精品解析：吉林长春市东北师范大学西湖实验学校2026-2027学年九年级上学期九月 学情调研数学试卷

2026—2027学年上学期初中部9月学情调研 （九）年级（数学）学科试题 满分：120分 作答时间：120分钟 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 解得：． 故选：B． 2. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方根和立方根的定义，算术平方根为非负数，负数的立方根为负数，正数有两个互为相反数的平方根，逐一判断各选项． 【详解】解：A选项，是4的算术平方根，结果为，选项错误，不符合题意； B选项，，，选项正确，符合题意； C选项，是16的平方根，结果为，选项错误，不符合题意； D选项， ，选项错误，不符合题意． 3. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此先把原方程化为一般式，再利用判别式求解即可． 【详解】解：∵ ，即， ∴ ，，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴ 方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 4. 已知是方程的一个根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和求代数式的值，属于基础题，解题的关键是理解一元二次方程的解，并能将其代入方程得到代数式的值． 利用方程根的定义，将已知方程代入所求表达式直接计算． 【详解】解：∵ 是方程 的根， ∴ ，即 ． ∴ ． 故选：B． 5. 如图，已知直线，直线交直线、、于点、、，直线交直线、、于点、、，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 6. 若、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根与系数的关系直接求解即可． 【详解】解：由题意知，是一元二次方程的两个实数根，其中，. 根据根与系数的关系得． 7. 如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”列式计算即可求解． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，是等腰直角三角形，其直角顶点在轴正半轴上，点、点在函数的图象上，延长交轴于点．若点的横坐标为8，则的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】作轴于点E，轴于点F，可证明，得到，，设，得到，设直线的函数解析式为，求得直线的函数解析式为，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解∶如图，作轴于点E，轴于点F， ， ， ， ， ， ， ，， 点A、点C在函数的图象上， 设， ， ， ，， ， ， ， 设直线的函数解析式为， 将，代入得， 解得， 直线的函数解析式为， ，即， ， 解得或， 经检验或是原方程的解， 当时轴，点C在x轴上，不符合题意，舍去， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 化简：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 10. 如图，某小区规划在一个长为、宽为的矩形场地上修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，并且使每一块草坪的面积都为．小明为了解决这个问题，他设每条道路的宽为，并列出一个不完整的方程为，则“■”应补全的代数式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的运用，题目中六块草坪可以拼成一个矩形，这个矩形的长为，宽为，根据矩形的面积公式即可列出方程． 【详解】解：六块面积相等的草坪可以拼成一个矩形， 这个矩形的长为，宽为， 每一块草坪的面积都为， ， “■”应补全的代数式为， 故答案为： ． 11. 已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，化简二次根式，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数非负． 根据二次根式有意义的条件是被开方数非负得到不等式组，求出值，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 如图，在四边形中，，，，点，分别为线段、上的动点，点、分别为、的中点，则长度的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由勾股定理可得，由三角形中位线定理可得，当最长时，长度最大，即当点N与点B重合时，最长，由此即可求得答案． 本题考查了勾股定理，三角形中位线定理，正确分析、熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵点、分别为、的中点， ∴， ∴当最长时，长度最大，即当点N与点B重合时，最长， 此时， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在四边形中，，E为对角线的中点，连接、、．若，则的度数为______． 【答案】 36 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出，利用等边对等角及三角形外角的性质求出的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解即可 【详解】解：，为的中点， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 14. 如图，中，，，点是的中点，点在线段上，，交于点，过点作的垂线交的延长线于点，给出下面四个结论：①；②；③；④；上述结论中，所有正确结论的序号是___________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据等边对等角的性质求出，然后求出，根据等边对等角求出，然后求出是直角，即可得到①正确；根据互余关系求出，再根据等角对等边的性质求出，然后求出，从而判断②正确；根据直角三角形的性质求出和相似，根据相似三角形的对应边成比例列式求出，再根据全等三角形对应边相等可得，从而判断出③正确；根据角的互余关系可以求出，再根据可知，然后求出，然后求出，从而得到，判断出④错误． 【详解】解：∵， ∴， ∵，点D是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，故③正确； 根据角的互余关系，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，根据等角对等边以及等边对等角的性质求出，然后证明是证明的关键，也是本题的难点． 三、解答题（本题共8小题，共78分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解题的关键． 先利用二次根式的乘法法则运算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】利用因式分解法解答即可． 【详解】解：因式分解，得， ∴或， ∴，． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题是解一元二次方程，先把方程整理成一元二次方程标准形式，确定，，，计算判别式，再用求根公式求解． 【详解】解：， ， ∴，，， ∴ ， ∴ ， ，． 18. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留适当的作图痕迹． （1）在图①中，在边上找一点D，连接，使； （2）在图②中，在边上找一点E，连接，使． 【答案】（1）如图点D即为所求， （2）如图，点E即为所求， 【解析】 【分析】（1）取格点F，连接交于点D，即为所求； （2）取格点G、H，连接交于点E，连接，即为所求． 【小问1详解】 解：由网格特点可得四边形是矩形，对角线、交于点D， ∴， 即为的中线，故． 【小问2详解】 解：由网格特点可得，， ∴四边形是平行四边形， 由， 则， ∵， ∴， ∴， ∴． 19. 某商场今年8月的营业额为400万元，9月份营业额比8月份增加，10、11月份营业额的月平均增长率相同，11月份的营业额达到万元，求11月份营业额的月平均增长率． （1）求9月份营业额． （2）求10、11月份营业额的月平均增长率． 【答案】（1） 440万元 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用——增长率问题，根据题意找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解题的关键． （1）根据增长后的量增长前的量（增长率），结合9月份比8月份增加即可计算； （2）设月平均增长率为x，用x表示出11月份营业额列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵8月份营业额为400万元，9月份营业额比8月份增加10%， ∴ 9月份营业额 为（万元）； 答：9月份营业额为440万元． 【小问2详解】 解：设10、11月份营业额的月平均增长率为x， 则10月份营业额为万元，11月份营业额为万元， 根据题意，， 解得（负值已舍去）， 答：10、11月份营业额的月平均增长率为． 20. 设方程的两根为、，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：由根与系数的关系，得，， ∴； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系，得，， ∴． 21. 如图，在中，． （1）实践操作：利用尺规作的平分线，交于点；（要求，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1） 如图，即为所作： （2） 解：平分， ， ， ， ∵， ∴，， ， ∵， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，角平分线尺规作图，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用尺规基本作图-作已知角的平分线的方法即可作图； （2）由角平分线结合已知条件得到，再加上公共角及的性质，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 综合与探究 问题情境：如图1，在中，点分别在上，已知，交于点是的中点． 猜想证明：（1）试判断与之间的数量关系，并说明理由． 深入探究：（2）如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值． 拓展应用：（3）如图3，在平行四边形中，，对角线与交于点为上一点，交于点交于点，连结．若平分，则的长为___________． 【答案】（1），理由如下： ， ，， ，， ， ， ； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）证明，，根据相似三角形的性质得到，进而证明结论； （2）根据线段垂直平分线的性质求出，根据相似三角形的性质计算，得到答案； （3）延长交于M，连接，过点M作于N，根据直角三角形的性质求出，求出，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）延长交于M，连接，过点M作于N，如图③， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理、直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 23. 阅读与思考：我们把多项式叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们可以先用配方法，使式子中出现完全平方式，再去求代数式的最大值或最小值．例如，求代数式的最小值． 解：， ∵， ∴， ∴当______时，取最______值，是______． （1）将例题的过程补充完整 （2）求当取何值时，代数式有最大或最小值？最大或最小值是多少？ （3）如图，学校打算用长米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），设垂直于墙的一边长为米，请用配方法求当为何值时，围成的生物园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）；小； （2）当时，取最小值，是 （3）当时，围成的生物园的面积最大，最大面积是 【解析】 【分析】（1）根据题干的逻辑将步骤补充完整即可； （2）仿照题干的解法，使用配方法求出代数式的最值即可； （3）设围成的生物园的面积为，由题意可知，使用配方法求出的最大值即可． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴当时，取最小值，是； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， ∴当时，取最小值，是； 【小问3详解】 解：设围成的生物园的面积为， 由题意可知，， ∵， ∴， ∴当时，取最大值，是． 答：当时，围成的生物园的面积最大，最大面积是． 24. 如图，在中，，，．点P从点B出发，沿方向向终点C运动，过点P作交折线于点D（点D不与点A重合），将分成两部分，将所得的三角形部分沿翻折，得到． （1）整个运动过程中，的最大值为______； （2）当点E与点C重合时，求的长； （3）若点D在边上，当是直角三角形时，求的值； （4）点E关于直线的对称点为点F，当点F到直线的距离为时，直接写出线段的长． 【答案】（1）3； （2） （3）或 （4）或或 【解析】 【分析】（1）过点A作于点M，根据三角形面积公式求出，即为的最大值根据，求出； （2）当点C与点E重合时，由题意得，，根据求即可． （3）作于，由，得，再由得，，从而．折叠后，，利用和相似三角形分类讨论直角情形． （4）利用、关于对称得，，按、位置分三种情况求． 【小问1详解】 解：作于点， ，， ，  ，， ， ， ． 当与重合时，最大，最大值是3； 【小问2详解】 解：折叠后与关于直线对称， ，， 与重合， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：设，则，， 作于，由已知，，，  当在上（），在线段上或延长线上， ， ①若： ， 又， ， ， ， 即， 解得，， ∴， ②若： ，， 又， ， ， ， 即， 解得，， ； 综上，或． 【小问4详解】 解：、关于直线对称， ，， ， ， 到的距离为，，， ，到距离， ， 当在上，在线段上时， 即， ， ， ， ；  当在上，在延长线上， 即， ， ，， ； 当在线段上时，分得的三角形为，翻折后的对称点为， 故，， 此时在上，，在左侧， ，， ， ； 综上，或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年上学期初中部9月学情调研 （九）年级（数学）学科试题 满分：120分 作答时间：120分钟 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 4. 已知是方程的一个根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 5. 如图，已知直线，直线交直线、、于点、、，直线交直线、、于点、、，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 若、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 7. 如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，是等腰直角三角形，其直角顶点在轴正半轴上，点、点在函数的图象上，延长交轴于点．若点的横坐标为8，则的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 24 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 化简：______． 10. 如图，某小区规划在一个长为、宽为的矩形场地上修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，并且使每一块草坪的面积都为．小明为了解决这个问题，他设每条道路的宽为，并列出一个不完整的方程为，则“■”应补全的代数式为_________． 11. 已知，则_____． 12. 如图，在四边形中，，，，点，分别为线段、上的动点，点、分别为、的中点，则长度的最大值为___________． 13. 如图，在四边形中，，E为对角线的中点，连接、、．若，则的度数为______． 14. 如图，中，，，点是的中点，点在线段上，，交于点，过点作的垂线交的延长线于点，给出下面四个结论：①；②；③；④；上述结论中，所有正确结论的序号是___________． 三、解答题（本题共8小题，共78分） 15. 计算：． 16. 解方程：． 17. 解方程：． 18. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留适当的作图痕迹． （1）在图①中，在边上找一点D，连接，使； （2）在图②中，在边上找一点E，连接，使． 19. 某商场今年8月的营业额为400万元，9月份营业额比8月份增加，10、11月份营业额的月平均增长率相同，11月份的营业额达到万元，求11月份营业额的月平均增长率． （1）求9月份营业额． （2）求10、11月份营业额的月平均增长率． 20. 设方程的两根为、，求下列各式的值： （1）； （2）． 21. 如图，在中，． （1）实践操作：利用尺规作的平分线，交于点；（要求，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：． 22. 综合与探究 问题情境：如图1，在中，点分别在上，已知，交于点是的中点． 猜想证明：（1）试判断与之间的数量关系，并说明理由． 深入探究：（2）如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值． 拓展应用：（3）如图3，在平行四边形中，，对角线与交于点为上一点，交于点交于点，连结．若平分，则的长为___________． 23. 阅读与思考：我们把多项式叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们可以先用配方法，使式子中出现完全平方式，再去求代数式的最大值或最小值．例如，求代数式的最小值． 解：， ∵， ∴， ∴当______时，取最______值，是______． （1）将例题的过程补充完整 （2）求当取何值时，代数式有最大或最小值？最大或最小值是多少？ （3）如图，学校打算用长米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），设垂直于墙的一边长为米，请用配方法求当为何值时，围成的生物园的面积最大？最大面积是多少？ 24. 如图，在中，，，．点P从点B出发，沿方向向终点C运动，过点P作交折线于点D（点D不与点A重合），将分成两部分，将所得的三角形部分沿翻折，得到． （1）整个运动过程中，的最大值为______； （2）当点E与点C重合时，求的长； （3）若点D在边上，当是直角三角形时，求的值； （4）点E关于直线的对称点为点F，当点F到直线的距离为时，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $