站．补给车队和小宁离起点的路程（）和补给车队出发后的时间（）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： （1）补给车队的速度为____，的值为____； （2）求线段所在直线的函数表达式； （3）补给车队出发多少时间后，与小宁的距离为． 23. 在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【已有知识】由于，由此得到在数轴上表示对应的点的方法，如图1．结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段． 【运用知识】 （1）如图2，点O、点A在数轴上，且，，于点A，以点O为圆心，长为半径画弧，交数轴于点P，则点P表示的数是________．（直接写出答案） （2）请在图3的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）内． ①画出顶点在格点上的，其中，，； ②求出的面积． 【拓展探究】 （3）如图5，结合直角坐标系，我们发现：要求出坐标系中A、B两点的距离，显然是转化为求的斜边长．下面以求为例来说明如何解决： 从坐标系中发现：，，所以，，所以由勾股定理可得，． ①在图4中，设，，轴，轴，于点，则________________，________________，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式：； ②图5中，平面直角坐标系中有两点，，P为x轴上任一点，则的最小值为________________；（直接写出答案） ③应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值为：________________．（直接写出答案） 24. 在平面直角坐标系中，对于点和点，给出如下定义：若则称A的雅值点为B，例如：点的雅值点为． （1）点的雅值点坐标是________；若点A的雅值点为，则点A的坐标是________； （2）如图1，直线l是一次函数的图象．已知点C和点D在y轴上，点D的雅值点E在直线l上，若为以为腰的等腰三角形时，求满足条件的点C的坐标； （3）点M坐标为，点N是点M的雅值点，在x轴上是否存在点P，使得，若存在请直接写出P点坐标，若不存在请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南稼轩学校八年级月考数学试题 总分150分 时间120分钟 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 2的算术平方根是（　　） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】解：2的算术平方根是，故选B． 2. 信息小组通过编程设计个机器人的队形，某一时刻各机器人的位置如图所示．在图中建立平面直角坐标系，若机器人，的坐标分别为，，则机器人的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据点，的坐标确定原点并建立平面直角坐标系，再结合图形得出点的坐标即可． 【详解】解：∵机器人，的坐标分别为，， ∴原点在点的左边个单位，下边个单位处． 建立平面直角坐标系如图所示， 由图可知，点在轴正半轴个单位，轴负半轴个单位处， ∴机器人的坐标为． 3. 下列运算正确的是（       ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的加法法则、乘法法则，以及算术平方根、立方根的定义逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意． 4. 的三条边长分别为a、b、c，三个内角分别为、、，则满足下列条件的是直角三角形的是（ ）． A. B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理和三角形内角和定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵，， ∴ ∴不是直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴三边长为，，，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵， ∴三边长为，，，可以组成直角三角形，故此选项符合题意； D、∵， ∴三边长为，，，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 5. 已知，，是直线（为常数），则、、的大小关系是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的性质判断y随着x的增大而减小，即可得解． 【详解】解：直线（为常数）， ∵， ∴y随着x的增大而减小， ∵， ∴． 6. 《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”题目大意为：现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？设客人有人，盘子有个，根据题意，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：设客人有x人，盘子有y个， ∵2人共用1个盘子时少2个盘子，说明需要的盘子总数比现有盘子数多2，∴可得方程， ∵3人共用1个盘子时多3个盘子，说明需要的盘子总数比现有盘子数少3，∴可得方程 因此所列方程组为． 7. 实数a、b、c满足且，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断a，c的正负性，再根据一次函数的图像和性质解答即可． 【详解】∵且，则，， ∴过一、三、四象限． 故选C． 【点睛】本题主要考查一次函数的图像和性质，熟练掌握一次函数解析式y=kx+b（k≠0，k，b为常数）中，常数k，b的几何意义，是解题的关键． 8. 如图，一次函数（k，b为常数，）与图象的交点坐标是，则关于x，y的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握函数图象交点坐标即为对应方程组的解是解题的关键．先利用交点在直线上求出交点的横坐标，确定交点坐标，再根据函数图象交点坐标与方程组解的对应关系，得出方程组的解． 【详解】解：∵一次函数与的交点坐标是， ∴将代入得， ∴， ∴两函数的交点坐标为， ∵方程组的解就是两函数图象的交点坐标， ∴方程组的解为。 故选：A． 9. 如图，已知点A的横坐标为，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接，现将沿折叠，点B落在第一象限的处，边所在直线交y轴于点C，交x轴于点D，若C的坐标为，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，坐标与图形，折叠的性质，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，树形结合．过点C作于点E，根据折叠得出，根据平行线的性质得出，根据等校对等边得出，根据勾股定理得出，证明四边形为矩形，得出，求出． 【详解】解：过点C作于点E，如图所示： 根据题意可知：， ∵C的坐标为， ∴， ∵将沿折叠，点B落在第一象限的处， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得： ， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴点A的坐标为． 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个点，按图中“→”所示方向依次排列，即点→→→→，…按照此规律排列下去，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是点的坐标变化规律，根据点的下标规律，确定当为奇数时，，当为偶数时，，再寻找最接近的完全平方数，，确定，通过观察发现，当为偶数时，从开始，点沿水平方向向左移动，纵坐标不变，横坐标依次减，由此找到点的坐标． 【详解】根据，下标， ，下标， ，下标 ， ，下标， 所以对于的坐标规律有： 当为奇数时，，当为偶数时，， 则最接近的完全平方数有： ，， ，且为偶数， ， →→→→， →→→→→→→→， 当为偶数时，从开始，点沿水平方向向左移动，纵坐标不变，横坐标依次减， 到，下标， 点沿水平方向向左移动， 移到，的横坐标向左减少，纵坐标不变， ， ． 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11. 若整数满足，则的值是__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．通过估算的取值范围，确定整数的值即可得． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵整数满足， ∴， 故答案为：4． 12. 若点在轴上，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据轴上点的纵坐标为，列一元一次方程即可求解． 【详解】解：∵点在轴上， ∴点的纵坐标为， 即， 解得． 13. 已知方程组，则_________． 【答案】5 【解析】 【详解】解： 得，， 整理得， 得，， 整理得， ． 14. 我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，已知正方形和正方形，A，B，E三点在一条直线上，现将其裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形，若正方形和正方形的面积之和为220，阴影部分的面积为130，则的长为________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、乘法公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 设，，根据正方形的性质得到，证明≌，推出，根据解题即可． 【详解】解：如图： 设，， ∴， ∵四边形、四边形和都是正方形， ∴，，，，， ∴，， ∴， 在和中， ∴≌， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：20． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于、两点，直线与两坐标轴交于、两点，且两直线相交于点．点是线段上一点（不含端点），连接并延长至，使，连接．若直线与的边有两个交点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】直线 与坐标轴交于 、，直线 与坐标轴交于 、，两线交于 ．点 在线段 上得 ；由 得 的坐标．将，代入后化为过定点 的形式，进而判断它与 边界的交点个数． 【详解】解：如图，直线 与坐标轴交于 、； 直线 与坐标轴交于 、． 联立 ， 得交点 ． 点 在线段 上（不含端点），而 、 均在直线 上，故 ，且 ． 由 延长至 且 ，知 为 的中点， 故 ． ，代入 得 ， 故该直线恒过定点 ． 当直线绕 旋转时，与 边恰有两个交点的临界位置由直线经过 的顶点决定． 把点 代入：，整理得 ，解得 （此时直线恰过点 ，仅 个交点，舍去）； 把点 代入：，得 ，超出 的范围（此时 已不在 上），舍去； 当 时，直线穿过 内部，与边界恰有两个交点； 当 时直线在 下方，无交点； 又 时点 与端点 重合（题目要求不含端点，舍去）． 所以 的取值范围是 ． 三、解答题（共9小题，共90分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】先将各部分化简，再根据二次根式加减运算法则合并，涉及零指数幂，绝对值，乘方的先分别计算各部分结果，再合并. 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式    ； 【小问3详解】 解： 原式； 【小问4详解】 解： 原式． 17. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组． （1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先对方程组中的方程进行化简整理，再用加减消元法解二元一次方程组即可． 【小问1详解】 解： 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 【小问2详解】 解： 原方程组整理化简为：， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形； （2）的面积为________； （3）直线过点且平行于轴，请直接写出点关于直线的对称点的坐标________； （4）点在轴上，若，则点的坐标为________ 【答案】（1）如图所示，即为所求 （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）利用网格求三角形的面积即可； （3）根据轴对称的性质，进行求解即可； （4）由（2）得，设点，然后根据三角形的面积公式可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积为； 【小问3详解】 解：∵直线过点且平行于轴， ∴直线为， ∵， ∴点到直线的距离为， ∴点关于直线的对称点为； 【小问4详解】 解：由（2）得， ∴， 设点，则有， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为或． 19. 如图，公园有一块三角形空地，过点A修垂直于的小路，过点D修垂直于的小路（小路宽度忽略不计），经测量，米，米，米． （1）求小路的长； （2）求小路的长． 【答案】（1）小路的长为12米 （2）小路的长为7.2米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用以及三角形面积，根据勾股定理求出AD、AC的长是解题的关键． （1）由勾股定理求出AD的长即可； （2）由勾股定理求出AC的长，再由三角形面积求出DE的长即可． 【小问1详解】 ， ， （米）， 答：小路的长为12米； 【小问2详解】 在中，由勾股定理得：（米）， ， ， （米）， 答：小路的长为7.2米． 20. 阅读与思考 【阅读材料】在解二元一次方程组时，我们常常会采用一种“整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解． 例如：解方程组 解：方程②变形得：，即③． 把方程①代入③得：，解得： 把代入方程①得：，解得： 所以方程组的解为 （1）请用“整体代入消元”的方法解方程组； （2）已知x、y满足方程组，则________． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）利用“整体代入消元”的方法解方程组即可； （2）利用“整体代入消元”的方法解方程组即可． 【小问1详解】 解：方程②变形得：， 即③． 把方程①代入③得：， 解得：， 把代入方程①得：， 解得：， 所以方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 由①得：， 由②得：， 把③代入④得：， 解得：． 21. 学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个奖品和2个奖品共需120元；购买5个奖品和4个B奖品共需210元． （1）求，两种奖品的单价； （2）学校准备购买，两种奖品共30个，且奖品的数量不少于10个，请用学过的函数知识说明怎样购买最省钱？按此方案购买奖品共需多少钱？ 【答案】（1）A，B两种奖品的单价分别为30元、15元 （2）购买10个A奖品，20个B奖品时最省钱，此方案购买奖品共需600元 【解析】 【分析】本题考查了方程组的应用，一次函数的应用． （1）设A，B两种奖品的单价分别为元、元，列出方程组解答即可． （2）设购买A，B两种奖品共需元，购买A奖品的数量为个，则购买B奖品的数量为元，则即,根据一次函数的性质解得即可． 【小问1详解】 设A，B两种奖品的单价分别为元、元，由题意得： 解得：． 答：A，B两种奖品的单价分别为30元、15元． 【小问2详解】 设购买A，B两种奖品共需元，购买A奖品的数量为个，则购买B奖品的数量为元，则 即． 因为，所以随着的增大而增大，又取值不小于10个， 故当时，最小，最小值为． 此时． 所以，购买10个A奖品，20个B奖品时最省钱，此方案购买奖品共需600元． 22. 2026年3月，宁波国际马拉松赛事圆满落幕．某补给车队从赛道起点出发，前往位于赛道半程的补给站运送物资．在补给车队出发后，志愿者小宁发现遗漏了一批物资，立即开车补送物资．小宁追上车队放下物资后按原速度返回，补给车队则保持原速前往补给站．补给车队和小宁离起点的路程（）和补给车队出发后的时间（）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： （1）补给车队的速度为____，的值为____； （2）求线段所在直线的函数表达式； （3）补给车队出发多少时间后，与小宁的距离为． 【答案】（1）；； （2）； （3）补给车队出发或后，与小宁的距离为． 【解析】 【分析】此题为一次函数的应用，解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义． （1）根据小宁追上车队时，车队出发了分钟，离起点的路程，即小宁用时10分钟赶上车，由此即可得出返回时间为10分钟，得出分钟； （2）由（1）求得补给车队的速度为，再结合，利用待定系数法即可得线段所在直线的函数表达式； （3）分两种情况：小宁出发时，补给车队与小宁的距离刚好为．再求出小宁返回时，线段的解析式为，根据补给车队与小宁的距离为，求出即可． 【小问1详解】 解：由图可知：小宁追上车队时，车队出发了分钟，离起点的路程， ∴补给车队的速度为， ∵分钟，小宁第20分钟追上车队，用时分钟，按原速度返回，第分钟返回到起点，故分钟， 【小问2详解】 解：设 由题意得， 由图象过点，代入得， 解得， 所以函数表达式为 【小问3详解】 解：①时，车队离小宁的距离为； ②设线段的解析式为，由图象过点，， ∴，解得 即 由（2）得，所以 解得， 答：补给车队出发或．后，与小宁的距离为． 23. 在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【已有知识】由于，由此得到在数轴上表示对应的点的方法，如图1．结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段． 【运用知识】 （1）如图2，点O、点A在数轴上，且，，于点A，以点O为圆心，长为半径画弧，交数轴于点P，则点P表示的数是________．（直接写出答案） （2）请在图3的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）内． ①画出顶点在格点上的，其中，，； ②求出的面积． 【拓展探究】 （3）如图5，结合直角坐标系，我们发现：要求出坐标系中A、B两点的距离，显然是转化为求的斜边长．下面以求为例来说明如何解决： 从坐标系中发现：，，所以，，所以由勾股定理可得，． ①在图4中，设，，轴，轴，于点，则________________，________________，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式：； ②图5中，平面直角坐标系中有两点，，P为x轴上任一点，则的最小值为________________；（直接写出答案） ③应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值为：________________．（直接写出答案） 【答案】（1） （2）解：①如图，即为所求： ②2 （3）①； ② ③ 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理以及实数与数轴的关系即可求解； （2）利用勾股定理结合网格的特点作出，再利用割补法求解即可； （3）①根据图形直接写出即可； ②利用轴对称求最短路线方法得出P点位置，进而求出的最小值； ③根据原式表示的几何意义是点到和的距离之和，当点在以和为端点的线段上时其距离之和最小，进而求出即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴数轴中P点表示的数是． 【小问2详解】 解：①，，； ②． 【小问3详解】 解：①∵，，轴，轴，于点， ∴，， 由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式：； ②如图，作点N关于x轴对称的点，连接，直线与x轴的交点即为所求的点P，的最小值就是线段的长度， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为； ③∵， ∴原式表示点到和的距离之和， 由两点之间线段最短，点在以和为端点的线段上时，原式值最小， ∴原式． 24. 在平面直角坐标系中，对于点和点，给出如下定义：若则称A的雅值点为B，例如：点的雅值点为． （1）点的雅值点坐标是________；若点A的雅值点为，则点A的坐标是________； （2）如图1，直线l是一次函数的图象．已知点C和点D在y轴上，点D的雅值点E在直线l上，若为以为腰的等腰三角形时，求满足条件的点C的坐标； （3）点M坐标为，点N是点M的雅值点，在x轴上是否存在点P，使得，若存在请直接写出P点坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1）； （2）点C的坐标为：或或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据雅值点定义进行计算填空即可； （2）设点D的坐标为，则点D的雅值点，利用点E在一次函数图象上求出m值，得到点D坐标，设点C的坐标为，分两种情况：当时，，当时，，分别列出方程，利用平方根定义，解方程即可； （3）先求出点N的坐标，过点N作，交于点F，过点N作轴，过点F作于点G，过点M作于点H，利用一线三垂直模型证得，从而求得点F的坐标，通过待定系数法求出直线的解析式，从而得出点P的坐标． 【小问1详解】 解：根据雅值点的定义，点的雅值点坐标是，即， 设，由点A的雅值点为，可知， 解得：， ∴点A的坐标为． 【小问2详解】 解：设点D的坐标为，则点D的雅值点， ∵点在直线图象上， ∴， 解得：， ∴，， 设点C的坐标为， ∴，，， 当时，， 即， 解得：， ∴此时点C的坐标为或； 当时，， 即， 解得：或（舍）， ∴此时点C的坐标为， 综上所述，点C的坐标为：或或． 【小问3详解】 解：∵点M坐标为，点N是点M的雅值点， ∴，即， ∵， 如图，过点N作，交于点F，过点N作轴，过点F作于点G，过点M作于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $