精品解析：上海市奉贤中学2026-2027学年高三第一学期10月月考数学试题

奉贤中学 2026 学年第一学期高三数学10月月考 一、填空题（第 1~6 题每小题 4 分，第 7~12 题每小题 5 分） 1. 已知集合，若，则实数 _____. 2. 已知点是角终边上一点，则___________． 3. 曲线在点 处的切线倾斜角的大小为_____. 4. 小明连续记录了7天自己每天花在课外阅读上的时间（单位：min），分别为70，42，54，90，55，47，58，则这组数据的第60百分位数是__________． 5. 如图，在棱长为1的正方体中，为底面内（包括边界）的动点，满足与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积为______. 6. 若点与点关于直线对称，则___________. 7. 若 且 ，则 _____. 8. 设函数，当时，表达式的二项展开式中的系数是__________． 9. 已知，，若，则满足条件的 的取值范围是____________． 10. 平面直角坐标系中，点 ，若对于直线 上的任一点 ，都有 ，则实数 的取值范围是_____. 11. 设复数（是虚数单位），若复数满足，则的最小值是_____ 12. 已知函数，对于，恒成立，求的最大值是________. 二、选择题（第 13、14 题每小题 4 分，第 15、16 题每小题 5 分） 13. “、、成等比数列”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 15. 设无穷等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 为递减数列 B. 为递增数列 C. 数列有最大项 D. 数列有最小项 16. 设函数 ，对于实数 ，现给出两个命题: ①若 ，则 ； ②若 ，则 . 则下列判断正确的是 （ ） A. ①与②均为真命题 B. ①与②均为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①为真命题，②为假命题 三、简答题（14 分 +14 分 +14 分 +18 分+18 分） 17. 已知集合且． （1）用列举法写出集合； （2）是否存在自然数，使得，若存在，求出的值，并写出此时集合的元素个数；若不存在，请说明理由． 18. 已知三棱柱的棱长均为2，，平面平面 （1）求该棱柱的体积； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 19. 如图，矩形是某个历史文物展览厅的俯视图，点在上，在梯形区域内部展示文物，是玻璃幕墙，游客只能在△区域内参观．在上点处安装一可旋转的监控摄像头，为监控角，其中、在线段（含端点）上，且点在点的右下方．经测量得知：米，米，米，．记（弧度），监控摄像头的可视区域△的面积为平方米． （1）分别求线段、关于的函数关系式，并写出的取值范围； （2）求的最小值． 20. 已知椭圆的右焦点为，且经过点和点 ，和是椭圆上两个不同的点. （1）求椭圆的方程； （2）若四边形是平行四边形，直线、分别交轴于点和点，求四边形面积的最小值. （3）若直线经过点、，且不经过椭圆的右焦点，直线，，的斜率依次成等差数列，求直线在轴上截距的取值范围. 21. 设，函数的定义域为．若对满足的任意，均有，则称函数具有“性质”． （1）在下述条件下，分别判断函数是否具有性质，并说明理由； ①； ②； （2）已知，且函数具有性质，求实数的取值范围； （3）证明：“函数为增函数”是“对任意，函数均具有性质”的充要条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 奉贤中学 2026 学年第一学期高三数学10月月考 一、填空题（第 1~6 题每小题 4 分，第 7~12 题每小题 5 分） 1. 已知集合，若，则实数 _____. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合交集的概念，列出方程，解方程即可. 【详解】由题意，集合，， 根据集合交集的概念，可知元素既属于集合又属于集合， 所以，解得， 又，所以. 2. 已知点是角终边上一点，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求解正弦值，再利用二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】因为点是角终边上一点，， 所以， 则. 故答案为：. 3. 曲线在点 处的切线倾斜角的大小为_____. 【答案】## 【解析】 【详解】因，则， 设切线的倾斜角为，则，由可得. 4. 小明连续记录了7天自己每天花在课外阅读上的时间（单位：min），分别为70，42，54，90，55，47，58，则这组数据的第60百分位数是__________． 【答案】 【解析】 【详解】对7个样本数据从小到大排序，可得：42,47,54,55,58,70,90；；因此排序后第5个数据就是第60百分位数，即58. 5. 如图，在棱长为1的正方体中，为底面内（包括边界）的动点，满足与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设描述易知的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆，即可求扫过的面积. 【详解】由题设，，要使与直线所成角的大小为，只需与直线所成角的大小为， ∴绕以夹角旋转为锥体的一部分，如上图示：的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆， ∴在上扫过的面积为. 故答案为：. 6. 若点与点关于直线对称，则___________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据对称关系得垂直关系，利用斜率公式即可得解. 【详解】点与点关于直线对称， 所以 故答案为： 7. 若 且 ，则 _____. 【答案】 4 【解析】 【分析】利用组合数的计算公式与性质将原方程转化为关于n的一元二次方程，求解后结合n的限制条件得到结果. 【详解】根据组合数的公式及性质： 对整数，有，， 将上述结果代入原方程得： ，化简得 ， 即 ，即，解得，满足且的条件， 故. 8. 设函数，当时，表达式的二项展开式中的系数是__________． 【答案】 【解析】 【详解】当时，，所以， 展开式中，的系数为. 9. 已知，，若，则满足条件的 的取值范围是____________． 【答案】； 【解析】 【分析】由绝对值等式可知，代入函数后解不等式再结合对数的运算和取值范围求出结果即可. 【详解】因为， 所以，即， 解得或， 所以 的取值范围是， 故答案为：. 10. 平面直角坐标系中，点 ，若对于直线 上的任一点 ，都有 ，则实数 的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件转化为直线不经过圆的内部，利用圆心到直线的距离建立不等式求解. 【详解】设， 由， 可得， 即， 由题意知，直线 上的任一点不在圆内部， 所以圆心到直线的距离， 解得或. 11. 设复数（是虚数单位），若复数满足，则的最小值是_____ 【答案】2 【解析】 【分析】依题意可知，复数对应的点的轨迹是以为焦点，实半轴，半焦距的双曲线的右支（如图），然后根据双曲线的性质可得结果. 【详解】因为，，所以复数在复平面内对应的点，之间的距离为. 因为，故对应的点的轨迹是以为焦点，实半轴，半焦距的双曲线的右支（如图）. 而，其对应点是的中点. 所以的最小值即为双曲线右支到双曲线中心的最小距离，故的最小值是. 故答案为：. 12. 已知函数，对于，恒成立，求的最大值是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题目得到，从而，故，换元后得到结合基本不等式求出最值. 【详解】恒成立， ， ，， ， 令，则， 所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立. 故答案为： 二、选择题（第 13、14 题每小题 4 分，第 15、16 题每小题 5 分） 13. “、、成等比数列”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义结合等比中项的定义判断即可. 【详解】充分性：若、、成等比数列，则且，则，即充分性不成立； 必要性：若，取，则、、不成等比数列，即必要性不成立. 因此，“、、成等比数列”是“”的既非充分也非必要条件. 故选：D. 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，同时也考查了等比中项定义的应用，考查计算能力与推理能力，属于基础题. 14. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先应用正弦定理及两角和的正弦公式化简求出角A,再根据正弦定理求出外接圆半径即可. 【详解】. , 设该三角形外接圆的半径为 由正弦定理得 故选：A. 15. 设无穷等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 为递减数列 B. 为递增数列 C. 数列有最大项 D. 数列有最小项 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，分析可知，取，可判断AB选项；分、两种情况讨论，利用数列的单调性可判断CD选项. 【详解】设等比数列的公比为，由已知，则， 由可得且， 对于AB选项，若，， 当为奇数时，，此时，则， 当为偶数时，，此时，则， 此时数列不单调，AB都错； 对于CD选项，， 当时，此时数列单调递增，则有最小项，无最大项； 当时，若为正奇数时，，则， 此时单调递减，则； 当为正偶数时，，则，此时单调递增，则. 故当时，的最大值为，最小值为. 综上所述，有最小项. 故选：D. 16. 设函数 ，对于实数 ，现给出两个命题: ①若 ，则 ； ②若 ，则 . 则下列判断正确的是 （ ） A. ①与②均为真命题 B. ①与②均为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①为真命题，②为假命题 【答案】A 【解析】 【分析】通过拆分函数分析奇偶性与单调性，分别推导两个命题的结论，可判断二者均为真命题. 【详解】令，，则. 因为，所以是奇函数， 函数在上为增函数，因此也在上为增函数； 又因为，所以是偶函数， 且偶函数在上单调递增，在上单调递减，. 对命题①：当时，，故，即， 又，所以， 所以，故命题①为真命题； 对于命题②：当 ，即时，，， （i）当时，则，所以， 又，所以， 所以，则， 即成立； （ii）当时，， 因为在上为增函数, 在上单调递增, 所以在上单调递增，又， 所以在上， 又当时，，，所以在上恒成立， 故当时，成立； 综上所述，时，均有成立，故命题②为真命题. 三、简答题（14 分 +14 分 +14 分 +18 分+18 分） 17. 已知集合且． （1）用列举法写出集合； （2）是否存在自然数，使得，若存在，求出的值，并写出此时集合的元素个数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，，中共有元素个. 【解析】 【分析】（1）当时，且，进而可得答案； （2）由，且，可得，求出中元素的最值，结合各元素之间公差为，可得元素个数． 【详解】（1）当时，且； （2），且，故， 此时中最小的元素为：，最大的元素为：，， 故此时中共有元素个． 【点睛】本题考查的知识点是等差数列的应用，集合的表示法，集合元素的个数，难度中档． 18. 已知三棱柱的棱长均为2，，平面平面 （1）求该棱柱的体积； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设的中点为，利用面面垂直的性质可得平面，得到，利用勾股定理得到，进而得到，平面，接着用体积公式求解即可； （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求面面夹角即可． 【小问1详解】 解：设的中点为，连接， 为等边三角形，边长为， ，，， 平面平面，平面平面， 平面，又平面， ，， ，则， 又平面平面，平面平面， 平面， ； 【小问2详解】 解：由（1）知平面，， 如图，以为原点建立空间直角坐标系， ， 设平面的一个法向量， ，不妨取，则， 易知平面的一个法向量， ， 则平面与平面夹角的余弦值为． 19. 如图，矩形是某个历史文物展览厅的俯视图，点在上，在梯形区域内部展示文物，是玻璃幕墙，游客只能在△区域内参观．在上点处安装一可旋转的监控摄像头，为监控角，其中、在线段（含端点）上，且点在点的右下方．经测量得知：米，米，米，．记（弧度），监控摄像头的可视区域△的面积为平方米． （1）分别求线段、关于的函数关系式，并写出的取值范围； （2）求的最小值． 【答案】（1），，；（2）平方米． 【解析】 【分析】 （1）由正弦定理求得，利用极限值求得的范围． （2）求出的面积，利用二倍角公式，两角和的正弦公式化简函数式，然后利用正弦函数性质得最小值． 【详解】解：（1）在PME中，，PE=AE-AP=4米，，， 由正弦定理得， 所以， 同理在PNE中，由正弦定理得， 所以， 当M与E重合时，；当N与D重合时，，即， ，所以； （2）PMN的面积S ， 因为，所以当即时， 取得最小值为 所以可视区域PMN面积的最小值为平方米． 【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的应用．掌握三角函数的性质是解题关键是．解题方法是利用正弦定理或余弦定理求出三角形的边长，面积，利用三角函数的恒等变换化函数为基本三角函数形式，然后由正弦函数性质求最值． 20. 已知椭圆的右焦点为，且经过点和点 ，和是椭圆上两个不同的点. （1）求椭圆的方程； （2）若四边形是平行四边形，直线、分别交轴于点和点，求四边形面积的最小值. （3）若直线经过点、，且不经过椭圆的右焦点，直线，，的斜率依次成等差数列，求直线在轴上截距的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用、、间的关系计算即可得； （2）由题意可得、关于原点对称，则可设，有，再表示出直线、的方程，可得、坐标，即可表示出四边形的面积，并计算其最小值； （3）设直线的方程为，联立曲线方程，可得与交点横坐标有关的韦达定理，再利用斜率公式计算可得、间的关系，即可得直线在轴上截距的取值范围. 【小问1详解】 由题意，，，所以， 故椭圆的方程为； 【小问2详解】 因为四边形是平行四边形， 所以与的中点重合，所以、关于原点对称， 设，则，其中， 则直线的方程为， 令，得，即， 直线的方程为， 令，得，即. 则四边形面积为， 因， 因为点M在椭圆上，所以，且， 所以，所以， 故当时，， 则四边形面积的最小值为； 【小问3详解】 由题意可得直线斜率存在，可设其方程为， 联立，消去可得， 有，化简得， 设，，则有，， ，，， 由直线，，的斜率依次成等差数列， 有，即 ， 即， 整理得， 因为直线不经过右焦点，所以， 故，即，即有， 由题意，，解得或， 即直线在轴上截距的取值范围为. 21. 设，函数的定义域为．若对满足的任意，均有，则称函数具有“性质”． （1）在下述条件下，分别判断函数是否具有性质，并说明理由； ①； ②； （2）已知，且函数具有性质，求实数的取值范围； （3）证明：“函数为增函数”是“对任意，函数均具有性质”的充要条件． 【答案】（1） ①是，对任意，，符合定义； ②不是，令 ，， 故不符合题意. （2） （3） 充分性： 若函数为增函数，则对任意均有， 即，因此，对任意，若， 则，函数具有性质，充分性得证； 必要性： 若对任意，函数均具有性质， 假设函数不是增函数，则存在，满足，即， 而，故存在，使，且，即， 即对于，存在，但是， 与“对任意，函数均具有性质”矛盾，因此假设不成立， 即函数为增函数，必要性得证． 【解析】 【分析】（1）根据函数具有性质的条件判断①；举反例可判断②； （2）原问题等价于当时，恒成立，即恒成立，得； （3）利用函数的单调性以及不等式的性质判断充分性，利用反证法判断必要性. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 显然，设， 则， 当时，取最小值， 原问题等价于当时，恒成立，即恒成立，得； 【小问3详解】 略 【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $