精品解析：上海市嘉定第一中学2026-2027学年高三第一学期阶段练习数学试卷

2026学年第一学期阶段练习 高三 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1. 设集合，，若，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】由 ，利用 推出 ，从而确定 ，再检验 中的另一个元素是否也属于 ． 【详解】因为 ，且 ，所以 ． 又 ，其中 ，，所以只能有 ，解得 ． 当 时，，，此时 ，符合题意． 2. 不等式的解集为_______________________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据绝对值的几何意义即可求解． 【详解】 或 或， 故答案为：或． 3. 若向量与共线，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示直接列式求解即可. 【详解】因为向量与共线， 所以，解得 所以，向量与共线，则. 4. 已知等差数列的前项和为，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的项的性质得到，再代入前项和公式计算即可． 【详解】由题得， 所以． 5. 在的展开式中，含项的系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理，的通项为，把分成和两部分，分别求其项的系数再求和即可. 【详解】根据二项式定理，的通项为. 原式可分成和两部分： 对于，求项（即）： ，因此项的系数是6. 同理，对于，求项（即）： ，因此项的系数是24. 将两部分的项系数相加：. 故答案为：. 6. 圆锥的侧面展开图的弧长为，若该圆锥的高为12，则该圆锥母线的长为________． 【答案】 【解析】 【详解】设圆锥底面圆半径为，母线长为， 圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长， ，解得， . 7. 已知，则的最大值为________ 【答案】 【解析】 【详解】由得，解得， 当且仅当即时取等，所以的最大值为. 8. 已知点在抛物线上，若点P到点的距离与点到抛物线的准线的距离相等，则______. 【答案】4 【解析】 【详解】由抛物线，则焦点，准线方程为， 因为点P到点的距离与点P到抛物线C的准线的距离相等， 结合抛物线的定义可得， 则点在线段的垂直平分线上，而，，则点的横坐标为3， 所以. 9. 已知，对于所有满足的复数，都有的最大值与的最小值相同，则________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据复数模的几何意义，将问题转化为圆心为原点、半径为3的圆上的点到两个定点的距离最值相等问题，列方程求解参数． 【详解】由可知，复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆， 的几何意义是圆上的点到定点的距离，点到圆心的距离， 因此圆上点到的最大值为， 的几何意义是圆上的点到定点的距离， 点到圆心的距离，因此圆上点到的最小值为， 由题意得，解得或， 又，所以． 10. 在中，已知，，在线段上运动时，当取得最小值时，________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据数量积公式求得是等边三角形，再利用共线以及平面向量基本定理进行向量转化运算，即可求得动点的位置，最后利用数量积公式运算求解. 【详解】，则，可得，又因为，所以是等边三角形， 设，， 代入运算可得：， 当时，取得最小值， ， 代入运算可得：. 11. 已知函数的图象在区间内恰好有对关于轴对称的点，则正整数的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】令，，根据对称性，问题可以转化为与的图象在内有个不同的交点，画出函数图象，数形结合即可判断. 【详解】令，， 因为方程在内恰有个实根， 所以问题转化为： 与的图象在内有个不同的交点， 在同一平面直角坐标系中画出与的图象， 由图象可知，当时，两函数图象有1个交点， 当，在每一个完整周期区间上， 先增后减，与单调递增的对数曲线产生个交点， 除去的个交点，还剩余个交点， 每个完整周期提供个交点，则需要周期个数：， 这个周期依次为，，，， 因此，当时，内恰有个交点， 即方程恰有个实根，综上，. 12. 反坦克拒马是二战经典的反坦克障碍物，下图为简易模型，三根长度均为4米的线段，，交于共同的中点，，，为下端点，，，为上端点，一根线段的上端点与另外两根线段的下端点构成的三角形（如），其面积称作拒马的“狙击面积”，结构上，由于力学考量，，均为正三角形，且任意两根线段所在直线所成的，则该拒马的狙击面积最大值为______平方米． 【答案】 【解析】 【分析】由于三根线段两两所在直线夹角，且上下端点构成正三角形，因此三根线段在空间中具有高度对称性，可以用向量表示三根线段的方向，再利用正三角形条件求出向量内积，最后把的面积表示成的函数，求最大值. 【详解】设三根线段交于点，设， 则，， 由为正三角形得， 结合任意两根线段所在直线所成角为， 取， ，同理，， 即是等腰三角形，， 底边上高， ， 平方得， 当时，即，满足，此时. 【点睛】关键点睛：把三根线段看成共起点的三个向量，利用“中点”和“正三角形”条件得到三个向量两两内积相等。关键转化：，把几何最值问题转化为二次函数最值问题。 二、选择题（本大题共有4题，满分18分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，13-14选对得4分，15-16选对得5分，否则一律得零分． 13. 已知数列1，，，，4，则是该数列成等比数列的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 非充分非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别判断充分性、必要性是否成立，结合等比数列的定义与性质推导结论. 【详解】首先判断必要性：若数列1，，，，4为等比数列，设公比为，根据等比数列通项公式，第3项，由于，故，必要性成立； 再判断充分性： 若，取特殊值，此时数列是，相邻项的比值不恒定，不满足等比数列的定义，充分性不成立； 综上，是该数列成等比数列的必要不充分条件. 14. 已知事件与事件是互斥事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】举反例排除ABC，再结合互斥事件定义，事件运算，概率性质证明D. 【详解】若随机试验为抛掷一枚质地均匀的骰子，事件，， 则事件与事件是互斥事件， 此时，，， 所以，A错误； ，，，B错误； ，C错误； 因为事件与事件是互斥事件， 所以，所以为必然事件， 所以，D正确. 故选：D. 15. 如图，三边的中点分别为，将六个数字全部标注在六个点处，每个点处标注一个数字，使得每个中点处的数字都比其相邻两顶点处的数字小，则不同的标注方法有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 60种 D. 72种 【答案】B 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理及排列数公式计算求解. 【详解】由题意可得顶点标注只能为或，其余情况不满足题意. 若顶点标注，则标注在中点处，此时有， 若顶点标注，则只能标注在之间的边的中点，此时有种， 所以不同的标注方法有种. 16. 如图，直角三角形所在平面垂直于平面，一条直角边在平面内，另一条直角边长为且，若平面上存在点，使得的面积为，则下列命题正确的是（ ） ①点在平面上的轨迹为椭圆； ②线段长度的最小值为； ③线段长度的最大值为． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】推导出平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，求出点到直线的距离为，设点，利用点到直线的距离公式求出点的轨迹方程，可判断①；设点，利用空间内两点间的距离公式可求出的最大值和最小值，可判断②③. 【详解】在中，，，，，则， 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，因为点在平面内，设点， 设点到直线的距离为，， ，所以， 因为，， 则， 整理可得，故点的轨迹为椭圆，①正确； 设点，则 ， 因为，所以，则， 故，即线段长度的最小值为，最大值为，故②错误，③正确. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17. 某班部分同学参加英语测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图． （1）求分数在的频率及班级参加测试的人数； （2）求分数在之间的频数，计算频率分布直方图中间矩形的高； （3）若要从分数在之间的试卷中随机抽取两份进行数据分析，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）先由频率分布直方图求出分数在的频率，结合茎叶图中得分在的人数即可求得班级参加测试的人数； （2）根据茎叶图的数据，利用（1）中的总人数减去外的人数，即可得到内的人数，从而可计算频率分布直方图中间矩形的高； （3）用列举法列举出所有的基本事件，找出符合题意的基本事件个数，利用古典概型概率计算公式即可求出结果． 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，分数在的频率为； 由茎叶图知，分数在之间的频数为2，所以班级参加测试的人数为. 【小问2详解】 分数在之间的频数为； 频率分布直方图中间的矩形的高为. 【小问3详解】 将之间的5个分数编号为，之间的2个分数编号为， 在之间的试卷中任取两份的基本事件为： 共21个， 其中，至少有一份分数在之间的基本事件有 共11个， 故至少有一份分数在之间的概率是. 18. 如图，在三棱柱中，为的中点，，二面角的平面角． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）因为二面角的平面角，所以，， 因为为的中点，，所以， 在中，，，， 由余弦定理可得， 所以，故， 因为，，，、平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，、平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由二面角的定义可得出，，可推导出平面，进而可得出，由余弦定理结合勾股定理可推导出，利用线面垂直的判定定理可证得平面； （2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 又因为，所以点到平面的距离为. 19. 已知函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）函数在上有两个不相等的零点，，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求解斜率，代入点斜式直线方程求解； （2）利用两角和差的正弦公式化简导函数，再判断单调性，结合零点存在性定理求出. 【小问1详解】 当时，，则， 得， 故函数在处的切线方程为； 【小问2详解】 ， 因为，所以，， 则当即时，； 当即时，； 则在上单调递增，在上单调递减， 所以当函数在上有两个不相等的零点时， ，，，得， 故的取值范围为 20. 已知椭圆：的中心是坐标原点，焦点，在轴上，其中右焦点为． （1）求椭圆的离心率； （2）点在椭圆上，且，求的面积； （3）直线，均过右焦点且斜率分别为，，与交于，两点，与交于，两点，问：是否存在常数，使得对于任意的直线，都存在直线满足？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，，理由如下： 设，，， 联立，得， 则， 则 ， 同理可得， 因为，所以，得， 因为，所以，得， 假设存在常数，使得对于任意的直线，都存在直线满足， 则，则，得， 故的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）根据的关系可求； （2）求出点的轨迹方程并与椭圆方程联立得出点的纵坐标即可； （3）联立直线与椭圆的方程，根据弦长公式求出，再分别求出其范围，将问题转化为集合的包含关系求解. 