河北省石家庄市第一中学2026-2027学年高二上学期学情检测反馈考试一数学试题

石家庄市第一中学2025级学情检测反馈考试一 数 学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数满足，则（ ） A． B． C． D． 2．已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则（ ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 3．设，直线：，：，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知一组数据的平均数和方差分别为2026，27，若向这组数据中再添加一个数据为2026，新数据组的平均数和方差分别为，，则（ ） A． B． C． D． 5．若，表示直线，表示平面，则以下命题中真命题是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则或与异面 6．袋子里装有三枚黑色棋子、三枚白色棋子，从中不放回地随机取出两枚棋子，那么互斥而不对立的事件是（ ） A．“至少有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子” B．“都是白色棋子”与“都是黑色棋子” C．“恰好有一枚白色棋子”与“恰好有一枚黑色棋子” D．“至多有一枚白色棋子”与“至少有一枚黑色棋子” 7．已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点在直线上，则的最小值为（ ） A．8 B．7 C．6 D．5 8．在锐角中，角，，的边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9．下列说法错误的有（ ） A．设一批产品的次品率为，从中任取100件，则必有10件次品 B．明天降雨概率为90%，则明天可能不下雨 C．连续投10次骰子，则连续投出10个1是不可能事件 D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不会降水 10．下列说法正确的是（ ） A．是直线的一个方向向量 B．经过点且在轴和轴上的截距都相等的直线方程为 C．点关于直线的对称点为 D．已知两点，，若直线过点且与线段有公共点，则的取值范围是 11．如图1，在边长为2的正方形中，，，分别为，，的中点，沿、及把这个正方形折成一个四面体，使得、、三点重合于，得到四面体（如图2）．下列结论正确的是（ ） A．顶点在面上的射影为的重心 B．与面所成角的正切值为 C．二面角的余弦值为 D．过点的平面截四面体的外接球所得截面圆的面积的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在移动通信中，总是有很多用户希望能够同享一个发射媒介，进行无线通信，这种通信方式称为多址通信．多址通信的理论基础是若用户之间的信号可以做到正交，这些用户就可以同享一个发射媒介．在维空间中，正交的定义是两个维向量，满足．已知某通信方式中用户的信号是4维非零向量，有四个用户同享一个发射媒介，已知前三个用户的信号向量为，，，写出一个满足条件的第四个用户的信号向量_______________． 13．已知，，，是球表面上的不同点，平面，，，，若球的表面积为，则__________． 14．已知圆：，直线为（），已知直线与圆相离，若在直线上存在点，在圆上存在两点、，使得，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 直线与直线垂直，且经过点． （1）若圆截直线所得弦长为4，求实数的值； （2）若点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 16．（本小题满分15分） 的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角的值； （2）若的面积为，且，求的周长． 17．（本小题满分15分） 科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek．小明、小华两位同学报名参加某公司拟开展的DeepSeek培训，培训前需要面试，面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为，，，且小明、小华两人对每道题能否答对相互独立．记“小明只回答2道题就结束面试”为事件，记“小华3道题都回答且通过面试”为事件． （1）求事件发生的概率； （2）求事件和事件同时发生的概率； （3）求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率． 18．（本小题满分17分） 底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． （1）证明：平面； （2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 19．（本小题满分17分） 在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点与点的“曼哈顿距离”为．若点，点， （1）求； （2）已知直线，求点到直线上动点的“曼哈顿距离”最小值； （3）求平面内与两定点和的“曼哈顿距离”之和等于4的点的轨迹围成的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄市第一中学2025级学情检测反馈考试一 数 学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．C 2．B 3．A 4．B 5．D 6．B 7．C 8．D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9．ACD 10．ACD 11．BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．．（答案不唯一，形如都可以）． 13．1 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【解答】解：（1）由题意直线与直线垂直，且经过点， 所以直线的斜率为-1， 可得直线的方程为，即． 又圆截直线所得弦长为4， 将圆化为标准型为， 圆心到直线的距离为， 因为圆截直线所得弦长为4，所以，解得； （2）设线段中点的坐标为，， 则，即， 因为点在圆上运动， 所以， 所以， 即， 所以线段中点的轨迹方程为． 16．【解答】解：（1）因为， 由正弦定理得， 即，即， 因为，所以，则，即； （2）因为，解得， 由已知及余弦定理得，即， 将代入得：，即，得， 则，，的周长为． 17．【解答】解：（1）根据题意，若事件发生，即小明只回答2道题就结束面试， 则小明前两题都答对或都答错，所以； （2）根据题意，若事件发生，即小华3道题都回答且通过面试，则小华前两题答对一题，答错一题，第三题答对，则， 又由事件，相互独立，则． （3）记小明没有通过面试为事件， 即分前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况， 则小明没有通过面试的概率为， 可得小明通过面试的概率为． 记小华通过面试的事件为，由（2）得， 由题意可知，事件，相互独立， 记小明、小华两人恰有一人通过面试的事件为， 则． 18．【解答】解：（1）证明：因为四边形为菱形，所以， 因为平面平面，为交线，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面平面，为交线，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面，所以平面； （2）由（1）知，，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， ，则，，，， 设，，则，， 设平面的一个法向量为， 则，则， 令，得，，故， 直线与平面所成角的正弦值为， 即， 即，即，化简得，负值舍去，则， 平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为， ，所以平面与平面夹角余弦值为． 19．【解答】解：（1）因为点与点的“曼哈顿距离”为． 那么可得． （2）设上动点的坐标为， 那么， 根据一次函数单调性可知，当时，； 当时，；当时，． 综上所述，的最小值为2． （3）设点，那么， 即，所以， 将代入方程得， 因此表示的曲线关于轴对称， 因此所围成的面积等于与轴所围成的面积的2倍． 作出的图象，如图： 易知，，，， 四边形的面积为， 因此所求的面积为6． 学科网（北京）股份有限公司 $