精品解析：安徽蚌埠市B层2026-2027学年第一学期学情调研高二数学试题

蚌埠市B层高二年级2026-2027学年度第一学期学情调研 高二数学 考试时间：120分钟 试卷分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知为直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 空间内有三点，则点P到直线EF的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知正方体的棱长为2，点满足，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正三棱柱中，，若，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是棱长为8的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 0 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 向量，的夹角为 B. C. 若是坐标原点，且，，则以，为邻边的平行四边形的面积为 D. 向量在向量上的投影向量为 10. 已知直线，，，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与过同一个定点 C. 若，则与关于轴对称 D. 若与交于点，则为定值 11. 正方体的棱长为1，E，F，G分别为的中点．则（ ） A. 直线与直线不垂直 B. 直线与平面平行 C. 平面截正方体所得的截面面积为 D. 点C与点G到平面的距离相等 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 点关于轴对称的点的坐标为______. 13. 过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____. 14. 定义：在空间直角坐标系中，经过且法向量的平面方程为，经过且方向向量的直线方程为.阅读上面材料，并解决下列问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点，，直线经过点与， （1）若与直线垂直，求； （2）若与线段有交点，求的倾斜角的取值范围， 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，平面，为棱的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． （1）用为基底表示向量，并求的长； （2）求的值． 18. 已知直线：的倾斜角与直线：的倾斜角之和为． （1）求的值； （2）点在直线上运动． （ⅰ）若，求的取值范围； （ⅱ）点，，求当取得最小值时直线的方程． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面是以为斜边的等腰直角三角形. （1）证明：. （2）在棱上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. （3）在棱上是否存在点，使得三棱锥外接球的球心在平面内？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蚌埠市B层高二年级2026-2027学年度第一学期学情调研 高二数学 考试时间：120分钟 试卷分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 2. 已知为直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方向向量与直线的倾斜角的关系进行求解即可. 【详解】因为为直线的一个方向向量， 所以直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为. 故选：C. 3. 已知直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行求得，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，则，解得或， 当，则，，满足，符合题意； 当，则，，两直线重合，不符合题意； 综上所述：等价于. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 4. 空间内有三点，则点P到直线EF的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，得到直线EF的一个单位方向向量，利用点到直线距离公式得到答案. 【详解】因为，所以直线EF的一个单位方向向量为． 因为，所以点P到直线EF的距离为． 故选：A 5. 如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算法则求解. 【详解】 . 故选：B. 6. 已知正方体的棱长为2，点满足，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由和结合共面向量定理得四点共面， 即点在平面上，则的最小值为点到平面的距离． 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 所以， 设平面的法向量，则， 取，点到平面的距离． 7. 如图，在正三棱柱中，，若，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由于,且，可得,从而求出三棱柱的高，取的中点,连接,, 可证为直线与平面所成角，利用边长关系即可求解. 【详解】设正三棱柱的高为,即, 由于,,， 则,即,则,所以， 取的中点,连接,, 由于底面为等边三角形，,则, 由于平面,，平面,所以,，且 由于,平面,所以平面， 所以为直线与平面所成角，则, 故选：B 8. 已知是棱长为8的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】求得正方体外接球的半径，根据空间向量的数量积运算求得的表达式，确定的最小值，即得答案. 【详解】如图，是棱长为8的正方体的一条体对角线，则也是正方体外接球的一条直径， 由正方体的特征可得其外接球半径为, 设外接球球心为，则， 则 , 由于点在正方体表面上运动， 故的最小值为球心与正方体面的中心连线的长， 即为正方体棱长的一半，为， 所以的最小值为， 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 向量，的夹角为 B. C. 若是坐标原点，且，，则以，为邻边的平行四边形的面积为 D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，，且，所以，即向量，的夹角为，所以A正确； 对于B，，则，所以B错误； 对于C，， 则以，为邻边的平行四边形的面积为，所以C正确； 对于D，向量在向量上的投影向量为，所以D错误. 10. 已知直线，，，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与过同一个定点 C. 若，则与关于轴对称 D. 若与交于点，则为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据系数关系判断直线垂直判断A，计算直线定点判断B，判断直线关于轴对称判断C，应用垂直关系得出定值判断D. 【详解】直线，，， 对于A：因为，所以，A选项正确； 对于B：直线过定点，过定点，与不过同一个定点，B选项错误； 对于C：若，，，则与关于轴对称，C选项正确； 对于D：若与交于点，直线过定点，过定点， 因为，则，为定值，D选项正确； 故选：ACD. 11. 正方体的棱长为1，E，F，G分别为的中点．则（ ） A. 直线与直线不垂直 B. 直线与平面平行 C. 平面截正方体所得的截面面积为 D. 点C与点G到平面的距离相等 【答案】ABC 【解析】 【分析】由，得出平面，进而得出，可判断A；取的中点，连接，利用线面平行的判定定理，可判断B；连接，，得到平面为平面截正方体所得的截面，再计算其面积即可判断C；利用反证法即可判断D. 【详解】对于A，若， 因为且，所以平面， 所以，所以，此时不成立，所以线与直线不垂直，故A正确； 对于B，如图所示，取的中点，连接， 由条件可知：，且, 又平面，平面，平面，平面， ∴平面，平面，又， 所以平面平面，又因为平面， 所以平面，故B正确； 对于C，因为为的中点，所以， 所以四点共面，所以截面即为梯形， 由题得该等腰梯形的上底下底，腰长为，所以梯形面积为，故C正确； 对于D，假设与到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，连接交于，而不是中点，则假设不成立，故D错误． 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 点关于轴对称的点的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合空间直角坐标系的定义，即可求解. 【详解】根据空间直角坐标系的定义，可得点关于轴对称的点的坐标为. 故答案为：. 13. 过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____. 【答案】或 【解析】 【分析】联立方程求出交点坐标，分截距是否为0讨论求解直线方程. 【详解】由，解得，即两直线交点坐标为， 若所求直线在两坐标轴上截距为0，则该直线经过原点和， 方程为，整理得； 若所求直线在两坐标轴上截距不为0，则该直线方程可设为， 将点坐标代入方程可得，所以此时直线方程为， 整理得， 综上，所求直线方程为或. 故答案为：或. 14. 定义：在空间直角坐标系中，经过且法向量的平面方程为，经过且方向向量的直线方程为.阅读上面材料，并解决下列问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据定义，分别求得平面的法向量和直线的方向向量，再根据线面角的向量求法，求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】平面的方程为， 平面的一个法向量， 同理，可得平面的一个法向量，平面的一个法向量， 设平面与平面的交线的方向向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成角为，则． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点，，直线经过点与， （1）若与直线垂直，求； （2）若与线段有交点，求的倾斜角的取值范围， 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合直线的斜率公式与垂直性质计算即得； （2）结合图形，由直线的斜率与倾斜角的关系计算即可得. 【小问1详解】 ，因为与直线垂直，所以， 所以，，解得； 【小问2详解】 依题意， 由与线段有交点，当直线斜率存在时， 则的斜率的取值范围是， 因直线的倾斜角的范围是， 故的倾斜角的取值范围是， 若斜率不存在时，倾斜角为， 综上，的倾斜角的取值范围为. 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，平面，为棱的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）因为平面，底面是正方形，即， 故以点为原点，以为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 故，， 因为，则，故． （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据垂直关系的向量求法证明即可. （2）求出平面的法向量，根据线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的法向量为，，， 则，即，令，则，所以. 设直线与平面所成角为（）， 所以，直线与平面所成角的正弦值为 ． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17. 如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． （1）用为基底表示向量，并求的长； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，两边平方得到，求出的长； （2），平方，进而求出，，利用空间向量夹角公式得到. 【小问1详解】 记，，， 则，， ∴，， ， ∴，即的长为； 【小问2详解】 ，故， 故， 由（1）知，， 故 ， ∴． 18. 已知直线：的倾斜角与直线：的倾斜角之和为． （1）求的值； （2）点在直线上运动． （ⅰ）若，求的取值范围； （ⅱ）点，，求当取得最小值时直线的方程． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】 【小问1详解】 直线的斜率，倾斜角为， 直线的斜率，倾斜角为， 因为，所以， 解得，故； 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）可知，直线：， 表示点与点连线的斜率，作出图形如图所示， 记，，，， 其中，， 观察可知，， 所以的取值范围为； （ⅱ）作点关于直线的对称点， 则，解得，故， 此时， ， 故直线的方程为， 即． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面是以为斜边的等腰直角三角形. （1）证明：. （2）在棱上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. （3）在棱上是否存在点，使得三棱锥外接球的球心在平面内？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明： 因为，， 是以为斜边的等腰直角三角形. 所以，，即 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面， 所以，因为，平面， 所以平面，因为平面， 所以 （2）存在， （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据边长关系，结合勾股定理得，结合面面垂直性质定理证明平面得，进而证明平面即可证明结论； （2）根据（1）的证明，两两垂直，建立空间直角坐标系，利用坐标求解平面与平面夹角即可； （3）假设存在，设三棱锥外接球的球心，，，再根据球心到的距离相等解方程即可得答案. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）知两两垂直，如图建立空间直角坐标系， ，，，，， ，， 设，， 所以， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，， 所以， 又平面的法向量为，平面与平面夹角的余弦值为 所以， 整理得，解得或（舍）， 所以，当为棱靠近点的三等分点时，平面与平面夹角的余弦值为，此时. 【小问3详解】 假设棱上存在点，使得三棱锥外接球的球心在平面内， 设三棱锥外接球的球心，， 所以三棱锥外接球的球心到的距离相等， 即，即， 解方程得，， 所以，棱上存在点，使得三棱锥外接球的球心在平面内，此时 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $