上海市复旦大学附属中学2027届高三上学期第三次模拟检测数学试题（A卷）

数学练习3参考答案及评分标准 参考答案： 填空题（1~12题） 1． 2． 3． 4 4． 0 5． 3 6． -108 7． 8. 13 9． 10． 11. 1.21或0.92 12. 选择题（13~16题） 13. B 14. A 15. C 16. C 解答题（17~21题） 17． （1） ∵， （1分） 由的最小正周期为，知，（2分） ，（1分） ∴.（2分） （2） 由（1）可得：，（1分） ，（1分） 或（2分），即或，（1分） 又（1分），则不妨令（1分），故.（1分） 18． （1） 因为平面，，为等边三角形， （1分） 设，建立如图所示的空间直角坐标系，（1分）    则，（1分） 为的中点，，（1分） ，，（1分） ，（1分）平面，（1分） 平面． （2） 又是轴上的单位向量，则其是平面的一个法向量，（2分） 因为（1分），设和平面所成的角为，（1分） 则，（2分）故直线和平面所成角的大小为．（1分） 19． （1） 10.15 （2分） 210.015 （2分） （2） （3分） （3） ①：由题意，成绩的平均数为： ，（1分） 由直线过（1分），则， 故回归直线方程为.（1分） 当时,.（1分） 答：预测年冠军队的成绩为秒.（1分） ②：降低（1分），因为体育运动的成绩受人身体素质的上限，不可能稳定线性增加。（1分） 20． （1） 因为，且直线过点， 所以，在中，， 所以斜边的中点，恰为椭圆的左焦点, 所以，又由椭圆的定义可得，（1分） 所以点在线段的垂直平分线上，（1分） 又因为在椭圆上，所以为椭圆的上顶点或下顶点，（1分） 所以或.（1分） （2） 设，，， 则，即，（1分） （1分） 同理（1分）， （1分） 又是的重心，所以 （1分） 所以，；（1分） （3） ①若或垂直于轴，则，（1分） ②若和不垂直于轴， 设直线的解析式为，点，， 联立方程组，得：，（1分） 从而，，（1分） ，（1分） 同理，①（1分） 则，②（1分） 因为，所以，（1分） 综上，的取值范围是.（1分） 思路点拨：①用替换 ②无需死算，可利用消一法配凑 21． （1） ；（2分） 时，切线．（2分） （2） 由题意得：＞0，则在定义域上严格增（1分） 故不可能存在且使得（1分） 因此不具有“k点切线性质”．（1分） 取，（1分）则有仅在和处切线均为（1分） 因此具有“2点切线性质”．（1分） （3） 对任意函数在x与y处切线重合的充要条件是：（1分） 假设存在使的所有切线都为“点切线”． 对①求导： ③ （1分） 对②两边求导，结合①得： ④ （1分） 将③代入④有：，又与的任意性，则恒成立 （1分） 由可用结论，，为任意常数 （1分） 构造函数：，则 （1分） 再次用可用结论：可得，为任意常数 （1分） 则，此时上任意点切线重合，有有限矛盾 （1分） 综上，不存在使的所有切线都为“点切线”． ___________________________________________________________________________________________________ 思路提示： 【定义的几何本质】：函数的切线 【1小问】：求导作图解决 （附代数证明） 由题意得： 令，解得： 显然在处切线均为，在切线均为 ∴具有“2点切线性质”，“3点切线性质”． 下面证明唯二性：若一条直线与相切于个不同点 则每个切点处多项式至少为二重根（即为原函数根也为导函数根）， 故总重根数至少为，而该多项式的次数为6，， 解得：． 综上，的值为2或3． 【2小问】： 从代数角度：解析 从几何画图角度：解析 【3小问】：结论是显然的，正难则反 （题目提示了二阶导，得出结论后构造也给了可用结论的提示，根据提示一步步完成即可） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届复旦附中高三数学模拟（3） A卷 数学 试卷 （考试时间120分钟 满分150分 考号：____________） 考生注意： 1. 本试卷的选择题均为单选题 1. 解答题需要写出必要的计算说明过程 1. 试卷共4页，答题纸共2页，请作答在答题纸上 1. 请自备科学计算器（卡西欧）并准确填写考号 一、填空题（12题，共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1．已知集合，，则 ． 2．不等式的解集为 ． 3．已知，，则 ． 4．已知数列是不具有单调性的等比数列，，则其前2026项和 ． 5．在的二项展开式中，若各项系数和为16，则项的系数为 ． 6．方程组只有两组实数解，则 ． 7．已知体积相等的圆柱和圆锥的底面半径均为3，圆柱高为，则圆锥的表面积为 ． 8．已知是等差数列的前项和，若，则 ． 10．已知抛物线，若两点在抛物线上，焦点为，，则直线AB的斜率为 ． 11．已知，，三角形的面积，若，则 ．（保留2位小数） 12．设，函数的表达式为，若，且关于的方程的整数解有且仅有个，则的取值范围是 ． 二、选择题（4题，共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13．已知复数，则（ ） A．3 B．4 C．4 D．5 14．在中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．在四棱锥中，若，则实数组可能是（    ） A． B． C． D． 16． 已知曲线C：，则下列关于曲线C的说法中错误的是（ ） A．曲线C关于坐标轴和原点对称 B．曲线C关于等轴双曲线的渐近线对称 C．曲线C上不存在两点横坐标之和大于2 D．曲线C上不存在点在以原点为圆心，为半径的圆外 三、解答题（5题，共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17．（本题共14分，（1）小问6分，（2）小问8分） 若定义在上的函数的最小正周期为，且满足对任意的， 都有：． （1）求：实数的值； （2）设，当时，，求：的值． 18．（本大题共14分，每小问均为7分） 如图，已知平面，，为等边三角形，，点F为的中点．    （1）求证：平面； （2）求：直线和平面所成角的大小． 19．（本大题共14分，（1）小问4分，（2）小问3分，（3）①小问5分，（3）②小问2分） 2024年巴黎奥运会，中国获得了男子米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列． 206.78 207.46 207.95 209.34 209.35 210.68 213.73 214.84 216.93 216.93 （1）这组数据的极差为________，中位数为_________； （2）从这10个数据中任选3个，恰有2个数据在211以上的概率为__________； （3）若比赛成绩y关于年份x的回归方程为，年份x的平均数为2006， ①：预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）； ②：试判断该回归方程的预测精度随着年份x的增大提高还是降低，并说明理由． 20．（本题共18分，（1）小问4分，（2）小问6分，（3）小问8分） 已知椭圆，为椭圆的右焦点，椭圆上有两两不重合的A、B、C、D四点． （1）设点，若直线AB过点F，当时，求：点A的坐标； （2）若原点是的重心，求：的值； （3）若AB与CD交于椭圆的左焦点，且，求：的取值范围． 21．（本题共18分，（1）小问4分，（2）小问6分，（3）小问8分） 定义：若函数的图像上存在有限的个不同点处的切线重合（），则称该切线为函数的一条“点切线”，函数具有“点切线性质”． （注：若该切线为函数的一条“点切线”，则不称其为的一条“点切线”，） （1）已知函数具有“点切线性质”，请直接写出的值与“点切线”方程； （2）试判断与是否具有“点切线性质”并说明理由； （3）若函数在R上可导，求证：不存在使的所有切线都为“点切线”． （可用结论：若函数的导函数满足，则（常数）） 第 1 页 共 2 页 复旦附中高三综合模拟（3） 数学试卷 学科网（北京）股份有限公司 $