【小问1详解】 由题意得，，得，故离心率为； 【小问2详解】 由（1）可知，椭圆，， 因为，所以点的轨迹是以为直径的圆，其方程为， 与联立得， 故的面积为； 【小问3详解】 略 21. 设函数的定义域为．如果对任意，都有，且，则称函数为定义域上的“互衡函数”． （1）判断下列两个函数是否为其定义域上的“互衡函数”（不需要说明理由） ①；②； （2）已知是上的“互衡函数”，且当时，，求时，的表达式，并解方程． （3）已知是上的“互衡函数”，且，函数是上的严格增函数．定义，证明也是上的严格增函数，并解不等式． 【答案】（1）①不是；②是 （2）当时，；方程的解为； （3）， 设，由条件，得， 因为在上严格递增，所以在上严格递增， 令，任取， ， 所以在上严格递增， 由复合函数单调性，在上严格递增， ， ， 得， 解不等式， 对数满足定义域，得 由， ， ， 第一个不等式： ， 第二个不等式： ， ，解得， ，得， 综上，是上严格增函数；不等式解集为. 【解析】 【分析】(1)依据 “互衡函数” 定义，①举反例验证定义域不满足条件，②代入解析式化简验证等式，得出判断结果； (2)利用互衡函数关系式转换自变量，求出时的函数表达式；分段解方程，结合取值范围判断解的情况； (3)化简，利用单调性定义证明其严格递增；由互衡函数性质推出，去掉绝对值，结合单调性脱去外层函数，联立对数约束求解不等式. 【小问1详解】 ①对于，定义域， 取，则， 不满足任意，都有，因此不是定义域上的 “互衡函数” ②对于，定义域为，对任意，都有， 可得，满足定义， 因此是定义域上的互衡函数， 综上，①不是；②是. 【小问2详解】 当时， ，变形得， 令，则， 代入得， 即时，， 当时，， 因为，所以，此区间无解； ②当时，，， 因为，故，解得， 综上，当时，方程的解为. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期阶段练习 高三 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1. 设集合，，若，则______． 2. 不等式的解集为_______________________． 3. 若向量与共线，则________． 4. 已知等差数列的前项和为，若，则________． 5. 在的展开式中，含项的系数是______． 6. 圆锥的侧面展开图的弧长为，若该圆锥的高为12，则该圆锥母线的长为________． 7. 已知，则的最大值为________ 8. 已知点在抛物线上，若点P到点的距离与点到抛物线的准线的距离相等，则______. 9. 已知，对于所有满足的复数，都有的最大值与的最小值相同，则________． 10. 在中，已知，，在线段上运动时，当取得最小值时，________． 11. 已知函数的图象在区间内恰好有对关于轴对称的点，则正整数的值是________． 12. 反坦克拒马是二战经典的反坦克障碍物，下图为简易模型，三根长度均为4米的线段，，交于共同的中点，，，为下端点，，，为上端点，一根线段的上端点与另外两根线段的下端点构成的三角形（如），其面积称作拒马的“狙击面积”，结构上，由于力学考量，，均为正三角形，且任意两根线段所在直线所成的，则该拒马的狙击面积最大值为______平方米． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，13-14选对得4分，15-16选对得5分，否则一律得零分． 13. 已知数列1，，，，4，则是该数列成等比数列的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 非充分非必要条件 14. 已知事件与事件是互斥事件，则（ ） A. B. C. D. 15. 如图，三边的中点分别为，将六个数字全部标注在六个点处，每个点处标注一个数字，使得每个中点处的数字都比其相邻两顶点处的数字小，则不同的标注方法有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 60种 D. 72种 16. 如图，直角三角形所在平面垂直于平面，一条直角边在平面内，另一条直角边长为且，若平面上存在点，使得的面积为，则下列命题正确的是（ ） ①点在平面上的轨迹为椭圆； ②线段长度的最小值为； ③线段长度的最大值为． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17. 某班部分同学参加英语测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图． （1）求分数在的频率及班级参加测试的人数； （2）求分数在之间的频数，计算频率分布直方图中间矩形的高； （3）若要从分数在之间的试卷中随机抽取两份进行数据分析，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率． 18. 如图，在三棱柱中，为的中点，，二面角的平面角． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 19. 已知函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）函数在上有两个不相等的零点，，求的取值范围． 20. 已知椭圆：的中心是坐标原点，焦点，在轴上，其中右焦点为． （1）求椭圆的离心率； （2）点在椭圆上，且，求的面积； （3）直线，均过右焦点且斜率分别为，，与交于，两点，与交于，两点，问：是否存在常数，使得对于任意的直线，都存在直线满足？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 21. 设函数的定义域为．如果对任意，都有，且，则称函数为定义域上的“互衡函数”． （1）判断下列两个函数是否为其定义域上的“互衡函数”（不需要说明理由） ①；②； （2）已知是上的“互衡函数”，且当时，，求时，的表达式，并解方程． （3）已知是上的“互衡函数”，且，函数是上的严格增函数．定义，证明也是上的严格增函数，并解不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $