精品解析：河北正中实验2026-2027学年高二上学期9月月考数学试卷

河北省石家庄正中实验2026-2027学年高二九月月考数学试卷 一、单选题 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解不等式，得或，即， 所以. 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 根据复数虚部的定义，的虚部为. 3. 若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由基底的定义逐一判断即可. 【详解】，故A不是； 不存在，使得，故B是； ，故C不是； ，故D不是. 4. 如图，已知正三棱柱的棱长均为，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得和的坐标，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】以的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正三棱柱的棱长均为， 可得， 所以，可得， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值是. 故选：C. 5. 如图，在空间四边形中，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在空间四边形中，，， 则，又， 且不共面，因此， 所以. 6. 若、、，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出向量、，利用空间向量法求解即可. 【详解】由题意可得，， 所以点到直线的距离为. 7. 已知函数（，）的部分图象如图，则（    ） A. B. 函数的图象关于轴对称 C. 函数在上单调递减 D. 函数在有3个极值点 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象解出函数的解析式，利用正弦型函数性质求解. 【详解】A:由图可知的周期为：，又，所以； 由，即，且，所以； 由，所以，所以，故A错误； B：由A的分析知， 因为为偶函数，故B正确； C：由，得，故在上单调递增，故C错误； D：因为，，，， 所以函数在有4个极值点，故D错误. 8. 图1是菏泽牡丹园中的一座仿古牡丹亭，它的主体部分可看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥拼接而成的组合体，如图2所示.已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为6，体积之比为，且该几何体的所有顶点都在球的表面上，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正四棱柱和正四棱锥的体积比，结合底面积相等，推导出两者的高相等. 根据几何体的对称性，确定球心位于几何体的中心轴线上，利用球心到各顶点距离相等（即球体半径）建立方程，求出几何体的高，进而求出球的半径，得到球体的体积. 【详解】设正四棱柱和正四棱锥的高分别为和，体积分别为和，底面积为， 则，， 又，即，所以， 设该几何体外接球的半径为，该几何体的所有顶点都在球的表面上， 由于正四棱柱和正四棱锥底面重合且中心轴线重合，所以球心必在该中心轴线上， 如图所示，则， 又正四棱柱和正四棱锥的底面边长为6， 所以， ， 所以，解得， 所以，即， 所以球的体积为. 二、多选题 9. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 B. 若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 C. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D. 已知向量，，则在上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用线面位置关系与向量的关系可判断A选项；利用空间向量共面的基本定理可判断B选项；利用空间向量基底的概念可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，直线的方向向量为，平面的法向量为， 则，则，所以，或，A错； 对于B选项，对空间中任意一点，有， 则，整理可得， 故、、、四点共面，B对； 对于C选项，三个不共面的向量可以成为空间的一个基底， 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，C对； 对于D选项，已知向量，， 则在方向上的投影向量为，D对. 故选：BCD. 10. 已知随机事件A，B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若，则事件与B相互独立 C. 若A发生时B一定发生，则 D. 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，若A与B互斥，则，故A错误； 对于B，因为，，则， 因为， 所以事件与B相互独立，故B正确； 对于C，若A发生时B一定发生，则，则，故C错误； 对于D，， 因为，，所以，故D正确． 11. 如图，在棱长为3的正方体中，点，，分别为棱，，的中点，点，，分别是线段，，（不含端点）上的动点，则下列选项正确的是（ ） A. 若为的中点，则平面 B. 存在点，使得平面 C. 的最小值为 D. 若，则取得最小值时平面与平面夹角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项先找到线线平行，从而得到线面平行；B选项先找出直线与平面平行，再确定点；C选项找出异面直线公垂线，再求公垂线长度；D选项先找出二面角的平面角，再用余弦定理计算余弦值. 【详解】对于选项A：如图1，若P为的中点，,平面PAC，平面PAC，平面PAC，故A正确； 对于选项B：如图2，当P为平面AMNC与的交点时，连接MA，此时，平面PAC，平面PAC，故平面PAC，所以B正确； 对于选项C：如图3，连接，平面，，又，，平面， 所以平面，平面，所以，同理可得， 取BC中点Q，连接，QA分别与，BD相交，取交点分别为F，E，此时，得， 因为， ，所以， ， 故EF为，BD的公垂线段，且，所以C不正确； 对于选项D：如图4，设，， 则，作，垂足为T，连接ET， ，，可得， ，，， 故，当且仅当时“＝”成立， 即当E，F分别为BD，中点时EF取得最小值． 取EF中点R，连接RB，RC，平面与平面交线为， 因为E，F分别为BD，中点，所以， 又R是EF中点，所以, 则为二面角的平面角， 而，得， 即此时平面BEF与平面CEF夹角的余弦值为，所以D正确． 三、填空题 12. 已知，若正实数满足，则的最小值为________． 【答案】6 【解析】 【详解】函数定义域为，且， 故为奇函数， 函数和在定义域上单调递增，故在定义域上单调递增， 已知，则， 所以，故， 已知， 所以， 当且仅当，即时取等号． 13. 如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将，，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点，则三棱锥的内切球的体积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】折叠后、、两两垂直，利用等体积法求出内切球半径，进而计算体积. 【详解】由题意可知，折叠前， 折叠后、、三点重合于点， 所以，，， 即、、两两互相垂直， 由正方形边长为，、分别为中点，可得： ，，， 三棱锥的体积为： ， 在中，，，，  所以为等腰三角形，底边上的高， 所以，又 ，  ， ， 设三棱锥的内切球半径为， 由等体积法可知， 即，解得， 所以内切球的体积为. 14. 已知空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．用以上知识解决下面问题：已知平面的方程为，直线l是两个平面与的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得平面、平面及平面的法向量，根据已知可知直线与平面及平面的法向量垂直，可设出直线的方向向量并计算得解，再利用向量的夹角公式计算即可得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】由题意可得平面的法向量可为， 平面的法向量可为， 平面的法向量可为， 设直线的方向向量为， 则有，取，则有、， 则直线的方向向量可为， 则， 故直线l与平面所成角的正弦值为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知的顶点，，，为的中点． （1）求直线的斜率； （2）判断的形状； 【答案】（1） （2）等腰直角三角形. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由中点公式求得，结合直线的斜率公式，即可求解； （2）利用直线的斜率公式，分别求得，得到且，得到和，进而得到的形状. 【小问1详解】 解：因为，，且为的中点， 设，由中点公式得，即， 又因为，可得直线的斜率为. 【小问2详解】 解：因为，，，且， 由斜率公式，可得， 又因为，所以，即，所以为直角三角形， 又由为的中点，且，所以，所以为等腰三角形 所以为等腰直角三角形. 16. 如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形.侧棱的长为4，且. （1）求的长； （2）求直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由空间向量模长计算公式可得答案；（2）由图形结合向量夹角公式可得答案. 【小问1详解】 由图，可得. 则 【小问2详解】 注意到， 则 ，，. . 则与所成角的余弦值为. 17. 在中，已知． （1）求角； （2）若，且，求的面积； （3）若，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 已知， 由余弦定理， 即，代入得：， 又，故. 【小问2详解】 由正弦定理，得：代入，得. 三角形面积公式：， 代入， . 【小问3详解】 由余弦定理：， 由，得， 代入上式：. 由基本不等式，时：， 当且仅当时取等号. 因此：，又， 结合三角形两边之和大于第三边，得：. 18. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点． （1）求证：∥平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：在棱长为2的正方体中,以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，得， 又，则， 因此，又平面，所以平面. （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）由（1）中信息，利用线面角的向量法求解. （3）假定存在并求出平面的法向量，利用面面角的向量法列式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设线段上存在点使得二面角的余弦值为， 当点与点重合时，显然二面角为钝角，余弦值小于0，不符合题意； 过作于点，取，则， 由（1）可知，，平面的法向量， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以， 则，解得，符合题意， 因此线段上存在点，使得二面角的余弦值为． 19. 如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，平面，，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）若点在线段，（与，都不重合）上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围． 【答案】（1）因为，，，易得，所以，即， 又因为平面，平面，所以， ，平面，平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过勾股定理证明，再通过线线垂直证明线面垂直. （2）通过二面角的定义找出二面角所对应的夹角，并通过勾股定理求解线段长度，进而求解余弦值. （3）通过建立空间直角坐标系求解平面法向量，利用法向量表示出二面角余弦值并求解范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接如图所示， 因为，，，平面，所以平面， 又因为，所以，为二面角的平面角. ，得，， 因为平面，所以，，. 【小问3详解】 以为原点，建立空间直角坐标系如图所示， ，，，，， 设，，，， 设平面法向量，满足，解得. 因为平面，所以平面法向量， ， 所以时，，时，， 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省石家庄正中实验2026-2027学年高二九月月考数学试卷 一、单选题 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知正三棱柱的棱长均为，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在空间四边形中，，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 若、、，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数（，）的部分图象如图，则（    ） A. B. 函数的图象关于轴对称 C. 函数在上单调递减 D. 函数在有3个极值点 8. 图1是菏泽牡丹园中的一座仿古牡丹亭，它的主体部分可看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥拼接而成的组合体，如图2所示.已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为6，体积之比为，且该几何体的所有顶点都在球的表面上，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 B. 若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 C. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D. 已知向量，，则在上的投影向量为 10. 已知随机事件A，B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若，则事件与B相互独立 C. 若A发生时B一定发生，则 D. 11. 如图，在棱长为3的正方体中，点，，分别为棱，，的中点，点，，分别是线段，，（不含端点）上的动点，则下列选项正确的是（ ） A. 若为的中点，则平面 B. 存在点，使得平面 C. 的最小值为 D. 若，则取得最小值时平面与平面夹角的余弦值为 三、填空题 12. 已知，若正实数满足，则的最小值为________． 13. 如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将，，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点，则三棱锥的内切球的体积是_______． 14. 已知空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．用以上知识解决下面问题：已知平面的方程为，直线l是两个平面与的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为________． 四、解答题 15. 已知的顶点，，，为的中点． （1）求直线的斜率； （2）判断的形状； 16. 如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形.侧棱的长为4，且. （1）求的长； （2）求直线与所成角的余弦值. 17. 在中，已知． （1）求角； （2）若，且，求的面积； （3）若，求a的取值范围． 18. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点． （1）求证：∥平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，平面，，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）若点在线段，（与，都不重合）上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $